2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 10 部 この端末の検討仮定 H・H↑ と H↓

仮定 H と三つの鎖 — 「すべての f」と「ある f」に割る

群は SU(2)、結合は $\beta=4/g^2$（記号表の $\beta=2N/g^2$）、量は格子単位（格子間隔が 1）です。

測度と $C_P$。$\mu_\beta$ は Wilson 作用 $S=\beta\sum_P(1-\tfrac12\operatorname{Re}\operatorname{tr}U_P)$（5-01）の無限体積の測度です。一つに決まること（(S1)、10-01）は前提に置き、ゲージは固定しません。有限個のリンクに依る関数 $f$ について

$\nabla_\ell$ はリンク $\ell$ の向きの微分（リンクの角度で測る）、$\lambda_1$ は Langevin 力学の隙間で、1-10 §07〜§09 の Poincaré 定数そのものです（次の三つの $C_P$ の (β)）。$m$ は転送行列のゲージ不変な状態の上の隙間、$\xi=1/m$ は相関長、$\sigma$ は弦張力です（5-03・4-11）。

三つの $C_P$。同じ記号で三つの量が呼ばれるので区別します。(α) 一つの時刻の真空の測度（基底状態の分布）の Poincaré 定数は、ハミルトニアンの隙間と厳密に同値です（基底状態変換、2-05 §08 の (12)・1-10 §08）。(β) 経路の測度（ここでは Wilson 測度）の Poincaré 定数は Langevin 力学の隙間の逆数で、記録の $C_P$ はこちらです。(γ) は (β) をリンクの角度で測るか場で測るかの正規化の違いで、量の違いではありません。

表 0　三つの $C_P$（自由場の列は質量 $m$・時間を連続に取った場合）

自由場では $C_P^{(\beta)}=4\,(C_P^{(\alpha)})^2$ です 計算。時間を連続に取ると等号で、格子間隔 1 の格子では右辺に $1+m^2/4$ が掛かります（$\xi=16$ で 1.000977）。基底状態変換の $\Delta=1/(2C_P^{(\alpha)})$ は、調和・四次・二重井戸の一次元の井戸で差分の二つの固有値問題を解き、6 桁で一致を確かめました。仮定 H は (β) についての文なので、「経路の $C_P$ と真空の $C_P$ の二乗が揃う」と読み替えられます。ただしゲージ理論では一つの時刻の測度はゲージ軌道の空間の上にあり、この読み替えは自由場の形からの類推です。

記帳の長さ（この端末の定義）。格子を $b$ 倍に粗くする一段で $\beta\mapsto\beta-\kappa(\ln b-\delta(b))$ と下がると数えます。$\kappa=11/(3\pi^2)$ は既知の一ループ係数の書き直し（4-06）、$\delta$ は一ループ核の模型で測った取りこぼしです（10-02）。決まった値まで下がる段数 $k(\beta)$ から

$e^{-3\pi^2\beta/11}$ は一ループの次元転移の式 $\Lambda=\mu\,e^{-1/(2b_0g^2)}$（4-07 §02 の (3)）を SU(2)・$\beta=4/g^2$ で書いたもので、$\xi_{\rm RG}$ は $1/(a\Lambda)$ の一ループの部分と同じ式です 既知。第 5 部の格子間隔とは別の定義で、鎖 (iii) の下で定数倍で揃います。$\eta$ は $\eta_{\rm dyn}$ です（8-05 §02）。

仮定 H（記録の名前）は、揺らぎが均される時間 $C_P$ が相関長 $\xi$ の二乗と同じ冪で伸びるという一文です。

冪の水準の文なので、$\mathcal E$ を $\beta$ の冪倍しても変わりません（$\ln\beta/\ln\xi\to0$）Leanexponent_invariant_of_slowly_varying（LatticeGaugePoincareNormalisation.lean。仮定：掛ける因子の対数と $\ln\xi$ の比が 0 へ）。記録が鎖と組み合わせて使うのは、記帳の長さ $\xi_{\rm RG}$ と $\beta$ に依らない定数倍の幅（帯）で比べる次の文です（$A\asymp B$ は比が正の定数で上下から押さえられること）。この文は H と鎖 (ii)(iii) を合わせたもので、この本では H と呼びません（次の小節）。

