2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 4 部 量子化発散級数・Borel 和・renormalon

寄り道：摂動級数は発散する — 係数の階乗は、級数に映らない $e^{-c/g^2}$ の影であることが多い

この章の問題は、繰り込みで有限になった係数を並べた級数そのものが収束しないことです（4-04 の発散とは別）。それでも使い道はあります。次数 $N$ を決めて $u\to0$ とすると打ち切りの誤差が $u^{N+1}$ の速さで消えるとき、級数は $f$ に漸近すると言い、$f(u)\sim\sum a_nu^n$ と書きます。

収束とは極限の順が逆です。係数は $f$ から一通りに決まりますが 既知、逆は成り立ちません。$e^{-1/u}$ はどの $u^N$ より速く 0 に近づくので、$f$ と $f+e^{-1/u}$ は同じ級数を持ちます（6-12 §07）。この章の主題は、この「係数に映らない部分」が係数の増え方に記録されていることです。

例。$e^{-1/u}$ の係数がすべて 0 であることは、(1) を $u^N$ で割った形で確かめられます。$v=1/u$ と置くと $e^{-1/u}/u^N=v^Ne^{-v}$ で、$u\to0$（$v\to\infty$）のとき指数関数が冪に勝って 0 に近づきます。どの $N$ でもそうなので、$a_0=a_1=\cdots=0$ です。逆向きの例がこの章の模型 (2) です。4-03 §08 の (14) は $u\ge0$ で $\bigl|Z(u)-\sum_{n\lt N}a_nu^n\bigr|\le|a_N|\,u^N$ を示しており、(1) の $K_N$ として $|a_N|$ が取れます。$K_N$ は $N$ とともに階乗で増えますが、(1) が要るのは $N$ を決めるごとの評価だけなので、級数は $Z$ に漸近します。

Dyson（1952）の要旨は、量子電磁気学の冪級数が繰り込み後もすべて発散するという結論へ 'tentatively' 導く議論を示すと書きます 既知。骨子は「$e^2\lt0$ では同符号の電荷が引き合って真空が崩れるので、級数は $e^2=0$ の両側へ滑らかには続けない」という形で紹介されます。発見的な議論です。小さな模型なら全部を計算できます。

$u=-s\lt0$ では積分が存在しません（模型の中の「真空の崩れ」）。それでも変数を $x\to e^{-i\theta/4}x$ と回すと $u=s\,e^{i\theta}$ の四次の項が $s\,x^4$ に戻るので、$Z$ は複素数の $u$ へ延びます。積分路を回してよい理由は二つです。一つは、閉じた道とその内側で複素微分できる関数の、その道に沿う積分は 0 になること（Cauchy の定理 既知。§03 で積分公式の形で使います）。被積分関数は $x$ の多項式の指数なので、どこでも複素微分できます。もう一つは、元の実軸と回した直線にはさまれた扇形の遠い弧の上で、四次の項の実部が正のまま $|x|^4$ の速さで効き、弧の寄与が $|x|\to\infty$ で消えることです。上から負の軸へ近づけると

は実でない値になり、下からならその複素共役です。負の軸の上下で値が食い違う——ここが発散の源です。虚部は壁の高さで決まります。$S_{-s}(x)=\frac12x^2-\frac{s}{24}x^4$ は $x^2=6/s$ で最大値 $\frac{3}{2s}$ を取り、谷から壁を越えて漏れる確率の目安が $e^{-3/(2s)}$ です。正確には、ゼロ次元の積分にトンネルはありません。(3) の被積分関数の鞍点 $x^2=6/s$ での作用の値 $\frac{3}{2s}$ が虚部の指数を決め、$s\to0$ での主要項が $-e^{-3/(2s)}/\sqrt2$ になる、という意味です（表 1）。

使う道具は Cauchy の積分公式です：閉じた道とその内側で複素微分できる関数は、内側の点で $f(u)=\frac{1}{2\pi i}\oint\frac{f(w)}{w-u}\,dw$（反時計回り）を満たします 既知。$Z$ は負の軸を除く平面で複素微分でき、無限遠で $|w|^{-1/4}$ と減るので、道を大きな円と負の軸の上下に取ると上下の差 $2i\operatorname{Im}Z$ だけが残ります。

これが分散関係です（(3) で計算した虚部で右辺を数値積分すると $u=0.5,1,2$ で左辺と $10^{-6}$ の桁まで合います 計算）。$\frac1{s+u}=\sum_n(-u)^n/s^{n+1}$ と展開して項ごとに積分すると

で（$u=0$ で複素微分できないので、得られるのは漸近級数）、$n$ が大きいと効くのは $s\to0$ の虚部 $\approx-e^{-3/(2s)}/\sqrt2$ だけです。$\int_0^\infty e^{-c/s}s^{-n-1}ds=\Gamma(n)/c^n$ から

