2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 6 部 構成的場の理論二次元のヤン–ミルズ測度

二次元の可解性とヤン–ミルズ測度 — 平面ではプラケットが独立になり、測度が作れる

非可換のゲージ群で連続のヤン–ミルズ測度が構成されているのは、いまのところ二次元だけです。Chatterjee（2018）は、Wilson ループが自明でないふるまいをする連続極限は二次元より高い次元では一つも構成されていないと書いています。既知 二次元では場の強さの成分が一つです。

$A$ はリー環に値をとる接続（3-02）、$|\cdot|$ は共役で変わらない長さです。$F$ は長さの二乗の逆数の次元なので、作用が無次元であるには $g^2$ が面積の逆数の次元を持ち、尺度は $g$ 自身が与えます。四次元では $g$ が無次元で、尺度は量子効果で生まれると考えられています物理（4-07）。この章の主役は、ゲージを適切に固定すると面ごとの自由度が独立になるという二次元だけの性質です。六つの段（6-01）で言えば段 1〜4 が閉じ、段 5（公理）は一部（ユークリッド不変性。§05）、段 6 のギャップは四次元と同じ意味の問いになりません（§07）。

設定は 5-01 のとおりで、辺 $\ell$ に $U_\ell\in G$、面 $p$ の周りの積を $U_p$、重みを $\prod_pe^{\beta\,\mathrm{Re}\operatorname{tr}U_p}$（$dU$ は Haar 測度）とします。この章の β は、$SU(2)$ で慣用の $\beta_W$（Wilson 作用 $\beta_W\sum_p\bigl(1-\tfrac12\mathrm{Re}\operatorname{tr}U_p\bigr)$、四次元では $\beta_W=4/g^2$）の半分です：$\beta=\beta_W/2$。§03 の β = 1 は $\beta_W=2$ に当たります。ゲージ変換 $U_{xy}\mapsto g_xU_{xy}g_y^{-1}$ は $\operatorname{tr}U_p$ を変えません。木（閉路の無い辺の集まり）の上の変数は、根から順に $g_x$ を選べば 1 にでき、ゲージ不変な量の期待値は変わりません。既知 $L\times L$ の正方格子（自由境界）で数えると

木は $V-1$ 本なので、残る辺は面と同じ数です（円板のオイラーの公式）。木を縦の辺と下端の辺に取ると（Driver 1989 と同じ）、残るのは横の辺 $h_{i,j}$（$h_{i,0}=1$）で

下から順に解けて一対一に対応し、Haar 測度は掛け算で動かないので測度も移ります。面の変数は互いに独立で、それぞれ密度 $\rho_\beta(U)=e^{\beta\,\mathrm{Re}\operatorname{tr}U}/z(\beta)$ に従います。既知 平面全体に広げると、無限体積の極限が境界条件に依らず存在し、有限の領域では自由境界の測度に一致します（Driver の定理 7.2。Haar 測度の不変性で外側の辺を積分して示され、Driver はこの定理が Dosch–Müller 1979 にほぼ含まれると書いています）。既知

計算この図の数値（頂点・辺・面の数）はこの端末で計算した。数は式 (2.1)。

道具は指標 $\chi_\lambda(U)=\operatorname{tr}\lambda(U)$（$\lambda$ は既約ユニタリ表現、次元 $d_\lambda$）です。共役で変わらず、$\int_G\chi_\lambda\overline{\chi_\mu}\,dU=\delta_{\lambda\mu}$。$SU(2)$ ではスピン $j$ の表現が $2j+1$ 次元で、固有値 $e^{\pm i\theta}$ の元に対し $\chi_j=\sin((2j+1)\theta)/\sin\theta$ です（1-04）。鍵は補題：$X$ の密度が共役で変わらず $X$ が $A$ と独立なら

$\mathbb{E}[\lambda(X)]$ がすべての $\lambda(V)$ と可換なので、Schur の補題で $w_\lambda I$ になるからです。単純閉曲線 $C$ が $n$ 枚の面を囲むとき、木ゲージの $U_C$ には囲まれた面の変数が、他の面の変数による共役を伴って一回ずつ現れます。密度が共役で変わらないので (3.1) がそのまま使え、トレースの巡回性で一枚ずつ先頭に回して剝がすと

