2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 1 部 数学の準備多様体と接空間

多様体と接空間 — 地図を貼り合わせ、座標に依らずに微分する

ヤン–ミルズ理論には平らでない空間が出てきます。ゲージ群 SU(2) は空間としては球面 $S^3$ です（1-02 §05）。問題文の舞台は $\mathbb{R}^4$ ですが、出題者の説明は四次元トーラス $T^4$ による近似や一般の四次元多様体にも触れています 既知。

こうした空間は一組の座標で覆えないことがあります。比喩で言えば、世界地図はどう描いても極か日付変更線で破れます。正確には、球面 $S^2$ と $\mathbb{R}^2$ の開集合の間に、一対一で両方向に連続な対応はありません 既知。球面は有界閉集合で、その連続像も有界閉集合ですが、$\mathbb{R}^2$ の空でない開集合はそうでないからです。

そこで何枚かの地図を滑らかに貼り合わせ、地図の選び方に依らない量だけを幾何の量と呼びます。ゲージに依らない量だけが観測にかかる（2-03 §03）のと同じ構えです。

集合 $M$ の部分集合 $U$ と、$U$ を $\mathbb{R}^n$ の開集合へ一対一に写す $\varphi$ の組 $(U,\varphi)$ を地図（座標近傍）と呼び、$\varphi(q)=(x^1,\dots,x^n)$ を $q$ の座標とします。$M$ を覆う地図の集まりで、次の二つを満たすものを地図帳と呼びます 既知。どの二枚 $(U_\alpha,\varphi_\alpha)$・$(U_\beta,\varphi_\beta)$ についても、重なりの像 $\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)$ と $\varphi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)$ が $\mathbb{R}^n$ の開集合であること（開集合の上でないと微分が定義できないため）。そして、重なりでの読み替え（貼り合わせ写像）が $C^\infty$ であること。

例：円 $S^1$。角 $\theta$ は一枚の地図になりません（$0\le\theta\lt 2\pi$ では像が開集合でなく、$0\lt\theta\lt 2\pi$ では一点が抜ける）。そこで立体射影を使います。北極 $N=(0,1)$ と点 $p=(\cos\theta,\sin\theta)$ を結ぶ直線が横軸と交わる位置を $u_N$、南極 $S=(0,-1)$ から同様にした位置を $u_S$ とします。

$u_N$ は $N$ 以外を、$u_S$ は $S$ 以外を覆い、重なりでの $u_S=1/u_N$ は滑らかなので (1) を満たします。

球面 $S^2$ も、両極から赤道面への射影 $u=(x_1,x_2)/(1-x_3)$・$u'=(x_1,x_2)/(1+x_3)$ で覆え、貼り合わせは $u'=u/|u|^2$ です 既知（無作為な点 約 2000 個で差 2×10⁻¹³ 以下 計算）。

定義　$n$ 次元の（滑らかな）多様体とは、集合 $M$ と、$M$ を覆う地図帳の組です。加えても (1) が崩れない地図はすべて加えておきます（極大な地図帳） 既知。教科書はさらに位相の条件（ハウスドルフ性など）を課しますが、この本の例では自動的に満たされます。

例：$\mathbb{R}^n$ の開集合（$\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^{n^2}$ など） 既知、球面 $S^n$、積（トーラス $T^2=S^1\times S^1$、$T^4$）、行列の群（§04）。非例：8 の字の交点。交点の小さな近傍から交点を抜くと四つに分かれ、一点を抜くと二つに分かれる区間と同じ形になりえません。二重の円錐 $x^2+y^2=z^2$ の頂点も同様です。

この定義は外の空間を使いません。地図帳として違うだけのもの（例えば $\mathbb{R}$ を地図 $x\mapsto x^3$ から作る地図帳）は、微分同相（§05）で通常のものに移るので同じ構造とみなします。そう数えても、同じ空間に本当に別の滑らかな構造が載ることがあります。$\mathbb{R}^4$ と同相（両方向に連続な一対一の対応がある）だが微分同相でない滑らかな構造をエキゾチック $\mathbb{R}^4$ と呼び、それが無数に（連続体濃度、つまり実数と同じ個数だけ）あることは Taubes が最初に示したとされます 既知（1-12 §07、3-06、四次元の記事）。

多くの多様体は方程式の解として現れます。滑らかな $F:\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}^m$ と値 $c$ について、次が成り立ちます（正則値定理） 既知。

