2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 5 部 格子ゲージ理論尺度の設定と連続極限

何を固定して極限を取るか — 格子の数に単位を与えるのは、こちらが決める目盛りである

純粋なヤン–ミルズの格子理論（5-01 §作用）には、径数が一つしかありません。作用に掛かる $\beta$ です。格子は整数の点 $\mathbb Z^4$ の上に置かれ、どこにも「メートル」や「MeV」は書かれていません。

ですから、格子の計算が返す数は、すべて格子の一目盛りを単位にした数です。質量なら $a m$（格子間隔 $a$ と質量 $m$ の積）、弦張力なら $a^2\sigma$、相関長なら $\xi=1/(am)$（格子間隔の何個分か）という形でしか出てきません。この本では、格子単位の質量を $m_{\rm lat}$、格子単位の相関長を $\xi$ と書きます。

左辺はどれも $\beta$ だけの関数で、次元を持ちません。右辺の $a$ と $m$ は、この段階ではまだ別々には決まっていません。格子の上で決まっているのは積だけです。

比喩で言えば、目盛りの間隔が書かれていない定規で物を測っているようなものです。「目盛り 4 個分」とは言えても、「何センチ」とは言えません。正確には、格子理論は $\beta$ を与えると $m_{\rm lat}$・$\sigma_{\rm lat}$ などの次元の無い関数の組を決め、$a$ はその組のどれか一つに物理の値を割り当てたときに初めて定義されます。

例。一次資料の格子計算（Lucini–Teper 2001、$SU(2)$）の数を表 1 に写します。$\beta=2.60$ の $a\sqrt\sigma=0.13395$ は「弦張力の平方根は格子間隔の逆数の 0.134 倍」、$m_{\rm lat}=0.514$ は「最も軽いスカラーのグルーボールの質量は 0.514 倍」という意味で（このグルーボールを $0^{++}$ と書きます。スピン 0・パリティ正・荷電共役正の状態で、記法は 5-08）、どちらも単位の無い数です 物理。

計算表 1　この章で使う数（$a\sqrt\sigma$・$m_{\rm lat}=a\,m(0^{++})$・格子の大きさは Lucini–Teper 表 1。六点の $m_{\rm lat}$ は 9-02 表 3（正本）と同じ。$\xi=1/m_{\rm lat}$ と、箱の一辺を $1/\sqrt\sigma$ 単位で測った $L\,a\sqrt\sigma$ はこの端末で計算）。

単位を付けるには、次元を持つ量を一つ選び、その値を約束で決めます。これを尺度の設定と呼びます。選んだ量を $Q$（質量の次元）、約束した値を $Q_*$ とすると、格子間隔が次のように定まります。

分子は格子の数、分母は約束の数です。ほかの量は $m=m_{\rm lat}(\beta)/a_Q(\beta)$ のように物理の単位に直せます。選び方はいくつもあります。

• 弦張力 $\sigma$：Creutz 1980 は 'hold fixed the string tension' として、弦張力を固定すると裸の結合が対数的に減ることを数値で見ています（要旨）物理。
• Sommer の尺度 $r_0$：静的な電荷の間の力 $F$ について $F(r_0)\,r_0^2=1.65$ で定める長さです（Sommer 1994）物理。
• 相関長そのもの：Chatterjee 2018 §5 は、相関長が有限の正の値に近づくように格子間隔 $\epsilon$ を 0 に送る、と説明します 既知。
• 漸近自由の $\Lambda$：二ループの式で $a\Lambda_{\rm L}$ を $\beta$ の関数として与え、$\Lambda_{\rm L}$ を固定します（5-05、4-06 §二ループ）。

二つの選び方 $Q$ と $Q'$ で作った格子間隔の比は、格子の数だけで書けます。

右辺の第一因子は次元の無い比 $Q/Q'$ の格子の値です。これが $\beta\to\infty$ で定数に落ち着けば、二つの目盛りは極限で定数倍しか違いません。落ち着くことは定理ではなく、数値で支持されている事柄です（§03）。

例。弦張力で決めた目盛りと、二ループの $\Lambda_{\rm L}$ で決めた目盛りを比べます。$SU(2)$ では $g^2=4/\beta$、$b_0=11N/(48\pi^2)$、$b_1=\tfrac{34}{3}\bigl(\tfrac{N}{16\pi^2}\bigr)^2$ として

