2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 7 部 物理の側からひも理論と余剰次元

ひも理論と余剰次元 — 26・10・11 は整合性の条件から出る数

7-03 は閉じ込めの管を一本の弦とみなし、7-04 §05 では $1/N$ が弦の結合の役をしました。弦の理論も中間子の模型（双対共鳴模型）から始まったとされます。出発点としてよく挙げられるのは Veneziano（1968）の散乱振幅で、たとえば Neveu–Schwarz（1971）の要旨は 'A new dual-resonance model of mesons is constructed …' と書き出します 既知。中間子ではスピン $J$ と質量の二乗が直線に並びます（Regge 軌跡）。張力 $T$、長さ $2R$ の弦が角速度 $1/R$ で回ると両端は光速で、エネルギーと角運動量（2-04）を積分すると $E=\pi TR$、$J=\pi TR^2/2$、つまり

量子化した開いた弦では準位 $N$ の最大のスピンが $J_{\max}=\alpha'M^2+1$ です（Tong §3.1.3）。7-01 の $\sqrt\sigma=485$ MeV を $T$ に入れると $\alpha'=0.677\ \mathrm{GeV}^{-2}$、$\sqrt{\alpha'}\approx0.16$ fm です 計算。この章の基本の弦は管の有効理論ではなく、どんなに短い距離でも矛盾なく量子化できることを要求されます。すると時空の次元 $D$ が自由な入力でなくなります。この章では弦の文献に合わせて、時空の次元を $D$ と書きます。7-03 や付録の記号表の $d$ と同じもので、空間だけの次元ではありません。

弦は時空 $\mathbb{R}^{1,D-1}$ の中で面（世界面）を掃きます。光円錐ゲージでは、時間 $X^0$ と縦の一方向 $X^{D-1}$ を組み替えた光円錐の座標 $X^\pm=(X^0\pm X^{D-1})/\sqrt2$ を使い、$X^+$ を世界面の時間 $\tau$ に比例させます（$X^+=x^++\alpha'p^+\tau$。$x^+$・$p^+$ は弦の重心の位置と運動量の $+$ 成分。Tong (2.13)）。$X^-$ の振動は消えませんが、制約の式によって横の振動から決まります。独立に振動するのは $D-2$ 本の横の方向だけです（Goddard–Goldstone–Rebbi–Thorn 1973）既知。7-03 の横の変位 $h\in\mathbb{R}^{d-2}$ と同じ数え方です（$d=D$）。方向 $i$ の $n$ 番目の振動は調和振動子で（2-06）、生成演算子 $\alpha^i_{-n}$ を一つ掛けるごとに準位 $N$ が $n$ 増えます。開いた弦の質量は

で、$-a$ は零点エネルギー（全振動子の $\frac12 n$ の和）です。有限部分は 7-03 の $-1/12$（7-03 §04）なので

7-03 の Lüscher 項 $-\pi(D-2)/(24R)$ と Nambu–Goto の準位の $(D-2)/24$（7-03 §06）は、この同じ数です 既知。Tong はこの和の扱いを 'famously unconvincing' と認め、この章の §05 と同じ中心電荷の方法で導き直します（Tong §4.4.1）。閉じた弦は右向きの振動 $\alpha$ と左向きの振動 $\tilde\alpha$ を持ち、準位は $N=\tilde N$ です（Tong (2.26)）。

粒子の内部の状態は、運動量を変えない回転（小群）の表現になります（1-02。Wigner 1939）。質量 $M\gt0$ なら静止系に移れて小群は $SO(D-1)$、質量ゼロなら運動量 $(p,0,\dots,0,p)$ を保つ $SO(D-2)$ です（正確には $D-2$ 次元の回転と平行移動からなる群 $ISO(D-2)$ ですが、有限個の状態に効くのは回転の部分 $SO(D-2)$ です）。四次元の光子の偏りは 2 つ、重いスピン 1 の粒子は 3 つです 既知。開いた弦の準位 1 の $\alpha^i_{-1}|0\rangle$ は $D-2$ 状態の横のベクトルで、重いベクトルに要る $D-1$ 成分に一つ足りません。ローレンツ対称性を保つには質量ゼロでなければならず、

