2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 7 部 物理の側から有効弦理論

弦の絵 — 閉じ込めの管を一本の弦とみなすと、揺らぎから普遍な補正と形が出てくる

7-01 §05 の電束の管は、太さが対の距離 $R$ よりずっと小さければ、遠目には一本の線です。ユークリッド時間の方向に伸ばすと、線は面（世界面）を掃きます。弦の絵は、この面の揺らぎで長い距離を書く有効理論です 物理。Wilson ループの長方形 $R\times T$ を縁とする面 $S$ に、面積 $A(S)$ で決まる重みを与えます。

最小の面だけなら $e^{-\sigma RT}$、面積則です。問題は揺らぎで何が加わるかです。比喩で言えば張った膜の震えです。正確には、(1) はヤン–ミルズから導いた式ではなく、「長い管が在り、低い励起は横揺れだけ」という仮定の下での出発点です（Athenodorou–Bringoltz–Teper 2011 §2。以下 ABT）。

格子の強結合（5-02）では (1) に近い式が成り立ち、プラケット一枚の重み $u$ が $e^{-\sigma_0}$ の役をします 既知。ただし U(1) でも面積則が出るので、非可換の閉じ込めの証拠にはなりません（Chatterjee 2018 §4、5-06）。

面積に比例する作用を Nambu–Goto 作用と呼びます（名は Nambu と Goto にちなむとされます）。面を座標 $t,x$ と、垂直な変位 $h(t,x)\in\mathbb{R}^{d-2}$ で表します（静的ゲージ。$d$ は時空の次元）。曲面 $X(t,x)$ の面積は、多変数の微積分で学ぶ曲面積の公式 $\int\!\!\int\sqrt{|X_t|^2|X_x|^2-(X_t\cdot X_x)^2}\,dt\,dx$（$X_t=\partial_tX$、$X_x=\partial_xX$）で与えられます。$X=(t,x,h)$ を入れると次の式です。

揺らぎが緩やかなら $\sqrt{1+z}\approx 1+z/2$ で展開して

第二項は $d-2$ 成分の質量のない自由場で、2-02 の弦の振動と同じ形です（端では $h=0$）。高次の項は長い弦では $1/(\sigma R^2)$ の冪で抑えられます（ABT §2.1）。

例：波打ち $h=A_0\sin(\pi x/R)$ の長さの増分は、二次の近似で $\pi^2A_0^2/(4R)$ です。$R=1$ fm、$A_0=0.2$ fm で 0.099 fm（厳密には 0.092 fm）。$\sigma=1192$ MeV/fm（$\sqrt\sigma=485$ MeV、7-01 §07）を掛けて約 110 MeV です 計算。

(3) の第二項は、ユークリッド化した自由場の作用です。$T$ が長いとき $\langle W_{R,T}\rangle\approx e^{-V(R)T}$ なので、同じ場のハミルトニアンの基底エネルギーが $V(R)$ を与えます（4-02）。この場のモードは $k_n=n\pi/R$（$n=1,2,\dots$）です。各モードは振動数 $k_n$ の調和振動子で、最低の状態でも零点エネルギー $k_n/2$ を持ちます（2-06。$\hbar=c=1$）。$d-2$ 成分を足すと次の式です。

和は発散します。長さ $a$ より細かい揺れは有効理論の外なので、$e^{-k_na}$ で切ります。

(5) を (4) に入れると、第一項は $(d-2)R/(2\pi a^2)$ で $R$ に比例し、張力に吸収されます。残りが静的ポテンシャルです。

$c_0$ は普遍でない定数です。$d=4$ で $-\pi/(12R)$、7-01 式 (6) の Lüscher 項です（Lüscher–Symanzik–Weisz 1980、Lüscher 1981）。長い管の有効理論の中で導かれる係数で、数学の定理ではありません 物理。$1/R$ の項は発散しない有限の部分なので、係数は $a$ に依りません。$R=1$、$a=0.2,\,0.1,\,0.05$ で残りは $-0.2567,\,-0.2605,\,-0.2615$ と $-\pi/12$ に近づきます 計算。

閉じた弦と円筒の Casimir エネルギー

周期 $L$ の方向に巻きついた管（周期境界を回る電束）では $k_n=2\pi n/L$ が正負両向きにあり、同じ計算で次を得ます（ABT 式 (9)）。

これは円筒の上の自由場の Casimir エネルギーです。Lucini–Teper 2001 は格子の $\sigma$ を同論文の式 (4) $am_l=a^2\sigma L-\pi/(3L)$ で取り出し、'in using eqn(4) we are assuming that we have linear confinement' と断っています（5-08）。目安：$R=1$ fm で $\pi/(12R)\approx52$ MeV は $\sigma R$ の 4.3%、$L\sqrt\sigma=3$（Lucini–Teper の下限。$\sqrt\sigma=485$ MeV での換算で約 1.22 fm、Lucini–Teper 自身は ≃1.3 fm と書く）で (7) の補正は主項の 11.6% です 計算。

