2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ付録文献案内

文献案内 — 何から読み、どこで手に入り、本書がどこまで読んだか

文献は三つの種別に分けます。一次資料は結果を最初に示した論文で、定理の正確な仮定と言明はここで確かめます。総説はある時点までの結果の見取り図で、どの一次資料を読むかの入口です。教科書・講義録は道具を順に身につけるためのものです。

状態は二つ付けます。一つ目は入手：arXiv（プレプリントの公開の置き場。無料）、出版社（誌の版だけ。図書館の契約が要ることが多い。無料で公開されているものは「出版社（公開）」）、研究所や著者が公開している PDF、書籍。誌に載ったことを本書の時点で確かめていないプレプリントには「未査読」の印を付けます。

二つ目は本書での参照の程度です。各章の「出典と再現」の表は、文献を本文まで読んだか、要旨だけか、書誌だけかを書いています。それを全章で集め、章ごとの程度の最大を取ります。

ここで $r$ は文献、$C(r)$ はそれを出典表で引く章の集まり、$s(c,r)$ は章 $c$ の出典表から読み取った程度です。「本文」には、序論や一つの節だけを確かめた場合も含みます。たとえば Osterwalder–Seiler（1978）は 40 章が引き、そのうち 25 章が「書誌のみ」と書いています（§09）。

「書誌のみ」の文献に寄せた本書の主張は、本文を確かめた別の文献を経由しています。経由先は各章の出典表にあります。

寄り道：書誌の読み方

まず全体を一枚で見ます。横軸が年、縦が系統です。点の大きさは、その文献を引く章の数です。点の塗りは本書での参照の程度で、塗りつぶしが「本文」、薄い塗りが「要旨」、白抜きが「書誌のみ」です。

物理の一次資料は 1954 年から 1970 年代に集まっています。四次元の構成に向かう仕事（Bałaban・Magnen–Rivasseau–Sénéor）は 1980 年代から 1990 年代の初めに集中しています。ただし四次元の構成は完成していません（6-07）。確率論の側からの仕事は 2018 年ごろから増えています。

年のつまみを動かすと、その年までに出た文献だけが濃く残ります。部のつまみを動かすと、その部の章が引く文献だけが濃くなります。点を押すと、系統と参照の程度と引いている部が下に出て、表の行（章へのリンクがある）へ飛べます。

計算 この図の数値（点の位置・大きさ・塗り・部ごとの引用）は、この端末で本書の出典表から数えた（出典と再現）。図と同じ内容は §03〜§08 の系統ごとの表にあり、図が動かない環境でも読めます。

一本だけ読むなら、Clay 数学研究所の公式の問題文（Jaffe–Witten）です。問題が何を求めているか、なぜ四次元で難しいかを、作った側の言葉で書いています。本書では 0-03 で一語ずつ読みます。本書の章の中で最も多く引かれる文献でもあります。

問題文が求める性質の芯は、ハミルトニアン $H$ のスペクトルの形です。真空のエネルギーを $0$ としたとき、その上に正の隙間 $\Delta$ が空いていることを求めます。

この式の正確な読み方（真空の一意性・相関の減衰との関係）は 4-11 にあります。

二本目は Chatterjee の総説「Yang–Mills for probabilists」です。格子の上のヤン–ミルズ理論を確率論の言葉で定義し、何が示されていて何が開いているかを、問いの形（Problem 5.1・5.2）で並べています。本書の第 5 部・第 6 部の多くの章がこれを道しるべにしています。三本目には、二次元・三次元の確率的構成を追うなら Chevyrev、公理と構成の歴史なら Summers の総説です。

本書の第 1 部・第 2 部は、2 年生の知識から必要な道具を最小限に用意します。もう一段深く学びたいときの行き先がこの表です。群と表現なら Hall、多様体と接続なら Carroll、作用素とスペクトルなら Reed–Simon、場の量子論の計算なら Tong の講義録、公理と構成なら Streater–Wightman と Glimm–Jaffe です。

例を一つ挙げます。1-03 で使う Baker–Campbell–Hausdorff の式は、行列の指数関数の積が、交換子だけで書ける補正を受けることを言います。

本書は三次の項までを Hall の講義録で確かめています。単位元の近くでは、群の積がリー環の交換子だけで決まります。この式がその理由です（群そのものはリー環だけでは決まりません。1-03）。講義録の多くは著者の公開版があり、arXiv の番号を表に書きました。