ここで $W_C=\chi_{\mathrm{fund}}(U_C)/d_{\mathrm{fund}}$（基本表現での値。$SU(2)$ では $\tfrac12\operatorname{tr}U_C$）です。Migdal（1975）は、格子を粗くするときの重みの変換規則（再帰式）が二次元では厳密になることを示し、指標の期待値が囲む面積 $A$ の指数 $\langle\chi_q\rangle=d_qe^{-g_q^2A}$（$q$ は表現、$g_q^2$ は表現ごとの定数）になる式を書いて、「Wilson の面積則にほかならない」と述べています。既知 値は面積だけで決まり、すべての β で成り立ちます。四次元の面積則が強結合の側でしか示されていないこと（5-02）と対照的です。係数は次の修正 Bessel 関数の式で書け、数値積分との差は $2\times10^{-16}$ 以下でした。計算

$I_n$ は修正 Bessel 関数で、整数 $n$ に対し $I_n(x)=\frac1\pi\int_0^\pi e^{x\cos\theta}\cos n\theta\,d\theta$ です。$x$ が大きいと比 $I_n(x)/I_1(x)$ は 1 に近づき、§04 はその近づき方を使います。

計算この図の数値はこの端末で計算した。図の $w$ は (3.3) の Bessel 級数をその場で足したもので、scipy で計算した値と小数第 5 位まで一致する。JavaScript が無効なら表 1 を。

表 1　$SU(2)$。「乱数」はゲージを固定しない 6×6 の格子（自由境界）の熱浴モンテカルロ。括弧は最後の桁の誤差。計算

ゲージを固定しない計算が、木ゲージの式と誤差の範囲で合います。

格子間隔 $a$ では、面積 $A$ のループが囲む面は $n=A/a^2$ 枚です。(1.1) の長さを $|X|^2=-2\operatorname{tr}X^2$ に取ると、$U_p\approx e^{a^2F_{12}}$ の展開から $SU(2)$ では $\beta=2/(g^2a^2)$ です。$I_n(x)/I_1(x)=1-\frac{n^2-1}{2x}+O(x^{-2})$ より $w_j=1-j(j+1)/\beta+O(\beta^{-2})$ なので

右辺は群の熱核 $Q_t$ の係数です。$\Delta$ は群の上のラプラシアン（質量ギャップの $\Delta$ とは別）で、指標を固有関数に持ち $\Delta\chi_\lambda=-c_\lambda\chi_\lambda$ となる作用素です。$c_\lambda\ge0$ は表現ごとに決まる Casimir の値で、$SU(2)$ では $c_j=j(j+1)$。熱核は熱方程式 $\partial_tQ_t=\tfrac12\Delta Q_t$ の、時刻 0 で単位元に集中した解で、指標で展開すると

(4.1) の右辺は $t=g^2A$ での係数 $e^{-c_jt/2}$ です。つまり面積 $A$ の単純閉曲線のホロノミーは熱核 $Q_{g^2A}$ に従います。既知 半群性は「面積を足すと時刻が足される」ことです。表 2 では $j=\tfrac12,1,\tfrac32$ のどれもが熱核に近づき、誤差は $a$ を半分にするたび 1/4 になります。計算

表 2　$SU(2)$、$g=1$、面積 1、$\beta=2/a^2$。値は $w_j^{\,n}$。計算

面の重みを最初から熱核に取ると、半群性で面の分け方に依らない測度になります（Migdal の観察）。Driver は、熱核の重み（Villain 作用）と Wilson 作用の格子が同じ連続の測度に収束することを示し、後者には群値の中心極限定理（Borgs–Seiler）を使っています。既知

寄り道：面積しか見ない理論

木ゲージの連続版は完全軸ゲージ（$A_2=0$、かつ $x$ 軸の上で $A_1=0$）です。このとき $[A_1,A_2]=0$ なので場の強さは線形になり、重み $e^{-S}$ は $F$ についてガウス型になります。

