2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 4 部 量子化Wightman の公理と Haag の定理

場の量子論の公理 — 「理論が在る」を七つの条件で言い、無限個の自由度が表現を選ばせる

物理の教科書は、相互作用する場の理論が在ると仮定して計算します（4-03）。数学の問いはその手前です。何を作れば「在る」と言えるかを先に決めなければ、作ったかどうかを判定できません。公理は、その判定の条件の一覧です。

問題文 §3 は量子場を 'an operator-valued generalized function on space-time obeying certain axioms' と定義し、'Gårding and Wightman gave mathematically precise axioms for quantum field theories on R4 with a Minkowski signature, see [45]' と続けます。§4 は存在の中身を、[45]（Streater–Wightman の本）と [35]（Osterwalder–Schrader の二論文）の公理と少なくとも同じ強さの性質とします（0-03）既知。作るべきものは次の四つ組です。

例。一粒子の量子力学（2-05）では $L^2(\mathbb R)$・$e^{-itH}$・基底状態・位置の作用素がこの四つで、初めから手元にあります。場の理論で新しいのは、対称性が Poincaré 群（平行移動とローレンツ変換。2-04）であること、場が一点で値を持たないこと（02 節）、自由度が無限個で $\mathcal H$ が一つに決まらないこと（07 節）です。虚時間の側の公理は 4-10 で扱います。

2-06 §08 の自由な場を空間全体に置くと、一点の値 $\phi(\vec x)$ の二乗の真空期待値は、全モードの零点のゆらぎの和になって発散します。関数 $f$ で平均した $\phi(f)=\int\phi(\vec x)f(\vec x)\,d^Dx$（$D$ は空間の次元）なら有限です 既知。

$\hat f(\vec p)=\int f(\vec x)\,e^{-i\vec p\cdot\vec x}\,d^Dx$ はフーリエ変換で、$f$ を波数 $\vec p$ の波に分けたときの振幅です（1-11）。幅 $\varepsilon$ の $f$ は $|\vec p|\gtrsim1/\varepsilon$ のモードを消し、$\varepsilon\to0$ では (2) は発散します。例。正規化したガウス関数（$\hat f=e^{-\varepsilon^2p^2/2}$）では、$D=1$ で (2) は $e^{\varepsilon^2m^2/2}K_0(\varepsilon^2m^2/2)/(4\pi)$（$K_0$ は 05 節）で対数的に、$D=3$ では $1/(8\pi^2\varepsilon^2)$ のように増えます。

$D=1$ の差は $(\ln2-\gamma/2)/(2\pi)=0.06439$（$\gamma$ は Euler の定数）に近づきます 計算。どの $\varepsilon\gt0$ でも有限で、$\varepsilon=0$ だけが意味を持ちません。そこで場を、テスト関数 $f\in\mathcal S(\mathbb R^4)$ から作用素 $\phi(f)$ への線形写像と定義します。これが作用素値超関数です。$\mathcal S(\mathbb R^4)$ は、滑らかで、自身もどの階の導関数も $|x|$ のどの冪よりも速く減る関数の空間です（1-11）。空間だけでなく時空で平均するのは、相互作用する場では時刻を固定した場が意味を持つとは限らないとされるからです。場の強さの繰り込み（4-04）が要る理論では、時刻を固定して空間で平均しただけでは (2) に当たる量が有限になりません 既知。

公理は (1) の各部品に課す条件です。番号は本ごとに違うので、この本では W1〜W7 と呼びます。表 2 は実数値のスカラー場一つの場合です 既知。

表の言葉を一行ずつ定めます。稠密：$\mathcal H$ のどの元にも、その集合の元でいくらでも近づけること。可分：可算個のベクトルの一次結合の全体が稠密になること。$U(a,\Lambda)$ は、時空の平行移動 $a$ とローレンツ変換 $\Lambda$（$x^2$ を保つ一次変換。2-04 §02）の組に割り当てたユニタリ作用素で、強連続とは $(a,\Lambda)$ が単位元に近づくとき、どの $\psi$ でも $U(a,\Lambda)\psi\to\psi$ となることです。緩増加超関数は $\mathcal S(\mathbb R^4)$ の上の連続な線形汎関数です。二点 $x,y$ が空間的に離れているとは $(x-y)^2\gt0$、つまり光の信号で結べないことで、$x^2=0$ の面が原点の光円錐です（2-04 §03）。

