2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 8 部 二つの言葉の辞書質量と長さ

辞書 B：質量と長さ — 格子の上では重なり、極限の側でほどける対

物理では質量と長さは表と裏の関係にあります。正確には、$\hbar=c=1$ の単位では質量の逆数が長さの次元をもち、質量 $m$ の粒子が運ぶ力は距離 $1/m$ ほどで届かなくなり（湯川型、3-01）、相関は $e^{-r/\xi}$、$\xi=1/m$ で薄れます。数学ではこの一つの数が、スペクトルの隙間・相関の減衰率・確率的な力学の緩和の速さ、という別々の量に割れます。

表 0 の対は二層に分かれます。内側は、格子間隔 $a$ と力学を固定すれば、スペクトル定理（1-10）一本で同じものになる対です（転送行列の隙間と相関の減衰率など）。外側は、$\xi\to\infty$ と $a\to0$ を結ぶところに現れる対で、条件と未確定はここに集まります。

表の二列は 8-01 の格付けです。(a) は「両方の対象が在るとしたら同じか」で、確定・条件つき・未確定の三段に、別の量だと分かっている対の「対応しない」（8-01 の「偽の友」）を加えます。(b) は 8-01 の列 (b) を水準「格子（$a$ 固定）」で付けたもので、構成済み＝有限体積ならどの $\beta$ でも在る、条件つき＝強結合など範囲を限った版だけ、無い＝この水準で示されたものが無い（数値だけのものを含む）、と読みます。連続の四次元の水準では全行が「無い」です。記号：$\beta=2N/g^2$、長さは格子単位、$m_{\rm lat}=1/\xi$、$\Delta=m_{\rm lat}/a$。$A\asymp B$ は比 $A/B$ が上下とも正の定数で挟まれること（A-01）。

注：(c) は 8-01 §02 の列 (c)（有限の測定で届く向き）。隙間の仲間（B1・B4・B10・B11）は一つの相関か試験関数で上界まで、その逆数の長さと時間（B2・B13・B14・B16・B20）は向きが入れ替わって下界までです。一様性・族・極限の言明（B3・B9・B12・B15・B17）は届きません。B20 の根拠は (14)（集合を一つ選べば $C_P$ の下界が出る。§08）、B14 は混合時間の定義（§06。一つの事象で全変動距離が $\varepsilon$ を超えれば、その時刻は混合時間より前）です。B5（弦張力）は、有限の測定から片側を押さえる形をこの本の本文で扱っていないので「—」にしました。B10 の (b) は、格子には Lorentz 対称性が無く質量作用素 $M$ がそのままでは定義されないので、運動量ごとにエネルギーのスペクトルから孤立した分散曲線がある、という形です（Schor 1984。§04）。B12・B15 の両辺は固定した格子で定義されますが、$\asymp$ は格子間隔を 0 に送る族についての言明なので、一つの格子では中身を持ちません。(b) の「無い」は、その族について示されたものが無いという意味です。

問題文（Jaffe–Witten）は質量ギャップを、ハミルトニアン $H$ が $(0,\Delta)$ にスペクトルを持たないことと定義し（§4）、帰結に同時刻のクラスター性を挙げます（§5） 既知。OS 再構成（4-10）の後、真空 $\Omega$ が一意ならスペクトル定理から

です（$\rho_O$ は $O\Omega$ のスペクトル測度から 0 を除いたもの）。(1) の逆向きは、稠密な観測量の族が一様な率で減るときに限ります（B1）。格子では反射正値性から正の自己共役な転送行列 $T=e^{-H_T}$ が作れ（Lüscher 1977、5-03）、固有値 $\lambda_0\gt\lambda_1\ge\cdots$ から

です。Chatterjee（2018）のプラケット相関の相関長は一般に $\xi_{\rm plaq}\le1/m_{\rm lat}$ です（等号には最低の状態への重なりが要る）。例：自由場では $\xi=1/(2\,\mathrm{arsinh}(m/2))$（表 1）。