$F$ はリー環に値をとる白色雑音で（$F^a(R)$ は領域 $R$ の上の積分、$|R|$ は面積。1-09）、互いに素な領域の値は独立です。格子の「面ごとに独立」の連続版です。既知 $F$ は点ごとに定まらないので、平行移動は確率微分方程式になります。駆動項に白色雑音（ブラウン運動の増分）を含む常微分方程式のことで、確率積分の取り方を一つ決めて解きます。水平な曲線に沿う平行移動の駆動項は、曲線と $x$ 軸のあいだの $F$ の積分で、各成分はその面積を時間とするブラウン運動（1-09）です（Driver の命題 3.2）。この方法は Gross–King–Sengupta（1989）に由来します。

Driver の結果は、(i) ホロノミーのゲージ不変な関数の期待値が熱核の積を密度とする有限次元積分で書けること（時刻は面の面積、引数は曲線の交わり方。定理 6.4）、(ii) 面積を保つ写像での不変性（系 6.7）、(iii) 格子の収束、です。既知 系 6.7 から、ゲージ不変な期待値のユークリッド不変性（公理の一部）が出ます。反射正値性を含む Osterwalder–Schrader の公理（4-10）全体の検証は、Driver は主張していません。観測量は曲線に沿う量で、Driver は Wilson ループの変数が「$d=3$、とくに $d=4$ ではかなり特異」だと書いています。

種数 $\gamma$ の閉曲面ではオイラーの公式が $V-E+P=2-2\gamma$ になり、木を固定した後に残る辺は $P-1+2\gamma$ 本です。面の変数に全体で一つの拘束がかかり、穴を回る $2\gamma$ 個の変数が加わるので、面は独立ではありません。それでも測度は構成されています。Sengupta（1992–97）はコンパクトな曲面の上で構成し（原論文は書誌のみ）、Lévy（2003）は離散と連続極限を統一的に扱って、曲面を切り貼りする操作に関するマルコフ性（曲線で切ったとき、切り口の値を固定すると両側が互いに影響しないこと）を示しました。曲面の上でゲージ場を貼り合わせる仕方には位相的な種類があり（1-07）、その自明でない種類（自明でない主束）は Lévy（2006）、ホロノミー場の一般論は Lévy（2010）です。既知 離散版は各面 $F$ に熱核を置く形です。

$h(\partial F)$ は面の縁に沿う積、$T$ は全面積で、$Z$ は定数倍を除きます。既知 トーラスの $Z_1$ は §07 のハミルトニアンの $\operatorname{Tr}e^{-\tau H}$ と同じ形です。

寄り道：面積を 0 に近づけると

質量ギャップはハミルトニアンのスペクトルの隙間です（4-11）。格子では転送行列 $\mathsf T$ を使います。時間を一段進める重みを核とする作用素で、$\mathsf T=e^{-aH}$ によってハミルトニアン $H$ を定めます（5-03）。空間を $L$ 本の辺の円周に取り、時間方向は周期的にしません（開いた円柱）。すると時間方向の辺は閉路を作らないので 1 に固定でき、ゲージ不変な状態は一周のホロノミー $V_1\cdots V_L$ の共役類の関数、つまり指標の重ね合わせです。一段の時間発展で各辺に独立な面の変数が一つずつ掛かるので、(3.1) を $L$ 回使って

最低の励起は基本表現の $E=\sigma_{\mathrm{lat}}L$ で、円周を一周する「力線の輪」のエネルギーです。張力は §03 の面積則と同じ数です。$SU(2)$・β = 1 で $E_{1/2}$ は $L=4$ で 3.3469、$L=8$ で 6.6938。比 $E_1/E_{1/2}$ は β = 1, 32, 512 で 2.4044, 2.6664, 2.6667 と Casimir の比 $8/3$ に近づきます。補題 (3.1) も乱数（$2\times10^6$ 個）で確かめました。計算

連続極限は §04 と同じ置き方で取れます。物理の長さ $L_{\mathrm{phys}}=La$ を固定し、$\beta=2/(g^2a^2)$ と $-\ln w_\lambda=c_\lambda/\beta+O(\beta^{-2})$ を (7.1) に入れると

$\Delta\chi_\lambda=-c_\lambda\chi_\lambda$（§04）と合わせると、連続極限のハミルトニアンは群の上のラプラシアンの定数倍 $-\tfrac12g^2L_{\mathrm{phys}}\Delta$ です（共役類の関数に働く）。紙 導出はこの章のもので、$g=1$・$L_{\mathrm{phys}}=1$ の $SU(2)$ では $a=1/64$ で $j=\tfrac12$ の値が 0.375011（極限 0.375）、差は $a$ を半分にするたび 1/4 になりました。計算

