2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 10 部 質量ギャップの厳密な証明へ — この端末の検討一段の記帳

一段の記帳 — 完全な族から一ループの傾きまで

作用は $S=\beta\sum_P(1-\tfrac12\operatorname{tr}U_P)$、$\beta=4/g^2$ です。一段は、格子間隔を $a$ から $ba$ に粗くし、細かい変数の一部を積分して粗い格子の作用を作る写像です（6-05）。記録の定義です。

6-05 の段の列の特殊化で、元のリンクの一部を残す「間引き」の型です（同じ型の近似が Migdal–Kadanoff、8-04 §04）。面積則・次元勘定・一ループの係数は既知の書き直しで、成果に数えません。例。$b=2$ の粗いプラケットは細かいプラケット 4 枚を囲み、この 4 が §05 の面積 $A$ です。

積分するリンクどうしが同じプラケットに乗らなければ、残りを止めたとき各リンクの重みは独立に分かれ、厳密に積分できます。どのプラケットからも一本ずつ消すのが記録の「完全な族」です。

辺は $2(d-1)$ 枚のプラケットに乗るので、組 $(P,\ell\in P\cap F)$ を二通りに数えると、密度は次元に依らず $|F|/|E|=1/4$ です。上限も数え方で出ます。同じ頂点に接する垂直な二辺は一枚のプラケットの隣り合う二辺なので、頂点 $x$ に接する族の辺の本数 $f_x$ は一つの軸の二本までです。

存在も決まっています：$(\mathbb Z/L)^d$（$2\le d$）に完全な族が在るのは $d\le4$ かつ $L$ が偶数のときだけです Lean（perfectK_one_iff。仮定は $2\le d$ だけ。$\mathbb Z^d$ でも通る）。記録の探した範囲では先行の記録が見当たりません（既知かもしれません）。この 4 は格子の組合せの数で、物理の四次元とは関係しない偶然の一致です（10-10 §09）。

例。表 1 はこの端末の探索です。数えているのは族の個数で、一つの族の辺の本数は (3) の上の勘定のとおり辺の数の 1/4 です（10-04 表 3 の括弧はこちらの本数）。$d=4$・$L=2$ の族は 8 個（各 16 本）で、全頂点で $f_x=2$、つまり (3) の等号です。

計算表 1　$(\mathbb Z/L)^d$ の辺の完全な族の個数（在るものは (2) を全プラケットで検算）

計算この図の族はこの端末で求めた（272 個のうち 4 個）。JavaScript が無効なら：どの正方形もちょうど 1 辺が太線で、太線の両側の二枚が一組になります。

寄り道：二次元ではドミノ敷き詰め

族の辺 $\ell$ の乗る 6 枚には他の族の辺が無いので、$U_\ell$ はステープル（プラケットから $\ell$ を除いた三辺の積）$V_1,\dots,V_6$ の和 $M$ とだけ組になります。$SU(2)$ は長さ 1 の四元数で、Haar 測度の不変性から積分は長さ $|M|$ だけで決まります。

$\tfrac12\operatorname{tr}(V_iV_j^\dagger)$ は二つのステープルをつないだ長さ 6 のループで、面積 2 の面を張ります。残るリンクの作用 $\Phi=-\sum_{\ell\in F}\ln F(\beta|M_\ell|)$ を $\ln F(y)=y^2/8-y^4/384+\cdots$ で開くと、新しいループの結合は $\beta^2/4$ です。

右の両側評価は全ての $t,\beta\ge0$ で成り立ちます Lean（log_F0_le・log_F0_ge。仮定なし）。(4) の閉形は $SU(2)$ の熱浴法の標準の式です 既知（5-07。曲率の話は 5-11）。記録はさらに、残る辺の条件つき密度が六つの源の積で一リンクの型に閉じず、この技は一度きりだと示しました（定理 C） 紙。

例。乱数の 6 本（$|M|=2.4223$）、$\beta=1$ で Haar 測度の標本 400 万個では $1.93668\pm0.00111$、閉形は $1.936387$ です 計算。

完全な族を積分すると、4 辺が残る「無傷の」プラケットは一枚も無くなり、結合は壊れたプラケットから生まれ直すしかありません。$K$ 段の後に残る辺を $E_K$、その割合を $e_K$、無傷のプラケットの割合を $q_K$ とし、組 $(P,\ell\in P\cap E_K)$ を数えると次が出ます。

