2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 7 部 物理の側から余剰次元・Kaluza–Klein

余剰次元が見えなくなる仕組み — 小さな円の上の波は、重い粒子の塔として見える

物理で見るとは、粒子をぶつけて跳ね返りを調べることです。大きさ $\ell$ の構造を見分けるには波長が $\ell$ より短い探り針、つまり高いエネルギーが要ります（2-05）。

1 TeV なら $2.0\times10^{-19}$ m、LHC の衝突エネルギー 13.6 TeV なら $1.5\times10^{-20}$ m、プランク質量 $1.22\times10^{19}$ GeV なら $1.6\times10^{-35}$ m です 計算。以下 $\hbar=c=1$ とします（2-04 §08）。比喩で言えば、遠くから見た庭のホースは線ですが、近づくと一周する方向が見えます。正確には、この章で言うのは「小さな円に沿った揺れには高いエネルギーが要る」ということです。

空間の各点に半径 $R$ の円が付いた五次元の時空 $\mathbb R^{1,3}\times S^1$ を考えます（円の座標 $y$ は $y+2\pi R$ と同一視）。質量ゼロのスカラー場 $\Phi(x,y)$ は波動方程式に従い（2-02）、$y$ について周期的なのでフーリエ級数に展開できます（1-11）。

代入すると $\partial_y^2$ が $-n^2/R^2$ に置き換わり、係数ごとに方程式が分かれます。

質量 $m_n$ の Klein–Gordon 方程式です（2-02 §06）。五次元の場一つが、四次元では質量ゼロのゼロモード $\phi_0$ と、質量 $1/R,2/R,\dots$ の場の無限の列に見えます。これが Kaluza–Klein 塔（KK 塔）です 既知。PDG は 'At energies smaller than 1/R, the KK modes can be neglected, leaving the zero-mode action' と書きます。ゼロモードの結合は薄まり、四次の相互作用なら $\lambda_4=\lambda_5/(2\pi RM_5)$（PDG 式 84.6）で、円が大きいほど弱くなります。$M_5$ は五次元の理論の基本の質量尺度で、$\lambda_5$ を無次元にするために入ります。

$\delta$ 個の円の積（トーラス $T^\delta$、半径 $R_i$）なら、整数の組 $\vec n$ ごとに $m^2=\sum_i n_i^2/R_i^2$ の場が出ます。図1 は円二つの場合です。

計算表1 と図1 の数値はこの端末で計算した（図は (3) の式からその場で描く）。JavaScript が無効なら表1 を。

$R_2/R_1=0.1$ の行は $ER_1\le5$ で円一つと同じで、細い方向は $E\gtrsim1/R_2$ で初めて現れます。個数は $E$ の（見えている余剰次元の数）乗で増えます。

最低段 $1/R$ は不等式として言い直せます。平均 0 の周期関数 $f=\sum_{n\ne0}c_ne^{iny/R}$ では、Parseval の等式から（Wirtinger の不等式）既知

2-05 §08・1-10 §07 の Poincaré 不等式の最も簡単な例で、最良の定数 $R^2$ は隙間 $1/R^2$（塔の最低段の二乗）の逆数です。

長さを測る — 計量・直径・ラプラシアン

円を一般のコンパクトな多様体 $K$（1-05）に替えるには、長さの測り方が要ります。各点の接空間（1-05 §06）に内積を一つずつ、点について滑らかに与えたものを計量と言います。長さと角の測り方です。計量があれば曲線の長さが測れ、二点を結ぶ最短の道の長さが二点の距離になります。その距離の、全ての二点についての最大が直径 $d$ です（周の長さ $2\pi R$ の円なら $d=\pi R$。この章の $d$ は直径で、他の章の時空の次元 $d$ とは別）。関数の勾配の大きさ $|\nabla f|$ も計量で決まり、$\int_K|\nabla f|^2=\int_K\bar f\,(-\Delta_Kf)$ となる作用素 $-\Delta_K$ をラプラシアン（Laplace–Beltrami 作用素）と言います。平坦なトーラスでは、長さで測った座標 $y_i$ で $-\Delta_K=-\sum_i\partial^2/\partial y_i^2$ です。