Tong は閉じた弦の第一励起（$(D-2)^2$ 状態）について同じ議論をし、'these states will have to be massless. And this is only the case if the dimension of spacetime is D = 26' と書きます 物理。

ローレンツ代数で確かめる

丁寧には、ローレンツ変換（回転とブースト）を生む保存量 $M^{\mu\nu}$ が、光円錐ゲージでもローレンツ代数の関係を満たすかを確かめます。$M^{\mu\nu}$ は弦の振動が持つ角運動量を含みます。要になるのは $[M^{i-},M^{j-}]=0$ で、$i,j$ は横の方向、$-$ は光円錐の方向 $X^-$ です（Tong §2.4）。$X^-$ の振動が横の振動で決まるので、この交換子は横の振動子で書けます。

比例係数 $2/(p^+)^2$ は省きました。これは閉じた弦の式で、$(\alpha\leftrightarrow\tilde\alpha)$ は左向きの振動の同じ形の項です。すべての $n$ で消えるのは $D=26$ かつ $a=1$ のときだけです 既知。原典は Goddard–Goldstone–Rebbi–Thorn（1973）で、その要旨も、角運動量の演算子がローレンツ群 $O(D-1,1)$ を生成するのは 'only when the first excited state is a photon, i.e., a spin-one massless state, and when D = 26' と述べています。閉じた弦の第一励起は $24^2=576=299+276+1$ 状態で 計算、Tong はこれを $SO(24)$ の対称トレースなし・反対称・トレースの場 $G_{\mu\nu},B_{\mu\nu},\Phi$ に当て、最初を質量ゼロのスピン 2、すなわち重力子と読みます 物理。

計算この図の数値はこの端末で計算した。JavaScript が無効なら (4) と表2 で読める。

$D=26$ の開いた弦の $N=0$ は $\alpha'M^2=-1$、質量の二乗が負のタキオンです（Tong §3.1.1）。質量の項の符号が逆の場（2-02）で、ポテンシャルの極大の周りで展開していることを意味します 物理。準位 $N$ の状態数 $d_N$ は、$N$ を「24 色の正の整数」の和に分ける仕方の数です。

準位 2 の 324 は $SO(25)$ の対称トレースなし 2 階の次元、準位 3 の 3200 は $2900+300$（対称トレースなし 3 階と反対称 2 階）です 計算。Tong によれば全ての励起が $SO(D-1)$ の表現に収まり、条件は準位 1 だけです。準位 2・3 の数が $SO(D-1)$ の表現の次元の和に合うことは、$D=4$〜$39$ で確かめました 計算。どちらも $D$ の三次以下の多項式なので、これで任意の $D$ で成り立つ恒等式になります。

計算この表の数値はこの端末で計算した。

寄り道：分割数と Hardy–Ramanujan

寄り道：状態の増え方と Hagedorn 温度

二つ目の導出は、世界面の上の $D$ 個の場 $X^\mu$ を二次元の自由なスカラー場（2-02）として見ます。尺度を変えても形の変わらない二次元の理論（共形場理論）は中心電荷 $c$ を持ち、自由なスカラー 1 本で $c=1$ です。正確には、共形場理論は角度を保つ写像（共形変換）で不変な理論で、尺度の変更はその一部です。二次元ではこの写像が無限に多く、それが理論を強く縛ります。$c$ は周 $L$ の円筒の上の基底エネルギーに現れます（左右の $c$ が等しい場合）。

（Blöte–Cardy–Nightingale 1986、Affleck 1986。Tong §4.4.1）既知。7-03 の閉じた管 の $-\pi(D-2)/(6L)$ は $c=D-2$ の場合で、端のある管の $-\pi c/(24R)$ について Tong は 'c counts the number of degrees of freedom of the QCD flux tube' と書きます。Lüscher の係数は管の中心電荷を測っています。