階乗の出どころは $\Gamma(n)=(n-1)!$、底の $2/3$ は壁の高さ $3/(2s)$ の係数の逆数、符号の交代は特異点が負の軸にあることから来ます。

鞍点の作用から大きい次数を読むこの筋を場の理論に持ち込んだのは Lipatov（1977）とされ、Beneke（1999）の総説はインスタントン（虚時間の古典解。§06 で定義します）による階乗の発散を Lipatov 1977 に帰します 既知。

量子力学の $H=\frac12p^2+\frac12x^2+gx^4$ の基底エネルギー $\frac12+\frac34g-\frac{21}8g^2+\cdots$ の大きい次数は Bender–Wu（1969・1973）が調べました（要旨）既知。知られた形 $E_n\approx(-1)^{n+1}\frac{\sqrt6}{\pi^{3/2}}3^n\Gamma(n+\tfrac12)$（出典の本文は未確認）と、有理数で 150 次まで計算した係数の比は $n=10$ で 0.832、150 で 0.991 です 計算。底の 3 は、$V=\frac12x^2-|g|x^4$ の壁を虚時間ですり抜ける作用 $\frac{1}{3|g|}$ の係数の逆数です。

素朴な方法は項が最小になる所で止めることです。(6) の項 $\Gamma(n)(2u/3)^n$ は $n\approx3/(2u)$ まで減り、その先で増えます。Stirling の公式 $\Gamma(n)\approx\sqrt{2\pi/n}\,(n/e)^n$ をそこに入れると

です。誤差の底は、壁の高さで決まる指数的に小さい量の大きさで、級数はそれより細かいことを言えません。第 01 節の「係数に映らない部分」が精度の限界として現れます（右端の比が動くのは $\sqrt u$ のため）。

誤差がほぼ最小の項になる理由。この模型では、4-03 §08 の (14) により、$N$ 項で止めた誤差は最初に捨てた項 $|a_N|u^N$ を超えません 既知。項が最小になる所で止めれば、誤差はその最小の項以下です。係数の符号が交代するので、実際の誤差は最小の項のほぼ半分に落ち着きます（表 3 の 6 行で 0.47〜0.50 倍 計算）。こうして「最良の誤差 ≈ 最小の項 ≈ (7)」となります。表 3 の読み方。各行は $u$ を一つ決め、0 次から $N$ 次までの部分和（$N\lt60$）を直接の数値積分 $Z(u)$ と比べて、誤差が最も小さい $N$ とその誤差を示します。最良の $N$ は $3/(2u)$ の辺りに来ます。右端の列は誤差を $e^{-3/(2u)}$ で割ったもので、$u$ を 0.1 から 2 まで変えても 0.07〜0.26 に収まります。誤差が $e^{-3/(2u)}$ と同じ速さで小さくなる、ということです。

計算この図の数値はこの端末で計算した（Simpson 則と係数の漸化式。表 3 と一致）。

Borel 和は、$n!$ をいったん割って収束させ、$\int_0^\infty e^{-t}t^n\,dt=n!$ で掛け戻します。

$B$ を Borel 変換、$t$ の複素平面を Borel 平面と呼びます。項ごとに $\frac1u\int_0^\infty e^{-t/u}\frac{t^n}{n!}dt=u^n$ なので、$\tilde Z$ の漸近級数は元の級数です。ゼロ次元の模型では $(4n-1)!!=16^n(\tfrac14)_n(\tfrac34)_n$（$(a)_n=a(a+1)\cdots(a+n-1)$）から

です。超幾何関数 ${}_2F_1(a,b;c;z)$ は $z=1$ から伸びる切れ目を除く平面に延びます 既知。Borel 平面の特異点は $t=-3/2$ の一点だけで、位置は壁の高さの係数と同じです。積分の道 $t\ge0$ は特異点に触れず、(8) は表 3 のとおり $Z(u)$ に戻ります 計算。

Borel 和が元の関数に一致することを保証する定理は、原点に接する円板での元の関数の解析性と、(1) の $K_N$ が $A\sigma^NN!$（$A,\sigma$ は $N$ によらない定数）で抑えられる一様な評価を要求します。(1) だけでは足りません。Beneke はこれを Watson–Nevanlinna–Sokal の定理（Sokal 1980）として引き、'These requirements are too strong for renormalizable theories' と書きます 既知。

符号が揃って $a_n\approx K\,a^n n!$（$a\gt0$）と増える級数では、特異点が正の軸の $t=1/a$ に来て、(8) の道の上に乗ります。上を回るか下を回るかで、虚部が $e^{-1/(au)}$ の大きさだけ食い違う和が二つできます。いちばん簡単な $a_n=n!\,a^n$ で見ます。Borel 変換は $B(t)=\sum_n(at)^n=\frac{1}{1-at}$ で、$t=1/a$ に極があります。上を回った積分から下を回った積分を引くと、極を時計回りに一周する積分になり、留数から

