2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 6 部 構成的場の理論クラスター展開

クラスター展開 — 弱く結びついた小さな塊に分けて、対数を収束する和に書き直す道具

段 4 と段 6 で要るのは、箱の大きさに依らない評価と、遠く離れた量がほぼ独立になることでした（6-01 の式 (9)）。問題文は、摂動級数はたいてい発散するので「cluster expansions」と総称される展開法が発達したとし、'Refined estimates yield the rate of exponential decay of Green's functions, magnitude of masses, ...' と書いています（JW §6.1）。既知

芯は一つです。区画どうしが独立なら、分配関数は積、対数は和です。

和なら体積当たりの量は箱に依らず、遠くの区画は効きません。実際の区画は弱く結びついており、クラスター展開はその結びつきを「つながった区画の組」ごとの補正として足し込み、和の収束を示します。比喩で言えば、ほとんどぶつからない薄い気体です。正確には、(i) $n$ 個をつなぐ補正が小さな数の $n$ 乗程度、(ii) つなぎ方の数が $n!$ で割って指数関数程度（§05）の二つが要ります。

例：区画が「空」か「粒子一つ（重み $z$）」で独立なら $Z=(1+z)^N$。$\log Z/N=z-\tfrac{z^2}{2}+\cdots$ は $|z|\lt1$ で収束し、$Z=0$ となる $z=-1$ で止まります。級数の届く範囲は、複素数の $z$ で分配関数が 0 になる場所が決めます。

章を通して使う例です。点 $x=1,\dots,N$ に粒子を置き（$n_x\in\{0,1\}$）、隣どうしの同時占有を禁じ（剛体の反発）、粒子一つに重み $z$（活量）を付けます。

点 $N$ と点 $1$ も隣どうしとみなして輪にすると、転送行列 $T=\begin{pmatrix}1&\sqrt z\\ \sqrt z&0\end{pmatrix}$ で $\Xi_N=\operatorname{tr}T^N$ と書けます（転送行列は 2-08 §03。イジング模型の例は 2-09、格子ゲージでは 5-03）。成分は $T_{nn'}=z^{(n+n')/2}$（$n,n'\in\{0,1\}$。ただし $n=n'=1$ だけ 0）です。だから $\operatorname{tr}T^N=\sum_{n_1,\dots,n_N}\prod_{x=1}^{N}T_{n_xn_{x+1}}$（$n_{N+1}=n_1$）では、各 $n_x$ の重みを半分ずつ二回拾って $z^{n_x}$ になり、隣どうしの同時占有は 0 で消えます。これは輪の上の式 (2) そのものです。固有値 $\lambda_\pm=\tfrac12(1\pm\sqrt{1+4z})$ の大きいほうが残ります。次の $p(z)$ を圧力と呼びます（物理の圧力に逆温度を掛けたもので、体積当たりの $\log$ 分配関数です）。

計算表 1　係数 $b_n$（有理数の級数演算で $n\le24$ まで閉じた式と一致）。

比は 4 に近づき、収束半径は $1/4$。べき級数の収束半径は、関数が複素平面で解析的でなくなる点のうち、原点に最も近いものまでの距離です（複素解析の定理）既知。ここでその点は、根号の中が 0 になって固有値が重なる $z=-1/4$ です。$z\gt0$ に相転移は無いのに、級数は $1/4$ の先へ進めません。展開の届く範囲は、物理的でない負の活量の側の特異点で決まります。長さ $n$ の鎖の $\Xi$ の零点で原点に最も近いものは $-1/(4\cos^2\frac{\pi}{n+2})$（Scott–Sokal 2005, Ex. 3.2）で、$n=5,10,20$ で $-0.3080,-0.2679,-0.2552$ です。計算

構造を抜き出します。有限の塊（ポリマー）$\gamma$ の集まり $\mathcal P$、相容れないという関係 $\gamma\not\sim\gamma'$（重なる・接するなど。自分とも相容れない）、複素数の活量 $z_\gamma$ を用意し、どの二つも相容れる組だけを数えます。

$\Lambda$ は有限の集まり、$\mathbf 1\{\cdot\}$ は条件が真なら 1、偽なら 0。この形式は Gruber–Kunz（1971）が導入したとされます（Fernández–Procacci 2007 §1）。既知

例：§02 はポリマー＝占有された一点、相容れない＝同じ点か隣。外場なしの高温のイジング模型（2-08）では、ポリマーは各点の次数が偶数の辺の連結な集まり、頂点を共有すれば相容れない、活量は $(\tanh\beta)^{\text{辺の数}}$ です。格子ゲージの強結合（5-04）はプラケットの連結な集まり、弱結合の連続の場（§09）は立方体の連結な集まりです。塊が小さい理由が、展開の小さな径数になります。