Langevin の時間は長さの二乗の次元を持つので（拡散、8-05 §03 の寄り道）、$a^2C_P$ は最も遅い緩和を物理の単位で測った値で、(3) はそれが 0 にも無限大にも行かないと言います。相関長を挟むと

で、第一の因子は物理単位の質量 $m_{\rm phys}=m/a$ で決まり（7-12 §05 の (ii)(iii) の積）、第二は鎖 (i) の因子そのものです。格子の自由場では $C_P=1/m^2$（1-10 §09）で、$m=m_{\rm phys}\,a$ なら (3) は場の正規化で恒等式です 既知。H も (3) も格子の測度の族についての文で、連続極限の存在も極限の隙間も、それだけでは言いません。

H の八つの読み — 名前の約束

「$C_P$ が長さの二乗と揃う」という文には三つの選び方があります。冪で言うか帯（定数倍の幅）で言うか、比べる長さを相関長 $\xi$ にするか記帳の長さ $\xi_{\rm RG}$ にするか、$C_P$ をリンクの角度の $\mathcal E_\vartheta$（(1) の $\mathcal E$）で測るか場の $\mathcal E_A=\mathcal E_\vartheta/\beta$ で測るか（表 0 の (γ)）。$2\times2\times2$ で八つの読みがあり、章によって同じ「仮定 H」が違う読みを指しかねません。この本では名前を次のように固定します。

• H は冪の水準の (H) です。冪の水準では二つの正規化は同じ文になります。
• 帯の文は正規化を名指して $\text{H}_{\rm band}[\mathcal E_\vartheta]$・$\text{H}_{\rm band}[\mathcal E_A]$ と書き、H とは別の仮定として扱います。
• $\xi_{\rm RG}$ と比べる文は、H（帯なら $\text{H}_{\rm band}$）と鎖 (ii)(iii) を合わせた文です。$a^2C_P\asymp1$（(3)）は $\text{H}_{\rm band}[\mathcal E_\vartheta]$ と鎖 (ii)(iii) の文で、「H」とは呼びません。
• H↑・H↓ は帯の文の上の半分と下の半分です。どの帯の文の半分かを添えます（§03 の (5) は (3) の半分、§04 は $\text{H}_{\rm band}$ の H↓）。

表 0′　八つの読み（右の二列は H を前提にした勘定。指数は $C_P/\xi^2$ または $a^2C_P$ に掛かる $\beta$ の冪）

右の列の $-9/22$ は正規化の $-1$ と確率時間の $+13/22$ の和、$\xi_{\rm RG}$ の行はさらに一ループの記帳と二ループの走りの差 $-102/121$ を足したものです（§06）。どれも一ループの摂動論の繰り込み群の下の勘定で、冪の水準の二行だけがこの対数に動かされません。記録の定理がどの読みを仮定するかは各定理の行に書きます（帯の代数 chain_band は (3) の行、drainExp_eq_zero_iff は冪・$\xi_{\rm RG}$ の行。一覧は 10-07）。他の章は「10-03 の H」とこの小節にリンクして同じ名前を使います。

(3) の右と左を分けます。

(5) は (3)、つまり $\text{H}_{\rm band}[\mathcal E_\vartheta]$ と鎖 (ii)(iii) の文の半分です。$\xi$ で書いた $\text{H}_{\rm band}$ の半分も同じ記号で書くので、どちらの半分かを添えます。$C_P$ は (1) の上限で、$\xi_{\rm RG}$ は測度と別に決めた長さなので、二つは $f$ についての量化子が逆向きです。

H↓ は試験関数を一つ見せれば済み、H↑ はすべての関数についての本物の Poincaré 不等式です。1-10 §06 の「上からは易しく、下からは難しい」が、隙間の逆数 $C_P$ では「下からは易しく、上からは難しい」になります 既知。鎖 (i) を等号 $C_P=1/m^2$ で置くと、物理単位の質量の言明に読み替わります。