です。表 1 の $a\sqrt\sigma$ を (4) で割ると、表 2 になります（(4) の高次の補正は入れていない）。

計算表 2　$SU(2)$ で二つの目盛りの比 $\sqrt\sigma/\Lambda_{\rm L}$。

$\beta=2.25$・$2.30$ は格子が粗く（$a\sqrt\sigma>0.3$）比が上下するので、比較は $2.40$ 以上で行います。$\beta=2.40$ から $2.60$ の間で、比は 57 から 48 へ 16% ほど動きます。この範囲の $\beta$ では「$\sigma$ を固定する」と「裸の結合の $\Lambda_{\rm L}$ を固定する」は同じ目盛りを与えていません。この区別（スケーリングと漸近スケーリング）は 8-04 §連続極限と a(β) と 5-05 で扱います 物理。

寄り道：MeV は借り物

二つの格子の数を割ると、格子間隔が約分されます。

この比は、どの目盛りを選んでも同じ値です。式 (2) の $Q_*$ がどこにも入らないからです。純粋なヤン–ミルズ理論には、繰り込んだあとに自由に選べる次元の無い径数が残りません（次元転移、4-07 §径数が一つ消える）。そのため、理論の予言として意味を持つのは (5) のような比の極限値だけです 物理。

有限の $\beta$ では、比にも格子の補正が残ります。Wilson 作用ではその主項が $a^2$ に比例すると考えられ、Lucini–Teper は次の形で外挿しています（同論文の式 (5)。係数 $c$ は本来 $g^2$ の冪級数ですが、定数として扱うと断っています）物理。

同論文の手順は、全部の点で当てはめ、当てはまりが悪ければ最も粗い点から一つずつ落とす、というものです。表 3・表 4 は表 1 の数から、この端末で当てはめをやり直したものです。

当てはめは、各点の誤差 $\delta_i$ から重みを $1/\delta_i^2$ とした最小二乗です。当てはまりの良し悪しは次の量で測ります。

ここで $y_i$ は各点の $m/\sqrt\sigma$ です。$\chi^2$ を自由度（点の数 − 2）で割った値が 1 前後なら、誤差の大きさと見合う当てはまりです。信頼度は、直線が正しいときにこれ以上大きな $\chi^2$ が偶然出る確率で、小さいほど当てはまりが悪いことを示します。

計算この図の数値はこの端末で計算した（点は表 3、直線は表 4 の当てはめ）。

計算表 3　各 $\beta$ の比（誤差は $m_{\rm lat}$ と $a\sqrt\sigma$ の誤差を独立として伝播）。右端は §04 で使う「誤読」の値（$m_{\rm lat}$ を 1.390 に止めたとき）。

計算表 4　式 (6) の重み付き当てはめ。

読み方。格子の比は 3.29 から 3.84 へ動きますが、$a^2\sigma$ の直線に乗せると切片は 3.84〜3.86 に揃います。6 点の切片の中心値は同論文の表 5 の 3.844 と一致します（誤差の付け方は同論文のほうが大きい）。比はおおむね増えて下から近づきますが、$\beta=2.475\to2.55$ で一度、誤差の内で下がります 物理。より新しい計算（Athenodorou–Teper 2021、5-08 §数値）では 3.781(23) です 物理。

ここで言えるのは「$a^2$ の補正を仮定すると、この範囲の数は一つの値に揃う」ことまでです。極限が在ることの証明ではありません。測り方（変分法・弦張力の取り出し）は 5-08 で扱います。

ここで、読み違えやすい点に来ます。格子の上の「質量ギャップ」を、「格子単位の隙間 $m_{\rm lat}(\beta)$ が、すべての $\beta$ で一定の正の数以上」と読みたくなります。有限の格子の隙間が正であることはほぼ自明で（4-11 §有限の箱と一様性）、それを $\beta$ に一様にすればよさそうに見えるからです。

しかし物理の単位の質量は、格子単位の質量を格子間隔で割ったものです。

連続極限では $a\to0$ ですから、格子単位の隙間が一様に正なら、物理の質量は無限大に行きます。相関は物理の距離で 0 の幅に縮み、離れた二点の相関は 0 になります。これは「質量が正」ではなく「何も伝わらない」極限です。