ヤン–ミルズ理論は、1954 年の Yang と Mills の論文で、アイソスピンの局所対称性から場を作る形で現れました。1960 年代にゲージ固定とゴーストの規則（Faddeev–Popov）が整い、1973 年に漸近自由が見つかります。結合が短い距離で弱まるという符号の発見です。

本書の記号（A-01 の式 (8)）で書くと、一ループの走りは次の形です。

$b_0\gt0$ なので、エネルギー $\mu$ を上げると $g$ は小さくなります。既知 これは摂動の一ループの計算で、四次元の理論についての定理ではありません。物理 この符号が、ヤン–ミルズ理論が短い距離で意味を持つと期待される根拠です。中身の勘定（$11/3=4-1/3$）は 4-06 にあります。

この系統の多くは、本書の章では「要旨」か「書誌のみ」です。古い誌にあり公開の版が無いためで、式や数値は本文を確かめた総説（PDG・Tong・Chatterjee）で照合しています。

表には、1970 年代の骨格のあとに来る三本も入れました。Gribov（1978）はゲージ固定が一意に決まらないことを示しました。Uhlenbeck（1982）は、古典的なヤン–ミルズ場の特異点が取り除けることを示した幾何解析の数学の論文です。Baulieu–Zwanziger（1999）は、確率量子化を五次元の場の理論として見る視点です。

1974 年に Wilson は、時空を格子に置き換え、リンクに群の元を載せる定式化を出しました。これでヤン–ミルズ理論は有限個の変数の積分になり、計算機で測れるようになります。本書の記号では作用は次の形です（5-01）。

和はすべての単位正方形（プラケット）$P$ についてとり、$U_P$ はその周りのリンクの積です。この定式化の数学的な土台（反射正値性と転送行列）を与えたのが Osterwalder–Seiler（1978）です。本書の章の中で、Jaffe–Witten・Chatterjee と並んで最も多く引かれます。

数値の側では、Creutz（1980）のモンテカルロ計算から始まり、Lucini–Teper（2001）や Athenodorou–Teper（2020・2021）がグルーボールの質量と弦張力の比を測っています。物理 これらは数値計算で支持された値で、定理ではありません。弦の揺らぎから出る補正（Lüscher 1981）は次の形です（7-03）。

四次元（$d=4$）では最後の項は $-\pi/(12R)$ です。

質量ギャップの問題は「存在」と「隙間」の二段からなります。数学の側でこれに向かう文献は、三つの群に分かれます。公理の群、四次元の紫外の群、低次元と格子の上の確率論の群です。

公理：確率を量子力学に戻す

Osterwalder–Schrader の公理は、ユークリッド（虚時間）の相関関数から、ヒルベルト空間とハミルトニアンを組み立て直す条件です。中心にあるのは反射正値性で、時間を鏡に映した観測量 $\Theta F$ と元の $F$ の積の期待値が負にならない、という条件です（4-10）。

これが成り立てば、正の内積が作れ、時間の並進が $e^{-sH}$（$H\ge0$）として現れます。式 (2) の $H$ はここから来ます。

四次元の紫外：Bałaban と MRS

四次元の連続極限に最も近づいた仕事は、Bałaban の連作（1985 年の三次元の論文と、1987〜1989 年の四次元の論文。繰り込み群による格子ヤン–ミルズの紫外安定性）と、Magnen–Rivasseau–Sénéor（1993）の赤外切断つきの構成です。どちらも、本書が問題の文の意味で「完成」と読める段には届いていません。何が示されて何が残るかは 6-07 で読みます。

二次元・三次元と格子の上の確率論

既知 二次元ではヤン–ミルズ測度が構成されています（Driver 1989、Lévy 2001 ほか）。2020 年代には、測度を確率的な力学の平衡として作る道（確率量子化）が二次元・三次元で進んでいます。格子の上では、強結合での相関の指数減衰は Osterwalder–Seiler（1978）のクラスター展開から従い、Shen–Zhu–Zhu は確率解析の方法で、Poincaré 型の不等式と指数減衰を具体的な $\beta$ の範囲で示しました 既知。到達点と、四次元で止まる場所は 6-10 と 9-01 にあります。未査読のプレプリントは表で「未査読」と書きました。

物理の側には、ヤン–ミルズ理論の閉じ込めとグルーボールの質量を、一次元多い重力の幾何で読む見方があります。Maldacena（1997 年の投稿）の提案した対応と、それを閉じ込めの模型に使った Witten（1998）が出発点です。Csáki–Ooguri–Oz–Terning は、この模型からグルーボールの質量の比を、ある固有値問題の解として出しました。