Leanhup_is_gap_positivity・hdown_is_mass_finiteness（LatticeGaugeOneScale.lean。仮定：$C_P=1/m^2$・$m\gt0$・(5) の片側。対応する既知：4-11 の隙間と相関長）。記録はこれを整理と呼び、新しい数学とはしていません。H↓ は Clay の「非自明」（相互作用があること、0-03）とは別で、自由な質量つきの場でも満たされます。$C_P\le K$ が $\beta$ に一様なら $a^2C_P\to0$ で、H↑ は満たし H↓ は破れる $m_{\rm phys}\to\infty$ の自明な極限です。強結合の評価（$C_P=O(1)$）はこの形で、そのまま $\beta$ に一様に延びれば連続極限の反対側に落ちます（向きは既知、5-09・8-05 §09）。

試験関数も自己相関の測定（8-03 §06）も試しの状態も、出すのは $C_P$ の下界か $m$ の上界で、どれも H↓ の側に落ちます（1-10 §06 の「上からは一つ、下からはすべて」）。H↓ の側で届くのは $C_P$ の下界までで、隙間の下界（$\xi$ の上界）はこの側でも届きません。記録の言葉で「測定の側は上界の精密化で終わる」。有限個の測定から隙間の下界が出ないことは既知の枠組みの言い換えです（4-11 §04）。

H↓ は一つの $f$ で示せますが、どの $f$ でもよくはありません。四次元の格子の自由場（共分散 $G=(-\Delta_{\rm lat}+m^2)^{-1}$、$C_P=1/m^2$）で、一辺 $R$ の立方体 $B_R$ の上の場の和を試します。勾配は立方体の中で 1 なので $\mathcal E(f_R)=R^4$ です。

$R\ll\xi$ では $G(x)\approx1/(4\pi^2|x|^2)$ の和で $Q\propto R^2$、$R\gg\xi$ では $Q\to\sum_xG(x)=1/m^2$ です。$\xi$ は $m^2=2(\cosh(1/\xi)-1)$（転送行列の隙間、8-03 表 1 と同じ）で決めます。

計算この図の数値はこの端末で計算した（一重積分に直した値。周期格子 $56^4$ の和と相対 $10^{-6}$ 以下で一致）。

表 1　$R/\xi$ を止めたときの $Q/C_P$

$R/\xi$ を止めると $Q/C_P$ は $\xi$ に依らず揃い、$R=\xi$ で約 0.057 で、H↓ の定数 $c$ にはこれで足ります。逆に $R=8$ を止めて $\xi$ を 8 から 512 に伸ばすと、$Q$ は 3.75 から 4.62 で止まり、$Q/\xi^2$ は 0.059 から $1.8\times10^{-5}$ に落ちます 計算。試験関数は $\xi$ とともに広げなければなりません。

もう一つ、和を取るのが $\phi$ でなく $\phi^2$ や $(\nabla\phi)^2$ なら、どう広げても $\xi^2$ に届きません（8-05 §05）。ゲージ理論ではこの二つがぶつかり、ゲージ不変な局所観測量は次元 4 以上、素のリンク角はゲージ平均で相関が消え、ゲージ固定した長波長のモードは Gribov のコピーで一価性が壊れます。記録はこの三つの族（後の二つはコンパクト U(1) で試験）からは H↓ が出ないとし、偽とは言っていません（10-05）。

7-12 §05 の分解 $a^2C_P=(a^2/\sigma)(\sigma/m^2)(m^2/\lambda_1)$ の三つの因子が (iii)・(ii)・(i) の鎖です。鎖は「因子が上下から定数で押さえられる」ことで、上の半分と下の半分に分かれます。上の半分を三つ集めると H↑、下の半分で H↓ です。

