2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 2 部 物理の準備時空とローレンツ不変性

特殊相対論と時空 — 符号が一つ違う二次形式を保つことが、作用の形を絞る

2-02 で作った波動方程式を、空間一次元・波の速さ $c$ で書きます。

速さ $v$ で右へ動く観測者の座標は、ニュートン力学では $t'=t,\ x'=x-vt$ です（ガリレイ変換）。$\partial_t=\partial_{t'}-v\partial_{x'}$、$\partial_x=\partial_{x'}$ を入れると、(1) の作用素は形を変えます。

例。$u=f(x'-st')$ を代入すると $s^2+2vs-(c^2-v^2)=0$、つまり $s=c-v$ と $-(c+v)$。$v=c/2$ なら右へ $0.5c$、左へ $1.5c$ の波に見えます 計算。

音ならこれで正しい。空気に対して止まった観測者が特別だからです。しかし光の波動方程式は Maxwell 方程式（2-03）から出て、媒質を要しません。Einstein（1905）は、法則がどの慣性系でも同じ形であることと、光速が光源の運動によらないことを前提にしました 既知。問いを逆にします。(1) の形を変えない変換はどれか。

線形変換では、作用素 (1) をそのまま保つことと次の間隔を保つことが同値です（二つの係数行列は互いに逆の関係で変わる。拡大・縮小は方程式 (1) を保つが間隔は保たない）。

回転は $x^2+y^2$ を保ち $\cos,\sin$ で書けました。$s^2$ を保つ変換は $\cosh^2\varphi-\sinh^2\varphi=1$ により $\cosh,\sinh$ で書けます。

$\varphi$ を急速度（$\tanh\varphi=v/c$）、この変換を押し出しと呼びます。$\gamma=\cosh\varphi=1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ と置けば $t'=\gamma(t-vx/c^2),\ x'=\gamma(x-vt)$ で、$c\to\infty$ でガリレイ変換に戻ります（Einstein 1905 の §3 も、光速を $V$ と書く点を除いて同じ形）既知。回転との違いは時空の記事の §01・§04 にあります。例。$v=0.5c$ で $\gamma=1.1547$。$x=0$ の時計の時刻 $t$ は動く観測者には $t'=\gamma t$ で、一刻みが延びて見えます。

計算図の数値は (3) からその場で計算。表 1 の行を押す（Tab で選んで Enter でもよい）と図がその速さになります。

計算表 1　$\gamma$・急速度・運動エネルギーの比（$(\gamma-1)mc^2$ ÷ $mv^2/2$）。$\gamma=\cosh\varphi$ を検算。

二つの出来事の差の $s^2$ は押し出しで変わらず、その符号は誰が見ても同じです。

時間的な二点は光より遅い信号で結べ、時間の向きを反転しない変換（04 節）なら前後は誰が見ても同じです。空間的な二点はどんな信号でも結べず、前後が観測者によって入れ替わります。時間と空間を一つの四次元の幾何として見る見方は、Minkowski の 1908 年の講演で広く知られるようになりました。虚の時間座標 $t\sqrt{-1}$ を置いてローレンツ変換を四次元の回転と見る扱いは、Poincaré（1906）にすでにあります 既知。

例（図 1）。$c=1$。原点 O と B $=(t,x)=(0.4,1.3)$ は $s^2=1.53\gt0$ で空間的です。$t'_B=\gamma(0.4-1.3v)$ は $v\gt0.308$（$\varphi\gt0.318$）で負になり、B は O の「後」から「前」へ移ります。C $=(1.5,0.5)$ は $s^2=-2$ で時間的で、$t'_C=\gamma(1.5-0.5v)\gt0$ のままです。

入れ替わる二点が因果で結ばれていたら矛盾します。量子場の理論ではこれが「空間的に離れた場の演算子は可換」という公理になります（Jaffe–Witten §3、4-09）。光円錐と「距離の退化」は時空の記事の §03 へ。

空間を三次元に戻し、$x^\mu=(ct,x,y,z)$ と書きます。上下に同じ添字が出たら和を取ります。

添字を下げるには $\eta$ を掛けます（$x_\mu=(-ct,x,y,z)$）。$\partial_\mu=\partial/\partial x^\mu$、$\Box=\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu=-\partial_t^2/c^2+\nabla^2$。符号 $(-,+,+,+)$ は時空の記事と同じで、逆の約束の教科書もあります。

