2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 1 部 数学の準備パウリ・Gell-Mann・随伴表現

SU(2) と SU(3) — ゲージ場が値をとる行列を、手で触れる大きさで見る

ゲージ場は、時空の各点・各方向ごとに、ゲージ群 G のリー環 $\mathfrak{g}$ の元を一つずつ持ちます（3-02）。電磁気学の G = U(1) では成分は一つです。SU(N) ではリー環が行列の空間になります。

数え方：対角成分は純虚数で N 個、対角より上は複素数で $N(N-1)/2$ 個。実の自由度 $N^2$ から跡 0 の条件で一つ減ります。SU(3) では 8 で、グルーオンが 8 種ある理由です（PDG）。

物理では $X = -i\theta^a T_a$（$T_a$ はエルミート、繰り返す添字は和）と書きます。1-02 の $U = \exp(-\tfrac{i\theta}{2}\,n\cdot\sigma)$ は $T_a = \sigma_a/2$ としたこの形です。この本では $\operatorname{tr}(T_aT_b) = \tfrac12\delta_{ab}$ と正規化し、1-03 の構造定数をこう書きます。

$f_{abc}$ は実数で完全反対称です。PDG の QCD の総説も同じ約束です 既知。

パウリ行列（1-02 §05）の性質は、次の恒等式に詰まっています。$\varepsilon_{abc}$ は $\varepsilon_{123} = 1$ で、添字を二つ入れ替えると符号が変わる記号です。

跡をとると $\operatorname{tr}(\sigma_a\sigma_b) = 2\delta_{ab}$、a と b を入れ替えて引くと $[\sigma_a, \sigma_b] = 2i\varepsilon_{abc}\sigma_c$。$T_a = \sigma_a/2$ で式 (2) の形になり、$f_{abc} = \varepsilon_{abc}$ です。例：$T_1T_2 = \tfrac{i}{4}\sigma_3$、$T_2T_1 = -\tfrac{i}{4}\sigma_3$ なので $[T_1, T_2] = iT_3$。

回転にも同じ関係があります。$(L_a)_{bc} = -i\varepsilon_{abc}$ は $[L_a, L_b] = i\varepsilon_{abc}L_c$ を満たし、$e^{-i\theta L_3}$ は z 軸まわりの角 θ の回転です 計算。su(2) と so(3) は同じリー環です。リー環は単位元の近くしか見ないので、SU(2) が SO(3) を二重に覆うこと（1-02 §06）はここには現れません。

su(2) の表現とは、$f = \varepsilon$ の式 (2) を満たすエルミート行列 $J_1, J_2, J_3$ の組です。一段ずつ上り下りする行列を作ります。

$J_3 v = mv$ なら $J_3(J_\pm v) = (m \pm 1)J_\pm v$ で、$J_\pm$ は固有値を 1 ずつ動かします。$J^2 = J_1^2 + J_2^2 + J_3^2 = J_-J_+ + J_3^2 + J_3$ はすべての $J_a$ と可換です。有限次元なので上端 $v$（$J_+v = 0$）があり、その固有値を j とすると $J^2 v = j(j+1)v$。下りると $\lVert J_- v_m\rVert^2 = (j+m)(j-m+1)\lVert v_m\rVert^2$ で、この係数は負になれないので、列は $m = -j$ でちょうど止まる必要があります。j から整数の歩幅で −j に着くので、2j は 0, 1, 2, … のどれかです 既知。

次元は $2j+1$ で、各次元に既約表現が一つずつあります（1-02 の $\Pi_m$ は m = 2j）。例：j = 1/2 は $J_a = \sigma_a/2$。j = 1 は基底を取り替えると §02 の $L_a$ です。

su(3) でパウリ行列の役をするのが 8 個の Gell-Mann 行列です。どれもエルミートで跡 0、$\operatorname{tr}(\lambda_a\lambda_b) = 2\delta_{ab}$ です。

$\lambda_{4,5}$ は 1・3 番目、$\lambda_{6,7}$ は 2・3 番目の成分でパウリ行列と同じことをし、$\lambda_8$ は $\lambda_3$ と直交する対角行列です。$T_a = \lambda_a/2$ とし、$f_{abc} = -2i\operatorname{tr}([T_a, T_b]T_c)$ で取り出すと次の表です。

表 2：a < b < c で 0 でないもの（他は反対称性で決まるか 0）。64 個の交換子が再現され、Jacobi 恒等式のずれは 3.3×10⁻¹⁶ 以下 計算。

中には su(2) が三つあります。$\{T_1, T_2, T_3\}$、$\{T_4, T_5, \tfrac12 T_3 + \tfrac{\sqrt3}{2}T_8\}$、$\{T_6, T_7, -\tfrac12 T_3 + \tfrac{\sqrt3}{2}T_8\}$ がそれぞれ $f = \varepsilon$ の式 (2) を満たします 計算。成分の組 (1,2)・(1,3)・(2,3) ごとの SU(2) です。

