2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 3 部 ヤン–ミルズ理論（古典）作用と方程式

作用と方程式 — 一つの作用から、方程式・恒等式・エネルギー・自己双対が出る

規約は 3-02 §02 と同じで、$\hbar=c=1$、計量 $(-,+,+,+)$、エルミートな $T^a$（$\operatorname{tr}T^aT^b=\tfrac12\delta^{ab}$）、$D_\mu=\partial_\mu-igA_\mu$ です。リー環に値を取る場 $X$ には $D_\mu X=\partial_\mu X-ig[A_\mu,X]$（成分で $\partial_\mu X^a+gf^{abc}A^b_\mu X^c$）と働き、色の電場と磁場は $E^a_i=F^a_{i0}$、$B^a_i=\tfrac12\varepsilon_{ijk}F^a_{jk}$ です（3-02 §05）。作用は Maxwell の作用（2-04 の (8)）の $F$ を非可換の場の強さに替え、トレースを取ったものです。

形は四つの要求でほぼ決まります。ゲージ不変性（$F'=\Omega F\Omega^{-1}$ の回転はトレースで消える）、ローレンツ不変性、方程式が時間の二階微分で閉じること、そして作用の係数に長さの尺度を入れないこと（質量の次元が $[F^2]=4$ の項だけ。2-04 §08 の次元の勘定）です。最後の条件が要るのは、$(\operatorname{tr}F^2)^2$ のような $F$ の高い次の不変式を足しても方程式は二階のままだからです。その係数には長さの四乗が要り、尺度が入ります。四つを課し、群が単純なら、$F$ の二次の不変式は (1) と方程式を変えない $\theta$ 項（3-05）の一次結合だけです（2-04 §07）既知。例。一様な場 $A^1_1=x(t)$、$A^2_2=y(t)$（3-02 §07）では体積あたり $L=\tfrac12(\dot x^2+\dot y^2)-\tfrac12g^2x^2y^2$ で、その Euler–Lagrange 方程式（2-01）が 3-02 の (12) です。

$\hat A=gA$ と取り直すと (1) は $-\frac{1}{2g^2}\int\operatorname{tr}\hat F_{\mu\nu}\hat F^{\mu\nu}$ で（Jaffe–Witten の $\frac{1}{4g^2}\int\operatorname{Tr}F\wedge *F$ と、規格化と符号の約束を除いて同じ形 既知）、$g$ は古典の方程式に効かず、量子論で $g^2\hbar$ の組として摂動の展開の変数になります（4-03）。

$A$ を $\delta A$ だけずらすと、3-02 の (6) から $\delta F_{\mu\nu}=D_\mu\delta A_\nu-D_\nu\delta A_\mu$ です。$F^{\mu\nu}$ の反対称性と、部分積分で交換子の項が $\operatorname{tr}([A,X]Y)=-\operatorname{tr}(X[A,Y])$ により相手に移ることから（$\delta A$ は遠くで 0）、

です。どの $\delta A$ でも 0 という停留の条件が、ヤン–ミルズ方程式です 既知。

Maxwell と違って右辺に残る $A$ と $F$ の積は、ゲージ場自身が運ぶ色の電流です（3-02 §06 の予告）。(2) は $A$ の三次までを含む非線形な方程式で、Jaffe–Witten は “The Yang–Mills equations are nonlinear—in contrast to the Maxwell equations.” と書きます 既知。微分形式では $d_A{*F}=0$ です（1-06）。

電流は共変にしか保存しない

物質の場があると右辺に色の電流が立ち、Maxwell と同じ符号で $D_\mu F^{\mu\nu}=-j^\nu$ です。左辺には、どんな $A$ でも成り立つ恒等式があります（各項が同じ行列どうしの交換子なので 0）。

よって $D_\nu j^\nu=0$ が必要で、普通の意味で保存するのは物質と場の電流の和 $j^{a\nu}+gf^{abc}A^b_\mu F^{c\,\mu\nu}$ です（2-03 の電荷の保存との違い）。

$F^{i0}=-E_i$、$F^{ij}=\varepsilon_{ijk}B_k$ を $D_\mu F^{\mu\nu}=-j^\nu$ に入れると、Gauss と Ampère–Maxwell の法則（2-03 の (M1)）の $\nabla$ を共変微分 $(\mathbf D_iX)^a=\partial_iX^a+gf^{abc}A^b_iX^c$ に替えた形です（$\rho=j^0$）。

