2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 10 部 質量ギャップの厳密な証明へ — この端末の検討入口・五つの量

第 10 部の入口 — 酔歩と定規と時計：五つの量を比喩で揃える

第 10 部は、この端末の記録が質量ギャップの証明に向けて置いた仮定と、その周りの計算を並べる部です。そこで何度も出てくる五つの量を、式に入る前に比喩で一つずつ立てます。

酔歩（でたらめに一歩ずつ動く粒）がインクのにじみ方を決め、定規が長さを、時計がにじむ時間を測ります。問いは、定規と時計が同じ尺度で動くかどうかです。正確には、①②④⑤ は格子の上の測度の族（$\beta$ ごとに一つ）についての量で、③ だけは記帳の約束から決まる長さです。

① ② は測度から、③ は記帳（繰り込み群の段の数え方）から決まる量で、④ ⑤ は ② を測る時計の性質です。仮定 H は ② と ① を比べる一文です。

真空の揺らぎは、近い場所どうしで似ていて、離れると無関係になります。どれだけ離れると無関係になるかの長さが相関長 $\xi$ です。比喩で言えば、場が持っている一本の定規です。

式では、二点の相関（平均を引いた積の期待値）が離れた距離 $r$ とともに指数で減り、その減り方の長さが $\xi$ です。

$m$ は転送行列のハミルトニアンの隙間（真空の次の固有値までの距離）で、$r$ は虚時間の向きの距離です。相関の減り方と隙間が同じ量であることは 4-11 §02、相関長としての言い直しは 4-11 §07 にあります 既知。

例。一次元の格子の自由場（隣どうしをばねで結んだガウスの鎖、質量 $m_0$）では、相関がちょうど $e^{-r/\xi}$ で減り、$m_0^2=2(\cosh(1/\xi)-1)$ で $\xi$ が決まります。$m_0=1$ で $\xi\approx1.04$、$m_0=0.1$ で $\xi\approx10.0$ です（8-03 §05 の表 1）。

格子の上で測れる $\xi$ は、格子の一目盛りを単位にした数です（5-09 §01）。物理の長さは $\xi$ に格子間隔 $a$ を掛けた $a\xi$ で、連続極限では $a\to0$ のまま $a\xi$ が有限に残らなければなりません。つまり格子単位の $\xi$ は無限大へ伸びる必要があります（5-09 §05）。格子単位の隙間が一様に下から押さえられることは、逆に物理の質量の発散です（5-09 §04）。

正確には、$\xi$ は「ゲージ不変な状態の上の」隙間の逆数です（4-11 §09）。

紙の上に一滴のインクを落とすと、インクは少しずつにじんで広がり、最後は一様に薄くなります。にじみの正体は、インクの粒の酔歩です。各粒は毎刻み左右どちらかにでたらめに一歩動きます。$t$ 歩のあとの粒の広がり（二乗平均の距離）は $\sqrt t$ で、長さ $L$ の帯を一様にするには $L^2$ 程度の歩数がかかります。

この「均し終わるまでの最も長い時間」を、揺らぎについて一般に定めたものが Poincaré 定数 $C_P$ です。比喩で言えば、測度が持っている一個の時計の読み、にじむ時間です。

式で書きます。確率の測度 $\mu$ と、関数 $f$ の「場所による変化の大きさ」$\mathcal E(f)$（Dirichlet 形）があるとき、

の最良の定数が $C_P$ です（1-10 §07）。分散が大きいのに変化が小さい関数、つまり「大きくゆっくり変わる揺らぎ」があると $C_P$ は大きくなります。$\mu$ を平衡に持つ拡散の力学（Langevin 力学）では、$1/C_P$ がその力学の隙間で、最も遅い揺らぎは時間 $C_P$ ごとに $1/e$ に減ります 既知。

例：一本道の酔歩

升が $L$ 個並んだ一本道（両端で跳ね返る）を考えます。$\mu$ は一様分布、$\mathcal E(f)=\frac1L\sum_{i}(f_{i+1}-f_i)^2$ です。このとき (2) の $C_P$ は道のラプラス行列の 0 の次の固有値の逆数で、閉じた形に書けます 既知。

