2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 1 部 数学の準備群・SO(3)・SU(2)

群とは何か — 対称性を「掛け算できるもの」として扱う

正三角形の板を元の場所にぴったり重なるように置き直す方法は六通りです。0°・120°・240° 回す三つと、頂点を通る軸で裏返す三つ。二つを続けて行うと、また六つのどれかになり、何もしない操作と、元に戻す操作があります。群とは、この性質だけを取り出した言葉です。

頂点に 0・1・2 を反時計回りに振り、$e$（何もしない）、$r$（120° 回す）、$r^2$（240°）、$s_k$（頂点 k を通る軸で裏返す）と書きます。積 $ab$ は「先に b、次に a」と読みます（写像の合成 $a\circ b$ の向き）。

順番を入れ替えると結果が変わります。掛け算の順番が効くことが、この本の最後まで主役です。

各行・各列に六つの元が一度ずつ現れるのは、$ax=b$ の解 $x=a^{-1}b$ がただ一つある、つまり割り算ができることの表れです。36 通りの順序対のうち $ab\ne ba$ は 18 通りでした 計算。

定義　集合 $G$ と、二つの元から $G$ の元を一つ作る規則（積）$(a,b)\mapsto ab$ があって、次を満たすとき $G$ を群と呼びます。

1. 結合法則：$(ab)c=a(bc)$。
2. 単位元：すべての $a$ で $ea=ae=a$ となる $e$ がある。
3. 逆元：各 $a$ に $aa^{-1}=a^{-1}a=e$ となる $a^{-1}$ がある。

すべての組で $ab=ba$ なら可換（アーベル群）、そうでなければ非可換です。「非可換ゲージ理論」の非可換はこの意味です。下の表の後半は行列の群で、$U^\dagger$ は複素共役をとった転置です（1-01）。

行列の群は $n\ge2$。SO(2) は U(1) と同じ形の可換群です。

コンパクトとは、行列の群では、成分の空間の中で有界かつ閉じている（元の列の極限もまた元）ことです 既知。U(n) は各列が長さ 1 なので有界で、$U^\dagger U=I$ は極限でも保たれます。GL(n, ℝ) は有界ではありません。「実パラメータ」は元を指定する実数の個数（群の次元、1-03）で、SO(3) なら軸の向きに 2 個と角に 1 個です。

部分群は積と逆元で閉じた部分集合です（$\{e,r,r^2\}\subset D_3$、SU(n) ⊂ U(n) など）。準同型は $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$ を満たす写像 $\varphi:G\to H$ で、単位元に写る元の集まりを核 $\ker\varphi$ と呼びます。

この準同型の核が $\mathrm{SU}(n)$ です。$\theta\mapsto e^{i\theta}$ の核は $2\pi\mathbb{Z}$。D₃ の回転を +1、裏返しを −1 に送る写像も準同型です。部分群 $N$ が正規とは、すべての $g$ で $gNg^{-1}=N$ となることで、核は必ず正規です。このとき $g$ と $gn$（$n\in N$）を同一視した商群 $G/N$ が作れ、全射な準同型 $\varphi$ について次が成り立ちます（準同型定理）既知。

例：$\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}\cong\mathrm{U}(1)$（角とは 2π の整数倍の違いを忘れた実数）。中心 $Z(G)$（すべての元と可換な元）も正規部分群で、SU(n) の中心は $\omega I$（$\omega^n=1$）の n 個、$\mathbb{Z}_n$ と同じ形です 既知。閉じ込めを扱う 7-02 で再び現れます。

三次元の回転は、内積を保ち（$R^{\mathsf T}R=I$）、鏡像を作らない（$\det R=1$）線形写像です。

どの回転にも軸がある

SO(3) のどの元にも動かない直線がある（Euler の回転定理）既知。実の直交行列は複素行列としてユニタリなので（1-01）、固有値は絶対値 1 で、積は $\det R=1$。実係数の三次式の根なので、複素固有値は $\lambda,\bar\lambda$ の組（積 $|\lambda|^2=1$）で、残る実固有値は 1。全部実なら ±1 が三つで積 1 なので、やはり 1 を含みます。その固有ベクトルが軸です。奇数次元が効いており、四次元の回転には原点のほかに動かない点を持たないものがあります。軸 $n$ と角 $\theta$ では次の形です（Rodrigues の式）既知。