Gauss の法則は時間の二階微分を含まない各時刻の拘束で、$A_0=0$ では初めに満たせば §02 の恒等式で満たされ続けます。3-02 §07 が確かめた拘束 $\varepsilon^{abc}A^b_iE^c_i=0$ は、一様な場でのこの式です。

この拘束から、自由に選べる成分の数が分かります。各色で $A_\mu$ は 4 成分です。(1) には $A_0$ の時間微分が現れないので（$F_{i0}$ は $\partial_0A_i$ を含むが $\partial_0A_0$ を含まない）、$A_0$ は運動する変数ではなく、ゲージ変換で $A_0=0$ にできます。残る $A_i$ の 3 成分のうち、小さな波で見て進む向きに沿った縦の成分は、Gauss の法則と、$A_0=0$ を保つ時間によらないゲージ変換とで取り去られます。こうして各色 $4-1-1=2$ が残り、光の二つの偏りと同じ数です。$SU(N)$ では色が $N^2-1$ 個あるので $2(N^2-1)$、$SU(3)$ なら 16 です 既知（量子版は 4-01）。

Maxwell 方程式の源の無い半分は、場をポテンシャルから作ったことから出ました（1-06 の $dF=0$）。非可換でも、$F$ が $A$ の曲率であることだけから次が成り立ちます 既知。

理由は作用素のヤコビ恒等式 $[D_\lambda,[D_\mu,D_\nu]]+[D_\mu,[D_\nu,D_\lambda]]+[D_\nu,[D_\lambda,D_\mu]]=0$ です。$[D_\mu,D_\nu]=-igF_{\mu\nu}$（3-02 の (6)）と、積の微分の規則から出る $[D_\lambda,F_{\mu\nu}]=D_\lambda F_{\mu\nu}$ を入れると、左辺は (4) の $-ig$ 倍です。幾何の書き方では 1-07 の (12)、Jaffe–Witten の $0=d_AF$ です。電場と磁場では (3) と対になる二本です。

電磁気学と違い、普通の発散 $\nabla\cdot\mathbf B^a=-gf^{abc}\mathbf A^b\cdot\mathbf B^c$ は 0 とは限らず、一つの色だけ見れば磁力線は途中で切れてよいのです。正確には、$\nabla\cdot\mathbf B^a$ はゲージで変わる量で、ゲージによらない主張は (5) の $\mathbf D\cdot\mathbf B=0$ です。小さな立方体の六面の磁束は面ごとに違う色の枠で測った量で、共通の一点まで平行移動（1-07）してから足すと、体積の次数の項が消えます（(5) の第一式を立方体で積分した形）。無作為な場で、(4) の左辺は差分の誤差（$4\times10^{-7}$）の範囲で 0、普通の微分での巡回和は 2.1〜2.6 でした 計算。

並進の Noether の保存量（2-01）をゲージ不変に整えたものが、エネルギー運動量テンソルです 既知。

$T^{00}=\tfrac12\sum_a(|\mathbf E^a|^2+|\mathbf B^a|^2)$ がエネルギー密度（3-02 の (10)）、$T^{0i}=\sum_a(\mathbf E^a\times\mathbf B^a)_i$ が運動量密度で、色について和を取るのでゲージで変わりません。エネルギー密度は 0 以上で、0 になるのは $F=0$（純ゲージ、3-02 §04）の所だけです。発散を取り (4) を使うと $F$ の微分の項が二つ打ち消し合い、

が残ります。解の上では 0 で、エネルギーと運動量が保存します。物質があれば右辺は $-j^{a\alpha}F^{a\,\nu}{}_{\alpha}$ で、物質に働く色の Lorentz 力の分だけ場が失います。跡は $\eta_{\mu\nu}\eta^{\mu\nu}=d$（時空の次元）から

で、恒等的に 0 になるのは $d=4$ だけです。古典の作用に長さの尺度が無いこと（2-04・1-12）の、応力の側からの言い方です 既知。量子論では、摂動論の計算で跡に $\beta$ 関数（結合定数が尺度とともに動く速さ。4-06）に比例する $F^2$ の項が現れ（跡の異常）、4-07 の次元転移と同じ現象とされます 物理。跡の係数 $1-d/4$ を、四で切り替わる他の量と並べた図は 1-12 §10 の次元のつまみです。