表 1 は (3) を固有値の数値計算と突き合わせたものです。$C_P/L^2$ は $1/\pi^2\approx0.10132$ に寄っていきます。

図 1 は、左半分が濃く右半分が白い帯を、拡散の式 $u\leftarrow u+h\,\Delta u$（刻み $h=0.25$）で均していく様子です。いちばん遅い成分（帯全体にわたる一つの山）の振幅が $1/e$ に落ちる時刻を測ると、表 1 の $C_P$ と合います。$L$ を倍にすると、均し終わるまでの時間は 4 倍になります。

計算この図の数値はこの端末で計算した（拡散の式をその場で回す。$1/e$ に落ちる時刻は $L=8,16,32,64$ で 6.50・26.00・103.75・415.00）。JavaScript が無いときは表 1 で読めます。

ゲージ理論で使う $C_P$ は、この一本道を「格子のすべてのリンクの配位の空間」に置き換えたものです。$\mu$ は Wilson 作用の測度、$\mathcal E$ はリンクを少し回したときの変化の二乗の期待値で、Langevin 力学は「人工的な第五の時間」$s$ に沿って配位全体を拡散させます（8-03 §05・6-09）。

格子の自由場では、いちばん遅い揺らぎは場全体を一様にずらす向きで、その速さが質量の二乗 $m_0^2$ です。だから $C_P=1/m_0^2$ で、(1) の $m_0^2=2(\cosh(1/\xi)-1)$ から $C_P/\xi^2$ は $\xi=1,4,16,256$ で 0.921・0.995・0.9997・0.999999 と 1 に寄ります 計算。にじむ時間が定規の二乗、というのが自由場の答えです。

正確には、ここで言う $C_P$ は「時空の全体の配位の分布（経路の測度）」の Poincaré 定数です。一つの時刻の真空の分布の Poincaré 定数は別の量で、そちらはハミルトニアンの隙間と厳密に結び付きます。区別は 10-03 §01 の表 0 にあります。また $C_P$ が $\xi$ の何乗で伸びるかの冪 $z$（動的指数）が 2 からずれる既知の例は 2-10 にあります。

寄り道：酔歩はなぜ二乗か

相関長 $\xi$ は測度から決まる定規ですが、四次元の格子ヤン–ミルズで $\xi$ を $\beta$ の関数として厳密に（式で）求める手はありません。数値では測られていますが（5-08）、証明には使えません。そこでこの端末の記録は、もう一本の定規を別に作りました。地図の縮尺を一段ずつ粗くしていき、何回で「決まった粗さの絵」に着くかを数えるやり方です。比喩で言えば、縮尺の回数です。

格子を $b$ 倍に粗くする一段（繰り込み群の一段、6-05）で、結合 $\beta=4/g^2$（SU(2)）が次のように下がると数えます。

$\kappa$ は既知の一ループの係数（漸近的自由性、4-06）を格子の $\beta$ で書き直したもの 既知、$\delta(b)$ は一段の記帳で取りこぼす分（10-02 §08）です。決まった値 $\beta_*$ まで下がるのにかかる段数を $k(\beta)$ として、

と置きます。$\delta=0$ なら段数は $(\beta-\beta_*)/(\kappa\ln b)$ で、$\xi_{\rm RG}$ は $b$ に依りません。これは一ループの次元転移の式（4-07）と同じ形で、$\beta$ を少し上げるだけで $\xi_{\rm RG}$ は指数で伸びます。

$\beta$ を 1 上げるごとに半分にする回数が約 3.9 回増えます。$\beta_*$ の選び方は定数倍にしか効きません。

正確には、$\xi_{\rm RG}$ は測度から直接決まる長さではなく、記帳の約束から決まる長さです。$\xi_{\rm RG}$ と $\xi$ が定数倍で揃うことは、7-12 §05 の鎖 (ii)(iii)（質量と弦張力、弦張力と格子間隔が揃う）の仮定で、証明されていません。また記帳を一ループで打ち切ると、二ループの走りとの差が対数の因子として残ります（10-03 §06）。