ローレンツ変換は (4) の右の式を満たす $4\times4$ 実行列 $\Lambda$ で、群 $\mathrm O(1,3)$ をなします（1-02）。$\mathrm O(1,3)$ は $\det\Lambda=\pm1$ と時間の向き（左上の成分が $\ge1$ か $\le-1$ か。(4) からその二乗は 1 以上）で四つの部分に分かれます。単位行列を含む部分 $\mathrm{SO}^+(1,3)$（$\det\Lambda=1$・時間の向きを保つ）は回転 3 個と押し出し 3 方向で生成され、並進 4 個を加えた群が Poincaré 群です 既知。問題文の量子場は、この群の表現を持つヒルベルト空間の上に置かれます（Jaffe–Witten §3）。

例。$\mathrm{SO}(4)$ はコンパクトですが、$\mathrm{SO}^+(1,3)$ は $\varphi$ がいくらでも大きく取れるのでコンパクトではありません。問題文の「コンパクトな単純ゲージ群」は内部の対称性（1-04）の話で、時空のローレンツ群はもともと非コンパクトです。

粒子が持ち歩く時計の時間を固有時 $\tau$ と呼びます。$s^2$ の不変性から $c^2d\tau^2=c^2dt^2-|d\vec x|^2$、つまり $d\tau=dt/\gamma$ です。$\tau$ は誰にとっても同じなので、四元運動量 $p^\mu=m\,dx^\mu/d\tau$ は $x^\mu$ と同じく $\Lambda$ で変わります。

右の式は $E^2=|\vec p|^2c^2+m^2c^4$。$E$ と $\vec p$ は観測者ごとに違っても、質量は四元運動量の不変な長さです。例。$E=\gamma mc^2=mc^2+\tfrac12mv^2+\tfrac38mv^4/c^2+\cdots$ で、表 1 の右端の列がこの補正です。

なぜ「質量」ギャップと呼ぶか

2-02 の分散関係 $\omega^2=c^2k^2+\Omega^2$ は、$E=\hbar\omega,\ p=\hbar k$（2-05）と読むと (5) そのもので、$\Omega=mc^2/\hbar$ です。問題文は質量ギャップを「ハミルトニアン $H$ のスペクトル（取りうるエネルギーの値の集合。2-05・1-10 で定義）が $(0,\Delta)$ に無いこと」と定義します（Jaffe–Witten §4）。ローレンツ不変性・正のエネルギー（$H\ge0$ がどの観測者でも成り立つ）・真空が一つ、の三つがそろうと（Jaffe–Witten §3）、これは「真空以外の状態のエネルギーと運動量の組 $(E,\vec p)$ は $E\ge\sqrt{|\vec p|^2c^2+\Delta^2}$ を満たす」ことと同じです。外れる組があると、空間的（$E\lt|\vec p|c$）なら押し出しでエネルギーが負になって正のエネルギーに反し、時間的なら静止系で、光的なら押し出しでいくらでも小さくなって、$(0,\Delta)$ に入るからです。組 $(0,\vec 0)$ を持つのが真空だけであることに、真空が一つという前提を使います 既知。$\Delta$ は最も軽い状態の $mc^2$ と読めます（4-11）。

作用（2-01）が誰にとっても同じなら、運動方程式も同じ形です。世界線の最も簡単な不変量は固有時なので、

係数は、遅いときの展開 $L=-mc^2+\tfrac12m|\vec v|^2+\cdots$ がニュートンに合うように選びました。運動方程式は $\frac{d}{dt}(\gamma m\vec v)=0$ で世界線は直線、時間の並進の Noether 保存量（2-01）は $E=\gamma mc^2$ です。符号から作用の最小と固有時の最大は同じことで、端点を固定した時間的な世界線のうち固有時を最大にするのは直線です。両端が同じ場所にある観測者の系（両端は時間的なので、そういう系がある。そこでの時刻の差を $T$）で見ると $d\tau=\sqrt{1-|\vec v|^2/c^2}\,dt\le dt$ で、等号は $\vec v\equiv0$ のときだけ。だから $\tau\le T$ で、最大は直線だけです（$\tau$ はどの系でも同じ）。これを逆向きの三角不等式と呼びます 既知。停留点は最小とは限りませんが（2-01）、ここでは本当に最小で、双子のパラドックスはこの言い換えです。

