2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 7 部 物理の側からゲージ群の出どころ

ゲージ場はどこから来るか — 群は膜の枚数・格子・特異点の形から読み取られる

四次元のヤン–ミルズ理論では、ゲージ群 $G$ は手で選ぶ入力です。懸賞問題の文（Jaffe–Witten）も 'for any compact simple gauge group G' と書き、1-04 の一覧のどれでもよいとします（0-03）。余剰次元を持つ理論では、群が別のものから読み取られる出力になります 物理。

どの道でも決まるのは低いエネルギーで見える場の組と群で、四次元の量子論の存在ではありません。四つのうち膜・格子・特異点の三つは超対称な設定（ボソンとフェルミオンを入れ替える対称性を持つ理論）の中の話で、そのことが純ヤン–ミルズにとって何を意味するかは §10 で振り返ります。

7-06 §04 では円の回転が U(1) になりました。内部空間 $K$ の距離を変えない変換（等長変換）の群 $\mathrm{Isom}(K)$ が大きければ、その無限小の生成元（キリングベクトル場）一本ごとにゲージ場が一本出て、生成元の交換子が構造定数（1-03）になります 物理。球面の回転の生成元 $L_a=\varepsilon_{abc}x_b\partial_c$ では

で（左の式は数値で確かめた 計算）、$S^n$ からは $n(n+1)/2$ 本、$\mathbb{CP}^2$（$\mathbb C^3$ の原点を通る複素直線全体。実 4 次元）からは SU(3) の 8 本のゲージ場が出ます 既知。等長変換の群が局所的に（リー環として）SU(3)×SU(2)×U(1)（3-07）になる七次元の空間の一例が $\mathbb{CP}^2\times S^2\times S^1$（$4+2+1=7$ 次元）で、四次元と合わせて全体は $4+7=11$ 次元になります。

Witten（1981）は十一次元の超重力を七次元の空間に丸める道を調べ、要旨で 'It is possible to obtain an SU(3) × SU(2) × U(1) gauge group, but the proper fermion quantum numbers are difficult to achieve' と書きました。Witten が調べた七次元の空間が上の例と同じとは限りません。

開いた弦の端を部分空間に張り付ける境界条件を課すと、その部分空間が D ブレーンです（Polchinski 1995：'extended objects defined by mixed Dirichlet-Neumann boundary conditions in string theory'）物理。空間 $p$ 次元のものを D$p$ ブレーンと呼びます。弦の両端に膜の番号 $1,\dots,N$ を付けると、状態は $N\times N$ 行列を係数に持ち、質量ゼロのベクトルは U(N) の随伴表現（1-04）になります（Polchinski の講義 1996：'this global symmetry of the world-sheet theory is elevated to a gauge symmetry in spacetime'）。弦は $N^2$ 種類、$\dim U(N)=N^2$ です。

膜を離すと間の弦は重くなります（Witten 1995b §3。$T$ は弦の張力、$a_i$ は膜の位置）。

$n_1,n_2,\dots$ 枚ずつ重なれば、残る群は $U(n_1)\times U(n_2)\times\cdots$ で

です（Polchinski の講義にも同じ勘定）。膜を離すことは、ヒッグス機構を幾何の側から見たものです。正確には、§04 の随伴スカラー $X^i$ が対角の値 $\mathrm{diag}(a_1,\dots,a_N)$ を取ると、非対角のゲージ場が (2) の質量を得ます。スカラーの値でゲージ場が重くなるこの仕組みをヒッグス機構と呼びます（3-07）物理。

計算表1 はこの端末で数え、図1 は (2)(3) からその場で描く。JavaScript が無効なら表1 を。

離れた四枚の W の質量は $d_1,d_2,d_3$ とその連続した和の 6 通りで、SU(4)（$A_3$）の単純根 3 本と正の根 6 本の関係です。§07 では同じ構造が球の面積として現れます。

重なった膜の上の理論は 'the dimensional reduction of ten-dimensional supersymmetric Yang-Mills theory with gauge group U(n) from ten to p+1 dimensions' です（Witten 1995b §3）物理。十次元のゲージ場の成分を膜に沿う方向と垂直な方向に分けると

