2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 10 部 この端末の検討方向 12〜14・上界しか出ないこと

方向 12〜14 — 下から押さえる道具を三通り試し、上界に行き着く

記号は 10-03 §01 のとおりです（$\mathcal E$ はリンクの角度の Dirichlet 形、$C_P$ は Poincaré 定数、$\xi$ は格子単位の相関長）。関数 $f$ の商を次で定めます。

H↓ は「ある $f$」の言明です（10-03 §03）。(1) の H↓ は、$\xi$ で書いた帯の読み $\text{H}_{\rm band}[\mathcal E_\vartheta]$ の下の半分です（10-03 の表 0′）。帯の定数はリンクの角度で測るか場で測るかで $\beta$ 倍変わるので、$c$ を $\beta$ に依らない定数とする読みは正規化を名指して初めて決まります。方向 12〜14 はその一つを探しました。

一つの演算子 $O_x$ を平行移動し、重み $w$ で足した $f_w=\sum_xw(x)O_x$ の全体を、記録は階数 1 の族と呼びます。測度は平行移動で不変なので、分子も分母もフーリエ変換で対角になります。

$\hat G_O$・$\hat K_O$ は $O$ の連結相関と $\nabla O_x\cdot\nabla O_y$ の期待値のフーリエ変換です。対角な二次形式の比の上限は成分ごとの比の最大です LeanprofileQuotient_isGreatest（仮定：運動量は有限個・$\hat K_O\gt0$。既知の対応：1-10 §06）。重みの自由は最良の一運動量に潰れます（地図の上の位置は 10-04 表 1）。例：自由場の $O=\phi$ では最大は $p=0$ の $1/m^2=C_P$ です。

局所演算子の尺度次元 $\Delta_O$ を、相関が短い距離で $|x|^{-2\Delta_O}$ のように減る冪で測ります。(2) の最大は多くの場合 $p=0$ で、分子は感受率 $\chi_O=\sum_xG_O(x)$、分母は局所的で $\xi$ とともには伸びません。感受率を半径 $\xi$ までの積分で見積もると

です（$2\Delta_O\ge d$ では頭打ち）。この $\eta$ は演算子 $O$ ごとの静的な冪 $\eta_s(O)$ で、$\eta_{\rm dyn}$ とは別の量です（8-05 §02）。$\eta=0$ は $\Delta_O=(d-2)/2$（自由場の $\phi$ と同じ正準次元）のときだけです LeanfisherEta_eq_zero_iff_canonical（(3) を定義とした代数）。

純ヤン–ミルズのゲージ不変な局所演算子の最低次元は $\operatorname{tr}F^2$ の 4 です 既知。四次元では $2\Delta_O=8\gt4$ で頭打ちの側です Leaneta_ge_two_of_bounded_susc（仮定：感受率が一様に有界。有界性は相関の形 $|x|^{-2\Delta}e^{-|x|/\xi}$ と $\Delta=4$ という物理の仮定から来る）。自由場での例は 8-05 §05 の表 2 です（$\Delta=1,2,4$ で $\eta=0,2,2$）。

素のリンク角 — 商は厳密に 1

ゲージ不変でなければ次元は下げられます。記録は $U(1)$ で $f=\sum_\ell c_\ell\cos\theta_\ell$（$\theta_\ell$ はリンクの角）を試しました。ゲージを固定しない測度では、$\ell\ne\ell'$ なら $\ell'$ に触れない $\ell$ の端点での一様な回転が $\theta_\ell$ だけをずらすので、各 $\theta_\ell$ は一様で他と独立です。

$\beta$ にも体積にも依りません 紙。Elitzur の定理（1975）と同じ機構ですが、定理そのものではなく Haar 測度の不変性からの直接の計算です。

ゲージ固定したモード — 指数は消え、一価性が残る

ゲージ固定した場は、軌道から代表を選んで作るので、配位の関数としてはゲージ不変で非局所で、上の壁を避けられます。記録は Landau ゲージ（3-04 §05）の最長波長のモードを試しました。商はそのモードの伝播関数 $\hat D$ を相関長の運動量で読んだ値で、長さが $\xi$ だけの純冪の形なら赤外の冪 $a$ は答えに残りません。

Leanprop_at_gap_scale（仮定：純冪の伝播関数）。代わりに、リンクを動かしたときのモードの動き（記録の言葉で罰金、商の分母）が有界でなければなりません。代表が飛ぶ所では、高さ $\Delta$ を $n$ 歩で登る勾配の二乗和が $\ge\Delta^2/n$ なので、跳びを一点に押し込むと発散します Leanjump_energy_ge。蝶番は三つの $O(1)$ の量（伝播関数の係数・罰金・コピーの選び方）に化け、最後の一価性で壊れました。これが方向 13 の問いです。

選び方を滑らかにする標準の手は、汎関数 $F$（Landau なら $\sum_\ell(1-\cos\psi_\ell)$）の最小を選ぶ代わりに、温度 $T$ で軌道の上を平均することです。