トレースは $\operatorname{tr}R(\theta,n)=1+2\cos\theta$ で、角が読めます。

回す順番の食い違い

x 軸と y 軸のまわりに同じ角 θ 回します。「先に x」は $A=R_y(\theta)R_x(\theta)$、「先に y」は $B=R_x(\theta)R_y(\theta)$。食い違い $D=AB^{-1}$ も回転なので、その角 φ で違いを測ります。

小さい θ では $\varphi\approx\theta^2$ で、D の軸はほぼ −z 方向です（θ = 10° で (−0.087, 0.087, −0.992)）計算。食い違いは θ の二次で、一次の近似では回転は可換に見えます。これを取り出したものが 1-03 の交換子 $[X,Y]=XY-YX$ です。θ = 180° では二つとも対角行列で、可換です。

次は複素 2×2 行列の群です。

二つの列は正規直交です。第 1 列を $(a,b)$ とすると $|a|^2+|b|^2=1$、第 2 列はそれに直交する長さ 1 のベクトル $e^{i\chi}(-\bar b,\bar a)$ で、$\det U=e^{i\chi}=1$ です。

a, b の実部・虚部は $\mathbb{R}^4$ の単位球面上の点をなし、SU(2) は空間としては三次元の球面 $S^3$ です 既知。パウリ行列（1-04）を使うと、すべての元が単位ベクトル $n$ と実数 θ で書けます。

$n\cdot\sigma=n_1\sigma_1+n_2\sigma_2+n_3\sigma_3$ と書くと、次の形です。

成分では $a=\cos\frac\theta2-in_3\sin\frac\theta2$、$b=(n_2-in_1)\sin\frac\theta2$。右の等号は、$(n\cdot\sigma)^2=I$（$\sigma_j\sigma_k+\sigma_k\sigma_j=2\delta_{jk}I$ と $|n|=1$ から。確かめ方は 1-04）と行列の指数関数（1-01）から従います。θ = 2π では n によらず $U=-I$、θ = 4π で初めて $U=I$。この半分の角が次の節の主役です。

$\mathbb{R}^3$ のベクトルを、トレースが 0 のエルミート行列と同一視します。

$UXU^\dagger$ もエルミートでトレース 0 なので、あるベクトル $x'$ の行列です。こうして線形写像 $\rho(U):x\mapsto x'$ が決まります 既知。

1. 長さを保つ：$\det(UXU^\dagger)=\det X$ から $|x'|=|x|$。SU(2) はつながっていて ρ は連続なので、行列式は +1 から動けず $\rho(U)\in\mathrm{SO}(3)$。
2. 準同型：$(UV)X(UV)^\dagger=U(VXV^\dagger)U^\dagger$ から $\rho(UV)=\rho(U)\rho(V)$。
3. 核は ±I：$\rho(U)=I$ なら U は σ₃ と可換（対角）で σ₁ とも可換（対角成分が等しい）なので $U=\lambda I$、$\det U=\lambda^2=1$。
4. 全射で、角は半分：$\rho(U(\theta,n))=R(\theta,n)$。どの回転も $R(\theta,n)$ の形（04 の軸の定理）なので、$U(\theta,n)$ がその原像になり、全射です。

4 の簡単な場合：n が z 軸なら $U=\mathrm{diag}(e^{-i\theta/2},e^{i\theta/2})$ で $U\sigma_1U^\dagger=\cos\theta\,\sigma_1+\sin\theta\,\sigma_2$。二つの半分の角が掛け合わさって角 θ になります。準同型定理から

一つの回転に二つの元 $\pm U$ が対応するので二重被覆と呼びます。360° の回転は SU(2) では $I$ から $-I$ までで、戻るには 720° 要ります。

定義　群 G の（有限次元の）表現とは、ベクトル空間 V と準同型 $\pi:G\to GL(V)$（行列の群では連続なもの）の組、つまり各元に可逆な行列を $\pi(gh)=\pi(g)\pi(h)$ となるように割り当てることです（$\dim V$ が次元）。例：自明表現（すべてを 1 に）、D₃ を平面の回転・鏡映で書くもの、SO(3) の $\mathbb{R}^3$ や SU(2) の $\mathbb{C}^2$ への作用（定義表現）、3 次元の表現 ρ。

