2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ付録検証の手順

この本の作り方 — 札と出典表は、文がどの段まで確かめられたかの記録

教科書の文は、読者がそのまま信じることを前提に書かれがちです。この本はそうしません。文ごとに札を付け（0-01 の凡例）、出典表に「本文を読んだか」「要旨だけか」「書誌だけか」を書き、計算は手元で再現できる形で残します。札と出典表は、読者が「この文はどこまで信じてよいか」を自分で測るための目盛りです。正確には、札は文がどの段まで確かめられたかの記録で、正しさの程度を数で表すものではありません。

目盛りは、それを刻んだ手順が分からなければ読めません。たとえば「既知」の札が付いた文でも、一次資料の本文と逐語で照合したのか、総説の記述を写したのかで、重みが違います。この付録は、その手順を読者の側から説明します。どの段で何を確かめ、何を確かめていないかを、段ごとに書きます。

流れを一行で書きます。

七つの段はどれも、前の段が見落とすものを拾うために置いてあります。ただし、どの段も「正しいこと」を保証しません。保証しないことは §09 にまとめます。

例。第 5 部の「Wilson 作用は反射正値性を持つ」という文には「既知」の札が付き、出典表に Osterwalder–Seiler の論文が挙がっています（5-03）。「既知」の札は、一次資料で確かめた既知の結果であることを示します。どの深さで確かめたか（本文・要旨・書誌のみ）は出典表に書き、この例の出典表には「要旨を確認、本文は未確認」とあります。反証検査（§04）を通ったかどうかは、札では区別しません。出典表に「書誌のみ」とあれば、照合は書誌の段で止まっています。

Lean による機械検査の手順は、この付録では扱いません。それは A-04 にあります。札の決め方（一つの文に一つの札・鎖の強さは最も弱い段）も A-04 §07 が正本です。

一つの文が本文に載るまでに通る段を、図 1 に並べました。つまみを動かすと、その段が何を拾い、何を拾わないかが下に出ます。

段の順番には理由があります。照合（段 2）より前に反証（段 3）を置くと、反証する側が何と比べればよいか分かりません。札（段 5）を照合と計算のあとに置くのは、札が「どの段まで通ったか」の記録だからです。整合（段 6）と組み立て（段 7）は章を一つずつ見ていては拾えない誤りのための段で、部が揃うたびに（最後は本全体で）通します。

表 1 は図 1 と同じ内容です（図は模式図で、数値を含みません）。

この本が「一次資料」と呼ぶのは、結果を最初に述べた論文、または問題文そのものです。総説や教科書は、一次資料への道案内として使い、一次資料の代わりにはしません。年号と帰属（誰がいつ何を示したか）は、記憶で書かず、資料の上で確かめます。

照合には深さが三段あり、出典表にはどの段まで届いたかを書きます。

逐語の確認は、引用符で囲んだ原文が資料の中に文字どおり在ることを、検索で確かめる作業です。訳した文を本文に置くときも、照合は原文で行います。

例。Clay 研究所の問題文（Jaffe–Witten）は公開の PDF の本文で照合しました。問題の要求は原文で次のとおりです。

“Prove that for any compact simple gauge group G, a non-trivial quantum Yang–Mills theory exists on R⁴ and has a mass gap Δ > 0.”

この文は 0-03 が一語ずつ読みます。本文で照合したので、0-03 は「存在」「非自明」「質量ギャップ」の各語を、問題文の強さのまま使えます。

一方、要旨しか読めなかった論文については、要旨にある主張は「要旨で確認」と書き、要旨に無い主張は本文に持ち込みません。節の番号も同じで、要旨が節に触れていなければ、どの節に書いてあるかは本文を読むまで分かりません。

例。Wilson–Kogut の総説（Phys. Rep. 12 (1974) 75）の要旨は一文だけで、節には触れていません。そこでこの本は、ある話題が「Wilson–Kogut の §10 で述べられている」とは書かず、出典表に「§10 は未確認」と書きます。

寄り道：伝聞の形で書くということ

照合を済ませた材料は、別の読み手に渡します。その読み手の仕事は確認ではなく、反証です。「この文は資料が言うより強くないか」「確定と書いたが、条件が要るのではないか」「この書誌は実在するか」を、もう一度一次資料に当たって探します。判定は三つです。