Mayer の名で呼ばれる手口（Mayer 1937 に遡るとされる）では、$\mathbf 1\{\gamma_j\sim\gamma_k\}=1+\zeta_{jk}$（相容れなければ $-1$、相容れれば 0）と書いて積を展開します。各項は点 $1,\dots,n$ の上のグラフ（点と、点の対を結ぶ辺）に対応し、対数では連結なグラフだけが残ります。理由は、グラフの重みが連結成分ごとの重みの積に分かれることです。点を連結成分に分ける分け方で整理すると、$1/n!$ を付けて全部の $n$ で足した和どうしで、$\text{全グラフの和}=\exp\big(\text{連結なグラフの和}\big)$（指数公式）が成り立ち、対数を取れば連結なものだけが残ります。既知

$G_\gamma$ は $\gamma_j\not\sim\gamma_k$ のとき $j,k$ を結んだグラフ、和は全部の点を使う連結な部分グラフについて、$|E(G)|$ は辺の数です（$n=1$ では 1）。$\varphi^{\mathrm T}$ は Ursell 関数（場 $\phi$ とは無関係）で、$G_\gamma$ が連結でなければ 0。寄与するのは相容れなさでつながった組、つまりクラスターだけです（Fernández–Procacci (2.3)(2.4)。まだ形式的な級数）。

例：§02 では並進で平均して $b_n=\frac1{n!}\sum_{x_2,\dots,x_n}\varphi^{\mathrm T}(0,x_2,\dots,x_n)$。$n=2$ では $x_2=-1,0,1$ がどれも辺一本で $-1$、よって $b_2=-3/2$。配置では禁じられた $(0,0)$ が対数には現れます。$n\le6$ まで総当たりで足すと表 1 と有理数で一致しました。計算

式 (5) の和は巨大です。どの二つも相容れないとき $G_\gamma$ は完全グラフ $K_n$（全部の対を結ぶ）で、連結な全域部分グラフは全グラフとほぼ同数あり、$\pm1$ のまま残れば $n!$ で割っても収束しません。ところが和は打ち消し合い、$(-1)^{n-1}(n-1)!$ だけが残ります。

計算表 2　$K_n$（$n\le6$ は総当たり、$n=10$ は漸化式）。

仕組みは Penrose（1967）によります。連結な全域部分グラフを全域木（全点をつなぐ輪の無い部分グラフ）$T$ ごとの区間 $[T,R(T)]$ に分けると、区間内の符号の和は $\prod_{e\in R(T)\setminus T}(1-1)$ の因子で消え、$R(T)=T$ の木（Penrose 木）だけが残ります（Fernández–Procacci, Prop. 5）。既知

Penrose 木の数は $n\le6$ の総当たりで交代和の絶対値と一致しました計算。全域木は $K_n$ でも $n^{n-2}$ 個で、$n^{n-2}/n!$ は $e^n$ 程度。$n!$ で割って残るのが指数関数だけなので、活量が小さければ (5) は収束しえます。和を初めから木や森で書く恒等式は、Brydges–Federbush（1978）から Brydges–Kennedy（1987）の森の公式へ整えられました（Abdesselam–Rivasseau 1994）。

計算この図の数値はこの端末で計算した。$K_4$ の累計は辺 3 本（全域木 16 個）で −16、4 本（15 個）で −1、5 本（6 個）で −7、6 本で −6。$C_4$ は −3、$P_4$ は −1、$K_3$ は +2。

木の評価を足し上げると条件が出ます。広く使われる Kotecký–Preiss（1986）の条件は、各塊に「予算」$a(\gamma)\ge0$ を割り当てて

とするもので（左辺は $\gamma$ 自身も含む）、成り立てば、$\log\Xi_\Lambda$ を $z_{\gamma_0}$ で微分した級数（塊 $\gamma_0$ を含むクラスターの和。ポリマー一つ当たりの和）は、各項を絶対値に替えても $\Lambda$ によらず $e^{a(\gamma_0)}$ 以下です（Fernández–Procacci (2.6)(2.7)(2.14)(2.15)）。$\log\Xi_\Lambda$ そのものは体積とともに大きくなりますが、この一つ当たりの上界が $\Lambda$ によらないので、(5) は $\Lambda$ に一様な評価つきで絶対収束します（同 (2.7) の直後の文）。塊 $\gamma_0$ を除いたときの対数の変化も $|z_{\gamma_0}|e^{a(\gamma_0)}$ 以下です（同 (2.11)）。「相容れない相手の重み付きの活量の合計が、自分の予算に収まる」と読みます。同じ型の Dobrushin（1996）・Fernández–Procacci（2007）の条件は、順に適用範囲が広がります。既知