例。$T=1$、$x(t)=(u/\pi)\sin\pi t$（最高速 $u$）の固有時は、$\mathcal E(k)=\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}\,d\theta$（第二種完全楕円積分）で $\tau=\tfrac2\pi\mathcal E(u)$。$u\to1$ で $2/\pi\approx0.637$ です。

計算図の数値は $d\tau=dt/\gamma$ の台形則（400 分割）でその場で計算。

計算表 2　端点を固定した世界線の $\tau/T$。曲線は数値積分と $\tfrac2\pi\mathcal E(u)$ が $2\times10^{-16}$ まで一致。折れ線は速さ $u$ で行って戻る道（双子）。

場の作用は $S=\frac1c\int\mathcal L\,d^4x$。$|\det\Lambda|=1$ で $d^4x$ は変わらないので、ラグランジアン密度 $\mathcal L$ がスカラーなら作用は不変です。局所的（その点の場と一階微分だけ）という条件も課すと、項の形は強く絞られます。

スカラー場では $\partial_\mu\phi$ を $\eta$ で縮めます。

右が Klein–Gordon 方程式です。例。一次元で全体に張力 $\sigma$ を掛けると 2-02 の質量項つきの弦になり、$c^2=\sigma/\rho$、$\Omega=c\mu$ と対応します。

電磁場。2-03 のポテンシャル $\phi,\vec A$（この $\phi$ は (7) の場とは別）を $A_\mu=(-\phi/c,\vec A)$ とまとめ、$F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$ と置きます。成分は $F_{0i}=-E_i/c$、$F_{ij}=\varepsilon_{ijk}B_k$（$\varepsilon_{ijk}$ は $\varepsilon_{123}=1$ で、添字を入れ替えると符号を変える記号）で、電場と磁場を一つの反対称行列にまとめたものです。ゲージ変換 $A_\mu\to A_\mu+\partial_\mu\chi$（2-03 の (G)）で変わりません。$F^{0i}=-F_{0i}$、$F^{ij}=F_{ij}$ なので $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=-2|\vec E|^2/c^2+2|\vec B|^2$ で、

SI では全体に $1/\mu_0$ が掛かり、2-03 の (L) の $\rho,\vec J$ の無い部分になります。運動方程式 $\partial_\mu F^{\mu\nu}=0$ が真空の Maxwell 方程式の半分で、残り半分は $F$ を $A$ から作った時点で成り立ちます。

ヤン–ミルズ場。$A_\mu=A^a_\mu T^a$ をリー環に値を取る場にし（1-03・1-04）、構造定数 $f^{abc}$ の項を $F$ に足します（3-02）。

行列で書けば $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu-i[A_\mu,A_\nu]$（$T^a$ はエルミートで $[T^a,T^b]=if^{abc}T^c$＝1-03 の規約。$g$ は $A$ に吸収）。最後の項が Maxwell との唯一の違いで、場が自分自身の源になります。それでも古典の方程式は「光の速さで進む質量の無い波」を記述します（Jaffe–Witten §1）既知。

ゲージ不変性（3-02）も課し、群が単純なら（不変な二次形式が定数倍を除いて一つ。1-03）、$F$ の二次式でローレンツ不変なものは $\sum_aF^a_{\mu\nu}F^{a\,\mu\nu}$ と $\sum_a\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F^a_{\mu\nu}F^a_{\rho\sigma}$（$\varepsilon^{0123}=1$ の四次元版の記号）の一次結合だけです 既知。二つ目は電磁場なら $\vec E\cdot\vec B$ に比例し、空間反転で符号を変え、全微分なので運動方程式を変えません（3-05 の $\theta$ 項）。条件が無いと、任意の対称行列 $c_{ab}$ で作る $\sum c_{ab}F^a_{\mu\nu}F^{b\,\mu\nu}$ も不変です。