U(1) の表現は整数で番号が付く

$e^{i\theta}\mapsto e^{iq\theta}$ が U(1) の表現であるには、θ と θ + 2π が同じ元なので $e^{2\pi iq}=1$、つまり q は整数です。連続な 1 次元のユニタリ表現はこれで尽きます 既知。ℝ では任意の実数 q で $x\mapsto e^{iqx}$ が表現なので、番号を整数に揃えているのはコンパクト性です。電磁気学のゲージ群（2-03）を U(1) とすれば電荷は単位の整数倍に並ぶ、という物理の議論はこの事実に立ちます（C. N. Yang 1970 の題がこの対応を掲げる）物理。

既約と完全可約

すべての g で $\pi(g)W\subset W$ となる部分空間 W を不変、0 と V のほかに不変部分空間が無い表現を既約と言います。SO(3) の $\mathbb{R}^3$ への作用は既約で、D₃ を $\mathbb{R}^3$ の座標の入れ替えで表すと直線 (1, 1, 1) が不変なので既約ではありません。コンパクトな群の有限次元表現は既約表現の直和に分かれます（完全可約）既知。内積を群全体で平均すると、どの $\pi(g)$ もその内積を保ち、不変部分空間の直交補空間も不変になるからです。平均は、有限群なら全元についての和を元の個数で割ったもの。コンパクトな群では、群の上の不変な積分（存在は既知）で同じことができます。

SU(2) の表現と 360° での符号

SU(2) は、有限次元の複素既約表現を、同値（基底の取り替え）を除いて各次元にちょうど一つずつ持ちます 既知。次元 m + 1 のものは、2 変数の m 次斉次多項式の空間に $(\Pi_m(U)f)(z)=f(U^{-1}z)$ で働く $\Pi_m$ で、物理では $j=m/2$ をスピンと呼びます。$-I$ は $f(-z)=(-1)^mf(z)$ と働くので、SO(3) の表現になれるのは m が偶数（次元が奇数）のものだけです。

指標 χ は表現行列のトレースで、$U(\theta,e_3)$ で測りました。720° ではどれも次元の値に戻ります 計算。半整数のスピンでは 360° で符号が反転する——図 3 の $-I$ が、表現の上ではこの符号として現れます。

問題文（0-03）は群の条件から始まります。

Prove that for any compact simple gauge group G, a non-trivial quantum Yang–Mills theory exists on R⁴ and has a mass gap Δ > 0.

Jaffe と Witten の問題説明は「古典論の水準では、電磁気学のゲージ群 U(1) をコンパクトなゲージ群 G で置き換える」と書いています。ゲージ群は、ひとことで言えば時空の各点で独立に施せる対称性の群です。正確には、各点 x に G の元 g(x) を一つずつ選んだものがゲージ変換で、G はその値をとる群です（3-01）。

単純。抽象的な群として「単純」とは、正規部分群が {e} と自分自身だけであることで、この意味では SU(2) は単純ではありません（中心 {±I} が正規部分群）。リー群の用語では意味が違い、連結で非可換な群のリー環が単純（1-03）であることを「単純」と呼びます。問題の説明は simple を定義していませんが、抽象的な群の意味では SU(N)（N ≥ 2）がすべて外れる（中心 $\mathbb{Z}_N$）ので、この本ではリー群の意味に読みます。SU(N)（N ≥ 2）はこの意味で単純で（一覧は 1-04）既知、可換な U(1) は含まれません。

コンパクト。同じ説明は、コンパクトなゲージ群とコンパクト化した時空では Wilson の格子近似が汎関数積分を有限次元の積分に帰着させる、と述べています。格子の各辺に G の元を置いて G 全体で積分する（5-01）ので、G の大きさが有限であることが効きます。

表現。強い力の理論（QCD）ではゲージ群が SU(3) で、クォークは基本表現（この章の定義表現）で変換する、と同じ説明にあります。ゲージ場は G のリー環に値をとります。各点で同じ元を施す変換では随伴表現（1-04）で変換し、一般のゲージ変換では余分な項が付きます（3-02）。場の強さは随伴表現で変換します。問題が扱う純粋なヤン–ミルズ理論にクォークは無く、ゲージ場だけです（3-07）。G を有限群にした格子の模型は 5-10 で扱います。

次は 1-03 リー群とリー環：「二次の食い違い」を、群の無限小の部分の交換子として取り出します。

この章が言えている範囲

出典と再現

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