2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 2 部 物理の準備作用原理と Noether

ラグランジアンと作用 — 運動は「道全体に付く一つの数」の停留点として書ける

ニュートンの運動方程式 $m\ddot q = F$ は、各時刻の加速度を決める局所的な規則です。この章では同じ運動を別の形で書きます。出発と到着を決め、その間の道全体に一つの数 $S$（作用）を与える。実際の運動は、道を少しずらしても $S$ が一次では変わらない道として選ばれる。これが作用原理（最小作用の原理とも）です。

利点は三つです。座標に依らない（§04）。対称性から保存則が自動的に出る（§06）。場の理論の言葉である：ヤン–ミルズ理論は $\operatorname{tr}F^2$ の積分という作用で定義され（3-03）、経路積分も作用を指数の肩に載せて道を足し合わせます（2-07）。

比喩で言えば、運動方程式は「一歩ずつの道案内」、作用原理は「地図で道全体を見比べる」見方です。正確には、保存力の系では両者は同じ方程式を与え（§04）、違うのは何が見やすいかだけです。

直線上の粒子の時刻 $t$ での位置を $q(t)$、速度を $\dot q = dq/dt$、質量を $m$、位置エネルギーを $V(q)$ とします。ラグランジアン $L$ は運動エネルギーから位置エネルギーを引いたもので、和であるエネルギーとは別の量です。それを道に沿って積分した数が作用です。

角括弧は、道を丸ごと入れて数を返す写像（汎関数）であることを示します。

例。$V = 0$、$m = 1$、端を $q(0) = 0$、$q(1) = 1$ とします。等速の道 $q = t$ では $S = 0.5$。同じ端を結ぶ回り道 $q = t + 0.3\sin\pi t$ では $S = \tfrac12\int_0^1 (1 + 0.3\pi\cos\pi t)^2\,dt = \tfrac12(1 + 0.09\pi^2/2) \approx 0.722$。回り道をすると作用が増えます。

関数の極値は、変数を少し動かしたときの一次の変化が 0 になる点でした。作用では道を動かします。端で 0 になる関数 $\eta(t)$ を取ると、$S(\varepsilon) = S[q + \varepsilon\eta]$ は実数 $\varepsilon$ の普通の関数です。作用原理は「端を固定したどの $\eta$ でも $S'(0) = 0$」という要求で、これを満たす道を停留点と呼びます。

刻めば、有限個の変数の関数になる

時間を $N$ 等分（刻み幅 $h$）して道を折れ線にし、積分を台形則で近似すると、作用は途中の位置 $q_1, \dots, q_{N-1}$ の多変数関数になります（端 $q_0$、$q_N$ は固定）。

作用原理は「勾配が 0」になり、それは $m\ddot q = -V'(q)$ の差分版です（§07 で再び使う）。

例：ばねの粒子

$V = \tfrac12 m\omega^2 q^2$、$m = 1$、時間の長さ $T = 1$、端を $q(0) = 1$、$q(1) = -1$ とします。運動方程式の解は $q_{\mathrm{cl}}(t) = \sin\bigl(\omega(\tfrac12 - t)\bigr)/\sin(\omega/2)$ です（cl は「古典的な道」）。ずらし $\eta_n = \sin n\pi t$（$n = 1, 2, 3$）に対して、作用は $\varepsilon$ の二次式になります。

一次の項が無いことが「停留」の中身です。二次の項は $\tfrac12\int(\dot\eta^2 - \omega^2\eta^2)\,dt$ から来ます。図 1 で $\varepsilon$ を動かすと、作用は放物線の上を動き、$\varepsilon = 0$ で傾きが 0 です。

計算曲線は上の公式をブラウザで描いたもので、公式はこの端末で数値積分と照合した（表 1）。点線は古典的な道、点は $N = 10$ で刻んだときの変数。

計算Simpson 則（20000 区間）の数値積分と公式の差は $4\times10^{-15}$ 以下。一次の係数も $5\times10^{-13}$ 以下。

§03 の条件を刻まずに計算します。$\varepsilon$ で微分し、第二項を部分積分します（端で $\eta = 0$ なので境界の項は消える）。

これがどの $\eta$ でも 0 なら、括弧は各時刻で 0 です（括弧は連続なので、どこかで正ならその近くでも正で、その近くだけで正の $\eta$ を取れば積分が正になる。変分法の基本補題）。こうして Euler–Lagrange 方程式が出ます。自由度が複数なら成分ごとに一本です。