(3) から $H\ge0$ が出て、質量の作用素 $M=\sqrt{H^2-\vec P^{\,2}}$ が意味を持ちます（4-11 §05）。問題文 §3 の要約は W1・W2（'positive energy, 0 ≤ H'）・W3（'unique up to a phase'）・W5・W6 を名指しします 既知。スピン 1/2 の場では Poincaré 群の二重被覆（ローレンツ変換一つに二つの元が対応する群。1-02 の $SU(2)\to SO(3)$ の四次元版）を使い、W6 はフェルミオンどうしで反交換 $\phi(f)\phi(g)+\phi(g)\phi(f)=0$ になります。例。質量 $m$ の自由場は七つを満たし、スペクトルは $\{0\}$・双曲面 $p^0=\sqrt{\vec p^{\,2}+m^2}$・$p^0\ge\sqrt{\vec p^{\,2}+4m^2}$ の和です（2-06 §08 の図 4）。

場の積の真空期待値を Wightman 関数と呼びます。W4 により緩増加超関数です。

W1〜W7 は $W_n$ の性質に翻訳されます。Poincaré 不変性、スペクトル条件、局所性（空間的に離れた隣どうしを入れ替えてよい）、正値性です。正値性は $\Psi=\sum_n\phi(f_n)\Omega$（$\phi(f_n)=\int f_n\,\phi(x_1)\cdots\phi(x_n)\,dx$）の長さが負でないことで、$(\phi(x_1)\cdots\phi(x_n))^*=\phi(x_n)\cdots\phi(x_1)$ から

再構成定理 既知。これらを満たす $\{W_n\}$ があれば、それを Wightman 関数とする理論 (1) がユニタリ同値を除いて一つ作れます。Wightman 1956 の要旨は 'The problem of determining a theory of a neutral scalar field given its vacuum expectation values is posed and solved.' と書きます。作り方は 4-10 §05 と同じ型で、テスト関数の有限列 $(f_0,f_1,\dots)$ に (5) を内積として入れ、長さ 0 を割って完備化すると $\mathcal H$ です。$\Omega=(1,0,0,\dots)$ で、$\phi(g)$ は各成分を、$g$ を先頭に付けた関数に置き換える操作です（$(g\otimes f_1)(x_0,x_1)=g(x_0)f_1(x_1)$）。

スペクトル条件からは解析性が出ます。時空のテスト関数 $f$ で $\psi=\phi(f)\Omega$ と置き、$\rho$ を $\psi$ に対する $H$ のスペクトル測度（1-10 §05）とします。$\Omega$ は時間発展で変わらないので、左辺は二点の Wightman 関数の片方の場を時刻 $t$ だけずらして平均したものです。

$E\ge0$ なので $\mathrm{Im}\,t\lt0$ へ解析的に延び、$t=-i\tau$ で振動が減衰に変わります。これが虚時間の相関で、要旨は 'The vacuum expectation values are shown to be boundary values of analytic functions.' と書きます。この向きが 4-02 のユークリッド化の厳密な形、逆向きが 4-10 です 既知。例。自由場では $W_n$ は $W_2$ の積を対の組み方すべてで足したもので、再構成すると 2-06 の Fock 空間が出ます。

W6 は、光で結べない二点の場は互いに邪魔しない、という要求です。そのような二点の時間の順序は観測者で入れ替わるので（2-04 §03）、作用素の順序が効くと矛盾します。W6 は相関が 0 だとは言っていません。空間一次元の自由場で比べます。