軌道の関数なのでゲージ不変で、一価かつ連続です LeanorbitAvg_gauge_invariant・orbitAvg_continuous（仮定：有限群の軌道・正で連続な重み）。軌道の上の重み付き平均で、Parrinello–Jona-Lasinio・Zwanziger の方式に当たり（10-07 表 4） 既知、$T\to0$ で最小の選択に戻ります。

いちばん小さな例は 3-04 §05 の $U(1)$ の輪（辺 $L$ 本）です。ゲージで変わらないのは一周の角 $\Phi$ だけで、一様なコピーは $\psi_\ell=(\Phi+2\pi k)/L$ です。長波長モードを $M=\frac1L\sum_\ell\sin\psi_\ell$ とし、$\kappa=1/T$ で (6) を計算すると、制約 $\sum\psi_\ell\equiv\Phi$ をフーリエ級数に開いて閉じた式になります。

$I_n$ は変形 Bessel 関数です。$\kappa\to\infty$（鋭い固定）では $M=\sin(\tilde\Phi/L)$（$\tilde\Phi\in(-\pi,\pi]$）で、$\Phi=\pi$ で跳びます。$\kappa$ が小さい（鈍い固定）と、振幅は $(I_1/I_0)^{L-1}$ で $L$ とともに指数的に消えます。

計算この図の数値はこの端末で計算した（(7) をその場で評価。表 1 は Python の値で、$L=3$ では軌道の上の直接の数値積分と $10^{-11}$ で一致）。

表 1　振幅 $\max|M_T|$ を鋭い固定の $\sin(\pi/L)$ で割ったもの ／ $\Phi=\pi$ 付近の最大の傾き（鋭い固定では跳び）

計算鋭くすると傾きが伸びて極限で跳び（罰金が無限大）、鈍くすると同じ $\kappa$ でも $L$ が大きいほど信号が消えます。同じ $F$ が「コピーを選ぶ道具」と「長波長を均す道具」を兼ねるので、二つの要求が一本のつまみの両端に分かれる——記録の結論はこの一文でした。

記録が実際に測ったのは四次元のコンパクト $U(1)$ です 計算。素の最小 Landau ゲージのモードでは、コピー間の散らばりがアンサンブルの標準偏差の 3.25 倍（$\beta=0$・$8^4$）。滑らかな固定は一価性と罰金を直しますが、$U(1)$ の閉じ込め相（$\beta=0.9$、相転移 $\beta_c\approx1.01$ の下）では分子が体積とともに消えました（向きだけを主張）。SU(2) では測っておらず（$U(1)$ のコピーは格子の人工物と記録自身が書く）、「閉じた」は「$U(1)$ の試験で閉じた」の意味です。コンパクト $U(1)$ の第一 Gribov 領域のコピーの数が二〜四次元で指数的に増えることは Mehta–Schröck（2014）が数値で示しています 既知。

§02 の壁は固定した局所演算子の壁でした。半径 $\xi$ まで均せばどうか。格子の標準の均し方は、作用を下げる向きにリンクを動かす Wilson 流（Lüscher 2010 の要旨：'probe the theory at length scales on the order of sqrt(t)'）と、空間のリンクを周りの経路と平均する APE の平滑化（Albanese ほか 1987）です 既知。

自由場では均しは熱核 $\phi_t=e^{t\Delta_{\rm lat}}\phi$ で、均した場の二乗の和 $f_t=\sum_x(\phi_t)_x^2$ の商は

で、記録の言葉で「伝播関数の低域通過平均の半分」です LeansqQuotient_between・sqQuotient_isGreatest（仮定：重みと $\hat G$ が非負。どの核でも $\frac12\max_p\hat G$ 以下で、上限はちょうどそれ）。

表 2　四次元の格子の自由場で、均した二乗の和の $Q/\xi^2$（$m^2=2(\cosh(1/\xi)-1)$）

計算均す半径を $\xi$ とともに広げると $Q/\xi^2$ は約 0.178（上限 $\tfrac12$ の 0.357 倍）で止まり、有効な $\eta$ は 0 に向かいます。半径を止めると $\ln\xi$ でしか伸びません（$t=1$ で $Q$ は $\xi=4$ の 2.0 から $\xi=256$ の 15.8。「均さない」列は 8-05 表 2 と一致）。

ゲージ理論では壁が三つ出ました。流れの線形化は閉じ込め相の $U(1)$ で $e^{4.4t}$ で拡大し、SU(2) の $\beta=2.6$ では拡大しませんでした（三点の観察）計算。運動量 0 の分子は零運動量の感受率そのもので Leansum_sub_eq_card_mul、最後は費用です。一辺 $L$ の箱の最も柔らかいモードの緩和時間 $\tau$ は $L^2$ に比例し、相対精度 $\varepsilon$ には $4\tau/\varepsilon^2$ 回以上の掃引、一回の掃引に $L^d$ かかります。

Leancost_ge（仮定：括弧の二つ）。収束する量を、発散する費用で測っています。

分光の足場は反射正値性です（5-03 §05）。一つの時刻の面の上だけで決まる演算子 $O$ なら、相関は転送行列 $T=e^{-H}$ の固有値で開けて、重みはすべて非負です。