無作為な SU(2)・SU(3) の場で、$D_\nu D_\mu F^{\mu\nu}$ と (7) の両辺の差は差分の誤差の範囲（$2.2\times10^{-5}$ 以内）、$T^{00}$・$T^{0i}$・跡・(3) の形は丸め誤差以内で、(8) の係数は $d=3,5,6$ でも $1-d/4$ でした 計算。

粒子を古典の場で表すなら、エネルギーが一か所に留まる解（静止した塊）が候補です。純粋なヤン–ミルズ場の $3+1$ 次元では、至る所滑らかでエネルギーが有限な、時間によらない解は真空だけです 既知。筋を追います。$T^{\mu\nu}$ が時間によらないなら、(7) から $\partial_kT^{kj}=0$ です（$T^{\mu\nu}$ は (6) から対称で、発散をどちらの添字で取っても同じです）。$\partial_kx^i=\delta_{ik}$ と合わせて $\partial_k(x^iT^{kj})=T^{ij}$ なので、半径 $R$ の球の中で積分して発散定理を使うと、体積の積分が球面の積分に移ります（場が球の中で滑らかなので使えます）。

右辺の大きさは、球面の面積 $4\pi R^2$ と腕の長さ $R$ と球面の上の $|T|$ の積の程度です。たとえば $T$ が $r^{-3}$ より速く減れば、$R\to\infty$ で 0 になり $\int T^{ij}d^3x=0$ です。実はエネルギーが有限なだけで足ります（下の寄り道）。(8) の $-T^{00}+\sum_iT^{ii}=0$ と合わせると

です。エネルギー密度は 0 以上の連続関数なので至る所 0 で、至る所 $F=0$ です。塊の外向きの圧力 $\sum_iT^{ii}$ がエネルギーと等しく、押し返すものが無いという形です。関係する結論を題に掲げた論文に Deser（1976）“Absence of static solutions in source-free Yang–Mills theory” と Coleman（1977）“There are no classical glueballs” があります（書誌のみ。証明の方法は本文で確認していません）。質量の次元を持つ定数（Higgs 場など）を足すと跡が 0 でなくなり、この議論は使えません。

寄り道：減る速さの仮定は要らない

球対称な場で見る

SU(2) で空間と色を同時に回して変わらない形 $A_0=0$、$A^a_i=\varepsilon_{aij}x_j\,(1-w(r,t))/(gr^2)$ を取ると、問題は一変数 $r=|\mathbf x|$ になります。

$w=\pm1$ はエネルギー 0 の純ゲージです。三次元の場で差分により、エネルギー密度（$10^{-8}$ の精度）・Gauss の法則・(3) の残りが (10) に帰着することを確かめました 計算。

計算この図の数値はこの端末で計算した。表 1 と同じ差分（$h=0.05$、$\Delta t=h/2$ の蛙跳び）を同じ順序で解き、python3 と 12 桁一致します。JavaScript が無効なら表 1 が図の中身です。

へこみは二つに割れて光の速さ 1 で進み、内向きの山は $t\approx10$ に原点で折り返し、$t=30$ には $r\lt15$ に何も残りません。$a=0.3,\ 1.8$ でも同じでした 計算。示しているのはこの初期値と有限の時間の範囲までです。

寄り道：静止した解はあるが、エネルギーが無限大

虚時間 $t=-i\tau$、$x_4=\tau$（2-04 §09）に移ります。$A_0\,dt=A_4\,d\tau$ から $A_0=iA_4$、また $\partial_t=i\partial_4$ なので、$F_{i0}=iF_{i4}$ です。そこで $E^a_i=F^a_{i4}$ と置き直すと (1) の $|\mathbf E^a|^2$ の符号が反転し、$iS$ は $-S_E$ になります。ユークリッドの作用 $S_E$ は正の量の和で、量子論ではこれが重み $e^{-S_E}$ に入ります（4-02）。

ホッジの星 $(*F)_{\mu\nu}=\tfrac12\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma}F_{\rho\sigma}$（$\varepsilon_{1234}=1$、1-12）はこの書き方で $\mathbf E$ と $\mathbf B$ を入れ替えるので、自己双対 $F=*F$ は $\mathbf E^a=\mathbf B^a$、反自己双対は $\mathbf E^a=-\mathbf B^a$ です。各点で $\tfrac12(|\mathbf E|^2+|\mathbf B|^2)=\tfrac12|\mathbf E\mp\mathbf B|^2\pm\mathbf E\cdot\mathbf B$ なので、