で、$X^i$ は随伴表現の $9-p$ 本のスカラー（$N\times N$ エルミート行列）、$V$ はそのポテンシャルです。$X$ はエルミートなので $[X^i,X^j]$ は反エルミートで、$\operatorname{tr}[X^i,X^j]^2\le0$。したがって $V\ge0$ です。$V=0$ なら行列は同時に対角化でき、Witten は対角成分を膜の位置と読みます。非対角成分が膜の間の弦で、写像 $\delta\mapsto\sum_k[X^k,[X^k,\delta]]$ の固有値は $|a_\lambda-a_\mu|^2$（$T^2$ を掛ければ (2) の二乗）です。ユニタリ行列で共役にした二方向の例で $4\times10^{-15}$ 以内の一致を確かめました 計算。

D3 ブレーンの上は、6 本のスカラーとフェルミオンを伴う四次元 $\mathcal N=4$ の U(N) 超対称ヤン–ミルズで（7-08 の出発点）、純ヤン–ミルズではありません。行列の添字は 7-04 の二重線と同じ構造です。

ヘテロ弦は、閉じた弦の右向きを超弦（中心電荷 15）、左向きをボゾン弦（26）の帳簿に従わせたものです（7-05 §06、Gross–Harvey–Martinec–Rohm 1985）。左向きは平坦な十次元の 10 に対して 16 足りず、Polchinski の講義（1994）は超対称なヘテロ弦について 'an additional (0, 16) is needed from another unitary CFT' と書き、解は $E_8\times E_8$ か SO(32) だけだと続けます 物理。

16 次元の格子

格子の描像では、この 16 を左向きの 16 本のボソンを巻いたトーラス $\mathbb R^{16}/\Gamma$ と見ます 物理。運動量 $P$ は格子 $\Gamma$ に乗り、$P\cdot P=2$ の状態が質量ゼロのベクトルになります。トーラスに巻いたヘテロ弦について、Witten（1995 §4.6）は 'The gauge symmetry is extended precisely when $V^\perp$ contains some P of $d_P=1$' と書きます。Witten の $V^\perp$ は左向きの電荷の空間です。Witten は内積の符号を本章と逆に取って $d_P=-(P,P)/2$ と書くので、$d_P=1$ は本章の符号で $P\cdot P=2$ に当たります。$\Gamma$ は偶（$P\cdot P$ がすべて偶数）で自己双対（全点と整数の内積を持つ点がちょうど $\Gamma$）でなければなりません。この条件は、世界面がトーラスになる一ループの振幅が、トーラスの形の取り方に依らないという要請（モジュラー不変性）から来るとされ、Polchinski の講義も 'The constraints of modular invariance are strong' と書きます。

16 次元の偶で自己双対な格子は二つだけです 既知。どちらも「$x\in\mathbb Z^n\cup(\mathbb Z+\tfrac12)^n$、$\sum x_i$ が偶数」で書け、$n=8$ を二つ並べたのが $E_8\oplus E_8$、$n=16$ が $D_{16}^+$ です。根はどちらも 480 本で (5) は 496 ですが、内積が 0 でない根を結ぶと、前者は 240 本ずつ二つに分かれ（$E_8\times E_8$）、後者は一つにつながります（$\mathfrak{so}(32)$）計算。十次元の群は正確には $\mathrm{Spin}(32)/\mathbb Z_2$ と書かれます。$\mathrm{Spin}(32)$ は SO(32) の二重被覆で、1-02 の SU(2)→SO(3) と同じ関係です（割る $\mathbb Z_2$ は、SO(32) に戻すものとは別の元です）。$D_{16}^+$ の根が張る格子は $D_{16}^+$ の中で指数 2 の部分格子で、この $/\mathbb Z_2$ はその差に対応するとされます。

十一次元から見ると、Hořava–Witten は二つの $E_8$ が線分 $S^1/\mathbb Z_2$ の両端の壁に一つずつ載ると提案しました（1995 年の要旨は 'We propose'、1996 年の要旨は群が 'a copy of E8 for each boundary component' に決まると書き、'the hypothesis that there is a consistent quantum M-theory' を前提と明示）物理。