物理 これらは物理の水準の対応と模型で、数学の定理ではありません。純粋な四次元ヤン–ミルズ理論そのものに当てはまる形でも示されていません。何が模型の仮定で、四次元に戻す極限で何が起きるかは 7-08・7-09・7-10 で読みます。

本書の 110 章（この章を除く）の出典表には、合わせて 1035 行があります。そこに現れる arXiv の番号は 206 種類、「巻 (年) 頁」の形の書誌はおよそ 602 種類です（後者は数式の中の数の並びを拾うことがあり、概数です）。計算

各文献について、それを引く章の数と、章ごとの参照の程度を数えました。表 1 は引く章の多い順の上位 10 件です。「読み取れず」は、出典表の行に程度の書き込みが無かったか、語の照合で決められなかった章です。

表 1　本書の章が多く引く文献（各章の出典表の程度の内訳）

Osterwalder–Seiler は 40 章が引きますが、多くの章は要旨と、本文を確かめた総説（Chatterjee §4 など）を経由しています。Lucini–Teper は、20 章のうち 12 章が本文の表まで確かめたと書いています。

部ごとにも数えました。出典表の行のうち一次資料の書誌を含む行について、その行の程度を数えます。本文の割合は、次の比です。

計算 この図の数値は、この端末で本書の出典表から数えた。下の表 2 が同じ数値です。

表 2　部ごとの、一次資料を含む出典表の行の程度

程度は出典表の語（「本文を確認」「要旨」「書誌のみ」など）で決めたので、書き方の揺れに左右されます。表 1 は、文献の名が現れる区切り（「／」「；」）の中の語を優先して読んでいます。

版の違い。arXiv の版と誌の版は、頁や定理の番号がずれることがあります。本書の章は、どちらの版で確かめたかを出典表に書いています。

掲載の状態。arXiv の目録の「journal-ref」は著者が書き込む欄で、巻と頁が空のことがあります。たとえば Chevyrev–Shen は目録に「Comm. Pure Appl. Math. (2026)」とだけあり、巻と頁は本書では未確認です。2025 年と 2026 年のプレプリント（Cao–Nissim–Sheffield、2026 年の二本）は、本書の時点で掲載を確認していません。未査読の結果は、査読を経た結果と同じ重さでは扱いません。

古い誌の探し方。1970〜80 年代の論文の多くは誌の版しかありません。書誌は INSPIRE（高エネルギー物理の文献の目録）や Crossref で確かめられます。Comm. Math. Phys. の古い巻は、Project Euclid に公開の版があるものがあります（たとえば Driver 1989、CMP 123）。それ以外は、大学の図書館を通すのが確かです。

章の出典を一次資料で確かめた書誌

§03〜§08 の表は、章をまたいで効く 52 件です。それとは別に、一つか二つの章の主張を支える文献のうち、書誌や本文を一次資料の目録（Crossref・INSPIRE・DML-CZ・Math-Net.Ru・出版社の頁）で確かめ直したものを表 3 に並べます。「確認の水準」は、その文献のどこまでを確かめたかです。図 1・表 1・表 2 の数には入れていません。

表 3　個別の章の出典で、確認の水準を確かめた書誌

Zwanziger の二本は別の論文です。1981 年の論文は確率量子化の中でのゲージ固定（確率的ゲージ固定）で、1990 年の論文は Parrinello–Jona-Lasinio と同じ年の、軌道の上の重み付き平均によるゲージ固定です。本書の第 10 部が「Parrinello–Jona-Lasinio・Zwanziger の方式」と呼ぶのは後者の 1990 年の二本で、10-05 の出典表は両方を挙げています。§07 の表の Cao–Nissim–Sheffield は、5-11 が arXiv:2509.04688 の Definition 1.4・Remark 1.5 まで確かめています。

章の著者と全体の著者。PDG のレビューは全体を Navas et al. と書き、その中の章（たとえば QCD の章）を引くときは章の著者の名で書きます。0-03 と 4-06 の書き方の違いはこの区別で、同じ版（2024）を指します。

札の意味は A-04、検証の手順は A-05、このサイトの論文は 論文の一覧 にあります。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：A-04 Lean と機械検査 — 本書の札のうち「Lean」が何を意味するか。

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