(3) のモード $q_n$ は質量 $\sigma$・振動数 $k_n$ の振動子で、基底状態の分散は $1/(2\sigma k_n)$ です。$h=\sum_n\sqrt{2/R}\,q_n\sin k_nx$ の中点では奇数の $n$ だけが残り、$\langle h^2\rangle=\sum_{n\,\text{奇数}}1/(\sigma\pi n)$ です。$n\lesssim R/a$ まで足すと対数になります（Lüscher–Münster–Weisz 1981。Gliozzi–Pepe–Wiese 2010 式 (3)）。長い管の有効理論の中で導かれる式です 物理。

普遍なのは $\ln R$ の係数で、$R_0$ は普遍ではありません。太さは際限なく増えますが $w/R\to0$ で、遠目には細い線のままです。

計算この図の数値はこの端末で計算した。切断 $a=0.25/\sqrt\sigma$、帯は $\pm w$、横方向 1 成分。振動は古典的な絵で、量子の揺らぎそのものではない。

計算モードごとの閉じた形 $1/\sqrt{m^2(m^2+4)}$ で厳密に足した。増分は (9) と 6 桁で一致する。

$d=4$ の係数 $1/(\pi\sigma)$ は 0.053 fm² で、$R$ を倍にしても $w^2$ は 0.037 fm² 増えるだけです 計算。対数の増え方は (2+1) 次元の SU(2) の格子で確かめられています（Gliozzi–Pepe–Wiese 2010）物理。

縦の運動量のない閉じた弦の準位は、Nambu–Goto では閉じた形で書けます（左右に回る励起の和がともに $n$。ABT 式 (21)）。素朴な光円錐量子化から来る式です（Aharony–Komargodski はこの方法の出典として、端を固定した弦を扱った Arvis 1983 を挙げます）。

展開すると $\sigma L+\frac{4\pi}{L}\big(n-\frac{d-2}{24}\big)+\cdots$ で、$n=0$ は (7) に戻ります。基底は $\sigma L^2\lt\pi(d-2)/3$ で虚になり、$d=4$ では $L_H\sqrt\sigma=\sqrt{2\pi/3}=1.447$ です。周期方向を時間とみれば $1/L$ は温度です（4-02）。弦の状態の数はエネルギーとともに指数的に増えるので、ある温度より上では分配関数の和が収束しなくなります。この点を Hagedorn 転移と呼びます（状態の増え方は 7-05 の寄り道）物理。ABT は $L_H$ を 'the Hagedorn/deconfining transition in the Nambu-Goto model' とみなせると書き、続けて、大 $N$ の純ゲージ理論ではこの長さに届かないと述べます。縮めていくと、その手前の $l_c\sqrt\sigma=\sqrt\sigma/T_c\simeq1.65$ で一次の脱閉じ込め転移が起きるからです（表3 の下の $l_c$）。

計算式 (10) による。格子で管が消える長さ $l_c\sqrt\sigma$ は ABT 表 3 の $a\sqrt\sigma$ と $l_c/a$ の積で、SU(3) 1.544・1.559、SU(5) 1.636、SU(6) 1.676。いずれも $L_H$ より少し長く、大きい $N$ の二つは ABT の 1.65 の前後にある。

どこまで普遍か。Aharony–Komargodski 2013 によれば 'all the terms up to (and including) order 1/L^5 are universal' で、基底は $1/L^5$ まで (10) と一致し、$d\gt3$ の励起は $1/L^5$ で普遍にずれ、$1/L^7$ から理論ごとの項が入ります。長い管の有効理論の中で導かれる結果です 物理。(10) の量子化には 'There is no rigorous derivation' とも書いています。ABT は四次元 SU(N) の格子で閉じた管の約 20 準位を測り、多くが $1/L$ 展開の収束しない短い長さまで (10) でよく記述されると報告しました。$J^P=0^-$（$J$ は管の軸のまわりの角運動量、$P$ は鏡映に対する符号）の一部の状態は大きくずれます 物理。

表3 の最後の列で、$L\sqrt\sigma=3$ の弦の最初の励起 $3.03\sqrt\sigma$ は、SU(3) の $0^{++}$ グルーボール $3.405\sqrt\sigma$（7-01 表2）と同じ桁に来ます 計算（対応を意味するものではありません）。尺度が一つであることを数学の文にする話は 7-12 です。

格子の強結合側では、面の一部を一格子ずらすとプラケットが増え、一枚ごとに小さな重み $u$ が掛かります。横揺れは指数的に抑えられ、面は硬い（平ら）ままです。(9) の世界では分散が対数で発散し、面は荒れています。