です（それぞれの虚部は $\pm\pi e^{-1/(au)}/(au)$）。この差は $u$ のどの冪にも映らない大きさです。表と図は 6-12 §08 にあります。Beneke は正確な関数が分かる例で、Borel 積分と指数的に小さい項の二通りの曖昧さが打ち消し合うのを見せ、次の連鎖を立てます 既知。

そして 'it is not rigorous' と注意します。定理ではありません 物理。

例。2-05 §07 の二重井戸の隙間は $e^{-S_0}$ の大きさで、摂動論のどの次数にも現れません。虚時間で一方の谷から他方の谷へ移る古典解をインスタントンと呼び、その作用が 2-05 の (9) の $S_0$ です。逆向きに移る解が反インスタントンです（ヤン–ミルズでの対応物は 3-05 で詳しく）。谷のまわりの級数の Borel 和の曖昧さは $e^{-2S_0}$（インスタントン・反インスタントン対の重み）の大きさで、対の寄与の曖昧さと打ち消し合うとされます（Bogomolny 1980・Zinn-Justin 1981）物理。級数の発散の仕方が、級数に映らない項の存在を知らせています。

繰り込み可能な理論には鞍点と別の $n!$ の出どころ renormalon があります（Beneke によれば Gross–Neveu 1974・Lautrup 1977・'t Hooft 1977 が見つけ、名前は 't Hooft の Erice の講義から 既知）。出どころは泡の鎖の図です。伝播関数に一ループの泡（粒子の対が生まれて消える輪）を $n$ 個つないだ図で、$n$ について足すと、一ループの走る結合 $\alpha(k)$ を一本の線に入れたものになります（Beneke §2.2）既知。4-03 §03 の真空の泡とは別物です。

これを一つの変数に縮めた模型を使います。外から運動量 $Q$ を入れて測る量があり、その中のループ運動量 $k$ の積分に、走る結合 $\alpha(k)=\alpha/(1-b\alpha\ln(Q^2/k^2))$ が掛かるとします（$\alpha=\alpha(Q)$、$b=\beta_0/4\pi$、純 $SU(N)$ で $\beta_0=11N/3$。係数の四つの書き方の換算は 4-06 表 1。4-04 §05・4-06）。$\alpha(k)$ を $\alpha$ で展開すると、$n+1$ 次には $\ln(Q^2/k^2)$ の $n$ 乗が入ります。残りの被積分関数については、$d\ln k^2$ で測ったとき、小さい $k$ で $k^4$ に比例して消え（$x^2$）、大きい $k$ で $1/k^2$ で減る（$x^{-1}$）、とだけ仮定します。$x=k^2/Q^2$ として

各項は有限なのに、係数は $n!$ で増えます（閉形は数値積分と 6 桁一致 計算）。理由は山の位置です。赤外側の被積分関数（$\ln x$ について測ると $x^2(\ln\frac1x)^n$）は $x=e^{-n/2}$ に山を持ち、次数が上がるほど山が小さい運動量へ逃げます。紫外側の山は $x=e^n$ です。Beneke の (2.24)・(2.25) も泡の鎖の図で同じ位置を与えます 既知。赤外側は符号が揃い（正の軸・曖昧さあり）、紫外側は交代します。小さい $k$ での冪を $k^a$ に変えると、赤外 renormalon の位置は §08 の尺度で $u=a/2$、曖昧さの大きさは $(\Lambda/Q)^a$ になります（Beneke §2.2）既知。この模型は $a=4$ です。

計算この図の数値はこの端末で計算した（(11) の式を図の中で評価。表 4 と一致）。

山はどこで止まるか。一ループでは $\Lambda^2/Q^2=e^{-1/(b\alpha)}$ です（4-07）。項 $r_n^{\mathrm{IR}}\alpha^{n+1}$ は $n^\ast\approx2/(b\alpha)$ で最小になり、そのとき山は $e^{-n^\ast/2}\approx\Lambda^2/Q^2$ にあります。級数が役に立たなくなる次数は、ループの運動量が $\Lambda$ に届く次数で、最小の項は $(\Lambda/Q)^4$ に $\alpha$ の冪ほどの因子を掛けた大きさです。

