2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 7 部 物理の側から閉じ込めの機構

閉じ込めの機構 — 四つの絵を、何を主役に選び、どこで数学から切れるかで読む

「閉じ込め」は、クォークを単独で取り出せないという観測から来た言葉です。純ヤン–ミルズ理論にはクォークが無いので、無限に重い試験電荷を二つ置き、引き離すエネルギーを問います（7-01）。格子では、閉じた道 $C$ に沿ってリンク変数を掛けた行列の跡の期待値が Wilson ループで（5-01）、$R\times T$ の長方形では $W\approx e^{-V(R)T}$、$V(R)$ が電荷対のエネルギーです。

大きいループの減り方は二通りです。

面積則なら $V(R)\approx\sigma R$ で、エネルギーが距離に比例して増えます。$\sigma$ が弦張力です。周長則なら $V$ は有界です。例：$\sigma=c=0.05$、$R=T=10$ で $-\ln W$ は 5 と 2、辺を 20 にすると 20 と 4 です。見分けには Creutz 比を使い、純粋な面積則で $\sigma$、周長則で 0 になります既知。

「機構」を問うとは、面積則を真空の中の何が生むかを問うことです。小さい $\beta$（格子の逆結合。$SU(N)$ では $\beta=2N/g^2$、小さいほど強結合）の面積則は定理ですが（5-02）、U(1) を含む全ての群で成り立つので非可換の説明になりません既知。問いは連続極限へ向かう大きい $\beta$ の側に残ります。

質量ギャップは相関の指数的な減衰（4-11）、閉じ込めは面積則で、論理としては別の主張です。Clay の問題文が要求するのは $\Delta>0$ で、閉じ込めは「自然な拡張」に分けられています既知。

格子には一方向の含意があります。Chatterjee（2021）は次を示しました既知。Wilson ループを作る表現が群の中心（§05）に非自明に作用し（SU(N) の基本表現はそうです）、中心対称性が破れない（有限の厚みの板状の領域で、どの境界条件をとっても測度が中心の変換で不変であること。同論文の定義 2.1）なら、無限体積の格子 $\mathbb{Z}^d$ 上のどの測度でも、$R\to\infty$ で $V(R)\to\infty$ となるある関数 $V$ について次が成り立ちます。

これは $V$ が非有界という意味で、$\sigma>0$ ではありません。任意の境界条件での指数減衰という強い形のギャップを仮定すると面積則まで出ます（同論文の定理 2.4）。有限群で示された減衰は、特定の境界条件での二点相関の減衰で、定理 2.4 が仮定する「任意の境界条件での減衰」より弱いものです。このため表 1 の有限群の行と矛盾しません（同論文 §2.4）。Clay の意味のギャップから閉じ込めを導く定理はありません。

超伝導体は磁場を押し出し（Meissner 効果）、表面から入った磁場は侵入長 $\lambda_L$ で減ります。無理に通すと細い管（Abrikosov の渦）に束ねられ、一本の磁束は $h/2e$ の整数倍です既知。

密度 $B^2/2$、断面積 $S$、磁束 $\Phi=BS$ の管は長さあたり $E/\ell=\Phi^2/(2S)$ を持ちます。真空では $S$ を広げて 0 に近づけられますが、超伝導体では広げる損があり、$E/\ell$ は正の定数に留まります。単極子の対を埋めればエネルギーは距離に比例するはずです（模式的な見積もり）。

磁荷の流れ $j^m$ を加えた Maxwell 方程式は、電と磁の入れ替えで対称です（$\tilde F$ は双対。ここだけ実時間の記法です）既知。

真空が色磁気単極子の凝縮なら、押し出されるのは色電場で、色電束が管になり、クォークが閉じ込められる。これが双対超伝導の絵で、't Hooft（1975 年の講演）と Mandelstam（1976）が独立に提案したとされます物理。Nambu（1974）がその先駆とされます。正確には、単極子は作用に現れる場ではなく、ゲージを選んで初めて定義される対象で（§04）、「凝縮」を測度の言明として書く方法はまだありません。