寄り道：同じ塔、違う群

$E_8\times E_8$ を四次元に下ろすには六次元の Calabi–Yau 多様体 $K$ に丸めます（7-06 §05）。$K$ のホロノミー（1-07）は SU(3) に収まり、標準的な構成ではゲージ場のホロノミーも $E_8$ の中の SU(3) にそろえるとされます 物理。四次元で見えるゲージ変換は $K$ 全体で一定の $g$ で、どの閉じた道の平行移動でも変わらない、つまりホロノミーのすべての元と可換でなければなりません 既知。

$E_8$ の根 240 本のうち SU(3) の根と直交するものは 72 本で、$E_6$（次元 78）になります 計算。Candelas–Horowitz–Strominger–Witten（1985）の要旨は 'a model that in four dimensions has an E6 gauge group with four standard generations of fermions' と書きます。

計算表3 は $E_8$ の根 240 本を座標で作って数え、型は階数・根の数・Cartan 行列の行列式で決めた。

余りの 162 本は $2\times27\times3$（$E_6$ の 27 次元と SU(3) の 3 次元の組とその共役）で、四次元のフェルミオンはここから来るとされます。

K3 曲面は複素二次元（実四次元）の Calabi–Yau 多様体で、ホロノミーは SU(2) です（表3 の左端）既知。Witten（1995 §4.6）は、トーラスに巻いたヘテロ弦と K3 曲面に巻いた IIA 弦の対応で 'Whenever the heterotic string on a four-torus gets an enhanced gauge group G, the corresponding K3 gets an orbifold singularity of type G' と書きます 物理。そのとき 'a configuration of r two-spheres $S_i$ (with an intersection matrix given by the Dynkin diagram of G) collapses to a point' で（Dynkin 図はこの節の後半で定義します）、球一つにつき U(1) が一つ出ます。W ボソンは潰れる球に巻きついた二次元の膜です（Bershadsky–Sadov–Vafa 1996 §1 の記述による）。質量は膜の張力×球の面積とされ、§03 の $T|a|$ と同じ形です。

交差数と負定値

なぜ ADE だけか。球の交差数 $M_{ij}=S_i\cdot S_j$ を見ます。二つの球については、交わる点を向きの符号 $\pm1$ 付きで数えた和です。自分自身との交差数（自己交差数）は、球を少しずらした写しとの交点を同じように数えたもので、K3 の中の球では $-2$ になります 既知。球の類どうしの「内積」をこの交差数で定めると、K3 ではこの内積は三方向で正・十九方向で負です（符号 $(3,19)$）既知。Witten によれば、潰れる極限で球の類はこの内積が負定値になる部分空間 $V^\perp$ に入るので、$M$ は負定値（すべての $x\ne0$ で $x^{\mathsf T}Mx<0$）です。潰れる球 $S_i$ は正則な曲線（局所的に複素座標の正則関数の零点として書ける、複素一次元の曲線）にとれ、異なる正則な曲線どうしの交点は複素構造のためにどれも正の数として数えられるので $M_{ij}\ge0$ です 既知。$x=e_i+e_j$ で $-4+2M_{ij}<0$ から $M_{ij}\le1$。よって $M=-(2I-A)$ で、$A$ は球を頂点、交わりを辺とするグラフの隣接行列です。このグラフを Dynkin 図と呼びます（ここに出るのは辺がすべて一重の「単純レース型」）。次が要ります。

グラフが連結でなければ成分ごとに考えます（成分ごとに群の積になります）。連結なグラフに輪があれば、輪の上で 1 のベクトルで左辺が 0 以下なので、木に限られます。頂点 10 個以下の木 201 個を調べると、残るのは A 型（一直線）・D 型（端が二股）・$E_6,E_7,E_8$ だけでした（表4）計算。一般の頂点数でもこれだけであることは、単純リー環の分類（1-04）の一部として知られます 既知。

計算表4 と図2 の数はこの端末で計算した。最小固有値は $2-2\cos(\pi/h)$（$h$ は根の数÷階数）と 6 桁で一致し、図はこの式で描く。$E_8$ の一つ先には (7) を 0 にする整数ベクトル（中心 6、腕 3／4・2／5・4・3・2・1）がある。JavaScript が無効なら表4・表5 を。

