2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 4 部 量子化正準量子化・Gauss 拘束

正準量子化とハミルトニアン — Gauss の法則は、状態への条件になる

問題文は質量ギャップをハミルトニアン $H$ のスペクトルで定めます（真空は $H\Omega=0$）：“A quantum field theory has a mass gap $\Delta$ if $H$ has no spectrum in the interval $(0,\Delta)$ for some $\Delta\gt0$.”（Jaffe–Witten §4）既知。その $H$ を古典の場から書き下す道の一つが正準量子化です（もう一つは 4-02）。

有限自由度では三段です（2-05）。(i) 運動量 $p_i=\partial L/\partial\dot q_i$ を作る。(ii) $H=\sum_ip_i\dot q_i-L$ を $q,p$ で書く。(iii) $q,p$ を Hilbert 空間の作用素に替え、次を課す。

波動関数の上では $p_j=-i\,\partial/\partial q_j$ です。場では添字が点 $\mathbf x$ に、$\delta_{ij}$ が $\delta^3(\mathbf x-\mathbf y)$ に替わります。例。質量 $m$ のスカラー場は波数ごとの振動子に分かれ、隙間は $m$ でした（2-06 §08）。ヤン–ミルズでは段 (i) で運動量の作れない変数が現れます。

規約は 3-03 §01 と同じです（$\hbar=c=1$、$D_\mu=\partial_\mu-igA_\mu$、随伴の場に $(D_iX)^a=\partial_iX^a+gf^{abc}A^b_iX^c$）。色の電場は

で、$L=\tfrac12\int\sum_a(|\mathbf E^a|^2-|\mathbf B^a|^2)\,d^3x$（磁場は時間微分を含まない）です。$A^a_i$ の運動量は $\Pi^a_i=-E^a_i$ ですが、$L$ は $\partial_tA_0$ を含まないので、$A_0$ の運動量は恒等的に 0 です。

段 (ii) を書きます。$\sum_ip_i\dot q_i$ にあたるのは $\int\Pi^a_i\,\partial_tA^a_i\,d^3x$ です。(2) を $\partial_tA_i=-E_i+D_iA_0$ と読み替えて代入すると

です。ここから $L$ を引くと $\tfrac12(|\mathbf E|^2+|\mathbf B|^2)$ と $-\int\mathbf E\cdot\mathbf DA_0$ が残ります。最後の項は部分積分で $D$ を $\mathbf E$ の側へ移します（遠方で場は 0 とします）。微分 $\partial_i$ の部分は、ふつうの部分積分で符号を変えます。$gf^{abc}A^b_i$ の部分は、$f^{abc}$ が添字の入れ替えで符号を変える（反対称な）ので、添字の名前を付け替えると同じく符号が一つ変わります。こうして $-\int\mathbf E\cdot\mathbf DA_0\,d^3x=\int A^a_0(\mathbf D\cdot\mathbf E)^a\,d^3x$ となり、

です（$|\mathbf E|^2=\sum_a|\mathbf E^a|^2$）既知。$A_0$ は一次でだけ現れる未定乗数で（2-01 §08 の玩具の $\lambda$）、その方程式 $(\mathbf D\cdot\mathbf E)^a=0$ が Gauss の法則です（3-03 の (3)）。このような条件を拘束と呼び、一般の扱いは Dirac（1950）に始まるとされます。

ゲージ変換で $A_0=0$ にそろえます（時間ゲージ。各点で $\partial_t\Omega=-ig\,\Omega A_0$ を解けばよい）。残る自由は時刻によらないゲージ変換です。座標は $A^a_i(\mathbf x)$、運動量は §02 の $\Pi^a_i=-E^a_i$ です。$\Pi=-E$ なので、(1) の場の版 $[A,\Pi]=i\delta$ は

です（符号が負なのは $E=-\Pi$ だからです）。状態を配位の関数（波動汎関数）$\psi[A]$ で表します。小さな $\epsilon$ と関数 $h^a_i(\mathbf x)$ について