Beneke は、renormalon の位置は β 関数の高次の係数に依らず、Landau 極とは一般に論理的に別だと注意します 既知。

$\alpha$ の級数を (8) の型で変換し、位置を $u=\beta_0t/4\pi$ で測ると $e^{-t/\alpha}=(\Lambda^2/Q^2)^u$ なので、$u$ の位置の特異点は $(\Lambda/Q)^{2u}$ の大きさの曖昧さに当たります。言葉を二つ用意します。演算子積展開は、短い距離 $1/Q$ で測る量を「係数 × $(\Lambda/Q)^{d}$ × 次元 $d$ の場の組み合わせの真空での期待値」の和に展開する物理の処方です 物理。純ヤン–ミルズで、ゲージ変換で変わらない場の組み合わせのうち次元が最も低いのは次元 4 の $F^a_{\mu\nu}F^a_{\mu\nu}$ で、その期待値 $\langle F^2\rangle$ をグルーオン凝縮と呼びます。次元 2 のゲージ不変な組み合わせはありません（$A_\mu A_\mu$ は次元 2 ですがゲージ変換で変わります）。

Beneke がまとめる QCD の二点の相関関数（外から運動量 $Q$ を入れて測る量。例はクォークの電流の相関）では 物理、赤外 renormalon が $u=2,3,\dots$（$u=1$ が無いのは演算子積展開に次元 2 の項が無いため・Parisi 1979。$u=2$ はグルーオン凝縮の $(\Lambda/Q)^4$ に当たり、§07 の模型の重み $k^4$ がこの $u=2$ です）、紫外 renormalon が $u=-1,-2,\dots$、インスタントン・反インスタントン対が $t=4\pi n$（Bogomolny–Fateyev 1977）です。どの $u$ に在るかは観測量に依ります。純 $SU(N)$ の $\beta_0$ で $t=4\pi u/\beta_0$ に換算すると、renormalon は $1/N$ に比例して原点に寄り、対は $4\pi$ に留まります。$N=3$ では $u=2$ が $t=2.285$、対はその 5.5 倍遠く、$N=10$ では 18 倍です 計算。

対の重み $e^{-4\pi/\alpha}=e^{-16\pi^2/g^2}$ は $(\Lambda/Q)^{22N/3}$ で、$u=2$ の $(\Lambda/Q)^4$ よりはるかに小さい量です（一つなら 4-07 §08 の (14)）。Beneke も、QCD ではインスタントンの特異点は遠く大きい次数を決めないと見込みます 物理。

格子での観測。Bali–Bauer–Pineda（2014）は純 SU(3) の平均プラケットの摂動係数を $\alpha$ の 35 次まで数値的に求め、'The on-set of the dominance of the dimension four renormalon associated to the gluon condensate is clearly observed' と書きます（要旨）物理。PDG の総説も renormalon の発散は今ある次数では 'not usually visible' だが非摂動の寄与と 'closely connected' だとします。

定理の側。ゼロ次元の模型の (4)〜(6)・(9) は確かめられる数学です 既知。Borel 総和可能性を題に掲げた論文が、非調和振動子（Graffi–Grecchi–Simon 1970）と $P(\phi)_2$・$\phi^4_3$（Eckmann–Magnen–Sénéor 1975・Magnen–Sénéor 1977。6-03）にあります（書誌のみ）。題によれば、それぞれ振動子の固有値、$P(\phi)_2$・$\phi^4_3$ の Schwinger 関数（相関関数）について Borel 総和可能性を示しています。その場合は §05 の Watson–Nevanlinna–Sokal の定理により、級数が値を一通りに決めます。

期待の側。四次元ヤン–ミルズでは係数は各次数で有限に定まりますが（4-05）、級数と理論の関係を問う前提が欠けています。Beneke は 'Since there is no rigorous non-perturbative definition of R in theories such as QED and QCD, we cannot even ask whether series expansions are asymptotic' と書きます 既知。問題文（Jaffe–Witten §6.1）も、知られている例のほとんどで摂動級数は 'divergent expansions' で 'even Borel and other resummation methods have limited applicability' と書きます 既知。

まとめると、(i) 係数の $n!$ は級数に映らない $e^{-c/g^2}$ の量の影です 物理。正確には、模型では負の結合での虚部の指数 $c$ が係数の底 $1/c$ を決める、という (4)〜(6) の意味です。ヤン–ミルズでは連鎖 (10) の水準の期待で、紫外 renormalon（符号が交代）には指数的に小さい項の曖昧さは付きません。(ii) ギャップが $\Lambda\propto e^{-8\pi^2/(\beta_0g^2)}$ に比例するなら、ギャップは級数のどの次数にも現れず（4-07 §05）、手がかりは発散の仕方の側にしか残りません 物理。(iii) 発散の仕方から映らない項を組み立てる形式（transseries）は 6-12 §09 で、$\mathbb R^4$ 上の純ヤン–ミルズでは物理の水準でも確立していません。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：5-01 Wilson の格子。続きの寄り道は 6-12。

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