同じ語の二つの量

数学で「質量ギャップが正」と呼ばれる結果の多くは、格子単位の一様な下界 $m_{\rm lat}\ge c\gt0$ です。確かめられる例は Shen–Zhu–Zhu（2023）で、要旨は強結合の格子ヤン–ミルズについて 'strictly positive mass gap' を述べます 既知。このとき $\Delta=m_{\rm lat}/a\ge c/a\to\infty$ で、物理単位では質量が無限大に向かう側、連続極限の反対側の性質です。物理単位のギャップには $\xi\to\infty$ が $a\to0$ を打ち消すことが要り、Problem 5.1 も $\beta\to\infty$ で $\xi(\beta)\to\infty$ を求めます（5-09・9-05）。表 0 の B3 を「対応しない」とするのはこのためです。

静的ポテンシャル $V(R)$ は無限に重いクォーク対を距離 $R$ に置いたエネルギーで、Wilson（1974）に従い $R\times T$ の Wilson ループ（5-01）から

と読みます。左を定義とすれば確定ですが、静的荷電の基底エネルギーと同一視するには $T\to\infty$ の極限と基底状態への重なりが要ります（B4）。Bachas（1986）の示した $V$ の単調性と凹性から $\sigma\in[0,\infty)$ は在ります 既知。面積則は強結合ならどの群でも成り立ちます（Osterwalder–Seiler 1978、5-02）。連続の弦張力は Chatterjee の Problem 5.2 の $d$ として定義する提案です。

周長の項が必要かは明らかでない、と本人が書いています。物理の目安は $\sqrt\sigma\approx485(6)$ MeV です。これは SU(3) の純ゲージ理論の $r_0\sqrt\sigma=1.160(6)$ に、QCD の格子計算で決めた長さの目盛り $r_0=0.472$ fm を仮に当てた換算で、著者自身が、純ゲージ理論と QCD は別の理論なので厳密にはできない換算だと断っています（Athenodorou–Teper 2020） 物理。

閉じ込めの三つの言い方

(a) $V(R)\to\infty$、(b) $\sigma\gt0$、(c) 中心対称性が破れない、の三つです。(c) の物理の定義は有限温度のものです。時間方向を長さ $1/T$（$T$ は温度）の輪にした格子で、一点から時間方向に一周するリンクの積のトレースを Polyakov ループと呼び、その期待値が 0 であることを閉じ込めの印とします（Polyakov 1978・Susskind 1979。中心の下で変換する秩序変数による普遍性の議論は Svetitsky–Yaffe 1982） 物理。中心変換は、ゲージ群の中心の元（$SU(N)$ では単位行列の $e^{2\pi ik/N}$ 倍）を、ある時刻の面を横切る時間方向のリンクすべてに掛ける操作です。作用は変わらず Polyakov ループだけが $e^{2\pi ik/N}$ 倍されるので、この対称性が破れていなければ期待値は 0 です。

数学で示されているのは表 A の片向きだけです（Chatterjee 2021） 既知。定義 2.1 は、ある $N\ge1$ についてスラブ $\{0,\dots,N\}\times\mathbb Z^{d-1}$ に制限した理論がどの境界条件でも中心変換で不変なこと、定義 2.3 はどの立方体・境界条件でも一様な指数減衰（強い減衰）です。定理 2.2 の Wilson ループは中心に非自明に作用する表現のものです。

ギャップと閉じ込めは別の主張です（7-02・9-05・5-10）。中心対称性について Chatterjee は、厳密な定義は「私の知る限り」無いとして定義 2.1 を提案し、有限温度の類似に Borgs–Seiler（1983）を引いています。二つの定義が同じ相を分けるかは未証明です（B7）。

無次元の結合 $g$ は、測る尺度 $\mu$ とともに値が変わります。漸近自由とは、$\mu$ が大きい（距離が短い）ほど $g$ が小さくなることで（4-06）、その速さを決める一ループの係数が $b_0$ です。一ループの式を解くと

が $\mu$ に依らない質量の尺度になります（次元転移、4-07）。物理では質量はすべて $\Lambda$ の定数倍で、$m/\sqrt\sigma$ は純数と読みます 物理。数学の側に四次元の $\Lambda$ の定義はありません（格子の $\Lambda_L$ は 8-04）。この端末の記録は「尺度は一つ」を鎖 (ii) $m^2\asymp\sigma$ と書き、等価原理に当たる一文と類比で呼びます（7-12）。証明はありません。Problem 5.2 が $\varepsilon(\beta)$ で成り立ち $\varepsilon\xi\to\ell\in(0,\infty)$ なら