となる関数 $\delta\psi/\delta A^a_i(\mathbf x)$ を汎関数微分と呼びます。有限次元の $\psi(q+\epsilon h)-\psi(q)\approx\epsilon\sum_ih_i\,\partial\psi/\partial q_i$ の添字 $i$ を点 $\mathbf x$ に、和を積分に替えたものです。(1) の $p=-i\,\partial/\partial q$ にならって $\Pi^a_i(\mathbf x)=-i\,\delta/\delta A^a_i(\mathbf x)$、したがって $E^a_i(\mathbf x)=i\,\delta/\delta A^a_i(\mathbf x)$ と働き、(3) は形式的に

です（$\delta^2/\delta A^a_i(\mathbf x)^2$ は $a$・$i$ について和を取ります）既知。無限個の座標の粒子が位置エネルギー $\tfrac12\int|\mathbf B|^2$ の中を動く、と読めます。正確には (5) は形だけです（§09）。$\hat A=gA$ と取り直すと

で、$g$ が大きいと電場の項が、小さいと磁場の項が勝ちます。5-03 の (16) の係数 $g^2/2a$・$2N/g^2a$ はこの二項の格子版です。例。各点の $3(N^2-1)$ 個の $A^a_i$ から次節の条件で $N^2-1$ 個のゲージの向きが消え、$2(N^2-1)$ 個が残ります（3-03 §03 と同じ数）。古典では拘束と残るゲージ変換の二つで消した一成分を、量子では (10) が一度に消します。

$A_0$ を消したので、Gauss の法則はもう運動方程式の中にありません。Gauss の作用素

には三つの性質があります 既知。(a) ゲージ変換を生む。$G(\alpha)=\int\alpha^aG^a\,d^3x$ と置くと、部分積分と (4) から

です（$A\mapsto A+\epsilon D\alpha$ は 3-02 の (4) で $\alpha$ を $g\epsilon\alpha$ としたもの、つまり無限小のゲージ変換）。(b) $H$ と交換する。(5) の二項はゲージ不変なので $[H,G^a(\mathbf x)]=0$。(c) 閉じた代数をなす。

$G^a=0$ を作用素の等式にはできません。$G(\alpha)$ と $A_j$ の交換子が $-i\,D_j\alpha\ne0$ だからです。代わりに状態に課します。

右の $\Omega$ は恒等変換に連続につながるものです。(10) を満たす状態が物理的状態です。(b) で時間発展はこの部分空間を保ち、(c) で条件どうしは矛盾しません。観測量はゲージ不変なものに限り、質量ギャップは物理的状態の上の $H$ の隙間です（4-11 §09）。

例。$SU(2)$ の一様な場（$3\times3$ の実行列 $A^a_i$。一様な場は 3-02 §07）では $G^a=ig\,\varepsilon^{abc}A^b_i\,\partial/\partial A^c_i=-gL^a$ です。$L^a=-i\varepsilon^{abc}A^b_i\,\partial/\partial A^c_i$ は色の添字を回す角運動量で、$[L^a,L^b]=i\varepsilon^{abc}L^c$ を満たします。これは生成子の $[T^a,T^b]=if^{abc}T^c$（3-02 §02）と同じ交換関係なので、$G=-gL$ から (9) の $-ig$ が出ます。ゲージ不変な関数は $A^{\mathsf T}A$ と $\det A$ の符号の関数です。差分で、$G^a$ が $\tfrac12|\mathbf B|^2$・$\det A$ を $2\times10^{-10}$ 以下まで消し $A^1_1$ は消さないこと、(9) が相対 $2\times10^{-11}$ で成り立つことを確かめました 計算。

電荷と、大きなゲージ変換

静止した色の電荷があると条件は $G^a\psi=\rho^a\psi$ です。Kogut–Susskind（1975）の要旨は格子のゲージ不変な配位を “a collection of strings with quarks at their ends. The strings are lines of non-Abelian electric flux.” と書きます 既知（表 3）。また (8) が生むのは恒等変換につながる変換だけです。遠方で 1 に近づき、$\mathbb R^3\cup\{\infty\}=S^3$ から $SU(2)$ への巻き付き数が 1 の変換 $T$（3-05 §07）は恒等変換につながりません。そのため $\psi[A^T]=e^{-i\theta}\psi[A]$ となることは (10) と矛盾しません（$(T\psi)[A]=\psi[A^T]$ と約束すると 3-05 の (12) と同じ向き。逆の約束では $e^{+i\theta}$）。これが θ 真空の $\theta$ です 物理。