連続極限で質量が有限の正の値に残るには、反対に $m_{\rm lat}$ が $a$ と同じ速さで 0 に向かう必要があります。

比喩で言えば、定規の目盛りを細かくしていくとき、物の長さが一定なら、物は「目盛り何個分」かが増えていくはずです。いつも目盛り 2 個分なら、物は縮んでいます。正確には、(8) は格子単位の相関長 $\xi$ が発散し、物理の単位の相関長 $a\xi$ が一定に保たれることです（2-08 §連続極限 のガウス鎖で厳密に見た形）。

計算この図の数値はこの端末で計算した（$a\sqrt\sigma$ と $m_{\rm lat}$ は表 1。曲線は指数関数をその場で描いたもの）。

$\beta=2.25\to2.60$ で格子間隔は約 3.2 分の 1 になり、$m_{\rm lat}$ は約 2.7 分の 1 になります。二つがほぼ同じ速さで縮むので、比はほぼ一定です。表 3 の誤読の行は $1/a$ に比例して増え続けます。なお、この範囲の $\xi$ は 2 格子間隔に届いておらず、数値は極限そのものを見ているわけではありません 物理。

前節の向きを、数学の問いとしてはっきり書いたものがあります。Chatterjee の概説 "Yang–Mills for probabilists"（arXiv:1803.01950、2018）§5 の Problem 5.1（Mass gap）です 既知。要点を訳します。

任意のコンパクトな非可換 Lie 群 $G\subseteq U(N)$（$N\ge2$）と、四次元の格子ゲージ理論の任意の無限体積極限を考える。各 $x\in\mathbb R^4$ に最も近いプラケット $p_x$ を取り、$W_{p_0}$ と $W_{p_x}$ の相関を $f_\beta(x)$ とする。任意の $\beta>0$ について、ある $\xi(\beta)\in(0,\infty)$ があって

となることを示せ。さらに $\lim_{\beta\to\infty}\xi(\beta)=\infty$ を示せ。

Problem 5.1 の $\beta$ は 5-01 §作用 の $\beta'=\beta/N$ に当たりますが、$\beta\to\infty$ を問う限り違いはありません。

ここで相関は連結相関 $\langle W_{\gamma_1}W_{\gamma_2}\rangle-\langle W_{\gamma_1}\rangle\langle W_{\gamma_2}\rangle$ で、対数を取るのは指数の前に冪の補正がありうるからだと同節は書きます。続けて 'The number ξ represents the reciprocal of the mass of the lightest glueball in the theory.' とあります。

この問いは二つの部分から成ります。

1. 各 $\beta$ での有限性：$\xi(\beta)\lt\infty$、つまり格子単位で相関が指数関数的に減ること。これは格子単位で隙間が正であることに当たります（4-11 §相関長）。
2. $\beta\to\infty$ での発散：$\xi(\beta)\to\infty$。§04 の (8) の向きです。格子単位の隙間は 0 に向かわなければなりません。

前半だけなら「格子単位で一様に正」とは矛盾しません。矛盾するのは後半です。Problem 5.1 は、前半を各 $\beta$ ごとに求め、後半で一様性を明確に否定しています。

この問いが求めていないこと

この問いが求めていないことも書いておきます。発散の速さは求めていません。漸近自由が予言するのは $\xi\propto e^{\beta/(4Nb_0)}$ のような形です（$\beta$ は 5-01 の Wilson の規格化。5-05 の一ループの式 $a\propto e^{-\beta/(4Nb_0)}$ の逆数で、Chatterjee の $\beta'$ で書けば $e^{N\beta'/(4Nb_0)}=e^{\beta'/(4b_0)}$）。比 $m/\sqrt\sigma$ も文面に出てきません。極限の理論が在ることや、それが Osterwalder–Schrader の公理（4-10）を満たすことも別の問いです。Problem 5.1 が示されても、Clay の問題文（0-03 §質量ギャップ）の質量ギャップがそのまま出るわけではありません。

例。表 1 の $\xi$ は $\beta$ とともに 0.72 から 1.95 へ伸びています。これは後半の向きと合う数値ですが、有限個の $\beta$ で $\xi$ が伸びることは、極限での発散の証明にはなりません 物理。