計算表 3　§02 の気体（最大次数 $\Delta=2$）で保証される範囲。数値的な最大化が Fernández–Procacci Table 1 の式と一致。

$1+3\mu+\mu^2$ は相容れない三点のうち互いに相容れる部分集合（空・一点三つ・$\{x-1,x+1\}$）の数え上げで、$(1+\mu)^3$ はそうでない組も数える分だけ粗くなります。最後の行の $1/4$ は、各点の次数が $\Delta$ の無限の木で厳密な値 $(\Delta-1)^{\Delta-1}/\Delta^{\Delta}$（Shearer／Scott–Sokal。Fernández–Procacci Table 1 の星印）に $\Delta=2$ を入れたものです。$\Delta=2$ のこの木は整数の直線そのものなので、式 (3) の $1/4$ と一致します。上の三つの条件はどれも十分条件です。

計算この図の数値はこの端末で計算した。$|S_N(z)-p(z)|$ は $N=5,20,40$ で、$z=0.2$ なら 3e−3・1.5e−5・6.4e−8、$z=0.3$ なら 0.029・0.063・0.88。

条件 (7) が体積に依らず成り立つと三つが出ます。(i) 圧力の極限が存在し、円板の中で解析的。(ii) 箱の大きさを感じるのは縁に触れるか一周するクラスターだけ。(iii) 打ち切り相関には $x$ と $y$ の両方に触れる、つまり相容れなさの鎖で $x$ から $y$ までつながるクラスターだけが残り、輪ごとに $|z|$ 程度が掛かる（Ueltschi 2004, Thm 3）。既知

例：§02 の気体を 14 点の輪で数えると、$\log\Xi_{14}/14$ の係数は $n\le13$ で $b_n$ と一致し、$n=14$ で初めてずれました（一周には 14 点全部が要る）。補正は $\frac1N\log\big(1+(\lambda_-/\lambda_+)^N\big)$ で、小さい $z$ では $\lambda_-/\lambda_+\approx-z$ なので $(-z)^N/N$ 程度です（$n=14$ の係数のずれはちょうど $1/14$）。密度の打ち切り相関は $(\lambda_-/\lambda_+)^{|x-y|}$ に比例し、減衰率は $m(z)=\log(\lambda_+/|\lambda_-|)$ です。計算

計算表 4　減衰率 $m(z)$ と、鎖からの見積もり $\log(1/|z|)$。

小さい $z$ では $m\approx\log(1/z)$ で鎖の絵が当たり、$z\to-1/4$ で $m\to0$（半径を決めた特異点で減衰が止まる）。$z=1$ は半径の外でも $m\gt0$：収束は十分条件です。

$m(z)$ は転送行列の固有値の比、この模型の「質量ギャップ」です（6-01 の段 6・4-11）。場の理論でも、時間方向の打ち切り相関が体積に一様に $e^{-mt}$ で減衰し、その減衰が示せる観測量から作ったベクトル $\psi$（真空の成分を引いたもの）が、真空と直交する部分空間で稠密なら、OS の再構成（4-10）のハミルトニアン $H$ は $(0,m)$ にスペクトルを持ちません。既知

道具はスペクトル測度です。$\psi$ ごとに $\langle\psi,e^{-tH}\psi\rangle=\int e^{-t\lambda}\,\mathrm d\mu_\psi(\lambda)$ となる $[0,\infty)$ 上の測度 $\mu_\psi$ があります（1-10 のスペクトル定理。固有ベクトルの基底 $e_k$ があるなら、$\mu_\psi$ は各固有値 $\lambda_k$ に重み $|\langle e_k,\psi\rangle|^2$ を置くもの）。$\int e^{-t\lambda}\mathrm d\mu_\psi\le Ce^{-mt}$ が全ての $t$ で成り立てば、$t\to\infty$ を見て $\mu_\psi$ は $\lambda\lt m$ に重みを置けません。これが稠密な $\psi$ で言えるので、$(0,m)$ にスペクトルが残りません。逆向きは問題文 §5 の式 (2) です。

連続の場では自由場の共分散 $C(x,y)$ が離れた点も結びます。箱を単位立方体 $b_i$（指示関数 $\chi_i$）に切り、立方体をまたぐ部分に $s_{ij}\in[0,1]$ を掛けます。