Polyakov の定式化では世界面の計量も積分する場で、座標の取り替えと計量の尺度の変更（Weyl 変換）がゲージ対称性です。ゲージを固定すると補助の場（ゴースト。4-08 の Faddeev–Popov と同じ仕組み）が入り、中心電荷 $-26$ を持ちます。ゲージ対称性に量子的な破れ（アノマリー）は許されないので、合計は 0 でなければなりません（Tong §5.3）物理。

光円錐の $D-2$ 本と $-1/12$、共変な形の $D$ 本とゴーストの $-26$ が、同じ 26 を選びます。正確には、(8) は計量の尺度（Weyl）をゲージ対称性として保つ限りの条件です。$D\ne26$ では尺度の自由度が消えずに残り、Liouville 場と呼ばれる新しい場として振る舞います（Tong §5.3.2 の非臨界弦）。Polyakov（1981）の要旨も 'At D = 26 the string dynamics is that of harmonic oscillators …, otherwise it is described by the nonlinear integrable theory' と、$D\ne26$ の側を別の理論として書いています。

ボゾン弦にはフェルミオン（電子やクォークの仲間）が無く、タキオンがあります。世界面に $X^\mu$ の相棒のフェルミオン $\psi^\mu$（1 本で $c=1/2$）を加え、両者を入れ替える世界面の超対称性をゲージ対称性にすると、ゴーストが中心電荷 $+11$ を足します。

Tong §5.3.1 では 'c = 26 − 11 = 15'、'D(1 + 1/2) = 15' です 物理。光円錐でも確かめます。フェルミオンの振動は境界条件により半整数 $r=\frac12,\frac32,\dots$（Neveu–Schwarz、NS）か整数（Ramond、R）の番号を取り、零点エネルギーは符号が逆の $-\frac12\sum r$ です。有限部分は表1 です。

計算この表の数値はこの端末で計算した（閉じた形と直接の和を突き合わせ）。

横一方向あたりの零点エネルギーは NS で $-\frac1{24}-\frac1{48}=-\frac1{16}$、R で $-\frac1{24}+\frac1{24}=0$ です 計算。NS の準位は $\alpha'M^2=N-\frac{D-2}{16}$（$N$ は半整数も取る）で、第一励起 $\psi^i_{-1/2}|0\rangle$ はまた $D-2$ 成分のベクトルです。質量ゼロの条件 $\frac12-\frac{D-2}{16}=0$ は $D=10$ で、(9) と一致します（図1 の「超弦」）。NS の基底 $\alpha'M^2=-\frac12$ のタキオンは、状態の一部を捨てる規則（Gliozzi–Scherk–Olive 1977 に帰される）で除かれるとされます 物理。

寄り道：26 − 10 = 16 とヘテロ弦

11 は弦の臨界次元ではありません。Cremmer–Julia–Scherk（1978）の要旨は 'We present the action and transformation laws of supergravity in 11 dimensions' です 既知。超重力は重力子とその超対称な相棒（グラビティーノ）を含む場の理論で、11 がその上限であることは Nahm（1978）の分類の帰結とされます。

骨組みはこうです 物理。超電荷は、ボソンとフェルミオンを入れ替える対称性（超対称性）の生成子で、$Q$ はその実成分の数です。超電荷が $Q$ 個あると、質量ゼロの多重項のヘリシティ（進む向きの周りの回転量）の幅は $Q/8$ で、スピン 2 以下（幅 4 以下）なら $Q\le32$。11 次元がこれに収まる最後の次元とされます。

11 次元の超重力の場は、重力子と 3-形式とグラビティーノです。3-形式は添字を三つ持つ反対称な場で、電磁ポテンシャル $A_\mu$（2-03）の添字を三つにしたものです。自由度を小群 $SO(9)$（$D=11$ の $SO(D-2)$）で数えると、重力子 $45-1=44$ と 3-形式 $\binom93=84$ のボソン 128 が、グラビティーノ $9\cdot16-16=128$ と釣り合います 計算。グラビティーノの勘定では、$SO(9)$ のスピノル（フェルミオンの内部の自由度を運ぶ量）が 16 成分であることを、数としてだけ使いました。