$g=0$ で、波数 $\mathbf k$ の成分を $\mathbf k$ に平行な縦 $a_L$ と垂直な横 $a_T$ に分けます。磁場は横だけを含むので、横の一つの向きだけ書くと

で、$G_{\mathbf k}\propto\mathbf k\cdot\mathbf E_{\mathbf k}\propto p_L$ です。縦はゲージ変換 $\mathbf A\mapsto\mathbf A+\nabla\chi$ の向きで、復元力が無く、全体の $H$ では各準位の上に縦の運動のエネルギーが連続に積み上がります。Gauss の法則 $p_L\psi=0$ がこの連続を消し、横の振動子の Fock 空間（光子。2-06 §07）が残ります 既知。図 1 は縦を長さ $2R$ の円周に閉じ（$|\mathbf k|=1$）、準位 $E(n,m)=n+\tfrac12(\pi m/R)^2$（$m\in\mathbb Z$）のうち $m=0$ が残る様子を見ます。

計算この図の数値はこの端末で計算した（閉じた式をその場で計算。表 1 と一致）。

全体の隙間 $\min(1,\pi^2/2R^2)$ は $R\to\infty$ で 0 で、時間ゲージの $H$ そのものの隙間はゲージの向きの運動が埋めます。物理的な隙間 $|\mathbf k|$ も箱を広げれば 0 に近づき、自由な場に質量ギャップはありません（質量 $m$ の場なら隙間は $m$ でした。2-06 §08）。

空間を長さ $L$ の円周（$1+1$ 次元）にすると磁場は無く、$H=\tfrac12\int_0^LE^aE^a\,dx$ です。Gauss の法則は $E$ が平行移動（1-07）で運ばれることを言い、随伴の平行移動は長さを保つので $H=\tfrac L2E^aE^a(0)$ です。ゲージ不変な関数に残るのは一周のホロノミー $U=P\exp(ig\oint A_1dx)$ の共役類だけです。共役 $U\mapsto gUg^{-1}$ で変わらない関数を類関数、表現行列のトレースを指標と呼びます（1-02）。Witten（1992）§4 は “Ψ must be a class function of U, invariant under conjugation, and so must have an expansion in characters” と書き、$H$ を Casimir 作用素で表します 既知。$E^a(0)$ は $U$ を $T^a$ の向きに回す微分の $g$ 倍として働き、

です（$\chi_r$ は既約表現 $r$ の指標、$C_2$ は $\sum_aT^aT^a$ の値。1-04）。固有値は Rajeev（1988）が厳密に求め、転送行列からの道は 6-02 §07 です。例。$SU(2)$ で $U$ の固有値を $e^{\pm i\theta}$ とすると $\chi_j=\sin((2j+1)\theta)/\sin\theta$、準位は $j(j+1)$ の $g^2L/2$ 倍です。隙間 $\tfrac38g^2L$ は円周を一周する電気力線の輪のエネルギー（張力 $\tfrac38g^2$）と読めます。

軌道の体積が準位を決める

類関数の内積は Haar 測度 $\tfrac2\pi\sin^2\theta\,d\theta$ で取ります。1-08 §03 の $a_0$ の密度 $\tfrac2\pi\sqrt{1-a_0^2}\,da_0$（半円）で $a_0=\cos\theta$ と置くと、この形になります。$\sin^2\theta$ は共役類（$S^3$ の中の球面）の面積、つまりゲージ軌道の体積です（4-02 §07）。(12) を $\theta$ で書くと

で、$u=\sin\theta\,f$ の上では $\frac{g^2L}{8}(-u''-u)$、つまり区間 $[0,\pi]$ の箱の粒子（$u=\sin n\theta$、$n=2j+1$）から 1 を引いたものです。測度を忘れて平らなラプラシアンを使うと、準位は $k^2/4$ に変わります（表 2）。この体積の因子は、三次元のクーロンゲージでは Faddeev–Popov の行列式として現れます（§08）。