• 確認（confirmed）：資料と照らして、書かれた強さのままでよい。
• 訂正（corrected）：弱める・条件を足す・書誌を直す必要がある。訂正の文面を添える。
• 確かめられない（unverifiable）：一次資料に届かず、どちらとも言えない。伝聞の形に下げる。

章を書く段では、訂正をすべて反映することが決まりです。訂正を受けた材料を、訂正前の強さで引くことはしません。

表 3 は、主に第 6 部〜第 10 部（一部は第 0・4・5 部の章）が使う六つの材料について、判定の数を数えたものです。第 1〜5 部の多くの章は、この反証検査の材料を経ていません。

読み方。判定のおよそ半分が訂正です。訂正の割合が最も高いのは「この端末の検討の整理」で、この材料では訂正が 21 件中 14 件と多く、記録より強い言い方を弱めるものや、落ちていた条件を書き足すものが目立ちました。逆に、次元ごとの現在地のように定理の一覧に近い材料は、訂正が少なめです。

訂正の中身を語で四つの型に振り分けたのが表 4 です。振り分けは訂正の文面に現れる語による機械的なもので、一つの訂正が複数の型に入ることがあります。

例。Clay の問題文 §6.5 が述べるのは「次元正則化や Pauli–Villars など多くの正則化では反射正値性が失われ、それを回復する方法は少ない」ということで、連続的な正則化を一律に否定してはいません。この本はこの強さで引き、「連続的な正則化は反射正値性を保たない」とは書きません。反証の段が拾うのは、このように資料より一段強くなった要約です（正則化と反射正値性は 4-10・5-03）。

本文の数値のうち、この端末で計算し直せるものは計算し直し、札「計算」を付けます。計算はすべて短いプログラム（Python）で、章ごとに残してあります。出典表の「道具」の欄にその名前を書くので、同じプログラムを走らせれば同じ表が出ます。

札「計算」が意味するのは、この端末で、書かれた範囲について確かめたことです。式で書くと、ある性質 $P(n)$ を有限個の $n$ について確かめたことは

という区別になります。左は計算で、右は定理です。計算の札が付いた文を定理として引くことはしません。

計算には三つの約束があります。一つ目は、図の中で数値を作らないことです。動く図の数値は、あらかじめ計算した表を埋め込むか、その場で計算できる簡単な式（回転・級数の部分和など）に限ります。二つ目は、規約を書くことです。格子の結合 $\beta$ の定義や跡 $\operatorname{tr}$ の規格化が違うと同じ量が数倍ずれるので、計算の前提に規約を明記します（規約の換算は 5-01 と A-01）。三つ目は、普通の計算機で数分以内に終わる規模にすることです。読者が再現できない計算は、札の意味を失うからです。

例。この付録の表 3・表 4・表 5 も計算です。材料と章ページを読んで数を数えるプログラムを一本書き、その出力を写しました。この本の全体では、章ごとの計算の置き場が 100 を超え、プログラムは数百本あります。

札は、文がどの段まで通ったかを読者に伝える記録です。照合だけで止まった文には「既知」、手元で再現した数値には「計算」、物理では受け入れられているが証明の無いものには「物理」、という具合です。五つの札の意味と、札が保証しないことは 0-01 §03 の表にあります。

札を付けるときの規則は二つです。一つの文には一つの札を付けます。そして、いくつかの段を経てつながった主張では、最も弱い段の札を全体に付けます（A-04 §07）。たとえば Lean で検査した不等式に、仮定として数値を入れて結論を出したなら、結論の札は「計算」か「物理」です。札を強い側に寄せることはしません。

図 2 は、この本の章ページに現れる札を部ごとに数えたものです。部によって札の構成がはっきり違います。

計算この図の数値はこの端末で計算した（2026-10-01 時点の章ページ 110 章（この付録自身は除く）を数えた。凡例の表に置いた札も数える。章が増えれば数は変わる）。

読み方。札の大半は「既知」と「計算」です。この本の多くは既知の数学と物理の解説で、そこに手元で再現した数値を添えているからです。「物理」が最も多いのは第 7 部で、閉じ込めの機構や弦の絵のように、物理では受け入れられているが定理ではない話が中心だからです。「Lean」の札は第 10 部に集まっています。ただし、その Lean の定理の多くは実数の不等式や有限の和についての文で、四次元のヤン–ミルズ理論の存在や質量ギャップを示したものではありません（10-10・A-04 §06）。