で、等号は自己双対（$Q\gt0$）か反自己双対（$Q\lt0$）のときだけです 既知。ヤン–ミルズ方程式の解で作用が有限なら、$S^4$ の上の場に延びて $Q$ は整数になるとされます（Uhlenbeck 1982、書誌のみ）。解でない一般の場については 3-05 §03 で扱います。3-05 の幾何の書き方（反エルミートな $A$ と $c_2$）では $Q=-c_2$ です（3-05 の寄り道）。

自己双対な場は自動的に解です。$D_\mu F_{\mu\nu}=\pm\tfrac12\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma}D_\mu F_{\rho\sigma}$ は (4) の巡回和で 0 だからです。二階の (2) の代わりに一階の $F=\pm*F$ を解けばよく、その解は同じ $Q$ の中で作用が最小です。Jaffe–Witten §2 は、古典の非可換ゲージ理論が三・四次元の多様体の研究で大きな役割を果たしてきたと書きます 既知。四次元でのその代表が（反）自己双対の一階の方程式で、Donaldson（1983）はその解の空間を四次元の位相に使いました（3-06）既知。実の自己双対な場は虚時間にしかありません（1-06）。

例として、3-05 で構成する BPST の解（Belavin–Polyakov–Schwartz–Tyupkin 1975）を借ります 既知。't Hooft の記号（$\eta_{aij}=\varepsilon_{aij}$、$\eta_{ai4}=-\eta_{a4i}=\delta_{ai}$）で、大きさ $\rho$ の解は次の形です。

$\eta_a$ が自己双対なので $\mathbf E^a=\mathbf B^a$、$S_E=8\pi^2/g^2$、$Q=1$ です（1-12 の表 1）。差分で (13) の右の式・$F=*F$・$D_\mu F_{\mu\nu}=0$ を $6\times10^{-10}$ 以内で確かめました 計算。これを虚時間の向きに変形します。$M=\operatorname{diag}(1,1,1,s)$ で $A^{(s)}_\mu(x)=M_{\nu\mu}A_\nu(Mx)$ と引き戻すと、$s\gt1$ なら場の形は $x_4$ の向きに $1/s$ 倍に縮み、$s\lt1$ なら $1/s$ 倍に伸びます。$\mathbf E^{(s)}=s\,\mathbf E(Mx)$、$\mathbf B^{(s)}=\mathbf B(Mx)$ で、$x_4$ を添字に持つ $\mathbf E$ の成分 $F_{i4}$ だけが $s$ 倍になります（$x_4$ の微分と $A_4$ に $s$ が掛かるため）。$s\ne1$ では解ではありません。$y=Mx$（$d^4x=d^4y/s$）と置き換えると次が出ます。

作用は $s=1$ で最小で、伸ばしても縮めても増えます（相加相乗平均）。$Q$ が変わらないのは、被積分関数 $\operatorname{tr}F\wedge F$ が計量を使わない四次の微分形式で、向きを保つ座標の取り替えで積分が変わらないからです（1-06）。作用はホッジの星、つまり計量を使うので変わります。

計算この図の数値はこの端末で計算した。図は (14) と作用密度の閉じた式をその場で計算しています（表 2 と一致）。

古典のヤン–ミルズ場には、有限のエネルギーの静止した塊が無く（§06）、波の振動数に下限も無く（3-02 §07）、虚時間では各 $Q$ の作用の最小が自己双対な場で実現します。どれも質量ギャップではありません。Jaffe–Witten §2 は質量ギャップと閉じ込めを “quantum properties that do not have classical analogs” と呼びます 既知。古典に尺度が無い以上、隙間の尺度は量子化の過程で入ると考えられています（4-07）物理。この章は量子論についても質量ギャップについても何も示していません。

この先の章への橋です。3-04 では、ゲージ変換で移り合う場を同じものと見なした空間（ゲージ軌道空間）の形を調べ、ゲージを全体で一通りに固定できない理由を扱います。§07 の $Q$ が整数であることと BPST の解の構成は 3-05、自己双対な場の解の空間が四次元の位相を見分ける話は 3-06 の寄り道です。§05 の跡と尺度の話は、量子論の側で 4-06（漸近自由）と 4-07（次元転移）に続きます。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：3-04 幾何としてのゲージ理論。インスタントンは 3-05、格子の作用は 5-01。

← 3-02 非可換ゲージ場目次3-04 幾何としてのゲージ理論 →