$s$ が全部 1 なら元の共分散、全部 0 なら立方体ごとに独立です（Abdesselam–Rivasseau 1994 (V.A.5)）。間を Taylor の公式でつなぎます（同 (III.1)）。式 (11) の添字 $\ell$ は立方体の対 $\{i,j\}$ を走り、$s_\ell=s_{ij}$ です。$f(\mathbf s)$ は共分散を $C(\mathbf s)$ にしたときの分配関数、$I$ は対の集まり、$\psi_I(h)$ は $\ell\in I$ で $s_\ell=h_\ell$、$\ell\notin I$ で $s_\ell=0$ とした点です。

対が一つなら $f(1)=f(0)+\int_0^1f'(h)\,\mathrm dh$ で、(11) はこれを対ごとに繰り返したものです。$\partial/\partial s_\ell$（$\ell=\{i,j\}$）は立方体 $b_i,b_j$ を結ぶ線を一本下ろし、その大きさは $|C|$ 程度、質量 $m_0$ なら $e^{-m_0|x-y|}$ 程度です。微分された対が塊をなし、積分は塊ごとに分かれて、立方体の連結な集まり $Y$ をポリマーとする気体になります（同 (V.A.7)(V.A.8)）。

ただし補間した共分散は正定値（ガウス測度として意味を持つ条件）であり続ける必要があるので、実際には森の公式（Brydges–Kennedy の Taylor 森の公式、同 Thm III.1）を使います。これは、二つの立方体を結ぶ径数を、森をなす木の中で二つを結ぶ道に沿った $h_\ell$ の最小値で置く版で、こうすると正定値性が保たれます（同 (V.A.9)・Thm IV.5）。この形で、任意の定数 $K$ に対し、紫外の切断を入れたうえで結合 $g$ を（$K$ に応じて）十分小さくとれば $\sum_{Y\ni0}|A(Y)|K^{|Y|}\le1$ です（同 (V.A.10)。$|Y|$ は $Y$ の立方体の数）。この型の展開を構成的場の理論に持ち込んだのは Glimm–Jaffe–Spencer で（同 §I）、結果は 6-03 §05・§08 にあります。既知

例：道具はガウスの部分積分です（ガウス分布は 1-08 §06）。標準正規の $\phi$ では、密度 $e^{-\phi^2/2}$ の微分が $-\phi\,e^{-\phi^2/2}$ なので、部分積分で $\mathbb E[\phi F(\phi)]=\mathbb E[F'(\phi)]$ が出ます。これを共分散行列 $C(s)$ の平均 0 のガウス変数に広げると $\frac{\mathrm d}{\mathrm ds}\mathbb E_s[H]=\frac12\sum_{a,b}\frac{\mathrm dC_{ab}}{\mathrm ds}\,\mathbb E_s[\partial_a\partial_bH]$ です既知。分散 1・共分散 $sc$ のガウス変数 $(\phi_1,\phi_2)$ では $\mathrm dC_{12}/\mathrm ds=\mathrm dC_{21}/\mathrm ds=c$ なので $\frac{\mathrm d}{\mathrm ds}\mathbb E_s[F(\phi_1)G(\phi_2)]=c\,\mathbb E_s[F'(\phi_1)G'(\phi_2)]$。$s=0$ では二つは独立なので、$s$ について 0 から 1 まで積分して

で、塊の相関はつなぐ共分散 $|c|$ で抑えられます。$F=G=\cos$ なら値は $e^{-1}(\cosh c-1)$（$c=0.9$ で $0.15932358$）で、左辺・右辺の数値積分と 8 桁一致しました。計算

格子の強結合。小さい $\beta$ ではプラケットの塊の展開が働き（5-02・5-04）、無限体積極限の存在と解析性、閉じ込めの評価が示されています（Osterwalder–Seiler 1978）。ただしこの面積則は $U(1)$ を含むどの群でも成り立ち、非可換な閉じ込めの証拠にならない、と Chatterjee（2018）は注意しています。既知

位相空間の展開。単位の尺度で小さな径数が無いときは、場を尺度ごとに分け、各尺度の「位相空間の細胞」で展開して積み上げます（Battle–Federbush 1982。JW §6.1 の 'phase-space localization'）。格子ゲージ理論では Bałaban の系列がこれにあたります（6-05）。既知

赤外の限界。四次元では長い距離で結合が強くなります。Magnen–Rivasseau–Sénéor 1993 §I は 'there is no easy solvable model of these phenomenons around which to expand' と書き、問題文も体積に一様なギャップには新しい考えが要るとします（JW §6.5）。展開が収束する小さい $\beta$ は、連続極限 $\beta\to\infty$ の反対の岸です。正確には、展開が収束するのは $\beta$ が小さい側の有限の区間で、連続極限は $\beta\to\infty$ で取ります（5-09）。

この章が言えている範囲

出典と再現

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