計算この図の数値はこの端末で計算した（指標と (12) の閉じた式をその場で計算。表 2 と一致）。

格子で数える — Gauss の法則を破る状態

円周を $N$ 本のリンク（$a=L/N$）に刻み、$H=\frac{g^2a}{2}\sum_\ell E_\ell^2$ とします（5-03 §07 の二次元版。プラケットは無い）。比喩で言えば、一本のリンクは $SU(2)$ の上を回るこまで（5-03 §06）、角運動量 $j$ の状態が左右の回転について $(2j+1)\times(2j+1)$ 個あります。正確には、リンクの状態の空間 $L^2(SU(2))$ を表現ごとに分ける Peter–Weyl の定理です 既知。こうしてエネルギーは $\frac{g^2a}{2}\sum_\ell j_\ell(j_\ell+1)$、重複度は $\prod_\ell(2j_\ell+1)^2$ です。頂点では二本のリンクの端が出会い、Gauss の法則はその二つの表現を合成したものが回転で変わらない（スカラーである）ことを求めます。角運動量の合成 $j\otimes j'=|j-j'|\oplus\cdots\oplus(j+j')$ に $0$ が現れるのは $j=j'$ のときだけで、しかも一通りです（Schur の補題）既知。したがって隣り合う $j$ は等しく、物理的状態は各 $j$ に一つで、準位は $N$ によらず (12) です。

全体の最低の励起は一本のリンクだけ $j=\tfrac12$、つまり両端に電荷の対を置いた状態（§04）で、エネルギー $\tfrac38g^2a$ は張力と距離 $a$ の積です。$a\to0$ で 0 に近づくので、物理的状態に制限してはじめて $\tfrac38g^2L$ が残ります。

ゲージをさらに固定して拘束を先に解く道もあります。クーロンゲージ $\nabla\cdot\mathbf A=0$ で $\mathbf E=\mathbf E_T-\nabla\phi$（$\nabla\cdot\mathbf E_T=0$）と分けると、Gauss の法則は $\phi$ の線形の方程式です。

$\rho^a=gf^{abc}A^b_iE^c_{T,i}$ は横の場自身が運ぶ色の電荷です。$M$ が逆に持てれば、$K=M^{-1}(-\nabla^2)M^{-1}$ として

です（積分は $d^3x$）既知。Christ–Lee（1980）の要旨は、時間ゲージからの変数変換が “an unconventional operator ordering” を生み、“new nonlocal interactions, even in the familiar Coulomb gauge” が現れると書きます 既知。§06 の $\sin^2\theta$ にあたる軌道の体積の因子は $\det M$ です 既知。これは変数をゲージの条件（$\nabla\cdot\mathbf A=0$ の切り口の上の座標）に取り替えるときのヤコビアンで、Faddeev–Popov の行列式と呼ばれます（詳しくは 4-08）。困難は、$A$ が大きいと $M$ が固有値 0 を持つことです。Gribov（1978）の要旨は “the fixing of the divergence of the potential in non-Abelian theories does not fix its gauge” と書きます 既知。切り口を大域的に選べないことは 3-04 の Singer の定理です。時間ゲージの (10) はこの困難を避けています。

四次元の (5) には三つの点で意味が欠けています。(i) $E^a_i(\mathbf x)E^a_i(\mathbf x)$ は超関数の同じ点での積です（1-11 §09・1-09 §09）。(ii) 零点エネルギー $\tfrac12|\mathbf k|$ の和は発散し（2-06 §09）、相互作用があると繰り込み（4-04）と組になります。(iii) 内積 $\int|\psi|^2\mathcal DA$ には、無限次元にルベーグ測度が無いこと（1-09 §02）と軌道の体積の発散が重なります（相互作用のある $H$ を自由場の Fock 空間の上に置けないこと、つまり Haag の定理も関わります。4-09）。

格子では状態空間が定まり、Gauss の法則も頂点ごとに厳密に課せます（表 3）。残るのは、格子間隔を 0 に、箱を無限にする極限で隙間が正に残るかです。問題文は “Establishing a quantum mechanical Hilbert space is part of the solution to this Millennium problem.” と書きます（§6.5）既知。§6.1 は Hilbert 空間の道と汎関数積分の道を Osterwalder–Schrader の構成が結ぶと述べます。§6.5 は、これまでの数学の進展の多くが汎関数積分の理解から来たと書きます（“Much of the mathematical progress reviewed above results from understanding functional integration”）。この道では $H$ は虚時間の測度から再構成されます（4-02 §08・4-10 §09）。この章は四次元のヤン–ミルズについて何も示していません。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：4-02 経路積分とユークリッド化。格子のハミルトニアンは 5-03、ゲージ固定は 4-08。

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