Di Giacomo ほか（2000、SU(2)）は単極子凝縮の秩序変数を格子で測り、「閉じ込めは双対超伝導体への転移として現れる」と報告しました物理。文脈は有限温度の脱閉じ込め転移で、機構が示されたわけではありません。「凝縮 ⇒ 面積則 ⇒ ギャップ」はどちらの段も四次元の非可換では未証明です。

可換な模型で機構が計算できる例

三次元のコンパクト U(1) では単極子がインスタントンとして働き、Polyakov（1977）が半古典で面積則を出し、Göpfert–Mack が（Villain 作用の格子で）全結合で $\sigma>0$ を証明しました既知。ただし同じ仕事の要旨は、連続極限が自由スカラー場で物理の単位の弦張力が $\infty$ に行くとも述べます（本文は未読）。この機構からは「質量と弦張力は一つの尺度で決まる」（7-12）が出てきません。四次元では、$\mathcal{N}=2$ 超対称な理論を質量項で $\mathcal{N}=1$ に破った場合に、Seiberg–Witten（1994）が単極子の凝縮による閉じ込めを記述しました（7-11）物理。

't Hooft（1981）は、作用に無い単極子をゲージの選び方の特異点として見つけました。$X\mapsto gXg^{-1}$ と変わる量 $X(x)$（たとえば $F_{12}$）を選び、各点で対角にします。

$\varepsilon_i$ は固有値です。残る対称性は $U(1)^{N-1}$ で、対角のグルーオンが「光子」です。固有値が重なる点では対角化が決まらず、そこが単極子です物理。例：SU(2) で $X=\sum_a X^a\sigma^a/2$ なら固有値は $\pm|\vec X|/2$、重なるのは $\vec X=0$ で、実の条件 3 本です。三次元では点、四次元では線（世界線）になります（一般の $N$ も同じ、1-01 の寄り道）。零点の近くで $\vec X\approx\vec x$ なら $\vec X/|\vec X|$ は零点を囲む球面を一回覆い、その回数が磁荷です既知。

格子では最大アーベルゲージ（MAG、Kronfeld ほか 1987）でリンクを対角に近づけます。

大域的な最大を確実に見つける方法は知られておらず、実際には局所的な最大（Gribov のコピー）を使います。射影したリンクの弦張力が元の大部分を占めること（アーベル優勢）を Suzuki–Yotsuyanagi（1990）が報告し、Greensite の総説（2003）は SU(2) で (92 ± 4)%（Bali ほか 1996）を引きつつ「アーベル優勢はまだ単極子による閉じ込めの証明ではない」と書きます物理。

寄り道：Elitzur の定理

SU(N) の中心は全ての元と可換な $Z_N=\{e^{2\pi ik/N}I\}$ です。中心元 $z$ は表現ごとに $z^k$ として働き、この $k\ (\mathrm{mod}\ N)$ が N-ality です。基本表現は 1、随伴表現は 0 です既知。

出発点は、大きいループの弦張力が N-ality だけで決まり、随伴（グルーオン自身に遮蔽される）では 0 になる、という格子の観測です（Greensite の総説 §4.3）物理。中心渦は三次元で線、四次元で面で、絡んだループに中心元を一つ掛けます（SU(2) なら $-1$）。随伴のループは渦に気づきません。正確には、格子の上の最も細い渦は、ある領域を貫くリンクにまとめて中心元を掛けた配位で、変わるのは領域の縁に当たるプラケットだけです（内部では中心元が打ち消し合う）。この縁が渦で、縁と絡むループだけに中心元が掛かります。平面を面積 $\Sigma_{\min}$ の正方形に区切り、各正方形のループが拾う $Z(C_i)$ がほぼ独立なら、大きいループは積に分かれて面積則になります（同じ総説の式 (94)–(96)）。