で、この組は Chatterjee の文面に無い読みです。数値は SU(2) 3.781(23)、SU(3) 3.405(21)、SU(∞) 3.072(14)（$0^{++}$、Athenodorou–Teper 2020・2021） 物理。反対の例もあります。三次元のコンパクト U(1)（Villain 作用）では、どの結合でも弦張力が正で、連続極限は質量 $m_D$ の自由場になり、物理単位の $\sigma/m_D^2$ は無限大に発散します（Göpfert–Mack、要旨） 既知。閉じ込めても尺度が一つにならない例です（7-12）。

グルーボールは $J^{PC}$（スピン・パリティ・荷電共役）の通路ごとの最低の減衰率として測ります（5-08。SU(3) の $0^{++}$ は $r_0m=4.21(11)(4)$、Morningstar–Peardon 1999） 物理。格子の回転の対称性は立方体を自身に重ねる 48 個の回転と反転（群 $O_h$）だけなので、通路は $O_h$ の既約表現で分けます。連続のスピンへの対応は回転対称性の回復が前提です。数学の一粒子状態は質量作用素

の孤立固有値で（$P$ は運動量。問題文 §6）、問題文は §5 で「孤立した一粒子状態（上のギャップ）」を拡張に数えます 既知。隙間と粒子は別の主張です。格子には Lorentz 対称性が無く $M$ はそのままでは定義されないので、格子の強結合で示されているのは、運動量ごとにエネルギーのスペクトルから孤立した分散曲線がある、という形です（Schor 1983・1984） 既知。

時間は二つあります。一つは経路積分の虚時間で、相関は $T=e^{-H_T}$ で運ばれ、隙間は $1/\xi$ です。もう一つは確率量子化（Parisi–Wu 1981、6-09）の「人工的な第五の時間」$s$（Zwanziger 1981 の要旨）で、配位全体が次の確率微分方程式で動いて $e^{-S}/Z$ に落ち着きます（モンテカルロ法の時間も同じ種類）。

$W_x(s)$ は点 $x$ ごとに独立な Brown 運動（1-09）で、$dW_x$ は時間 $ds$ の間の平均 0・分散 $ds$ のガウスの増分です。第一項は作用を下げる向きに動かし、第二項が揺らぎを足します。計算機では刻み $h$ で $\phi_x\leftarrow\phi_x-h\,\partial S/\partial\phi_x+\sqrt{2h}\,Z_x$（$Z_x$ は独立な標準正規）と進め、これを Euler–Maruyama 法と呼びます。関数 $f$ の期待値の時間変化を生む作用素（生成作用素）は

で（$\mu=e^{-S}/Z$、$\mathcal E$ は Dirichlet 形。(9) の $\Delta$ はラプラシアンで、質量ギャップの $\Delta$ とは別）、0 の次の隙間の逆数が Poincaré 定数 $C_P$ です（1-10）。有限の格子ならどちらも定義されますが（B11）、$H_T$ は一時刻の切り口の Hilbert 空間に、$L$ は配位全体の関数の空間 $L^2(\mu)$（$\mu$ について二乗可積分な関数）に作用し、両者を一般に結ぶ定理はありません。自由場では $\mathrm{gap}(H_T)=2\,\mathrm{arsinh}(m/2)\approx m$、$\mathrm{gap}(L)=m^2$ で $C_P\approx\xi^2$ です（1-10）。

仮定 H と時間の単位

この端末の記録の仮定 H は、$\mathrm{gap}(L)\asymp\mathrm{gap}(H_T)^2$ が格子間隔に一様に成り立つという仮定です（10-03・8-05）。ただし $L$ の時間の単位は、$S$ と雑音の規格化で決まります。$S$ を $\beta S$ に替えると、ガウスの場合 $L$ の隙間はちょうど $\beta$ 倍になります。ゲージ理論で $S=\beta\times$（Wilson 作用）とすると、自由近似で $C_P\approx\xi^2/\beta$、すなわち $C_P$ は $g^2(a)\,\xi^2$ に比例し、この因子は格子間隔とともに動きます。仮定 H を帯（定数倍）の水準で書くなら、この規格化を一つに固定したうえでの言明です（10-03）。記録の約束では H を冪の水準で置き、帯の水準は規格化を名指しした別の仮定に分けます（8-05 §03）。