ADE は根の長さがそろった型だけです。B・C・F・G は、特異点をさらに別の方向に束ねると出ます。Bershadsky ほか（1996 §3）は、別のパラメータの上を一周すると潰れる球が Dynkin 図の自己同型（辺を保つ頂点の入れ替え）で入れ替わることがあり、そのとき 'the actual gauge group will be smaller' と書いて次を挙げます（最後は三本の足の巡回）物理。

これで A から G までのすべての型が幾何から出ます。入れ替えで正の根を束ねた軌道の数は、折りたたんだ代数の正の根の数と一致します（表5）計算。

計算表5 は Cartan 行列から根を生成して数えた（$A_3\to C_2$・$A_7\to C_4$・$D_6\to B_5$ も一致）。

ただし同じ論文は 'a given A-D-E singularity may not correspond to an enhanced gauge symmetry' と断っています。この仕組みで場の理論を計算するのが幾何工学で、Katz–Klemm–Vafa（1997）は四次元 $\mathcal N=2$ の厳密な結果（7-11）を弦の T 双対性（半径 $R$ の円と半径 $\alpha'/R$ の円に巻いた弦が同じ理論を与えること。$\alpha'$ は 7-05 の (1)）に帰着させ、'This construction is not based on any duality conjecture' と書きます 物理。扱えるのは超電荷（7-05 §07）8 個以上（四次元の $\mathcal N=2$ 以上に当たる）の超対称な理論で、非超対称の純ヤン–ミルズの質量ギャップを幾何工学で扱った例は、探した範囲で見当たりません。

十一次元から四次元の純ヤン–ミルズに下りる道を Witten（1998 §4）が述べています 物理。出発点は M5 ブレーン（M 理論の、空間五次元に広がった膜）の上の六次元 (2,0) 理論（(2,0) は六次元の超対称性の型の名前。Witten は 'exotic' と呼ぶ）で、$AdS_7\times S^4$（$AdS_7$ は負の一定の曲率を持つ七次元の時空。7-08 で扱う）の M 理論として 'can apparently be interpreted' とされます（Maldacena の予想による）。ラグランジアンによる記述は知られていないとされ、数学的な定義もありません。これを二つの円に巻きます。

$C_2$ でフェルミオンを反周期（一周で符号が反転）にすると、フェルミオンは質量 $1/R_2$ 程度を得て、スカラーも 'very plausibly' 一ループで重くなり、'If this is so, the low energy theory will be the pure SU(N) theory without supersymmetry' です。IIA 弦で言えば $\mathbb R^4\times S^1$ に巻いた $N$ 枚の D4 ブレーンで、§03–04 の膜の上の理論が四次元に降りてきます。

Witten は $\eta=g_4^2N$ を小さく保ち、円の尺度では弱結合、ずっと長い距離で強結合になるようにしたいと書きます。一ループの目安は、7-01 の (3) で $b_0=11N/(48\pi^2)$（7-01 の (1)）、$\mu=1/R_2$、$g^2(\mu)=g_4^2=\eta/N$ と置くと

で、$\eta=1$ なら $4\times10^{-10}$、$\eta=10$ なら 0.12 です 計算。係数は結合の規約と $\mu=1/R_2$ の取り方で変わるので、これは桁の目安です。しかし超重力で計算できるのは 'at least if η is large' のときで、小さい $\eta$ への接続を Witten は 'This looks like a tall order' と書きます。極限の順序は 7-10、ギャップが幾何に見える仕組みは 7-09 へ。

どの道でも群には余分な場や超対称性が付いてきます（膜の上の $9-p$ 本のスカラー、二つの円の質量 $1/R_2$ の場など）物理。そして懸賞問題にとって、群は難しさの在りかではありません。問題文はどのコンパクト単純群でもよく、問われるのはその量子ヤン–ミルズ理論が $\mathbb R^4$ で公理（4-10）を満たして存在し、質量ギャップを持つこと（4-11）です。幾何は A〜G の名前をすべて作れますが超対称な設定の中でのことで、純ヤン–ミルズへの道（§09）は期待と極限の順序に頼っています。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：7-08 ホログラフィー — 膜の上の $\mathcal N=4$ の理論と、動径が尺度になる対応。

← 7-06 余剰次元が見えなくなる仕組み目次7-08 ホログラフィー →