円周を長くする（$L\to\infty$）と真空以外の固有値はすべて無限遠に去り、有限のエネルギーで伝わる励起（粒子）はありません。相関長もここで定めておきます。プラケット $p_x$ の量 $P_x=\mathrm{Re}\operatorname{tr}U_{p_x}$ の連結相関 $\langle P_xP_y\rangle-\langle P_x\rangle\langle P_y\rangle$ が $e^{-|x-y|/\xi_{\mathrm{lat}}}$ のように減るときの長さ $\xi_{\mathrm{lat}}$（格子単位）が相関長です。平面では異なるプラケットが独立なので連結相関はちょうど 0 で、どの β でも $\xi_{\mathrm{lat}}=0$ です（何を固定して極限を取るかは 5-09）。四次元の問い（相関長が発散し、物理の単位で有限の質量が残るか）は、二次元には現れません。

確率量子化は、測度を直接書かず、それを不変測度に持つ確率的な時間発展 $\partial_tA=-\tfrac12\nabla S(A)+\xi$（$\xi$ は時空の白色雑音）を解く方法です。この方程式を Langevin 方程式と呼びます。有限次元ならこの方程式の不変測度は $e^{-S}$ に比例します。二次元でも $A$ は分布なので、繰り込みとゲージとの整合が要ります。その道具（正則性構造・DeTurck の方法）は 6-09 で扱い、ここでは結果だけを見ます。既知

Chevyrev（2019）は $T^2$ の測度を分布的な 1 形式として実現し、Chandra–Chevyrev–Hairer–Shen（2022）は分布的な接続とゲージ軌道の空間（Polish 空間＝確率論が普通に使える良い距離空間）を作り、法則の意味でゲージと整合する Markov 過程（未来の分布が現在の状態だけで決まる確率過程）を定めました。Chevyrev–Shen（arXiv 2023、2026 年に Comm. Pure Appl. Math.）は、$T^2$ 上の自明な主束のヤン–ミルズ測度がこの過程の一意な不変確率測度であることを示しました（定理 2.16）。系として過程の長時間存在、Wilson・Villain・Manton の格子の極限が同じ測度になること（Villain 作用については Lévy 2006 で既に知られていたと論文は書いています）、ガウス自由場（1-09）とほぼ Lipschitz な剰余への分解が出ます。既知

この道も可解性から離れてはいません。Chevyrev–Shen は格子のゲージ固定を使い、モーメント評価を二次元の可解性から得ています。論文はこの評価を高次元や二次元のヤン–ミルズ–Higgs 模型に延ばすことを未解決とし、非可換 Higgs 模型の構成は二次元でも未解決と書いています。既知 2026 年 7 月にはプレプリントが二つ出ています（未査読・要旨による）。Chevyrev–Klose–Mohamed は既存の測度に最適な正則性のゲージ固定の表示を与え、Chhaibi–Dang–Guedes Bonthonneau–Rivière–Tô は Morse 理論（曲面の上の関数の臨界点で曲面を分解する方法）を使って格子を経ずに曲面上の測度を作り、Migdal・Witten・Lévy の公式を再現したとしています。既知

可解性の芯は §02 の数え上げでした。$d$ 次元の格子では格子点あたり、ゲージで消した後に残る辺が $d-1$ 本、面が $\binom d2$ 枚で、$d=2,3,4$ で 1 と 1、2 と 3、3 と 6 です。三次元以上では面の変数が立方体ごとの拘束（格子の Bianchi 恒等式）で結ばれ、独立にとれません。既知

持ち出せるのは方法の側です。曲線に沿うホロノミーを観測量に取ること、指標による展開（強結合展開の道具）、格子作用の普遍性の証明の型、確率量子化の枠組み。持ち出せないのは、面の独立性、面積だけに依ること、伝播する自由度が無いことです。Jaffe–Witten の問題文が、公理を満たす相互作用するゲージ理論の「唯一の完全な例」として挙げるのも、二次元の可換 Higgs 模型（Brydges–Fröhlich–Seiler）です。既知

この章が言えている範囲

出典と再現

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