(2) の $C_P$ は、$\mathcal E$ をどの単位で測るかで値が変わります。同じ揺らぎを「リンクの角度 $\vartheta$」で測るか、「場 $A$」で測るかの違いです。比喩で言えば、同じ時計の目盛りの振り方です。ただしこの目盛りの間隔は $\beta$ とともに変わります。

SU(2) のリンクを $U=e^{i\vartheta\cdot\sigma}$ と書くと、連続理論の場 $A$ との関係は $A=\sqrt\beta\,\vartheta$ です。$\mathcal E$ は微分の二乗なので、場で測ると $1/\beta$ 倍になり、$C_P$ は逆に $\beta$ 倍になります。

この端末の記録の $\mathcal E$ はリンクの角度で書かれています（8-05 §03）。

例。$\beta$ は $\ln\xi$ に比例して伸びるので（(6)）、角度の目盛りでは $C_P/\xi^2$ が $1/\beta$、つまり $1/\ln\xi$ のようにゆっくり 0 へ落ちます。$\beta=2.5$ で 1 に揃えると、$\beta=4$ で 0.625、$\beta=100$ で 0.025 です（表 3 の「角度 $\vartheta$」の列）。冪で見れば $\xi$ の 2 乗のままで、局所的な傾き $d\ln C_P/d\ln\xi$ は $2-\kappa/\beta$ と 2 に近づきます。

正確には、目盛りの違いは「冪」には映らず、「定数倍の幅（帯）」にだけ映ります。そこで第 10 部では、仮定 H を冪の水準で置き、帯で言う文は $\text{H}_{\rm band}[\mathcal E_\vartheta]$・$\text{H}_{\rm band}[\mathcal E_A]$ のように目盛りを名指して別の仮定にします（10-03 §02 の八つの読み）。

目盛りの振り方を決めても、まだ問題が残ります。Langevin の時間 $s$ そのものが、尺度を変えると伸び縮みするからです。比喩で言えば、近くで見るほど遅れて進む時計です。

確率量子化（6-09）では、確率時間を五つ目の座標とする場の理論として摂動論で繰り込みます。すると場と結合のほかに、確率時間の目盛りも定数倍 $Z_t$ で直す必要が出ます（$s=Z_t\,s_r$）既知（摂動論の水準）。この端末の記録は、その一ループの係数を正規化の言葉に移し、次の形に読みました。

これは摂動論の一ループの近似での読みで、いくつかの前提が付きます 物理（一覧と係数の出どころは 10-03 §06 の「三つ目の対数」）。角度の目盛りの冪 $\beta^{-9/22}$ は、Lüscher–Schaefer（2011）が自己相関時間に書く因子 $g_0^{9/11}$ と同じ冪です 既知。同じ一ループの係数から来るので、独立な確かめではありません（10-12 §09 表 4 の行 19）。

図 2 は、目盛り二通りと遅れの有無二通りを組み合わせた四つの時計で $C_P/\xi^2$ を描きます。$\xi$ は (6) の $\xi_{\rm RG}$ で代用し、定数は $\beta=2.5$ で 1 に揃えました。

計算この図の数値はこの端末で計算した（(6)〜(8) をその場で描く模式図）。JavaScript が無いときは表 3 で読めます。

どの時計でも冪は 2 に寄り、定数倍は寄りません。

正確には、図 2 と表 3 は、相互作用を一ループの対数の因子だけで表した模式です。四次元の格子ヤン–ミルズの $C_P$ を計算したものではなく、相互作用のある理論で $C_P$ がどう振る舞うかは分かっていません。

五つの量がそろったので、仮定 H を比喩で一文にします。「にじむ時間は、定規の二乗と同じ冪で伸びる」。自由場では §03 のとおり成り立ち、相互作用のある四次元の格子ヤン–ミルズで成り立つかが問いです。