計算この図の数値はこの端末で計算した。揺らぎは刻み $h=0.05$ の Euler–Maruyama。この刻みでは平均 $M$ が毎刻み $1-hm^2$ 倍されて雑音が足される一次の漸化式になり、その積分自己相関時間 $1/m^2-h/2$ はつまみの全段（$0.1\le m\le1$）で $1/m^2$ と 2.5% 以内で合う。走らせた履歴の測定では $m=0.3,\ 0.5,\ 1$ で確かめ、1 割以内で合う。JavaScript が無いときは表 1 で読める。

隙間は長さ 8192 の輪での相関の傾きと 6 桁、$C_P$ は 256 点の輪の $-\Delta_{\rm lat}+m^2$ の最小固有値と一致します 計算。$C_P/\xi^2\to1$ が自由場の $z=2$ です。

力学を平衡から走らせたとき、観測量 $f$ の値が時間 $t$ 離れて持つ相関を分散で割ったものを自己相関 $\rho_f(t)$ と呼びます。その最も遅い減衰の時間が $\tau_{\exp}$、$\tau_{{\rm int},f}=\tfrac12+\sum_{t\ge1}\rho_f(t)$ が積分自己相関時間で、標本平均の分散は約 $2\tau_{{\rm int},f}\mathrm{Var}(f)/n$ です（Wolff 2004） 既知。連続時間では和を積分に替え、$\tau_{{\rm int},f}=\int_0^\infty\rho_f(s)\,ds$ とします。連続時間の可逆な力学では $\rho_f(s)=\int e^{-s\lambda}d\nu_f(\lambda)$、$\nu_f$ は $[\mathrm{gap},\infty)$ に載るので

です。離散時間の可逆な連鎖（固有値 $1\gt\lambda_2\ge\cdots\gt-1$）では三つに割れます（Levin–Peres–Wilmer §12.2） 既知。

例：AR(1) 連鎖 $X_{n+1}=\rho X_n+\sqrt{1-\rho^2}\,Z$（固有値 $\rho^k$）で $\rho=-0.9$ なら $C_P=5.263$、$t_{\rm rel}=10$、$\tau_{\exp}=9.491$ と三つとも違い、$\tau_{\rm int}$ は $x$ で 0.026、$x^2$ で 4.763 です。連続時間（Ornstein–Uhlenbeck）では三つとも 1 に揃います 計算。怠惰な連鎖（毎回確率 1/2 でその場に留まる連鎖。固有値がすべて 0 以上になる）なら $\lambda_\star=\lambda_2$ で $C_P=t_{\rm rel}$ です（LPW §12.2・Exercise 12.3） 既知。

力学の違いと混合時間

熱浴法（変数を一つずつ条件つき分布から引き直す方法）・Langevin・HMC（ハイブリッド・モンテカルロ、Duane ほか 1987。人工の運動量を足して古典力学で一定時間動かし、受理か棄却で補正する方法）は生成作用素が別で、HMC の時間を Langevin の $C_P$ とみなすのは仮定です（5-07）。熱化時間と混合時間も条件つきの対です。混合時間 $t_{\rm mix}(\varepsilon)$ は、どの初期状態から始めても、分布と平衡分布 $\pi$ の全変動距離（二つの分布が同じ事象に与える確率の差の最大）が $\varepsilon$ 以下になるまでの歩数です。上界 $t_{\rm mix}(\varepsilon)\le t_{\rm rel}\log(1/(\varepsilon\pi_{\min}))$（LPW 定理 12.4。$\pi_{\min}$ は $\pi$ の最小の確率）の $\log(1/\pi_{\min})$ は体積とともに増えます。これは有限状態の可逆な連鎖の定理で、連続な群に値をとるゲージ場では $\pi_{\min}$ が意味を持たず、log-Sobolev 定数（§07）など別の道具が要ります。