右辺は結合の再生に回せる量の尺度です 紙。(6) から $q_K\le e_K$ が $E_K$ に仮定なしで出て、連結な格子では等号は $E_K$ が空か全体のときだけです Lean（Incidence.intact_frac_le。仮定なし）。段を重ねても届きません。完全な段の列では残る辺が $(2^k+1)/2^{k+1}\gt1/2$（3/4, 5/8, 9/16, …）で Lean（no_blocking。仮定：完全な段の列）、各段で消す割合が 1/4 以下の任意の列でも $q_k\le e_k^4$、辺を $2^{-d}$ まで減らすと $2^{3d}=4096$ 倍足りません Lean（blocking_shortfall。仮定：割合 $\le1/4$）。

記録の総括は「壁は曲率でもパッキングでもなく、無傷のプラケットだけを数える記帳の仕方にあった」です。例。$d=4$・$L=4$ で両辺を分数で数えると、完全な族の補集合では $e=3/4$、$q=0$、無作為に 9 割を残すと $e=0.8936$、$q=0.6361$ で、どちらも (6) の両辺が一致します 計算。

§03 の $\beta^2/4$ は二枚を一辺で貼った結果でした。一列の $k+1$ 枚を $k$ 本の共有辺で貼ると、縁のループの結合の主項は縁の長さ $4+2k$ ではなく、面積 $A$ で決まります 紙（主項の代数は Lean Chain.b_of_beta）。

右は円板の形の $A$ 枚の内部を積分した厳密な形で、指標展開（5-02 の (5)）のどのチャネルでも係数が $A$ 乗されます（$y_1=u=\beta/4-\cdots$）。記録は、これが面積について厳密な半群で不動点が $y=0,1$ だけ、したがって全域で $\beta'\lt\beta$ だと示しました Lean（discStep_semigroup・step_lowers_coupling。仮定：円板の形の面）。$2\times2$（$A=4$）では $\beta'=\beta^4/64+O(\beta^6)$、弱結合では $u\approx1-3/(2\beta)$ から $\beta'\approx\beta/A$ です。

左は強結合の面積則（5-02。Wilson 1974・Osterwalder–Seiler 1978）の書き直しで、可換な群でも成り立つので閉じ込めの証拠になりません。右は二次元の厳密な間引き（Migdal 1975、6-02）と同じ式で、四次元では Migdal–Kadanoff の間引きの段に当たります（8-05 §09） 既知。

例。表 2 の随伴の比 $y_2(\beta)^4/y_2(\beta')\ne1$ は、一段の後の作用がもう Wilson 形でないことを示します。$\beta_0=4$ からは 0.768、0.00495、$9\times10^{-12}$ と落ちます（図 2）。

計算表 2　円板の一段（$A=4$）の厳密な $\beta'$ と近似

計算この図の数値はこの端末で計算した（(7) の $u$ を級数の部分和でその場で求めて解き、表 2 と合うことを確かめた）。JavaScript が無効なら：太線は対角線の下にあり、強結合で $\beta^4/64$、弱結合で $\beta/4$ に沿います。

円板は弱結合でも $\beta$ を $A$ 分の 1 にしますが、四次元の流れは一段で $\kappa\ln b$ ほどしか下がりません（§07）。落ちているのは横向きの辺です。弱結合の一段は合成抵抗の計算に似ます。比喩で言えば、粗いプラケットを貫く流れを運ぶとき、円板の $b^2$ 枚が直列（$1/\beta$ が足される）、横の $b^{d-2}$ 層が並列（$\beta$ が足される）です。

正確には、記録はガウス近似の一段を 2-鎖の最小値問題 $\beta'=\beta/\min\{\|x\|^2:\partial x=\gamma\}$（$\gamma$ は粗いプラケットの縁）として解きました 紙。$\beta b^{d-4}$ は結合の次元勘定で、$d=4$ で周辺的です（4-04）。$b^{d-2}$ は Migdal–Kadanoff のボンド移動の因子です 既知。

面の数え上げからは一ループの傾きは出ません。縁を張る面の管はみな同じ点から出るので、辺を共有しない面は高々 3 枚、寄与は (8) の右で 1 に届きません Lean（kappaDisj_lt_one。仮定：辺を共有しない面の族）。面の記帳は $\beta'=\kappa(b)\beta$ の掛け算の形で、一ループの引き算の形になりません。例。$d=4$・$b=2$ で円板 $\beta/4$、ツリー $\beta$、三枚の面 $0.417\beta$。