時空が歪みの無い直積 $\mathbb R^{1,3}\times K$、場がスカラーなら、$-\Delta_K$ の固有関数（固有値 $0=\lambda_0<\lambda_1\le\cdots$）で展開して $m_j^2=\lambda_j$。最初の KK 質量はレイリー商の最小値です（1-10 §06）。

形式・スピノルの場や歪みのある背景では、別の作用素（Hodge ラプラシアン、Dirac 作用素など）の固有値になります。この章では「余剰次元が見えない」を、ゼロモードを除いた部分の Poincaré 不等式 $\int|\nabla f|^2\ge\lambda_1\int|f|^2$ と言い直します。

直径で足りる条件 — Ricci 曲率

計量を $s^2$ 倍する（長さを全部 $s$ 倍する）と $\lambda_1$ は $s^{-2}$ 倍なので、縮めれば塔は持ち上がります。「小さい」を直径 $d$ だけで測ってよいことは、Ricci 曲率が非負なら定理です。

Ricci 曲率は、比喩で言えば、一点から一つの向きのまわりに出た測地線（局所的に最短の道）の束が、進むにつれてどれだけ寄り集まるかの平均です。球面では正（経線は極で集まる）、平坦なトーラスでは 0、鞍の形の面では負（広がる）です。正確には、長さ 1 の向き $v$ について、$v$ と、$v$ に直交する向き $e_i$ とで張る $n-1$ 個の断面の曲がり（断面曲率）の和 $\operatorname{Ric}(v,v)=\sum_iK(v,e_i)$ で、平均の $n-1$ 倍です。二次元では断面が一つなので Gauss 曲率と同じです。曲がりそのものは、接空間の束に計量から決まる接続を入れたときの、1-07 §05 の意味の曲率（小さな輪を回ったときのずれ）です。$\operatorname{Ric}_K\ge0$ は、どの点のどの向きでもこの和が 0 以上だという条件です 既知。

トーラスは数値で求め、閉じた式（長方形 $1+\rho^2$、六角形 $16/9$）と 5 桁で一致。球面は既知の値。

細いトーラスの比は 1 に近づきますが 1 にはなりません。曲率の条件は外せません。二つの球を細い首でつなぎ、片方で $+1$、他方で $-1$ の関数を (5) に入れると、分子は首からしか来ないので、首を細くすれば直径はほぼそのままでレイリー商はいくらでも小さくなります。首の付け根では曲率が大きく負になり、$\operatorname{Ric}\ge0$ が破れます。よく知られた例です 既知。

余剰次元の考えは 1920 年代の Kaluza と Klein にさかのぼります（PDG の序文）。五次元の時空にも §03 の意味の計量があります（時空では、各点の内積に当たるものの符号が 2-04 の $\eta=\operatorname{diag}(-1,1,1,1)$ のように一つだけ負で、それが点ごとに変わってよいもの）。その成分 15 個は、四次元の計量 $g_{\mu\nu}$ の 10・ベクトル $A_\mu$ の 4・スカラー $\phi$ の 1 に分かれます。Overduin–Wesson の総説の式 5・8 を符号 $(-,+,+,+,+)$ で書き直すと^注1

Einstein 方程式は、計量の曲がり（曲率）を物質のエネルギーに結ぶ重力の方程式です。ここでは中身に立ち入らず、成分の数え方だけを使います。どの成分も $y$ によらないとすると、五次元の Einstein 方程式は四次元の 10＋4＋1＝15 本の方程式に分かれます（同 式 6）。$\phi$ を定数とおくと、15 本のうち計量とベクトルの成分の方程式が四次元の Einstein 方程式と Maxwell 方程式になります（同 式 7）既知。ただし残るスカラーの方程式は $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=0$ のときしか $\phi=$ 定数と両立しません（Jordan・Thiry の指摘、同 §3.4）。座標の付け替え $y\mapsto y+\kappa\lambda(x)$ は $A_\mu\mapsto A_\mu-\partial_\mu\lambda$ を引き起こし、ゲージ変換（2-03）が円の方向の座標の取り直しとして現れます。