例。$L = \tfrac12 m\dot q^2 - V(q)$ なら $m\ddot q = -V'(q)$。保存力のニュートン方程式そのものです。

座標を選ばない

この導き方は $q$ が何を表すかを使っていません。角度でもよく（一般化座標）、同じ形の方程式が成り立ちます 既知。同じ道には座標によらず同じ作用が付くからです（1-05）。振り子を角度 $\theta$ で書くと $L = \tfrac12 ml^2\dot\theta^2 + mgl\cos\theta$ から $ml^2\ddot\theta = -mgl\sin\theta$。張力は現れません。

$L$ に $dG(q,t)/dt$ を足しても方程式は変わりません（作用は端の値だけで決まる量しか変わらない）既知。ヤン–ミルズ理論の θ 項はこれの四次元版で、時間での全微分の代わりに四次元の発散（全発散）の形をしています。正確には、θ 項は古典的な方程式を変えませんが、場の位相を通じて量子論では効きます（3-05）。

作用原理が求めるのは一次の変化が 0 であることだけで、最小かどうかは二次の項で決まります。§03 の例では係数 $((n\pi)^2 - \omega^2)/4$ の符号です。$\omega T \lt \pi$ ならどの $n$ でも正で、一般の $\eta$ も正弦級数に展開すれば各 $n$ の和に分かれるので、古典的な道は本当に最小です（作用が二次式のため）。

$\omega T$ が $\pi$ を越えると $n = 1$ の係数が負になり、その向きには作用が減る（鞍点）。図 1 で $\omega T/\pi$ を 1 の左右に動かすと、$n = 1$ の放物線が裏返ります。$\omega T = \pi$ ちょうどでは、$n = 1$ の向きに動かしても作用が変わらず（$n \ge 2$ の向きでは増える）、同じ端を結ぶ解が一族 $\cos\pi t + c\sin\pi t$ になります。一般に、時刻 0 の同じ点から出た近くの解の族が再び一点に集まる時刻を、0 の共役点と呼びます 既知。この例の共役点は $t = \pi/\omega, 2\pi/\omega, \dots$ で、$\omega T = \pi$ は終わりの時刻がちょうど最初の共役点に来た場合です。

二次の項は行列の固有値の問題

刻むと、二次の項はヘッセ行列 $H_{jk} = \partial^2 S_N/\partial q_j\partial q_k$ です。実対称なので対角化でき（1-01）、極小とは固有値がすべて正であること。負の固有値の個数は作用を減らせる向きの数で、Morse 指数と呼びます（ここでは刻んだ行列についての呼び名）。調和振動子の $H$ は三重対角（対角 $2m/h - m\omega^2 h$、両隣 $-m/h$）で、$h$ で割った固有値は $m((n\pi/T)^2 - \omega^2)$ に近づき、負のものは $\lfloor\omega T/\pi\rfloor$ 個です。

計算numpy の eigvalsh で全固有値を求めた。$N = 20$ でも個数は同じで、最小固有値の差は約 0.02。

刻まない場合も、この例で作用を減らせる向きは $\sin n\pi t$ のうち $n\pi \lt \omega T$ のもので、その数は $(0, T)$ にある共役点 $k\pi/\omega$ の数に等しくなります。これは Morse の指数定理（二次の項の負の向きの数は、$(0, T)$ にある共役点の数に重複を込めて等しい）の一例です 既知。

この見方は 1-10 で無限次元に広げます。ここでの最小固有値（作用の二次の項）と、4-11 の質量ギャップ（ハミルトニアンのスペクトルの隙間）は別物です。

$L$ が座標 $q$ を含まなければ、(EL) は $p = \partial L/\partial\dot q$（共役な運動量）の保存を言います。中心力を極座標で書いた $L = \tfrac12 m(\dot r^2 + r^2\dot\varphi^2) - V(r)$ は $\varphi$ を含まず、角運動量 $mr^2\dot\varphi$ が保存します。これを座標から切り離したのが Noether の定理です。