結晶の表面では、二つのあいだに荒れの転移（roughening）があります。Itzykson–Peskin–Zuber 1980 は、四次元の格子ゲージ理論でも、真空に相転移がないまま有限の結合で荒れが起き、$\sigma(\beta)$ がそこで真性特異点を持つと論じました。ここで真性特異点とは、関数もすべての階の微分も有限のまま、テイラー展開がその点で関数を表さなくなる型の特異点です。例は $x\gt0$ で $e^{-1/x^2}$、$x\le0$ で $0$ とおいた関数で、$x=0$ でのテイラー級数は係数がすべて $0$ です。級数を何次まで延ばしても、この点は見えません。IPZ は 'The roughening transition is a natural barrier to the extrapolation of strong-coupling series for the string tension' と書いています。SU(2) の $\beta_r$ はおよそ 2（誤差大）で、著者は 4 次元の議論を 'for the most part, intuitive' と断っています 物理。

三次元の Z(2) ゲージ理論は、三次元のイジング模型と双対です。双対とは、変数の取り替えで二つの模型の分配関数が（簡単な因子を除いて）一致することです（2-09 の寄り道。IPZ は Wegner 1971 を引く）。この対応で Wilson ループの面はイジング模型の界面になります（IPZ 式 (8)）既知。ゲージ結合を $t=\tanh\beta$ で測ると（双対なイジング模型の温度では $t=e^{-2J/T}$。IPZ 式 (7)）、相転移は $t_c=0.6418$ です。荒れの点は、IPZ が引く級数の見積もりで $t_r\approx0.46$、相転移の手前です 物理。有効弦理論が当てはまるのは荒れた側だけです（Gliozzi–Pepe–Wiese 2010）物理。

§07 の硬い側では、張力は向きにも依ります。格子の軸と角 $\theta$ をなす Wilson ループの縁は階段になり、最小の面は $RT(|\cos\theta|+|\sin\theta|)$ 枚です。強結合の主項では次の式です。

$45^\circ$ で $\sqrt2$ 倍です 計算。連続極限では回転対称が戻り、一定になると期待されます 物理。

張力が向きに依る線で囲まれた、面積一定の領域（二次元の滴）はどんな形をとるか。法線 $\mathbf n$ ごとの張力 $\tau(\mathbf n)$ で、囲む面積を固定して $\oint\tau\,ds$ を最小にします。答えは Wulff 1901 の作図で与えられます（作図が最小を与えることの証明の書誌は出典表）既知。

張力が一定なら円、(11) の $\tau=|n_1|+|n_2|$ なら $\{\max(|x|,|y|)\le1\}$ の正方形です。面積 1 での総和は正方形で 4、円形なら $8/\sqrt\pi=4.51$ です 計算。

向きに依る張力が厳密に分かっている例が、正方格子のイジング模型（結合 $J$、2-09）です。この節の $\beta=1/T$ は逆温度です（$k_B=1$。格子ゲージの $\beta$ とは別物）。低温相の少数派の島（滴）の平衡形は次の曲線です（最初の厳密な解析は Rottman–Wortis 1981 とされる）既知。

(13) は (12) の $\mathcal W_\tau$ の縁そのものです。大きさも (12) のとおりで、向き $\mathbf n$ への張り出し $\max\mathbf x\cdot\mathbf n$ が張力 $\tau(\mathbf n)$（$J$ の単位）に等しくなります。したがって $x,y$ は位置ではなく、エネルギーの単位で測った座標です。$x$ 軸との交点（軸方向の張力）は、Onsager の厳密解の $2J+\beta^{-1}\ln\tanh\beta J$ と 5 桁で一致します 計算。$T\to0$ で (13) は正方形になり、張力は (11) と同じ階段の数え上げです。$T\to T_c$ では右辺が 2 に近づき、$u=\beta x$、$v=\beta y$ について $\cosh u+\cosh v\approx2+(u^2+v^2)/2$ なので円になります。

計算この図と表の数値はこの端末で計算した（(13) を角度ごとに二分法で求めた）。

低温では対角の張力が先に下がります。階段の縁には並べ方の数（エントロピー）があり、角はそこから丸くなります。$T_c$ に近づくと相関長が格子間隔よりずっと長くなり、格子の向きが忘れられて円になります。連続極限で回転対称が戻るという期待（5-05）の、厳密に扱える模型での姿です。

低温の二次元イジングで滴が Wulff 形をとることは、微視的な模型から示されています（Dobrushin–Kotecký–Shlosman 1992・1993）既知。

Wulff の問題が直接に当てはまるのは、このように面積の決まった二次元の相の滴です。ヤン–ミルズの閉じた電束の輪には面積を固定する拘束が無く、放っておけば縮みます。それでも格子の上の閉じた管は必ず角を曲がるので、そのエネルギーは $\sigma(\theta)$ を通して形に依ります 物理。この端末の記録での使い方は 10-06 にあります。

弦の絵は質量のない横揺れの話で、グルーボールの質量は直接には出てきません。ABT は (10) からずれる $J^P=0^-$ の準位が 'the massive modes associated with the internal structure of the flux tube' を表す可能性を調べています 物理。長さの尺度が $1/\sqrt\sigma$ だけなので $m\sim\sqrt\sigma$ は自然に見えますが、導かれてはいません（7-01 §09・7-12）。面の和としての見方は、次の 7-04 で $1/N$ の展開として出てきます。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：7-04 大 N — 面の和を $1/N$ で整理する見方です。

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