LeanHasNonnegWeights.meff_antitone（仮定：(10) の表示）。対偶が診断で、有効質量がどこかで増えればその相関は (10) の形を持ちません。四次元の Wilson 流は時間の向きにも均すので一つの面に載らず、空間三方向だけの均しは (10) を保ちます（格子分光の標準） 既知。

例。四次元の自由場の零運動量の相関を、熱核で四方向に均します（運動量 0 では空間の均しは何も変えない）。

表 3　時間にも均した自由場の $m_{\rm eff}(k)$（真の値 $E=0.5$、$\tau$ は熱核の時間）

計算（$C_\tau(k)=\int_0^\infty du\,e^{-um^2}e^{-2s}I_k(2s)$、$s=u+2\tau$。$\tau=0$ で $e^{-Ek}/(2\sinh E)$ と 12 桁で一致）。時間に均すと有効質量は真の値の下から近づき、単調に増えます。記録の流した演算子でも有効質量は増えていて、空間三方向だけの流れに替えると減少に反転しました 計算。周期的な箱では逆向きの項で (10) が外れるので、その補正は別に較正します（periodic_violates_bound）。

(10) の形があれば、どの $k$ の有効質量もその通り道の最も低いエネルギー $E_{\rm low}$ の上界で、平坦域は要りません。演算子の線形結合を選ぶ変分も同じです（1-10 §06）。

Lean左は meff_ge_of_corr・meff_var_ge（仮定：(10) と、すべての固有値が $e^{-E_{\rm low}}$ 以下）、右は gap_ge_of_overlap（仮定：(10) と重なりの下界 $q$）。左は Rayleigh–Ritz の原理そのもので 既知（1-10 §06）、記録の寄与は空間三方向だけの流れでもこれが壊れないことの確認です。右では下界の値段が重なりの下界ちょうど一つで、$q$ が無ければ重み $\varepsilon$ の軽い状態はどの $k$ でも相関を $\varepsilon$ しか変えません（light_admixture_invisible）。

表 4　記録の上界と一次資料の $am(0^{++})$（SU(2)、格子単位。一次資料は Lucini–Teper 2001 表 1）

計算（記録の測定）物理（一次資料）。同じ箱で比べられるのは $\beta=2.40$ だけで、2.55・2.60 の $12^3$ は小さな箱（$L\sqrt\sigma\lt3$）なので一次資料より下にあっても矛盾ではありません（21 本の変分は雑音の床で下に偏る）。流れの上界は 0.514 に 0.2σ で接し、比 $m(2.40)/m(2.60)$ は記録で 1.84(30)、一次資料で 1.854 です。判定に使っていた長さは弦張力の長さ $1/\sqrt\sigma$ で、質量ギャップの長さはその $1/3.84$ です（$\beta=2.60$ で $0.514/0.13395$、7-12 §04）。

図 2 は (11) の右の仮定 $q$ の効き方を見ます（隠れた軽い状態そのものは 4-11 §04）。

計算この図の数値はこの端末で計算した（模型の式をその場で評価）。

計算$k=8$ で読むと、$\varepsilon=0$ では $m_{\rm eff}=0.5152$、$q=0.5$ の右辺 0.4858 で真の 0.514 を挟みます。$\varepsilon=10^{-4}$ では $m_{\rm eff}=0.5151$ とほぼ同じで、$q=0.5$ の右辺 0.4857 は真の最低 0.30 を超える誤り、正しい $q=6.3\times10^{-5}$ では −0.638 で何も言いません。記録の結論「下界は有限個の測定からは原理的に出ず、理論の構造からの入力が要る」は、ギャップと指数的なクラスター性の同値という既知の枠組みの言い換えです 既知。

三つの方向は同じ壁に着きました。方向 12・13 は「ある演算子が長波長の揺らぎに大きく重なる」こと、方向 14 は「最も低い状態への重なりが下から押さえられる」ことを要し、どちらもゲージ不変な演算子と最も軽い揺らぎの重なりの下界です。記録の言葉で「その道具がこの方向に無い」。

重なりの下界は「軽い状態が他に隠れていない」ことを含む、すべての状態についての言明で、H↑ の壁（10-03 §07）と同じ形です。例：図 2 で小さな $\varepsilon$（$10^{-4}$ 以下）を入れると、測定の側（太線）はほとんど動かず、構造の側の仮定 $q$ だけが偽になります。

記録は「$C_P\asymp\xi^2$ が偽だとは言っていない。閉じたのは試験関数の族の性質」と書き、残る自由度は演算子そのもの（ゲージ共変な平滑化と行列の変分）としています。構造の入力を閉じ込めの管の側から探したのが方向 15・15′（10-06）です。一覧は 10-07、壁は 10-08、定理までの距離は 10-11。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：10-06 方向 15・15′ — 管の欠損・Wulff・ホログラフィーの鎖・位相電荷。

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