ツリーの $\beta'=\beta$ の上に、速いモード（運動量が $\pi/(ba)$ と $\pi/a$ の間）の一ループの補正が乗ります。記録はそれを「窓」の積分で測りました。

$\hat p^2=\sum_\mu4\sin^2(p_\mu/2)$、$W_b$ は速いモードへの射影の対角成分 $w$（または $w^2$）、$C$ は方式の定数、$8\pi^2$ は連続で $\ln b$ になる正規化です。$\kappa$ は既知の一ループの係数 $\kappa=4Nb_0=11/(3\pi^2)=0.3715110$ です（4-06 §02） 既知。Gross–Wilczek・Politzer（1973）の係数です。

「5 桁一致」の中身：$C$ を含まない差 $E(b)=L_{\rm eff}(2b)-L_{\rm eff}(b)-\ln2=\delta(b)-\delta(2b)$ の傾き $1+E/\ln2$ は記録の $b=32\to64$ で 1.000028、$\kappa$ を掛けた 0.371521 が $11/(3\pi^2)$ と相対 $2.8\times10^{-5}$ で合いました。確かめたのは「模型の窓の対数の傾きが 1 に近づく」ことで、模型の中の一致です。非摂動の確認ではありません。

例。表 3 はこの端末で (9) を決定論的な求積（Gauss–Legendre）で積み直したもので、記録の値と 5〜6 桁で合いました。反対側で、実際の格子の $a\sqrt\sigma$（Lucini–Teper 表 1）から読む実効的な傾き $\Delta\beta/\ln(a_1/a_2)$ は $\beta=2.25\to2.60$ で 0.304 で、一ループの 0.3715 にも二ループの 0.397 にも届いていません 物理 計算（4-06 §07）。

計算表 3　窓の差 $E(b)$ と傾き（重み $w$。最後の行は記録の値）

段ごとの形 $\xi(\beta-\kappa\ln b)=\xi(\beta)/b$ からは $\xi(\beta)=\xi(0)e^{2.69171\beta}$ が一行で出ます Lean（xi_eq_exp。仮定：全ての $b\ge1$ で段ごとの形）。一ループの漸近スケーリング（5-05）そのものです 既知。

(9) の $\delta(b)$ は、格子の一段の窓が連続の $\ln b$ に足りない分で、記録の測定では $b^2$ 分の 1 で消えます。

$b$ への依存は窓の赤外の端 $p\sim\pi/(ba)$ だけから来て、そこの格子の補正が $(ap)^2\sim1/b^2$ だから、という見立てです 紙。格子の $O(a^2)$ 効果（Symanzik の改良、5-05）と出どころは同じですが、変数が $b$ で段ごとに溜まる点が違います（8-05 §06）。$b=2$ は漸近域ではなく $\delta(2)=0.1335$（$w$）・$0.2284$（$w^2$）です 計算。

$b$ を固定して段を重ねると各段で $\kappa\delta(b)$ ずつ遅れ、(10) の右のとおり物理単位の質量が冪で動きます（$b=2$ の指数は 0.193・0.330） Lean（anomalous_exponent。代数）。段の誤差の部分和が有界なら $a_k^2C_P^{(k)}$ は正の帯に留まり、一定なら幾何級数で外れます Lean（S4_two_sided・S4_fails_const。仮定：段の誤差を加法的で有界とするモデルと、帯の読み $\text{H}_{\rm band}$（10-03 の H の八つの読み））。$b$ 固定なら $\delta(b)=0$ が必要十分、$b_k=k+2$ なら $\sum c_2/(k+2)^2\lt\infty$ で救えます（fixed_step_bounded_iff。模式は 10-01 §07）。

核を替える道では、族 $c_1(q)=\alpha+(1-\alpha)\cos q$ の $\alpha_0=1.4400$（$w$）で $\delta(2)=0$ になりますが、隣の重みが負です 計算。正の重みの核では $c_2\gt0$ です Lean（c2_ge_of_nonneg_weights。仮定：$c_2$ の核への依り方についての測定）。負の重みは反射正値性とぶつかりうるので（8-05）、調べた族の中では取りこぼしの消去と量子論に戻れる条件が両立しません（族の外は未決）。

例。$c_2$ の値は模型に依り、$1/b^2$ の形と総和可能性という条件は依りません。記録の総括は「残る距離は一段を極限につなぐ側（仮定 H と $\delta$ の族の構造）にある」で、10-03 に続きます。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：10-03 仮定 H と三つの鎖。

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