2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 5 部 格子ゲージ理論連続極限

弱結合と連続極限 — β を上げると格子は細かくなり、その速さは漸近自由が決める

格子の理論には長さの単位がなく、出るのは「格子何個分」という数です。たとえば二つのプラケットの相関が $e^{-|x|/\xi_{\mathrm{lat}}}$ で減るときの相関長 $\xi_{\mathrm{lat}}(\beta)$ です（4-11）。物理の単位の質量は格子間隔で割って得ます。

$\beta=2N/g_0^2$（5-01）の格子で $\Delta$ を止めて $a\to0$ とするには $\xi_{\mathrm{lat}}\to\infty$、つまり臨界点に近づく必要があります。Chatterjee（2018）§5 は物理の用法を “the model has a continuum limit if there is a critical point βc ∈ [0,∞] such that as β → βc, the correlation length tends to infinity” とまとめ、四次元の非可換な模型では “It is believed … βc = ∞” と書きます 既知。$\beta=\infty$ は $g_0\to0$ で、漸近自由（4-06）と同じ向きです。

極限は二つで、先に $\beta$ を止めて箱を無限にし（5-04）、その後で $\beta\to\infty$ とします。

$a$ が何 fm かは、質量次元 $k$ の量 $Q$ の格子での値 $\widehat Q=a^kQ$ と物理の値を突き合わせて後から決めます。

基準には弦張力 $\sigma$（Creutz 1980 は “hold fixed the string tension” として $a$ を決めた）、力から定める長さ $r_0$、勾配流の $t_0$（Lüscher 2010）が使われます 既知。$r_0$ は、静的な電荷の対に働く力 $F(r)$ から $r_0^2F(r_0)=1.65$ で決める長さです（Sommer 1994。4-06 §07）。$t_0$ は、場を拡散方程式で滑らかにする操作（勾配流）で決める長さです（8-04 §08 では同じものを Wilson 流と呼びます）。

例：純 SU(3) の $r_0/a$ は $\beta=5.7$ で 2.922、6.4 で 9.74 です（Necco–Sommer 2002 の表 1。$\beta\le6.4$ は先行の計算の値の再掲）。$r_0\approx0.5$ fm（QCD での目安の値。Necco–Sommer の序）と置くと $a\approx0.171$ fm と $0.051$ fm です（1 fm＝$10^{-15}$ m）計算。$r_0$ の物理の値は格子の外から来る入力です。

基準を変えると有限の $\beta$ で $a(\beta)$ は少し違い、二つの $a$ の比は格子で測った比 $\widehat Q_1/\widehat Q_2$ で決まります。この比が落ち着くことが §04 のスケーリングです。数学の定式化（§08）でも目盛りの選び方が問題になり、どちらの流儀の $\varepsilon(\beta)$ も存在は未証明です（5-09）。

格子を細かくしても同じ物理を保つには裸の結合 $g_0$ を弱めます。その速さは方式に依らない $b_0,b_1$ で始まります（4-06 §05）既知。$\mu=1/a$ と読み $\beta=2N/g_0^2$ に書き直すと

で、下の式は上を積分した 4-06 の式 (8) です。積分定数 $\Lambda_{\mathrm L}$（4-07）は出ませんが、比 $a(\beta)/a(\beta')$ は出ます。一ループでは $a\propto e^{-\beta/(4Nb_0)}$ で、$a$ を半分にする上げ幅は $\Delta\beta=4Nb_0\ln2$：SU(2) で $4Nb_0=11/(3\pi^2)$ から 0.2575、SU(3) で 0.5794 です 計算。

計算この図の数値はこの端末で計算した（式 (3) をその場で計算。表 1 と 4 桁で一致。JavaScript が無効なら表 1）。

格子の数値が (3) に従うことを漸近スケーリングと呼びます。Creutz（1980）は SU(2) で “a logarithmic decrease of the bare coupling constant in a manner consistent with the perturbative renormalization-group prediction” を見ました 既知。純 SU(3) のデータの上げ幅は $\beta=5.70$ で 0.354、6.20 で 0.524 で、二ループの 0.61 に届きません（4-06 の表 4）物理。Lepage–Mackenzie（1993）の要旨は、物理量で定義した結合で展開すると摂動論と数値がよく合うと述べます。裸の結合の代わりにその結合を使えば、$\beta=5.7$ 程度から既にスケーリングは摂動論に従う、とも要旨は述べます。裸の結合で見たずれは、結合の選び方に由来する部分が大きいということです。