H↑ 側の三つは、どれも「速さ・質量・張力が隣の尺度より小さくない」という下界です。緩和が遅すぎない、グルーボールが軽すぎない、閉じ込めが弱すぎない。質量ギャップの証明が下界の証明であることが、三つに分かれて現れます。Leanchain_band・sq_times_poincare_band（LatticeGaugeOneScale.lean。仮定：六つの帯の不等式。結論：$a^2C_P$ が正の帯に入る）は (9) の代数で、鎖そのものは仮定です。逆向きは出ません（因子の打ち消し、7-12 図 2）。

表 2　鎖の半分と、記録での状態

(ii) の ↑ 側の還元は Leanmass_sq_ge_of_tube（LatticeGaugeTubeEntropy.lean。仮定：転送作用素のノルム $t\le e^{-2\sqrt{c\sigma}}$、つまり $T(c,1)$ の帰結。結論：$m=-\ln t$ で $m^2\ge4c\sigma$）。$T(c,1)$ は強結合の主項 $m\approx4\sigma$ の領域では成り立たないと読めます（7-12 §08・10-06）。

記録は (4) の二つの因子に冪の形を置きます。鎖 (i) の破れを $C_P/\xi^2\propto\xi^{-\eta_{\rm dyn}}$、(ii)(iii) の破れを $a\xi\propto a^{\theta}$ とすると（$b$ を止めた模型で $\theta=\delta(b)/\ln b$、$\sum\delta\lt\infty$ なら $\theta=0$）、$\xi\propto a^{\theta-1}$ から

で、$0\le\eta_{\rm dyn}\le2$・$\theta\ge0$ なら $p=0\iff(\eta_{\rm dyn}=0\ \text{かつ}\ \theta=0)$ です Leandrain_exponent・drainExp_eq_zero_iff（LatticeGaugeSpectralHinge.lean。仮定：冪の形と符号の条件）。これが記録の「(S4) ⟺ $\sum\delta\lt\infty$ かつ $\eta=0$」の中身で、加法的で有界な段の誤差と一ループ核の模型も前提です（8-05 §07）。

冪が 0 でも（表 0′ の冪・$\xi_{\rm RG}$ の行）、帯の読み (3) には足りません。$\ln\xi$ の冪の因子は $p$ に映らず、帯を出るからです。一つは $\mathcal E$ の正規化で、リンクの角度で測ると場 $A=\sqrt\beta\,\vartheta$ で測るより $C_P$ が $1/\beta=g^2/4\sim1/\ln\xi$ 倍です（表 0 の (γ)・8-05 §03）。もう一つは記帳の次数で、(2) は一ループで数えますが、既知の走りには二ループの項があります（4-06 §05）。二ループの $f_2$（7-12 の式 (8)）の逆数を $\xi^{(2)}$ として 既知、

一ループの記帳を基準にすると、この差は段ごとに $1/\beta$ の大きさの取りこぼしとして入り、和は段数の対数で発散します（記録の $\delta(b)$ は $\beta$ に依らず、模型の外の差です）。

表 3　鎖 (iii) を一ループと二ループで見る（SU(2)。上段は Lucini–Teper 表 1 の $a\sqrt\sigma$、下段は (11) の勘定）

計算上段では $\beta=2.40\to2.60$ で一ループの列が $-12.9\,\%$、二ループの列が $-15.8\,\%$ 動き、どちらの記帳が正しいかは選べません（裸の結合の格子の補正、7-12 §07）。下段では $\xi_{\rm RG}$ が $10^{3}$ から $10^{117}$ に伸びる間に $\sigma\xi_{\rm RG}^2$ が 22 倍になり、冪は 0 でも (iii) の ↓ 側は一様な定数では成り立ちません。二ループの走りが四次元でも正しいなら 物理、帯の読みは記帳を二ループまで含めて述べるか、対数の因子を除いて述べるかを先に決める必要があり、正規化と同じ種類の未決の点です。この本が H を冪の水準に置くのはこのためです（表 0′）。