$\xi$ が伸びると力学の緩和も遅くなります（臨界減速）。物理は動的スケーリングの仮説 $\tau\propto\xi^{z}$ で書き、$z$ を動的指数と呼びます（Halperin–Hohenberg 1969・Hohenberg–Halperin 1977）。$z$ は力学と観測量で変わります。(8) は Hohenberg–Halperin の分類で model A と呼ばれる、保存量の無い緩和型の力学です。数学では $C_P\asymp\xi^z$ ですが、冪の存在そのものが仮説で、ヤン–ミルズで $C_P$ の $\xi$ 依存を冪として決めた定理はありません（B15）。

従来理論と RG

静的な指数は 2-08 のもので、$\xi\sim|t|^{-\nu}$、$\chi\sim|t|^{-\gamma}$（$t$ は臨界点からの温度の隔たり）、$\eta_s$ は臨界点の相関 $G(x)\sim|x|^{-(d-2+\eta_s)}$ が自由場の冪からずれる分（異常次元）です。スケーリングの関係 $\gamma=\nu(2-\eta_s)$ から $\chi\propto\xi^{\gamma/\nu}=\xi^{2-\eta_s}$ です 物理。従来理論（van Hove の名で呼ばれる）は緩和時間を $\chi$ に比例させて $z=2-\eta_s$ とする、と整理されています 物理。Wilson の展開法を運動論的 Ising 模型の連続版に使った Halperin–Hohenberg–Ma（1972）の要旨は、結果が 'disagree with the mode-mode coupling approach and the conventional (Van Hove) theory' と書きます。RG（$\varepsilon$ 展開）と数値はどちらも $z\gt2-\eta_s$ を示唆します（表 2） 物理。

計算$2-\eta_s$（二次元は $\eta_s=1/4$、三次元は $\eta_s=2\Delta_\sigma-1$、スピンの尺度次元 $\Delta_\sigma=0.5181489(10)$）と $\eta_{\rm dyn}$ はこの端末で計算。$z$ と $\Delta_\sigma$ は一次資料の値 物理。Glauber はスピンを一つずつ確率的に更新する力学。

変分の下界

数学の側の対応は変分の下界です。(9) に $f=M=\sum_x\phi_x$ を入れると $|\nabla M|^2=|\Lambda|$（点の数）、$\mathrm{Var}(M)=|\Lambda|\chi_\Lambda$ なので

で、有限体積のどの格子でも成り立つ定理です 既知。自由場では $\chi=1/m^2=C_P$ で等号です（表 1）。ここから指数の下界に移るには二つの仮説が要ります。動的スケーリング $C_P\asymp\xi^z$ と静的スケーリング $\chi\asymp\xi^{\gamma/\nu}$ で、その下で $z\ge\gamma/\nu=2-\eta_s$ です 物理（モンテカルロ法の文献で標準とされる下界）。同じ型の不等式から厳密な下界を出した例に、Swendsen–Wang 法の $z_{\rm SW}\ge\alpha/\nu$（$\alpha$ は比熱の指数。Li–Sokal 1989 の要旨）があります 既知。従来理論の値はちょうどこの下界にあたり、表 2 の $z$ はどれも下界より大きい側にあります。

ゲージ理論では、この形では $\xi^2$ に届きません 物理。演算子の次元 $\Delta$ を、相関が短い距離で $|x|^{-2\Delta}$ のように振る舞うときの冪で測ると、ゲージ不変な局所演算子の最低の次元は 4 です。次元 4 の演算子の二点相関は $|x|^{-8}$ で減るので、四次元でのその和 $\chi$ は短い距離で決まり、$\xi$ とともに増えません（10-03）。

二つの $\eta$

$\eta$ は二つに分けます。静的な $\eta_s$ は上の異常次元、動的なのは $\eta_{\rm dyn}:=2-z$ で、等しいのは従来理論の中だけです（表 2 では符号まで違う）。この本では添字を必ず付け、記録の $\eta$ がどちらかは 8-05 で固定します。