$\theta$ は階段関数、$J_0(z)=\frac1\pi\int_0^\pi\cos(z\sin\vartheta)\,d\vartheta$ と $K_0(z)=\int_0^\infty e^{-z\cosh u}\,du$ は Bessel 関数です。(8) の $\theta$ が W6 で、光円錐の外で交換子は 0 です。ところが (9) の相関は外でも 0 でなく、距離とともに $e^{-mr}$ で減ります。この減り方が質量ギャップの空間の向きの顔です（4-11 §06）。ユークリッドに移ると空間の向きと虚時間の向きは回転で移り合うので、(6) の虚時間の減衰と同じ速さになります（4-11 §02）。四次元では $W(0,\vec x)=mK_1(mr)/(4\pi^2r)$ です 計算。

計算この図の数値はこの端末で計算した（(8)(9) と $Y_0$ の級数・積分を JavaScript で評価。SciPy と $10^{-13}$ 以内で一致）。

光円錐の上では $\mathrm{Re}\,W$ が対数で発散します。$t=x=0$ の発散は 02 節の $D=1$ の対数と同じもので、場が点で値を持たないことの現れです。

七つの条件だけから、経験で知られていた性質が定理として出ます。[45] の題 'PCT, Spin and Statistics and all That' はその二つを指します。PCT 定理は、空間の反転・時間の反転・粒子と反粒子の入れ替えを合わせた変換がどの理論でも対称性であること、スピンと統計の定理は、空間的に離れた点どうしで、整数スピンの場は交換し半整数スピンの場は反交換することです 既知。三つ目がクラスター性で、W3 の下で場の組を空間の向きに遠ざけると相関は積に分かれます。

質量ギャップがあると収束は指数の速さです。問題文 §5 は 'An important consequence of the existence of a mass gap is clustering' と書きます（4-11 §06）既知。例。自由場では (10) の差は (9) の $e^{-mr}$ の項の和です。

寄り道：真空はどこにでも届く

振動子が有限個なら交換関係の既約な表現は一つです（Stone–von Neumann。2-06 §09）。無限個ではそうなりません。質量の違う二つの自由場で見ます。振動子一つでは、角振動数 $\omega'$ の基底状態を $\omega$ の消滅作用素 $a_\omega$ で数えた量子の数 $n$ と、基底状態どうしの重なりが

です 既知計算。長さ $L$ の輪の上の場（2-06 (14)）では、モード $k=2\pi j/L$ ごとに $\omega_k=\sqrt{k^2+m^2}$ と $\omega'_k=\sqrt{k^2+m'^2}$ があり、真空はモードごとの積なので

$n_k$ は (11) の $n$ をモード $k$ で取ったもの、$N(L)$ は質量 $m'$ の真空に含まれる質量 $m$ の量子の数の期待値です。$n_k\approx(m'^2-m^2)^2/(16k^4)$ と減るので有限の $L$ では和は有限、重なりは正です。$L$ を広げるとモードの数も $N(L)$ も $L$ に比例し、重なりは $e^{-sL}$ で 0 に向かいます。

計算この図の数値はこの端末で計算した（(12) を $|k|\le60m$ で足し、外は $k^{-4}$ の裾で補う。表 4 と 6 桁で一致）。

$L$ を広げると重なりは 0 に向かいます。正確には、無限体積では $m'$ の真空に当たるベクトルが $m$ の Fock 空間の中に無く、二つは時刻 0 の場の同じ交換関係の、ユニタリ同値でない表現を与えます 既知。(12) から、重なりが正であることと $\sum_kn_k\lt\infty$ の同値が読めます。一般の Bogoliubov 変換（$a_k$ を $a_k$ と $a_{-k}^\dagger$ の一次結合に取り替える変換。(11) の $a_\omega$ と $a_{\omega'}$ の関係はその一例）についても同じ形の判定が知られています（Shale 1962 とされる）。無限体積の密度 $\int\frac{d^Dk}{(2\pi)^D}n_k$（$m'=1.5m$）は空間の次元 $D=1,2,3$ で $0.012692,\ 0.0049736,\ 0.0030929$（$m^D$ 単位）と有限です。現実の時空（時空四次元）に当たる $D=3$ でも密度は有限で、壊れ方は体積だけから来ます。空間が四次元（時空が五次元）の $D=4$ では密度が対数で発散し、有限の箱でも重なりは 0 です 計算。三次元の格子の図は 6-11 §07。