実数 $s$ で連続に番号付けされ $s = 0$ で恒等写像になる変換 $q \mapsto \Phi_s(q)$（平行移動や角 $s$ の回転）の、動く向きを $K(q) = \frac{d}{ds}\Phi_s(q)\big|_{s=0}$ とします。Noether の定理：どの道でも $L\bigl(\Phi_s(q), \tfrac{d}{dt}\Phi_s(q)\bigr) = L(q, \dot q)$ なら、運動に沿って次の $Q$ は一定です 既知。

証明。仮定を $s = 0$ で微分すると $\sum_i (\partial L/\partial q_i) K_i + \sum_i (\partial L/\partial\dot q_i)\,\dot K_i = 0$。(EL) で $\partial L/\partial q_i$ を $\frac{d}{dt}(\partial L/\partial\dot q_i)$ に置き換えると、左辺は積の微分 $dQ/dt$ です。∎

三行目は直接微分して $dE/dt = -\partial L/\partial t$ から出ます（$E = \tfrac12 m\dot q^2 + V$）。

図で確かめる：対称性を壊すと保存量が消える

平面の粒子（$m = 1$）に、極座標で $V = \tfrac12 r^2 + \tfrac14 r^4(1 + \delta\cos 4\theta)$ を与えます。$\delta = 0$ なら回転対称で $L_z$ が保存します。$\delta \gt 0$ では $V$ を変えない回転が 90° の倍数だけになり、対称性は飛び飛びに落ちます。定理が使う無限に小さい変換が無いので定理は何も言わず、実際 $L_z$ は保存しません。$V$ は時間によらないので $E$ は保存します。

計算初期値は位置 $(1, 0)$、速度 $(0, 0.9)$。軌道は速度 Verlet 法（$h = 0.01$）でブラウザが計算し、同じ手順をこの端末で回した値が表 3（1.4e−14 は $1.4\times10^{-14}$）。右の帯二つは縦の目盛りが同じ。

$\delta = 0.3$ と $0.5$ では $L_z$ の符号まで変わり、粒子は途中で回る向きを逆にします。$E$ のずれは $10^{-5}$ 程度で、図では平らに見えます。

§06 の $s$ は定数でした（大域的な対称性）。時刻ごとに違う $s(t)$ で変換しても作用が変わらないのが局所的な対称性で、ゲージ理論の中心です（3-01）。変数が $x(t)$、$\lambda(t)$ の二つの玩具で見ます。

どんな $s(t)$ でも $\dot x - \lambda$ は変わりません。$\lambda$ は時間微分なしで現れるので、その方程式は拘束になります。

二本目は一本目の微分で、独立なのは一本だけ。$x$ は方程式が決めない任意の関数として残ります。Noether（1918）の第二定理は、任意関数を含む変換で作用が変わらないとき、Lagrange の方程式のいくつかが残りから従うことを述べています 既知。正確には、Lagrange の方程式の左辺とその微分の間に、任意関数の個数だけ恒等式が成り立ちます。この玩具では任意関数は $s(t)$ の一つで、恒等式も「$(x)$ の左辺は $(\lambda)$ の左辺の時間微分」の一つです。定数の $s$ から (N) で作る $Q = m(\dot x - \lambda)$ は、保存どころか 0 に拘束されています。

電磁気学では、$\lambda$ と同じ役をスカラーポテンシャル $\phi$ が、$x$ と同じ役をベクトルポテンシャル $\mathbf A$ がし、$\lambda$ の方程式と同じ役をするのが Gauss の法則です（2-03・4-01）。正確には、電磁気学では $s(t)$ が各点の関数 $\chi(t,\mathbf x)$ になり、$\mathbf A$ は $\nabla\chi$ だけ、$\phi$ は $-\partial\chi/\partial t$ だけずれます（2-03 の (G)。$\phi$ のずれの符号は玩具の $\lambda$ と逆）。方程式が決めない自由度は書き方の重複で、その扱いはヤン–ミルズ理論の量子化の大きな問題の一つです（4-08）。

玩具そのものには物理的な中身はありません（解は $\lambda = \dot x$ だけで、$x$ は任意）。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：2-02 場という考え（$q_i$ を場 $\phi(x)$ に置き換え、自由度が無限個になる）。

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