閉じ込めは、渦の面が体積を貫いて広がる（パーコレートする）かどうかの問題になります。数値では、Del Debbio–Faber–Greensite–Olejník（1997）が射影した渦が弦張力の大部分を運ぶこと（中心優勢）を、de Forcrand–D'Elia（1999）が渦を取り除くと閉じ込めが失われることを報告しました物理。定理では、Tomboulis–Yaffe（1985、SU(2)）が Wilson ループを渦の自由エネルギーの関数で上から押さえました既知。渦の自由エネルギーは、一方向の境界条件に中心元のねじれを入れた分配関数 $\mathcal{Z}_{\mathrm{tw}}$ と、入れない分配関数 $\mathcal{Z}$ の比の $-\ln$、つまり $F_v=-\ln(\mathcal{Z}_{\mathrm{tw}}/\mathcal{Z})$ で、ゲージ不変です。同じ系統のゲージ不変な量に 't Hooft ループ（ループに沿って中心の渦を差し込む演算子）があります。式 (4) も中心対称性から Wilson ループを押さえる定理です。Tomboulis（2007）は SU(2) について全結合での証明を主張し、Ito–Seiler が論証の欠けを指摘しています。

射影で定義する渦はゲージに依存します。条件つきの定理の仮定は、四次元の弱結合で渦が凝縮すること（ゲージ不変には渦の自由エネルギーの減衰）の一点に集まり、これは証明されていません。

平面を SU(2) の渦が貫く点をばらまき、ループ内の点の数を $n$ として $W=(-1)^n$ とします。点は二種類です。(a) 密度 $\rho_f$ の独立な点（広がった渦の断面）。(b) 距離 $d$ の二点の対、点の密度 $\rho_p$（平面を二回貫く小さな渦）。対が符号を変えるのは縁をまたぐときだけです。$I\times J$ の長方形で次が厳密に成り立ちます（平行移動した二つの長方形の対称差の面積を向きで平均する）計算。

第一項は、独立な点の数 $n$ が平均 $\mu=\rho_f IJ$ の Poisson 分布に従い $\mathbb{E}[(-1)^n]=\sum_n e^{-\mu}\mu^n(-1)^n/n!=e^{-2\mu}$ となることから出ます（1-08）。第一項が面積則、第二項が周長則で、Creutz 比は $2\rho_f$ です。小さい渦がいくら多くても弦張力に寄与しません。

計算曲線は式 (11) をその場で計算し、左の点は乱数の一例です。式 (11) はこの端末で 100 万標本のモンテカルロ（MC）と突き合わせました（表 2）。

混合は $\rho_f=0.02$・$\rho_p=0.2$。MC の標準誤差は $-\ln W$ が大きいほど増え、$-\ln W\le3$ では 0.02 以下です。$R=6$ の混合は誤差 0.070 で、厳密式との差 0.11 は標準誤差の約 1.6 倍です。$e^{-6.4}\approx0.0017$ は $\pm1$ の平均の雑音 $10^{-3}$ と同程度で測れません。この困難は実際の格子計算と同じです（5-07）。SU(3) で貫通ごとに $e^{\pm2\pi i/3}$ を掛けると、弦張力は $k=1,2$ で $1.5\rho_f$、随伴で 0 です計算。

四つ目の絵は、ゲージを固定した伝播関数の形から閉じ込めを読みます。Landau ゲージの面 $\partial_\mu A_\mu=0$ は一つの軌道と複数回交わりうる（4-08）ので、Gribov（1978）は積分を Faddeev–Popov 作用素 $\mathcal{M}$ が正の領域 $\Omega$ に制限しました。境界が Gribov の地平です。

「$\mathcal{M}>0$」は、$\mathcal{M}$ の固有値（自己共役作用素のスペクトル、1-10）がすべて正という意味です。$A=0$ では $\mathcal{M}=-\partial^2$ で、定数を除けば正です。$A$ を大きくすると最小の固有値が下がり、0 に達したところが地平です。地平の上では、固有値 0 の向きへの無限小のゲージ変換がゲージの条件を保つので、限りなく近いコピーが現れます。