三つ目の対数 — 確率時間の繰り込み

三つ目は Langevin の時間そのものの尺度です。確率量子化（6-09 §07）を、確率時間を五つ目の座標に持つ場の理論として摂動論で繰り込むと、場と結合のほかに確率時間も乗法的に繰り込まれ（$t=Z_tt_r$）、その一ループの係数はゲージの径数に依りません 既知（繰り込み可能性の一般論は Zinn-Justin–Zwanziger 1988、係数は Baulieu–Zwanziger 2000 が 1980 年代の計算を引いて書く）。Lüscher–Schaefer（2011）は、Langevin で測る積分自己相関時間が物理の単位で $g_0^{9/11}$ の因子を伴うと書いています 物理。

記録はこの係数を正規化の言葉に移し、場の正規化で $C_P^{(A)}\propto\xi^2\beta^{13/22}$、リンクの角度で $C_P^{(\vartheta)}\propto\xi^2\beta^{-9/22}$（指数 $s=-9/22$、$\beta^{-9/22}\propto g_0^{9/11}$）と読みました。冪は Lüscher–Schaefer の因子と同じで、彼らも Baulieu–Zwanziger を引くので独立な確かめではありません。記録の計算は、五次元の Langevin の一ループの極を直接求め、確率時間の極 $13/6$ と結合の極 $-11/3$（単位 $Ng^2/(16\pi^2\varepsilon)$）をゲージの径数に依らずに出して、引用された係数と一致を見たところまでです 計算。$s$ の値の条件は、一ループの主対数であること、格子の主対数が次元正則化の主対数と一致すること、五次元の理論の乗法的な繰り込み可能性（Baulieu–Zwanziger §3 の言明）、そして H そのものです 物理。どちらの正規化の帯も一様な定数では閉じず、冪の水準の H は動きません（表 0′）。

H↑ は試験関数を何本積んでも出ません（§03）。記録は「本体の主張は手つかずの側にある」と書きます。

強結合の評価。Shen–Zhu–Zhu（arXiv 2022）は格子ヤン–ミルズの無限体積の測度で Poincaré・log-Sobolev 不等式と正の質量ギャップを示しました 既知。条件は SU(N) で $|\beta|\lt1/(16(d-1))$（彼らの規格化）の強結合の側で、一リンクの Bakry–Émery（5-11）と同じく $C_P=O(1)$ の形です。

尺度の一次元の鎖。記録は、尺度 $s=\ln\ell$ の一次元の鎖に射影できるという仮定 (P) の下で、二重み Hardy 不等式の定数の挟み込み $B\le C\le4B$（Muckenhoupt 1972）既知 を段の列に使い、$a^2C_P$ の有界性を $\sum\delta$ の有界性から出しました Leanconditional_scale_bound（LatticeGaugeHardyLadder.lean。仮定：(P)・非負で部分和が有界な取りこぼし・幾何級数の重み）。記録は (P) が H より弱くないと書きます。

障害：位相電荷。周期境界の箱では、HMC 型の力学で位相電荷の二乗の自己相関が 'an effective dynamical critical exponent of about 5 in pure gauge theory' で伸びます（Schaefer–Sommer–Virotta 2011）物理。HMC が Langevin と同じ普遍類にあるという予想（Lüscher–Schaefer 2011）と、可逆な連続時間の力学の $\tau_{{\rm int},f}\le C_P$（8-03 §06。有限の連鎖で Leantau_int_le、既知の再証明）を重ねると $C_P\gtrsim a^{-5}$ で、H↑ は周期境界では破れます（条件つき）。記録は H を無限体積か開いた境界で述べるべきとし、開いた境界は有限の箱でしか障壁を救わないと整理します（10-06）。

寄り道：スピン系の同じ問い

表 4　言明と状態（「仮定」は証明を持たずに置いたもの）

機械検査で閉じているのは、帯の代数・(ii) の ↑ 側の還元・(P) の下の有界性・有限の連鎖の $\tau_{\rm int}\le C_P$ で、どれも仮定を明示した有限の不等式です（一覧は 10-07、読み方は Lean の案内）。相互作用のある四次元の測度で $C_P$ を $\xi_{\rm RG}^2$ と比べる部分には、どちらの向きにも定理がありません（定理までの距離は 10-11）。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：10-04 方向の地図 — 閉じた方向と開いた方向の一覧。

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