Klein（1926）は Kaluza の理論を波動力学と結びつけ（要旨）、円を小さくしました。(2) の $n$ 番目の成分の運動量 $n/R$ が、(7) の下で電荷になります（同 式 25、$\phi=1$）。

電荷は $q_1$ の整数倍に限られます（Klein の同年の短信の題は 'The Atomicity of Electricity as a Quantum Theory Law'）。比喩で言えば電荷は見えない円を回る運動量で、正確には運動量 $n/R$ に規約で決まる定数 $\kappa$ を掛けたものです。

$q_1=e$（$e^2/4\pi=\alpha\approx1/137.036$）と置くと $R=2\ell_P/\sqrt\alpha\approx3.8\times10^{-34}$ m（プランク長の約 23 倍）で、塔の一段目は $1/R\approx5.2\times10^{17}$ GeV、電子の質量の約 $10^{21}$ 倍です 計算。Overduin–Wesson は半径をプランク長とおいて食い違いを約 22 桁と見積もり、それが 'played a large role in the abandonment of five-dimensional Kaluza-Klein theory' と書きます。内部空間に非可換な対称性があれば非可換なゲージ場が出てきえます（7-07）物理。

超弦理論の時空は十次元なので（7-05 §06）、四次元に見せるには六次元の内部空間 $K$ が要ります。Candelas–Horowitz–Strominger–Witten（1985）は四次元に超対称性を一つ残す真空を調べ、要旨で 'This condition permits only a few possibilities' と書きました。条件を満たす $K$ は Ricci 曲率が 0 の Kähler 多様体（計量と複素構造がかみ合った複素多様体）で、ホロノミー（1-07）が SU(3) に収まるもの、Calabi–Yau 多様体だとされます 物理。

そうした計量が在ることは数学の定理です。Yau は 1977 年に 'We announce a proof of Calabi's conjectures on the Ricci curvature of a compact Kähler manifold' と告知しました（論文は 1978 年）。帰結として、第一 Chern 類が 0 のコンパクトな Kähler 多様体は Ricci 平坦な Kähler 計量を持ちます 既知。Ricci 平坦なら (6) が使えるので、直径 $d$ の Calabi–Yau の上のスカラーの KK 塔は $\pi/d$ より上から始まります。

大きさについて PDG の序文は 'The extra dimensions were supposed to be compactified at a scale close to the Planck scale, and thus not testable experimentally in the near future' と書きます。形は粒子の中身を左右します（CHSW の模型は 'an E6 gauge group with four standard generations of fermions'）。

1998 年、Arkani-Hamed–Dimopoulos–Dvali（ADD）は、標準模型の場を三次元の膜（3 ブレーン）に閉じ込め、重力だけを $4+\delta$ 次元に広げる隠し方を提案しました。重力でしか探れないので、余剰次元は大きくてもかまいません。要旨は 'The observed weakness of gravity on distances ≳ 1 mm is due to the existence of n ≥ 2 new compact spatial dimensions large compared to the weak scale' です 物理。重力の弱さは §02 の $\lambda_4$ と同じ薄まり方で、基本の尺度 $M_D$ と換算プランク質量 $M_P\approx2.4\times10^{18}$ GeV は（PDG 式 84.10）

$\delta=1$ は太陽系の大きさで 'clearly ruled out'（PDG）、$\delta=2$ で 0.5 mm です。翌 1999 年、Randall–Sundrum（RS）は五次元の反 de Sitter 空間の一片を使いました（PDG 式 84.16）。