非臨界では減速しない

逆に $\xi$ が有限なら減速しない、というのが物理の前提です（B17）。数学の形には二つの道具を使います。log-Sobolev 不等式は、分散の代わりにエントロピーを $\mathcal E$ で抑える不等式

で、Poincaré 不等式より強く $C_P\le C_{LS}$ を導きます 既知。Dobrushin–Shlosman の混合条件は、有限の箱にどんな境界条件を課しても、箱の中の相関が距離とともに一様な率で指数的に減ることです。非臨界で減速しないことの数学の形は、離散スピン系（有限のスピン空間・有限の到達距離）では「境界条件によらない一様な混合（Dobrushin–Shlosman）⟺ 一様な log-Sobolev」という同値の定理です（Stroock–Zegarlinski 1992。書誌のみ） 既知。相関長が有限なだけでは仮定が足りません。連続な群に値をとるゲージ場での同値は、この章の材料の範囲では見当たりません。格子ヤン–ミルズでは Shen–Zhu–Zhu（2023）が強結合で Poincaré・log-Sobolev・指数減衰を示しています。どちらの結果も $\xi\to\infty$ の側の冪は決めません。

寄り道：自由場では緩和時間と感受率が一致する

有効弦と Lüscher 項

長い電束の管は横の並進を自発的に破り、Goldstone ボソンが 1+1 次元に住みます（Lüscher 1981）。Goldstone ボソンは、連続な対称性が自発的に破れたときに現れる質量ゼロの揺らぎで、ここでは管の横の位置の揺らぎです。その揺らぎは $V(R)$ に普遍な $1/R$ の項を足します（Lüscher–Symanzik–Weisz 1980、7-03）。

二次元の共形場理論（距離の拡大縮小を含む対称性をもつ二次元の場の理論）は中心電荷 $c$ という数をもち、自由なボソン一つが $c=1$ です。幅 $R$ の帯に閉じ込めた揺らぎの基底エネルギーのうち幅に依る部分（Casimir エネルギー）は $c$ に比例し（Blöte–Cardy–Nightingale 1986・Affleck 1986）、開いた帯で $-\pi c/(24R)$、周の長さ $L$ の周期の帯で $-\pi c/(6L)$ です。$c=d-2$ とおくと前者は $\gamma$、後者は $d=4$ で $-\pi/(3L)$ で、格子で弦張力を取り出すときに差し引く補正と一致します（Lucini–Teper 2001） 計算。格子の $\sigma$ には「管の中心電荷は $d-2$」という物理の仮定が入っています（B18）。

硬い管と粗面化

面積則が示されている強結合では、管は硬いとされます。正確には、面を一格子ずらすごとに小さな重みが掛かり、横の揺らぎが指数的に抑えられるという意味です（7-03）。強結合の管の形は、向きに依る張力から作る Wulff 構成との類比で読めます。Wulff 構成は、向きごとの張力 $\tau(\mathbf n)$ の下で、囲む面積を固定して周の張力の総和を最小にする形を与える作図です（7-03）。揺らぐ管の領域とは粗面化転移（荒れの転移、roughening）で隔てられているとされます。これは Lüscher 1981 の題（要旨）にある物理の描像で、格子ゲージ理論でその存在を示した定理は、この章の材料には見当たりません 物理（B19）。

位相電荷の凍結とボトルネック

純ゲージの HMC では、位相電荷の二乗の有効な動的指数が約 5 で、Wilson ループはこの遅いモードから切り離されます（Schaefer–Sommer–Virotta 2011 の要旨） 物理。数学の言葉はボトルネックで、配位の集合 $A$（位相電荷が 1 に近い配位など）の指示関数をなめらかにした $f$ を変分原理に入れると

で、$A$ と外をつなぐ通路が細いほど $C_P$ は大きくなります 既知（二つの谷の模型、1-10）。正確には、$A$ の境界付近の配位の測度が小さく、そのため $\mathcal E(f)$ が小さくなることです。(14) は定理ですが、それが凍結の原因であることと、HMC の現象を Langevin の $C_P$ に移すことは確かめられていません（B20、10-06）。

寄り道：位相電荷の区画と細い通路

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：8-04 辞書 C：尺度と極限。記録の仮定との対応は 8-05。

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