章を一つずつ検査しても、章と章のあいだの食い違いは拾えません。たとえば、ある章で $\beta = 2N/g^2$、別の章で $\beta = 1/g^2$ と書けば、どちらの章も単独では正しくても、読者は同じ $\beta$ だと思って読み、数値が合わずに迷います。そこで、部が揃うたびに、部をまたいで読む段を通します。

この段で見るものは五つです。

1. 記号：同じ量に同じ記号を使っているか。基準は A-01 の記号表です。
2. 規約：結合 $\beta$・跡の規格化・格子の計量が章によって違うとき、換算が書いてあるか（5-01）。
3. 名前：一つの名前が、章によって違う文を指していないか。たとえば第 10 部の仮定 H は、どの長さで測るか・どの正規化で測るか・冪で言うか帯で言うかで、八通りの読み方ができます。読みごとに名前を割り当てて固定し（冪の水準を $H$、帯の文を $H_{\mathrm{band}}$ と呼び分ける。10-03）、他の章はそこにリンクして同じ名前を使います。仮定の一覧は A-06 にあります。
4. 重複：同じ説明が二つの章にあるとき、一方を正本にし、他方は一行の要約とリンクにする。
5. 確定度：同じ対応を、ある章は「確定」、別の章は「条件つき」と書いていないか。辞書の部では、定義として対応すること（確定し得る）と、四次元のヤン–ミルズ理論で実際に成り立つこと（未確定）を二つの列に分けて書きます（8-01）。

食い違いが見つかったら、どちらか一方に揃えます。揃えられない食い違い（たとえば文献によって規約が本当に違う場合）は、食い違いとして本文に書きます。

例。第 10 部の $C_P$ は、ゆらぎが均されるのにかかる時間の目安になる数です（定義は 1-10・10-01）。同じ $C_P$ の記号で、何についてのゆらぎかによって違う数を指せてしまいます（ある時刻の場についてか、時間の向きを含めた経路全体についてか）。自由場では一方が他方の二乗の 4 倍なので、取り違えると冪が二倍になります。これがこの段で区別する例で、本の全体で二つを別の量として書きます（10-01）。

最後の段は機械が行います。章ページを組み立てる道具は、次のことを全章について機械的に行い、引っかかったものを報告します。

数式を読者のブラウザではなく組み立ての段で描画するのは、読者の側で JavaScript が要らず、印刷や PDF にしても崩れないようにするためです。動く図だけが JavaScript を使い、JavaScript が無効でも、図の下の表で同じ内容が読めるようにしてあります。

機械の検査は意味を読みません。この段を通ったことは、ページが壊れていないことの保証であって、内容の保証ではありません。言い方の強さ・札の選び方・出典の深さの判断は、機械に任せず、照合と反証と整合の段で人と書き手が読みます。

七つの段を通っても、誤りは残り得ます。この本の限界を、手順の側から書いておきます。

専門家の査読を経ていません。反証の段の読み手は、書き手とは別の読み手ですが、学術誌の査読者ではありません。この本の調べ・下書き・反証の多くは、このサイトの AI の書き手が行い、人が方針を決め、公開前に読んでいます。同じ種類の読み手は、同じ誤解を共有することがあります。反証の段が拾えないのは、まさにその誤りです（表 1 の段 3）。

入手できなかった本文の中身は確かめていません。出典表に「書誌のみ」「要旨で確認」とある文献については、本文に何が書いてあるかを、この本は知りません。表 5 の「書誌のみ」の数は、その範囲の大きさの目安です。

計算は有限の範囲です。札「計算」の付いた数値は、書かれた範囲で手元の計算が出したもので、範囲の外や連続極限について何も言いません（§05）。

質量ギャップの問題は未解決です。この本のどの段も、四次元のヤン–ミルズ理論の存在や質量ギャップを示したものではありません。この本の記録が主張しないことは 10-10 に一覧があります。

誤りに気づいたら、このサイトの掲示板かお問い合わせから知らせてください。直したものは、各章の末尾の「改訂」の欄に日付つきで記します。

この章が言えている範囲

出典と再現

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