中身は陰関数定理で、$m$ 個の座標を残りの $N-m$ 個の関数として解き、その $N-m$ 個を地図にします。例えば $F(A)=A^{\mathsf T}A$ は $\mathbb{R}^9$ を対称行列（成分 6 個）へ写し、$F^{-1}(I)=\mathrm{O}(3)$ は $9-6=3$ 次元です。$\det$ は連続で $\pm1$ しかとらないので、$\mathrm{O}(3)$ は $\det A=1$ の部分（回転の群 $\mathrm{SO}(3)$）と $\det A=-1$ の部分に分かれ、どちらも 3 次元です。回転が軸の向き 2 個と角 1 個で決まること（1-02 §04）と合います。

表 1　計算無作為な点 200 個で $dF$ の階数を数え、群は単位元での核（§06 の接空間）も求めました。階数は、$dF\,dF^{\mathsf T}$ の固有値の平方根（特異値）のうち、10⁻⁶ の相対しきい値で 0 とみなせないものの個数です。直交群の点は $\det=1$ の部分からとりました。

SL(2, ℝ)・SL(3, ℝ)（核はトレース 0）・O(4)（$\det=1$ の部分が SO(4)）・U(3) でも次元は 3・8・6・9 と出ました。円錐は頂点で階数が落ちます。閉じた行列の群はいつも多様体（リー群）で 既知、1-03 §02 の議論はここで裏付けられます。

関数 $f:M\to\mathbb{R}$ は、どの地図でも $f\circ\varphi^{-1}$ が $C^\infty$ のとき滑らかと呼びます。重なりでは (4) なので、一方の地図で滑らかなら他方でも滑らかです（貼り合わせに滑らかさを求めた理由）。写像 $F:M\to N$ も同様で、逆も滑らかな全単射を微分同相と呼びます。

例：円の上の高さ。$S^1$ の点 $p=(\cos\theta,\sin\theta)$ に高さ $f(p)=\sin\theta$ を対応させます。(2) から $u_N^2=\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}$、$u_S^2=\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}$ なので、これを $\sin\theta$ について解くと、§02 の二枚の地図で読んだ $f$ は

です。分母はどちらも 1 以上なので、どちらの式も $C^\infty$ で、$f$ は滑らかです。重なりで $u_S=1/u_N$ を代入すると一方の式が他方に移り、(4) の実例になっています 計算。

偏微分の値は地図ごとに違います。点 $\theta=0$（$u_N=u_S=1$）では $df/du_N=1$、$df/du_S=-1$ で、二枚の地図は目盛りの向きが逆です。それでも、曲線 $\gamma$ に沿った変化率 $\frac{d}{dt}f(\gamma(t))|_{t=0}$ は座標を使わずに書けています。$\gamma(t)=(\cos t,\sin t)$ なら、座標の速さ $v_N=du_N/dt$・$v_S=du_S/dt$ は $t=0$ で $1$ と $-1$（図 1 の表の量）。連鎖律で、地図 N では $1\times1$、地図 S では $(-1)\times(-1)$ となり、どちらも $1=\cos 0$ です 計算。座標に依らない微分の種はこれです。

曲がった空間では点から点へ伸びる矢印がはみ出すので、矢印を一点に付いた向きとして定義し直します。三つの見方が同じものを与えます 既知。(a) 曲線の速度：地図で読んだ速度が等しい曲線を同じとみなす（(1) により地図に依らない）。(b) 方向微分：$v(f)=\frac{d}{dt}f(\gamma(t))|_{t=0}$。線形で積の法則を満たす。(c) 成分：地図 $x$ で連鎖律を使うと

で、$v=\sum_iv^i\,\partial_i$ と書けます。この向きの全体が $p$ での接空間 $T_pM$（$n$ 次元のベクトル空間）で、$\partial_1,\dots,\partial_n$ を座標基底と呼びます。

方程式で切り出した場合。$M=F^{-1}(c)$ の中の曲線では $F(\gamma(t))=c$ なので $dF_p(\gamma'(0))=0$、次元を数えると $T_pM=\ker dF_p$ です 既知。SO(3) の単位元では $A^{\mathsf T}A=I$ を微分して $X^{\mathsf T}+X=0$：接空間は反対称行列の全体で、1-03 §02 のリー環と一致します 既知（表 1 の右の列） 計算。

接ベクトル $v$ は地図の前に決まっていて、成分 $v^i$ は地図に落とした影です。別の地図 $x'$ での成分は連鎖律で得られます 既知。

成分は Jacobi 行列で、基底はその逆で変わり、$\sum_iv^i\partial_i$ は不変です。例：$(x,y)=(1,1)$（$r=\sqrt2$、$\theta=\pi/4$）で $\partial_x=\tfrac{1}{\sqrt2}\,\partial_r-\tfrac12\,\partial_\theta$。図 1 の円では $v_N=1/(1-\sin\theta)$、$v_S=-1/(1+\sin\theta)$ で、(6) は $v_S=-v_N/u_N^2$。図 1 の表の右二列の一致がその確認です 計算（北極の近くで $v_N$ が大きいのは地図 N の目盛りが伸びるため）。