反 de Sitter 空間は、負の一定の曲率を持つ時空です（7-08）。(10) の計量は、曲率の半径が $1/k$ のその時空の、$0\le y\le\pi R$ の一片です。$y=\pi R$ の端の尺度は $e^{-k\pi R}$ 倍に赤方偏移します。PDG は $k\sim M_P$、$R\simeq11/k$ で TeV が出ると書き、$kR=11$ で $ke^{-k\pi R}\approx2.4$ TeV、$kR$ を 10 から 12 に変えると 55 TeV から 0.1 TeV まで動きます 計算。大きな比を指数で作る点は次元転移（7-01）に似ています。正確には、RS では指数が幾何（$kR$）から、次元転移では結合の走り（$1/g^2$）から来ます。歪んだ余剰次元と四次元の強結合の理論を結ぶ見方は AdS/CFT（7-08）で、予想の水準です 物理。

寄り道：隙間の無い余剰次元

ニュートン則からのずれは湯川型で表す習わしです（PDG 式 84.12）。

質量 $m$ の場のやり取りは湯川ポテンシャル $e^{-mr}/r$ を与え、KK モード一つにつき一項が足されます。スカラー（ニュートン型）の模型で $T^\delta$（半径 $R$）の塔を全部足すと

$2\delta$ は一段目の場の個数、$\delta=1$ では和は $\coth(r/2R)$ です。$r\ll R$ では $V\propto r^{-1-\delta}$、$3+\delta$ 次元の空間の法則になります。重力子では係数が変わります。重力子の KK モードは質量を持つスピン 2 の場で、偏極の寄与により一段目の係数が 4/3 倍になるとされ、PDG は二次元トーラスで $\alpha=16/3$（(12) の 4 の 4/3 倍）、$\lambda=R$ とします 物理。(12) は重力の式そのものではなく、塔を足すと湯川型のずれが出る仕組みを見るための模型です。

計算図2 と表4 の数値はこの端末で計算した（$|\vec k|\le420$ の和。$\delta=1$ は $\coth$ と 12 桁、$r\to0$ は積分の近似と 5 桁で一致）。JavaScript が無効なら表4 を。

$r\gg R$ でずれが $e^{-r/R}$ で消えることが、「見えない」の定量的な中身です。

逆二乗則の実験の一つ（Tan ほか 2016）は $|\alpha|\le1$ を $\lambda=59$ µm まで確かめています（要旨）。観測されているゲージ場は $5\times10^{-20}$ m 程度まで四次元的で、重力は数十 µm まで逆二乗則に従っています。余剰次元は見つかっていませんが、無いと示されたわけでもありません。

KK の隙間は質量ギャップではありません。塔の最低段は内部空間がコンパクトなことだけから出る隙間で、自由な場にもあり、ゼロモードには隙間がありません。箱の中の自由な場の隙間（2-02 §06・2-05 §06）と同じ計算です。懸賞問題が求めるのは、コンパクトな方向の無い $\mathbb R^4$ の上で相互作用から生じる隙間で（4-11）、Jaffe–Witten は 'no present ideas point the direction to establish the existence of a mass gap that is uniform in the volume' と書いています。

二種類の余剰次元を混ぜないこと。§07 の下限は現実の余剰次元についてです。ホログラフィーの模型（7-08・7-09）の余剰次元（反 de Sitter 空間の動径、$S^5$、Witten の模型の補助の円）は双対な記述や正則化の道具で、実在の次元だとは主張されていません。

模型の中では塔が見えています。ギャップを幾何から読む模型では、余剰次元の KK 塔がグルーボールと同じ高さに来ます（$\mathcal N=1$ 超対称ヤン–ミルズの Maldacena–Núñez の模型では、重力近似が有効なら 'comparable to the masses of Kaluza Klein states'。著者は、この背景の上で弦を量子化できれば KK 状態を分離できそうだとも書いています）物理。塔を消すには余剰次元を縮めねばならず、そのとき結合は弱くなるので（四次元では漸近自由のため）、それは計算の効く領域の反対側です（Csáki らは Witten の三次元の模型について：'This is the opposite of the limit that is required for the supergravity description to be valid'）。極限の順序は 7-10 で扱います。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：7-07 ゲージ場はどこから来るか — 膜と幾何からゲージ群を取り出す。

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