寄り道：連続極限の値段

連続極限に要るのは、物理の量どうしの比が $\beta$ に依らなくなることです。

が誤差の内で一定になることをスケーリング、その $\beta$ の範囲をスケーリングの窓と呼びます。例：Necco–Sommer（2002）は力で定めた二つの長さの比 $r_c/r_0$ で “No dependence on the resolution is seen within the errors of below 1%” と書き、外挿で 0.5133(24) を得ています 既知。$m/\sqrt\sigma$ は 5-08 で見ます。

スケーリングは比が止まることで、連続極限に必要です。漸近スケーリングは $a(\beta)$ 自体が (3) に従うことで、格子を摂動論の Λ に結ぶ追加の主張です 物理。二つの量が (3) から同じだけずれていれば、ずれは比の中で消えます。格子で求めた $m/\sqrt\sigma$ のような結果はスケーリングに依ります（8-04 §05）。

(4) の補正が $a^2$ から始まる理由を、厳密に解ける自由場で見ます。左右対称な差分 $f(x+a)-2f(x)+f(x-a)$ では $a$ の奇数乗が打ち消し合います。質量 $m$ の自由なスカラー場では、転送行列（5-03）から格子で見える質量 $E$ が決まります 既知。具体的には、格子の伝播関数 $1/(\hat p^2+m^2)$（$\hat p^2$ は下の式 (6)）の極を、空間運動量 0・虚の運動量 $p=iE$ で探すと $\tfrac4{a^2}\sinh^2\tfrac{aE}2=m^2$ になり、これを書き直したのが次の上の式です。

二列目は $-1/24=-0.04167$ に近づきます。空間方向でも同じで、波数 $p$ の波に格子のラプラシアンを掛けると $p^2$ の代わりに $\hat p^2$ が出ます。二つ先の点まで使う差分を重み $\tfrac43,\,-\tfrac13$ で組むと $a^2$ の項が消えます。これが改良の最も簡単な例です。

計算この図の数値はこの端末で計算した（(6) をその場で計算）。JavaScript が無効なら：$\hat p^2/p^2-1$ は $n=4,8,16,32$ で標準 −0.189・−0.0504・−0.0128・−0.00321、改良 −0.0543・−0.00400・−0.000261・−0.0000165。$n$ を倍にすると標準は約 1/4、改良は約 1/16 になります。

Symanzik（1983）は小さい $a$ の格子の理論を「連続の理論に $a$ の冪つきの項を足したもの」と読み、要旨で “Corrections to continuum theory results stemming from finite lattice spacing can be diminished systematically by use of lattice actions that also include suitable irrelevant terms” と述べます 既知。純粋なゲージ理論では次の形と考えられています 物理。

第一項は 5-01 と同じ規格（共変微分に $g_0$ を入れる）です。$\mathcal O_i$ は質量次元 6 のゲージ不変な項です（$\mathrm{tr}F^2$ の次元は 4 なので $a^2$ が掛かる。4-04）。Lüscher–Weisz（1985）の要旨によれば、スペクトルの量（安定な粒子の質量や静的ポテンシャルなど）だけを改良するなら三つの係数の一つは自由に選べます 既知。なぜ $a^1$ が無いか：次元 5 の項は場の強さ二つと微分一つで添字が 5 個です。格子は各軸の反転で不変なので、各方向の添字は偶数回ずつ現れねばならず、奇数個の添字は置けません 物理。これは作用とスペクトルの量（質量）についての議論です。静的電荷の間の力のように演算子を含む量では、補正が $a^2$ から始まることを別に示す必要があり、Necco–Sommer（2002）§4 がその議論を与えています。