数学として確かなのは Dell'Antonio–Zwanziger（1991）の「どの軌道も地平の内側を通る」までです既知。$\Omega$ の中にもコピーは残り、コピーの無い領域を解析的に扱う方法は知られていません（内側のコピーは期待値に影響しない、と Zwanziger は主張しています物理）。

Zwanziger（1989）は、$\Omega$ への制限を局所的な作用として書きました。その木の近似（ループの寄与を入れない最低次、4-03）の伝播関数が下の左、凝縮を加えた版（RGZ、Dudal ほか 2008）が右です物理。

$\lambda^4=2g^2N\gamma^4$ で、$\gamma$ は地平の条件で決まります。ここでの $\lambda$ は質量の尺度で、§03 の侵入長 $\lambda_L$ とも、大 $N$ の $\lambda=g^2N$ とも別です。$M^2$ と $m^2$ は RGZ で加わる質量の母数です。GZ の形は $p=0$ で 0、極は $p^2=\pm i\lambda^2$ と複素で、質量 $m_0$ の自由な粒子の $1/(p^2+m_0^2)$ とまるで違います。

グルーオンが物理的な粒子なら、伝播関数は正の密度 $\rho$ の重ね合わせ（Källén–Lehmann 表示）で書け、時間方向の相関 $C(t)$ は負になりえません（Dudal ほか 2008 の式 (159)(160)、4-10）。$\omega$ は重ね合わせる質量です。

$m=0$ では、複素関数の積分（留数）で計算すると閉じた形が出ます（数値積分でも確かめられます。図 3 の下）。$M^2\lt 2\lambda^2$ で $\cos\varphi=M^2/(2\lambda^2)$ とおくと計算

で、$t_*=(\pi-3\varphi/2)/(\lambda\sin\frac{\varphi}{2})$ で最初に負になります。GZ では $t_*=\pi/(2\sqrt2\,\lambda)\approx1.111/\lambda$。$M^2\gt2\lambda^2$ では $D=A/(p^2+r_1)+B/(p^2+r_2)$（$0\lt r_1\lt r_2$）と実の極に分かれ、$B$ が負（$\rho$ は正でない）なのに $C(t)\ge e^{-\sqrt{r_2}\,t}C(0)\gt0$ で負になりません。この判定は一方向にしか働きません。

計算曲線は式 (13)(15) と実根の部分分数をその場で計算したものです。閉じた式はこの端末で数値積分と突き合わせ、差は $2\times10^{-11}$ 以下でした。

格子は当初の予言 $D(0)=0$ と合いませんでした。Cucchieri–Mendes（SU(2)、$128^4$、約 $(27\ \mathrm{fm})^4$。1 fm = $10^{-15}$ m）は要旨で、運動量 0 で「有限で非零の値を示すように見える」と報告し、Bogolubsky ほか（SU(3)）も同じ向きです物理。RGZ はこれを再現するように作られています物理。BRST 対称性（ゲージを固定した後にも残る対称性、4-08）は GZ では柔らかく破れます。柔らかな破れとは、破れの項の次元が低く、短距離では効かないことです。この破れは RGZ の代償ではなく、GZ の地平の項そのものの性質です物理。

主役の変数はどれもゲージを選んで初めて見え、ゲージ不変な核は渦の自由エネルギーとその周りの不等式だけです。どの絵も説明するのは $\sigma$ で、$\Delta$ は帰結として期待されているにすぎません（§02）。どの絵からも「尺度は一つ」は出ません。切れ目の整理は 9-02、発散以外の障害は 6-11。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：7-03 弦の絵 — 押し込められた管を一本の弦として扱い、その揺らぎを見ます。

← 7-01 物理はどう見ているか目次7-03 弦の絵 →