同じ §5 の Problem 5.2（Continuum limit）は、目盛りの決め方をもう一つ与えています 既知。長方形の Wilson ループ $W_{R,T}$（5-01 §プラケットと Wilson ループ）について、$\beta\to\infty$ で $\epsilon(\beta)\to0$、$c(\beta)\to\infty$ となる列と、0 でない定数 $d$ があって、任意の $R,T$ で

となることを示せ、という問いです。$o(1)$ は $\beta\to\infty$ で 0 に行く項です。$RT$ は縮めたループの面積で、$d$ が連続理論の弦張力に当たる、と同節は書きます。$R+T$ は縮めたループの周長に比例する量です（周長の半分。係数 2 は $c$ に吸収されます）。ここの $d$ は面積の係数で、時空の次元ではありません。

(10) では、$\epsilon(\beta)$ は「その目盛りで見ると Wilson ループの面積の係数が一定になる」ものが存在する、とだけ求められています。つまり弦張力で目盛りを決める書き方です。§5 の説明の段落のほうは相関長で目盛りを決めます。Problem 5.2 は Problem 5.1 を前提にしていません。どちらの $\epsilon(\beta)$ も、存在は示されていません。

もう一つ注意があります。周長の項 $c(R+T)$ について、Chatterjee は同じ節で 'it is not clear to me whether the renormalization term c(R + T) is indeed necessary. It seems entirely possible that the limit in (5.2) holds without the renormalization term.' と書いています。周長の項を引くことは、この問いの立て方の一つの提案です。

二つの問いを同じ目盛りで組む

比 $m/\sqrt\sigma$ は、二つの問いを同じ $\epsilon(\beta)$ で組んだときに現れます。Problem 5.2 が成り立ち、さらに $\epsilon(\beta)\,\xi(\beta)\to\ell\in(0,\infty)$ だとします。物理の相関長は $\epsilon\xi\to\ell$、物理の質量は $1/\ell$、弦張力は $d$ ですから、

となり、$\epsilon$ は約分されて消えます。§03 の (5) を極限で書いたものです。この組み立ては Chatterjee の文面には無く、二つの問いの読み合わせです。二つの極限が同じ $\epsilon$ で同時に存在すること自体が仮定である点に注意が要ります。

例。(11) の右辺の格子の値が表 3 の $m/\sqrt\sigma$ の行です。$\beta=2.60$ では $(1/1.95)/0.134\approx3.84$ です。

「一様な隙間」という言葉は、何について一様かを言わないと意味が定まりません。質量ギャップの議論には、少なくとも三つの「一様」が出てきます。

Clay の問題文 §6.5 は 'New ideas are needed to prove the existence of a mass gap that is uniform in the volume of space-time.' と書きます 既知。直後の文は 'Such a result presumably would enable the study of the limit as T4 → R4' で、コンパクトな時空 $T^4$ から $\mathbb R^4$ への極限を念頭に置いた文です。ここの一様は一行目、体積についての一様です。三行目とは別の要求で、両方が要ります。

二行目の形の定理は在ります。Shen–Zhu–Zhu は $SU(N)$ で $\beta$ が十分小さいとき（四次元では、逆結合を $N\beta$ とする同論文の規格化で $\beta\lt1/48$。この本の Wilson の $\beta$ では $\beta\lt N^2/48$：5-01 表 4）に無限体積の測度の一意性と相関の指数減衰を示しています（要旨）既知。より古くは Osterwalder–Seiler 1978 が、小さい $\beta$ で面積則を厳密に示しました（Chatterjee 2018 §4 の本文による）既知。同論文の要旨は、強結合（小さい $\beta$）で無限体積の極限が在り、$\beta$ について解析的であることも示したと述べます（本文は未読）。これらは $\beta$ を小さい範囲に固定した結果で、格子間隔を止めたままの世界の定理です。連続極限（$\beta\to\infty$）とは反対の側に居ます（5-02 §管、5-04）。

これらの評価の定数は $\beta\to\infty$ へは延びず、連続極限で問う「目盛りを細かくしたときの振る舞い」には届きません。

有限群のゲージ理論では、大きい $\beta$ でゲージ不変な量の相関の指数減衰が証明されています（Adhikari–Cao、要旨）既知。これは Problem 5.1 の前半の形が大きい $\beta$ で成り立つ例ですが、群が連続でないので、後半の $\xi\to\infty$ を求める問いとは別の場面です（5-10）。