写像の微分。滑らかな $F:M\to N$ は、曲線を運ぶことで接ベクトルを運びます。

$dF_p:T_pM\to T_{F(p)}N$ は線形で、地図で読めば Jacobi 行列です。(6) は恒等写像を二枚の地図で読んだ場合です（線形な例がローレンツ変換、2-04）。$df$ を「ベクトルを食べて数を返すもの」として扱うのは 1-06 です。

各点に接ベクトルを滑らかに割り当てたもの $X=\sum_iX^i(x)\,\partial_i$ をベクトル場と呼びます。矢印に沿う曲線（積分曲線）は常微分方程式の解で、局所的にただ一つです 既知。$p$ を時間 $t$ 進めた点を $\varphi_t(p)$ と書き、流れと呼びます。

線形な場 $X(x)=Ax$ の流れは $\varphi_t(x)=e^{tA}x$、つまり 1-01 の行列の指数関数です。平面の例：回転 $R=-y\,\partial_x+x\,\partial_y$ は角 $t$ の回転、伸縮 $E=x\,\partial_x+y\,\partial_y$ は $e^t$ 倍、$x\,\partial_y$ は $(x,y)\mapsto(x,y+tx)$。

寄り道：毛玉の定理

二つの場を関数に続けて作用させると二階微分が出ますが、順序を入れ替えて引くと二階の項は消え（偏微分は順序を交換できる）、新しいベクトル場が残ります。これが括弧積です 既知。

座標基底どうしは $[\partial_i,\partial_j]=0$。逆に、基底をなす $n$ 本の場がどの二本も可換なら、局所的にそれらを座標基底とする地図がとれます（可換な枠についての定理で、Frobenius の定理の一形） 既知。

幾何の意味。$X$ の流れで $t$、$Y$ で $t$、$X$ で $-t$、$Y$ で $-t$ と進むと道は閉じず、ずれは $t^2$ の大きさで $[X,Y]$ の向きに出ます 既知。例えば $X=\partial_x$、$Y=x\,\partial_y$ なら $(x,y)\to(x+t,y)\to(x+t,y+tx+t^2)\to(x,y+tx+t^2)\to(x,y+t^2)$ で、ずれはちょうど $t^2\partial_y=t^2[X,Y]$ です。

A は座標基底で閉じます。C も可換です：$R=\partial_\theta$、$E=\partial/\partial(\log r)$ は地図 $(\log r,\theta)$ の座標基底です。D は 1-03 §04 の縦列駐車と同じ群 SE(2) を点の動きとして見たもので、ずれは厳密に $(t(1-\cos t),\,t\sin t)$。E は線形な場 $X_A(x)=Ax$ の例で、(9) から $[X_A,X_B]=X_{BA-AB}$：行列の交換子と符号が逆です。

「小さな四辺形が閉じない量」は、群の掛け算（1-03 §04）、流れ（この節）、曲率（1-07：小さな輪に沿った平行移動の食い違い）と三度現れます 既知。

• 時空：$\mathbb{R}^4$ は一枚の地図で覆えます。出題者の説明は、電磁気のゲージ場（群 $\mathrm{U}(1)$ の接続）を「局所的には時空の上の 1 形式」と書き、非可換の場合もこれを群 $G$ に置き換えて扱います（Jaffe–Witten §1） 既知。1 形式と接続の意味は 1-06・1-07 で与えます。
• 四次元球面：ユークリッドの $\mathbb{R}^4$（時間の座標も空間と同じ符号で距離に入れたもの。2-04・4-02）の上で、作用 $\int|F|^2$（$F$ は場の強さ、3-02）が有限なヤン–ミルズ方程式（3-03）の解は、ゲージを取り直すと、無限遠点を足した $S^4$ の上に滑らかに延びるとされます（Uhlenbeck 1982、3-05） 既知。
• ゲージ群と格子：単位元での接空間がリー環（1-04）。格子の配置の空間は群の有限個の積で、コンパクトな多様体です（ここでは、行列の成分を並べた空間の中で有界かつ閉じている、の意味。5-01）。
• ゲージ軌道の空間：無限次元で、連続なゲージ固定を大域的に選べないことが論じられています（Singer 1978、3-04） 既知。

地図とゲージの選択、貼り合わせ写像と遷移関数、球面の地図とゲージ固定の障害はよく似ています。ただし比喩です。正確には、ゲージの側は各点に群を載せる構造（主束。1-07 で定義）とその上の接続の話で、この章はその土台です。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：1-06 微分形式と外微分 — 接ベクトルを食べて数を返すもの（1 形式）と Stokes の定理へ。

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