Witten（1995）は要旨で 'It is argued … that eleven-dimensional supergravity arises as a low energy limit of the ten-dimensional Type IIA superstring' と論じました。IIA 弦は 10 次元の閉じた超弦の一種で、右向きと左向きの振動が持つ超対称性の向き（カイラリティ）が逆のものです。IIA 弦の結合を $\lambda$ とすると、11 番目の円の半径は 11 次元の単位で

です（同論文 式 (2.13)）物理。弱結合では円が縮み、円を回る運動量 $n$ の状態は弦の計量で質量 $\sim|n|/\lambda$（式 (2.14)）と重くて見えません。比喩で言えば、弦の 10 次元は細い 11 次元の筒を遠くから見た姿です。正確には、低エネルギーの議論による予想で、強結合の IIA 弦に独立な定義はありません。Hořava–Witten（原稿 1995、掲載 1996）はヘテロ弦と 11 次元の結びつきを 'We propose' の形で提案しました。続く論文（1996）は、境界ごとにゲージ群が $E_8$ 一つずつに決まることを論じ、それが 'the hypothesis that there is a consistent quantum M-theory' を新たに試す材料になると書いて、M 理論の存在を仮説として扱っています。この 11 次元の理論（M 理論）に完全な定義はありません。

(8)(9) が要求しているのは次元ではなく中心電荷です。Tong は 'the "critical dimension" of string theory is something of a misnomer: it is really a "critical central charge"' と書きます 既知。四次元の平坦な時空なら、ボゾン弦では $X^0,\dots,X^3$ の $c=4$ に $c=22$ の任意の共形場理論を足せばよく、Tong は 'It is what we really mean when we talk about the "extra hidden dimensions of string theory"' と続けます。超弦では平坦な四次元が $c=6$ で、残りは $c=9$ です 計算。比喩で言えば、帳簿の総額だけが決まっていて品目は自由です。正確には、内部の理論は他の条件（世界面の超対称性など）も満たす必要があり、多様体として幾何に読めるのは特別な場合です。そのとき余剰次元がどう見えなくなるかは 7-06、ゲージ場が出る仕組みは 7-07 です。

計算この図の算術はこの端末で確かめた。JavaScript が無効なら $d_{\text{平坦}}+c_{\text{内部}}=26$（超弦は $\frac32d_{\text{平坦}}+c_{\text{内部}}=15$）で読める。

では 7-03 の四次元の管の弦は、26 次元でないので矛盾するのでしょうか。Polchinski–Strominger（1991）の要旨は、'QCD strings' などの四次元の弦の長い距離の有効理論が 'an interacting Poincaré-invariant conformal field theory with four bosons and c=26' だと述べ、両立を摂動の二次まで示しました 物理。自由なら $c=4$ の 4 本のボソンが、相互作用で $c=26$ を持つ形です。臨界次元が縛るのは基本の弦で、長い管の有効理論は四次元のまま整合します。ただし有効理論は短い距離で壊れ、厳密な導出もありません（7-03 §06）。

基本の弦の余剰次元がヤン–ミルズに戻るのはホログラフィー（7-08）を通してで、内訳は模型ごとに違います。Maldacena の $AdS_5\times S^5$（$AdS_5$ は負の定曲率の五次元時空で、四次元の方向と動径の方向を持つ。$S^5$ は五次元球面）は 10 ＝ 4 ＋ 動径 ＋ $S^5$、Witten 1998 §4 は 11 ＝ 4 ＋ 円 2 つ ＋ 動径 ＋ $S^4$（IIA に下ろすと円が一つ減って 10）、Gürsoy–Kiritsis の改良ホログラフィック QCD は 5 ＝ 4 ＋ 動径です。ギャップを作る次元も模型で違い、Witten の型では動径と潰れる円が作る二次元の葉巻、ボトムアップ型では動径一本と赤外の特異点です（7-09）物理。これらの余剰次元は双対な記述の道具で、実在の次元だとは主張されておらず、実験の下限（7-06）とは別の話です。

この章が言えている範囲

出典と再現

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