目盛りを一つ固定して $\beta\to\infty$ とすれば、何かの極限は取れそうに見えます。けれども、取れた極限が求める理論である保証はありません。うまくいかない型を三つ並べます。

型 1：相関長が伸びない

$\xi(\beta)$ が有界なら、どんな $\epsilon(\beta)\to0$ を選んでも $\epsilon\xi\to0$ です。物理の相関長は 0、質量は無限大で、§04 の誤読の世界そのものです。極限に残るのは、どの二点も相関しない（白色雑音のような）場です。

型 2：相関長は伸びるが、比が 0 か無限大に行く

二つの量の発散の速さが違うと、一方で目盛りを決めたとき、もう一方は 0 か無限大に逃げます。三次元のコンパクトな $U(1)$ の格子理論では、Göpfert–Mack がすべての $\beta$ で面積則を証明しました（Chatterjee 2018 §4 の本文による）既知。それでも連続極限は自由なスカラー場で、質量の単位で見た弦張力は無限大へ行く、と同論文の要旨は述べます（Villain 作用。本文は未読）既知。格子のどの $\beta$ でも閉じ込めているのに、比 $m/\sqrt\sigma$ は 0 に向かう例です。

型 3：比は有限だが、ガウスに潰れる

相関長を固定して極限が取れても、それが自由場（ガウス測度）なら、非自明な理論ではありません。四次元の Ising 型の模型と $\varphi^4$（スカラー場に四次の自己相互作用を足した模型。6-03）では、臨界点付近のスケーリング極限がガウス的であることが示されています（Aizenman–Duminil-Copin 2021）既知。問題文が「非自明な」理論を求める理由がここにあります（0-03 §非自明な、6-08）。

三つをまとめると、求める極限の条件は次の組になります。

二つ目は閉じ込めを使う書き方で、問題文そのものは閉じ込めを要求していません（4-11 §定義）。弦張力の代わりに $r_0$ など別の目盛りを使っても、(12) の二つ目は「二つの次元を持つ量の比が有限で正」の形になります。数値の側では、表 3・表 4 が二つ目を $SU(2)$ で支持しています 物理。

問題文の理論には二つの極限が要ります。体積 $L\to\infty$ と、格子間隔 $a\to0$（四次元では $\beta\to\infty$ と連動して）です（5-01 §第 5 部の地図）。Problem 5.1 は、各 $\beta$ で先に無限体積の極限を取り、そのあとで $\beta\to\infty$ を考える順序で書かれています。

一つ目の極限でさえ、Chatterjee 2018 §3 は 'the uniqueness (or non-uniqueness) is in general unknown for lattice gauge theories in dimensions higher than two when β is large.' と書きます 既知。Problem 5.1 が「任意の無限体積極限」と言うのはこのためです。

数値の計算は別の道を通ります。表 1 の右端の列 $L\,a\sqrt\sigma$ は、格子の一辺 $L$（格子点の数）を物理の単位で測った箱の一辺です。

格子を細かくするたびに格子点の数を増やし、物理の箱の大きさをほぼ $3.2/\sqrt\sigma$ に保っています。つまり数値の外挿は「物理の体積を固定して $a\to0$」という道です。同論文は、閉じた電束管の質量から弦の補正 $\pi/(3L)$ を引いて弦張力を出す式（同論文の式 (4)）が使える長さとして、$aL\sqrt\sigma\ge3$ の格子だけを使います。グルーボールの有限体積効果もこの大きさで見えなくなる、と同論文は書いています 物理。

この道と (13) の道が同じ値に着くこと、つまり二つの極限の入れ替えは、数値で確かめる事柄であって定理ではありません。入れ替えには箱の大きさに一様な評価が要り、それが §07 の表の一行目の要求です。

この本の第 10 部は、ここで立てた向き（格子単位の隙間は 0 に向かうべきこと）を出発点に使います。そこで宣言する定義との対応は 10-01 §格子版の質量ギャップ にあります。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：5-10 有限群の格子ゲージ理論（大きい $\beta$ で相関が減るのに、連続極限の向きには進まない例）。

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