$T_3$ と $T_8$ は可換です。互いに可換な元を一次独立に最大でいくつ取れるか（それらが張る空間の次元）を階数と呼び、su(3) は 2、su(N) は N − 1 です 既知。実際、su(3) の中で $T_3$・$T_8$ の両方と可換な元はこの二つの一次結合だけで、su(N) でも対角の N − 1 個と可換な元はそれらの一次結合だけでした（N = 2〜6）計算。

表現の中で $T_3$ と $T_8$ は可換なエルミート行列なので同時に対角化でき、共通の固有ベクトルの固有値の組 $(\mu_3, \mu_8)$ を重みと呼びます（su(2) の m の二次元版）。定義表現 $\mathbf{3}$ では対角成分を読むだけです。

三点は正三角形で、$\bar{\mathbf{3}}$（複素共役）はその −1 倍です。行列単位 $E_{ij}$（(i, j) 成分だけ 1）は対角行列 H に対し $[H, E_{ij}] = (h_i - h_j)E_{ij}$ を満たし、重みを $\mu(e_i) - \mu(e_j)$ だけ動かす梯子です。この差の 6 個を根と呼び、長さ 1 の正六角形をなします。$E_{12} = T_1 + iT_2$ は §03 の $J_+$ です。$E_{ij}$ は $J_\pm$ と同じく su(3) の元の複素係数の一次結合で、su(3) そのものの元ではありませんが、表現の上では同じように働きます。

既約表現は非負整数の組 (p, q) で番号が付き（最高の重み $p\,\mu(e_1) - q\,\mu(e_3)$）、次元は次の式です 既知。(1, 0) が $\mathbf{3}$、(0, 1) が $\bar{\mathbf{3}}$、(1, 1) が随伴表現です。

図で見える規則：重複度は外の殻から内へ 1 ずつ増え、殻が三角形になってからは重複度が増えなくなり、内側まで一定です。計算した 16 個すべてがこの形でした 計算。

寄り道：味の SU(3) と色の SU(3)

群は自分のリー環に共役で働きます。これが随伴表現で、その微分が交換子です（1-03）。

右端の行列は式 (2) をもう一度満たします（Jacobi 恒等式と同値）。SU(2) では $-i\varepsilon_{abc}$ が §02 の $L_a$ なので、1-02 の写像 SU(2) → SO(3) は随伴表現そのもので、j = 1 に当たります。

ゲージ場は、空間に依らないゲージ変換 g で $A \mapsto gAg^{-1}$ と変わります（一般の形は 3-02）。U(1) では $gAg^{-1} = A$ で光子は電荷を持ちませんが、SU(N) ではゲージ場自身が荷電し、自分と相互作用します。PDG でもグルーオンは随伴表現、クォークは基本表現です 既知。

$\sum_a T_aT_a$ はすべての $T_b$ と可換です（§03 の $J^2$ と同じ）。Schur の補題（既約な複素表現で、すべての表現行列と可換な行列は単位行列の定数倍）により、既約表現ではこれは単位行列の定数倍で、その定数を Casimir と呼びます 既知。

表 4：一般化した Gell-Mann 行列で計算 計算。最下行は Killing 形式 $B(X, Y) = \operatorname{tr}(\operatorname{ad}_X\operatorname{ad}_Y)$ と $\operatorname{tr}(XY)$ の比で、2N でした。反エルミートな $X \ne 0$ では $\operatorname{tr}(X^2) \lt 0$ なので B は負定値で、コンパクト性が符号に見えています。

作用の Tr が「G のリー環上の不変な二次形式」であることは 1-03 §09 で見ました。コンパクト単純なリー環（複素化も単純になる）では、不変な対称双線形形式は定数倍を除いて一つなので 既知、表 4 の B と tr の違いも g に吸収されます。$C_A$ は漸近自由の係数に入ります。PDG の一ループ係数 $b_0 = (11C_A - 4n_fT_R)/(12\pi)$ は、クォークの無い純ヤン–ミルズで $11N/(12\pi)$ です 既知。7-01・4-06 の「11N」の N は $C_A$ です。

すべての元と可換な元の集まりを中心と呼びます。SU(N) では行列式 1 のスカラー行列です 既知。

中心の元はすべての表現行列と可換なので、既約表現の上では Schur の補題（§06）によりスカラーとして働きます。SU(3) では対角成分を比べると $\omega I = \exp(4\pi i\,T_8/\sqrt3)$ で、重み $(\mu_3, \mu_8)$ のベクトルには $e^{4\pi i\mu_8/\sqrt3}$ が掛かります。V(p, q) の最高の重みは $\mu_8 = (p+2q)/(2\sqrt3)$ なので、表現全体に $\omega^{p+2q} = \omega^{p-q}$ が掛かります。p, q ≤ 3 の 16 個の表現の重みの点（計 216 点）すべてでこの値でした 計算。$k = p - q \bmod 3$ を N-ality と呼びます。表 3 の列で、$\mathbf{3}$ は 1、$\bar{\mathbf{3}}$ は 2、随伴は 0 です。