$c=1$ で長さと時間が、$\hbar=1$ でエネルギーと時間の逆数がそろい、残る単位は一つです。質量の次元を 1 とすると長さは $-1$。換算は $\hbar c=197.3269804\ldots\ \mathrm{MeV\,fm}$（$1\,\mathrm{fm}=10^{-15}\,\mathrm m$）だけです。ギャップ $\Delta$ には長さ $\hbar c/\Delta$ が対応し、相関の届く距離の目安です。ギャップがあると、真空での期待値 $\langle O\rangle$ が 0 の局所的な量 $O$ なら、同じ時刻で十分離れた二点での相関 $|\langle O(\vec x)O(\vec y)\rangle|$ は、$C\lt\Delta/(\hbar c)$ を満たす任意の $C$ で $\exp(-C|\vec x-\vec y|)$ 以下です（Jaffe–Witten §5。$\hbar=c=1$ なら $C\lt\Delta$）。期待値が 0 でないと、相関は $\langle O\rangle^2$ に近づきます。

計算表 3　質量を長さに直す（$\hbar c$ は SI の定義値 $h,c,e$ から計算）。

作用は無次元（$\hbar$ で測る）なので、$d$ 次元の時空で $[\mathcal L]=d$、$[\partial]=1$。$(\partial\phi)^2$ と $\lambda\phi^4$ の次元が $d$ であることから、また (9) の $F$ が $\partial A$ と $AA$ の和で $[A]=1$、$[F^2]=4$ であることから、

計算表 4　質量の次元（$\hbar=c=1$、分数で計算）。

四次元では、作用 (9) に次元を持つ定数が一つも無い。係数から質量も長さも組み立てられず、古典のヤン–ミルズ理論に尺度はありません 既知。量子論で $\Delta\gt0$ があるなら尺度は古典の作用の外から来るはずで、物理では繰り込みの過程で入ると考え次元転移と呼びます（4-07）物理。解説も、四次元のゲージ理論で質量ギャップが古典的に見えない（'the mass gap is not classically visible'）ことを、古典的でない変数の取り替えが要りうる理由に挙げます（Jaffe–Witten §6.6）。二・三次元では $g^2$ 自体が尺度です（4-04・6-06）。$\phi^4$ は 6-08、四次元の別の特別さは 四次元の記事へ。表 4 の $d$ を連続に動かし、四で切り替わる他の量と並べた図は 1-12 §10 の次元のつまみです。

(2) に $t=-i\tau$（$\tau$ は実）を代入すると $-c^2t^2=c^2\tau^2$ で、間隔はユークリッドの距離の二乗 $c^2\tau^2+|\vec x|^2$ になります。符号の違いを形式的に戻す Wick 回転（名は Wick 1954 にちなむとされる）で、時空の記事 §02 の $ict$ と同じ操作です（場の作用と相関での形は 4-02 §02 が正本）。$\partial_t^2=-\partial_\tau^2$ なので $\Box$ は四次元のラプラシアンに、(7) は $(-\partial_\tau^2/c^2-\nabla^2+\mu^2)\phi=0$ になり、振動が減衰に変わります。空間の依存を落とし $c=1$ と置いた一次元版が (11) です。$\delta(\tau)$ は $\tau=0$ に集中し $\int f(\tau)\delta(\tau)\,d\tau=f(0)$ となるもの（正確には関数でなく超関数。1-11）。

例。$\tau\ne0$ では $G''=\mu^2G$、$\tau=0$ で傾き $G'$ が $-1$ 跳ぶので $G''$ は $-\delta$ を含み、$-G''+\mu^2G=\delta$ です。三次元なら $e^{-\mu r}/(4\pi r)$ 既知。ユークリッドの側では、質量は減衰の速さ（長さの逆数）として現れます。4-11 で質量ギャップと相関長を結ぶ出発点です。ユークリッドの理論を確率測度として書き（4-02）、Minkowski の側を再構成する条件（Osterwalder–Schrader）は 4-10 の主題です。この章は代入を見せただけです。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：2-05 量子力学の骨。虚時間の続きは 4-02、時空そのものは 符号が一つ違う。

← 2-03 電磁気学はゲージ理論である目次2-05 量子力学の骨 →