長方形を足す

プラケットに $1\times2$ の長方形を重み $c_0,c_1$（$c_0+8c_1=1$）で足します。長方形は面ごとに二つの向きがあり、面積が 2 倍で主項に 4 倍効くので 8 です。最低次（古典）の係数は Lüscher–Weisz（1985）が与えたとされ、長方形だけを足す作用では $c_1=-\tfrac1{12}$（$c_0=\tfrac53$）になります 既知。この数値は表 3 で再現します。二次元トーラスの滑らかな U(1) 場（六つの波数の和。磁束は原始関数で厳密に計算）で確かめます。

$a$ を半分にしたときの誤差の比は Wilson で 3.95→3.99（→4）、改良で 15.2→15.8（→16）。Wilson の係数は予想値 $-\tfrac1{12}\int|\nabla F|^2/\int F^2=-5.522$ に近づきます。$L=16$ で $c_1=0,\,-\tfrac1{24},\,-\tfrac1{12},\,-\tfrac18$ とすると $a^2$ で割った誤差は $-5.43,\,-2.85,\,-0.27,\,+2.31$ と直線的に動きます 計算。四次元の非可換な場は 5-01 の表 3。

量子論での係数と対数補正

量子論では $c_i$ が $g_0$ に依ります（一ループは Lüscher–Weisz 1985）。漸近自由のため誤差の主項は $a^2[\bar g^2(a^{-1})]^{\hat\gamma_1}$ の形の対数補正を伴い、Husung–Marquard–Sommer（2020）はヤン–ミルズで “the log-corrections are a rather weak modification” と結論しています 物理。ここで $\bar g^2(a^{-1})$ は尺度 $1/a$ での走る結合（4-06）で、$1/\ln(1/(a\Lambda))$ のように 0 に近づきます。$\hat\gamma_1$ は補正項ごとに決まる指数（異常次元に当たる数）です。したがって誤差は $a^2$ に $\ln(1/a)$ の冪が掛かった形になります。

寄り道：改良の代償

計算機で $a=0$ には行けないので、いくつかの $\beta$ で比 $R$ を測り、横軸 $a^2$ で直線を引いて切片を取ります。

表 2 の三列目がこの二点外挿の誤差で、誤差は $a^4$ に下がります。傾き $c$ は作用ごとに違っても、切片 $R_0$ は共通のはずです（普遍性。§08）。表 3 の Wilson でも $L=16,32$ から作ると相対誤差は 0.54 % から 0.009 % になります 計算。実際の数値では、Necco–Sommer（2002）が力を $(1+s(a/r_c)^2)$ の形で当てはめ、傾き $s$ は有意でないと報告しています 既知。

落とし穴は、粗すぎる点（表 3 の $L=4$ は $/a^2$ が 2 割ずれる）・§06 の対数補正・小さすぎる箱です。どれも $R(a)$ が (8) の形だという前提の上の手続きで、前提は定理ではありません 物理。

Chatterjee（2018）§3 は “the general belief in the physics community is that β should scale like log(1/ε) in dimension four, although there are doubts about this belief and the question remains an open mathematical problem” と書きます 既知。式 (3) の上の式を積分すると $\beta\approx4Nb_0\log(1/a)$ になり、これがこの $\log(1/\varepsilon)$ です。同 §5 の Problem 5.2 は、無限体積の理論で $\beta\to\infty$ のとき、列 $\varepsilon(\beta)\to0$、$c(\beta)\to\infty$ と 0 でない $d$ が在って、縦 $R$・横 $T$ の長方形の輪について

となることを問います。$d$ が連続の弦張力で、周の項については “it is not clear to me whether the renormalization term c(R+T) is indeed necessary” とあります 既知。

二次元では Wilson・Villain・Manton の格子作用が同じヤン–ミルズ測度に行くこと（Chevyrev–Shen、トーラスの自明な束。6-02）が示されています 既知。四次元の U(1) は様子が違い（弱結合側に質量の無い光子の相があり、臨界点が有限の $\beta$ にある。5-06）、非可換な場合の繰り込みの段は 6-07 で扱います。四次元の非可換な場合、格子の相関関数の収束も、作用に依らないことも、(4) の比の極限も定理ではありません。この章の表と図は極限を仮定したときの手続きで、存在の証拠ではありません。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：5-06 U(1) と非可換の違い。

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