冪の水準の文なので、④ の目盛りの違いにも、⑤ の遅れ（$\beta$ の端数の冪）にも動かされません（表 3 の下の二行、または図 2 を「縦軸を傾きに」にした絵）。正式な文と、帯で言う読みとの区別は 10-03 §02 にあります。

上の半分と下の半分

冪の H より強い、帯の文 $\text{H}_{\rm band}[\mathcal E_\vartheta]\wedge\text{(ii)(iii)}$（10-03 の (3)。記帳の長さ $\xi_{\rm RG}$ と定数倍の幅で比べる文）は、上の半分と下の半分に割れます。H↑ と H↓ を合わせた文は H より強く、H とは呼びません。比喩で言えば、H↑ は「にじむ時間が定規の二乗より遅すぎない」、H↓ は「速すぎない」です。

$A\lesssim B$ は $\beta$ に依らない定数 $C$ で $A\le CB$ のことです。(10) は 10-03 §03 の (5) の言い換えで、どちらも上の帯の文の半分です。

二つの半分は、質量について逆のことを言います。いちばん遅い揺らぎの速さ $1/C_P$ が隙間の二乗 $m^2$ と同じ（鎖 (i) を等号で置く）とし、物理単位の質量を $m_{\rm phys}=m\,\xi_{\rm RG}$ とすると、

です。H↑ は「質量が 0 に潰れない」、つまり質量ギャップの側の下界で、H↓ は「質量が無限大に逃げない」側です Leanhup_is_gap_positivity・hdown_is_mass_finiteness（仮定：$C_P=1/m^2$・$m\gt0$・(10) の片側。中身は不等式の代数で、対応する既知は 4-11 §07 の隙間と相関長）。仮定 $C_P=1/m^2$ は場 $A$ の目盛り（§05）での自由場の値で、角度の目盛りでは $g^2/4$ 倍ずれます（10-07 §08）。

例。強結合の側の既知の評価は $C_P$ が有界という形です（10-01 §06）。これが $\beta\to\infty$ まで延びると H↑ は満たし H↓ は破れ、$m_{\rm phys}\to\infty$ の自明な極限に落ちます（5-09 §08）。

「ある f」と「すべての f」

(2) の $C_P$ は上限なので、二つの半分は示し方の難しさが違います。H↓（下から押さえる）は、$\operatorname{Var}(f)/\mathcal E(f)$ が大きい試験関数を一つ見せれば足ります。H↑（上から押さえる）は、すべての $f$ について不等式を示す必要があります。

比喩で言えば、にじみが遅いことは一つのしみを見せれば言えますが、遅すぎないことはあらゆるしみについて言わなければなりません。質量ギャップの証明は H↑ の側にあり、測定や試験関数で届くのは H↓ の側だけです（10-03 §03・4-11 §04）。

正確には、H↓ は Clay の問題文の「非自明」（相互作用があること、0-03）とは別の条件で、場 $A$ の目盛りで測れば、自由な質量つきの場でも成り立ちます。H・H↑・H↓ はどれも仮定で、四次元の格子ヤン–ミルズでどちらの向きにも定理はありません。

この章の比喩は、第 10 部のどこかで一度ずつ正確な文に置き換わります。表 4 は、比喩・記号・正確にする章・状態の対応です。状態の欄の「仮定」は証明を持たずに置いたもの、「約束」は記帳や単位の取り決めです。

最終行の H は冪の文で、H↑・H↓ はそれより強い帯の文の半分です。質量ギャップの側にある H↑ を追うなら 10-03 §05 と §07、測定や試験関数で届く H↓ の側は 10-03 §04 に進みます。

筋を先に追うなら 10-01 → 10-03 → 10-11（定理までの距離）、計算を先に見るなら 10-02 → 10-12（つじつま合わせ）、残ったことを先に見るなら 10-04 → 10-08 → 10-10 → 10-13 が近道です。 Lean で閉じた言明と仮定は 10-07、Lean の読み方は Lean の案内、四次元の絵は 四次元の記事にあります。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：10-01 理論の構成の筋 — 問題を (S1)〜(S8) の八つの言明に割り、格子版の質量ギャップの向きを正しく読む。

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