物理の摂動論は、自由場の Fock 空間を舞台に $H=H_0+V$（$H_0$ は自由、$V$ は相互作用）と分け、自由場の真空から相互作用する真空へ移る描像（相互作用表示）を使います。07 節では、質量を変えるだけの穏やかな変更でも新しい真空は元の Fock 空間に入りませんでした。

Haag の定理はこれを一般の形で言います 既知。時刻 0 の場と共役運動量が自由場のものとユニタリに移り合い、両方の理論が空間の平行移動と回転で不変なただ一つの真空を持つなら、最初の四つの Wightman 関数は自由場と一致し、二点関数が自由場と同じ理論は同じ質量の自由場になる、とされます（Haag 1955、Hall–Wightman 1957。まとまった形は Streater–Wightman、読み方は Earman–Fraser 2006）。中心の補題は初等的で、質量 $m\gt0$ の Fock 空間で空間の平行移動のすべてで不変なベクトルは真空の定数倍だけです。

$n$ 粒子の成分 $\psi_n$ は運動量の和が 0 の面の外で 0 になり、その面の体積は 0 なので $L^2$ の元として 0 です。例。(12) の $m'$ の真空は平行移動で不変で自由場の真空と違うので、Fock 空間に居場所がありません。

実際の扱いは二つです。物理は有限の箱と紫外の切断を置いて計算し、繰り込み（4-04）で切断を外した量だけを答えにします。構成的場の理論は切断のある空間でハミルトニアンを作り、極限で新しい表現を得ます（6-03）。粒子もスペクトルから作ります。問題文 §6 は 'If m is an isolated eigenvalue of M, then one infers from the Wightman axioms and Haag–Ruelle scattering theory that asymptotic scattering states of an arbitrary number of particles exist' と書きます 既知。

ゲージ場 $A_\mu$ そのものは W1〜W7 を満たす場にならないことが知られています（Strocchi 1967・1970 とされる）既知。理由は三つです。観測量：$A_\mu$ はゲージ変換で変わります（3-01）。問題文 §4 は局所作用素を 'the gauge-invariant local polynomials in the curvature F and its covariant derivatives, such as Tr Fij Fkl (x)' に対応させることを求め、脚注 1 で、古典的な多項式と量子の作用素の自然な一対一対応は繰り込みのために無いと注意します 既知。

正値性：ローレンツ共変なゲージで $A_\mu$ を場として扱うと内積が不定の空間が要り、W1 が破れます。Gupta–Bleuler の方法（電磁場）では、大きな空間から条件を満たす状態の部分空間を取り、その中の長さ 0 の状態で割って正値性を取り戻します 既知。非可換の BRST の方法（4-08 §04）でも同じ形の構成（部分空間を取って割る。BRST のコホモロジー）が摂動論の水準で知られています（Kugo–Ojima 1979 とされる）。非摂動の水準では、Gribov のコピー（4-08 §05）のためにこの構成は確立していません 物理。観測量の形：Wilson ループ（3-02）は曲線の上の量で、点の場を平均する W4 に収まりません（4-10 §09）。問題文 §3 は領域ごとの作用素の代数を置く Haag–Kastler の枠組みにも触れ、'One hopes that the continued mathematical exploration of quantum field theory will lead to refinements of the axiom sets that have been in use up to now' と書きます。

現在地。問題文 §6 は 'at present we do not know any non-trivial relativistic field theory that satisfies the Wightman (or any other reasonable) axioms in four dimensions' と書きます（2000 年の評価）。二次元と三次元では、公理を満たす相互作用するスカラー場（$\phi^4_2$・$\phi^4_3$ など）が構成されています（6-03）既知。三次元のヤン–ミルズは未構成です（6-06）。ユークリッドの側から場を作る道が次の章です。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：4-10 Osterwalder–Schrader の公理と再構成。

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