随伴で 0 になるのは、スカラー行列 z で $zXz^{-1} = X$ だからです。ゲージ場は中心を感じません。そのためグルーオンだけでは N-ality が 0 でない電荷を遮蔽できず 物理、中心は閉じ込めの議論の主役になります（7-02・5-10）。中心が自明な $G_2$（§09）では電荷がグルーオンで遮蔽され弦が切れうる、と Holland ら（2003）は論じています 物理。

§05 の根は、どのコンパクト単純リー環にもあります。階数 r なら、互いに可換な r 個の元の同時固有値として、根は r 次元の空間に並びます。内積 $(\alpha, \beta)$ は §05 と同じく、生成子を不変な二次形式で正規直交にしたときの座標の内積です（su(3) では $(\mu_3, \mu_8)$ 平面の普通の内積で、根の長さは 1）。

分類の心臓部は §03 の「2j は整数」です。根 α ごとに $E_\alpha$、$E_{-\alpha}$ と両者の交換子が su(2) を作り、別の根 β をこの su(2) から見ると、m に当たる量は $(\alpha,\beta)/(\alpha,\alpha)$ で、1/2 の整数倍（整数も含む）になります 既知。su(3) で α = (1, 0)（$E_{12}$、su(2) は $\{T_1, T_2, T_3\}$）、β = $(\tfrac12, \tfrac{\sqrt3}{2})$（$E_{13}$）なら m = 1/2 です。二つの向きで掛けると、なす角 θ について次が出ます。

左辺は整数の積で、$\beta \ne \pm\alpha$ なら 4 未満だからです。二つの因子の比は長さの比の二乗なので、直交しない二本の根の長さの比は 1・√2・√3 のどれかです（積が 1・2・3 になる整数の組は限られるため）。

根は多いので代表を選びます。原点を通り根を一本も含まない直線（階数 3 以上なら超平面）を引き、片側の根を正の根と呼びます。正の根のうち、二つの正の根の和で書けないものが単純根で、本数は階数に等しく、互いのなす角は 90° 以上です 既知。よって単純根どうしの角は 90°・120°・135°・150° の四通りです。

単純根から全体を戻すのが鏡映です。根 α での鏡映は、α に垂直な直線（超平面）に関する折り返しです。

鏡映は根を根に移し、単純根に単純根の鏡映を繰り返すとすべての根が得られます 既知。(12) の係数は (11) の整数なので、根はすべて単純根の整数係数の和です。係数は全部 0 以上か全部 0 以下です 既知。

階数 2 では $A_1\times A_1$（根 4 本、二つの su(2) に分かれて単純でない）・$A_2$（6 本、§05 の正六角形そのもの）・$B_2$（8 本）・$G_2$（12 本）です。次元は階数 + 根の数です（su(3) なら対角の 2 方向と、6 本の根ごとの $E_{ij}$ で 8）。図 3 の係数も全部 0 以上か全部 0 以下でした 計算。

問題文（0-03）は「任意のコンパクト単純ゲージ群 G」を求めます。§08 の制限を階数 3 以上でも詰めると、リー環の候補は四つの系列 $A_n = \mathfrak{su}(n+1)$、$B_n = \mathfrak{so}(2n+1)$、$C_n = \mathfrak{sp}(n)$、$D_n = \mathfrak{so}(2n)$ と、五つの例外 $G_2, F_4, E_6, E_7, E_8$ で尽きます 既知。Baez の総説によれば、Killing は 1887 年の書簡で分類を告げ、続く三年の論文で発表しました（例外を 6 個と数えていました）。Cartan の 1894 年の学位論文がすべてを構成し、52 次元の二つが同型であることを見いだして、例外は 5 個になりました。

表 6：系列は n ≤ 8 で式と一致 計算。Spin(m) は SO(m) を二重に覆う単連結な群、Sp(n) は四元数成分のユニタリ行列の群です。単純根どうしの整数 $2(\alpha_i,\alpha_j)/(\alpha_j,\alpha_j)$（式 (11) の因子）を並べた行列を Cartan 行列と呼び、中心の位数はその行列式です 既知。中心の形（ℤ₄ か ℤ₂×ℤ₂ か）もこの行列から計算しました。$h^\vee$（双対 Coxeter 数）は、この章では表の値として引くだけにします。

SU(N) では $h^\vee = N$ で、§06 の $C_A = N$ と一致します。長い根の長さの二乗を 1 に揃える（SU(N) では $\operatorname{tr}(T_aT_b) = \tfrac12\delta_{ab}$ に当たり、§05 で根の長さが 1 だったのと同じ）と、一般の G でも $C_A = h^\vee$ です 既知。数学で多い「長さの二乗を 2」の規格化では、随伴の Casimir は $2h^\vee$ になります。SU(3) で二つの規格化を比べると 3 と 6 でした 計算。問題文の G はこの表のどの行でもよく、摂動論の係数には群がこうした数で入ります。SU(2)/ℤ₂ = SO(3) のような中心で割った群も同じリー環を持ち、違いは束の位相に現れます（3-05 §03）。

次は 1-05 多様体と接空間：この章の行列を時空の各点に載せるための言葉です。

この章が言えている範囲

出典と再現

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