2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 1 部 数学の準備無限次元の確率

無限次元の確率 — 一様な重さは無く、ガウス測度から始める

1-08 の格子の確率は、変数が有限個なので「密度 × 体積要素」で書けました。格子を細かくし箱を大きくすると、変数は無限個になります。物理の本は、質量 $m$ の自由なスカラー場（ユークリッド化したもの、4-02）の確率をこう書きます。

右辺の二つの因子は、どちらも単独では意味を持ちません。$\prod_xd\varphi(x)$ にあたる測度は存在せず（§02）、指数の中の積分は見本のほとんどすべてで $+\infty$ です（§05・§06）。それでも積としての $\mu$ はガウス測度として作れます（§04）。問題文も、構成的場の理論が生んだ測度を 'non-Gaussian, Euclidean-invariant measures on spaces of generalized functionals' と書きます 既知。超関数（§07）の空間の上の、ガウスでなく、回転と平行移動で変わらない測度、という意味です。この章が扱うのは、その出発点になるガウスの場合です。例：$d=1$ で区間を $N$ 等分すると、(1) は 1-08 §07 の $N$ 変数のガウス分布で、$N\to\infty$ の行き先がこの章の主題です。

長さ・面積（ルベーグ測度）は、平行移動で変わらず、有界な集合に有限の重さを配ります。無限次元ではこの二つが両立しません。二乗和が有限な数列の空間 $\ell^2=\{x=(x_1,x_2,\dots):\sum_kx_k^2\lt\infty\}$、長さ $\|x\|=(\sum_kx_k^2)^{1/2}$、第 $n$ 成分だけが 1 の数列 $e_n$ で述べます。

定理 既知 $\ell^2$ の上の測度が平行移動で変わらず、どの開球にも有限の重さを配るなら、それは 0 である。

証明。$n\ne m$ なら $\|e_n-e_m\|=\sqrt2\gt1$ なので、球 $B(e_n,\frac12)$ は互いに交わらず、どれも $B(0,\frac32)$ に入ります。

左辺の各項は平行移動で同じ値 $c$ なので $c=0$ です。$\ell^2$ は、有理数を成分とし有限個を除いて 0 の数列を中心とする可算個の半径 $\frac12$ の球で覆えるので、全体の重さも 0 です。∎ $\mathbb R^n$ なら球は $3^n$ 個（体積の比）までしか入らず、矛盾しません。

$\mathbb R^n$ の標準ガウス $N(0,I_n)$（1-08 (8)）の密度は原点で最大ですが、重さの大半は遠くの薄い殻にあります。$|x|^2=\sum_{k\le n}x_k^2$ は独立な $n$ 個の和なので、大数の法則（1-08 (12)）から $|x|^2/n\to1$ です。

$n=10,\ 100,\ 1000$ で $E|x|/\sqrt n=0.975,\ 0.9975,\ 0.99975$、$|x|$ の標準偏差は $0.698,\ 0.706,\ 0.707$ で、殻の厚さは $n$ によらず $1/\sqrt2$ に落ち着きます 計算。分散 1 のまま $n\to\infty$ とすると $|x|\to\infty$ で、極限は $\ell^2$ にありません。そこで分散 $\sigma_k^2$ を減らします。独立な $N(0,1)$ の列 $\xi_1,\xi_2,\dots$ で

とすると、右辺の和が有限なことが、$x$ が $\ell^2$ に値を取るガウスの確率変数になる必要十分条件です（Hairer 演習 4.7）既知。例：$\sigma_k=1/k$ なら $E\|x\|^2=\pi^2/6$。分散 1 の列も、すべての数列の空間 $\mathbb R^\infty$ の上になら作れます。使うのは Kolmogorov の拡張定理（有限個ずつの分布が矛盾なく与えられていれば、無限個の列の分布が一つに決まる、という定理。Durrett 定理 2.1.21）既知で、これが §07 の白色雑音の芽です。

密度が使えないので、ガウス測度は「影」で定義します。空間 $E$（$\ell^2$ や連続関数の空間）の上の確率測度 $\mu$ がガウス測度であるとは、連続な線形写像 $\ell:E\to\mathbb R$ のどれについても $\ell(x)$ が一次元のガウス分布に従うことです（Hairer 定義 4.4）既知。平均 0 なら、共分散 $C(\ell,\ell')=E[\ell(x)\ell'(x)]$ が $\mu$ を決めます（1-08 (8) の形）。

$\ell^2$ の上では $C(\ell,\ell')=\langle\ell,C\ell'\rangle$ と共分散作用素 $C$ で書け、(4) なら $Ce_k=\sigma_k^2e_k$ です。対称で正の $C$ のトレース（固有値の和）が有限なら、それを共分散とするガウス測度があります（Hairer 命題 4.17）既知。例：$\ell(x)=\sum_ka_kx_k$ は分散 $\sum_ka_k^2\sigma_k^2$ のガウスです。問題文は自由場を、超関数の空間 $\mathcal S'(\mathbb R^d)$ の上の、平均 0・共分散 $(-\Delta+m_0^2)^{-1}$ のガウス測度として与えます 既知。(1) の二つの因子は、共分散という一つの情報に置き換わりました。

二つの確率測度が同値であるとは、零集合（重さ 0 の集合）が同じことです。反対に、一方で確率 1 の集合が他方で確率 0 になるとき、二つは互いに特異であるといいます。有限次元のガウス測度は、ずらすと密度が掛かります（一次元なら $N(h,1)$ は $N(0,1)$ の $e^{hx-h^2/2}$ 倍）。一般に、すべての集合 $A$ で $\mu_h(A)=\int_AD(x)\,d\mu(x)$ となる関数 $D$ を相対密度と呼び、$d\mu_h/d\mu$ と書きます。(4) の最初の $n$ 座標で $\mu$ を $h$ だけずらした $\mu_h$ では次です。

$\|h\|_H$ は「ずれを、その方向の揺れで測った長さ」です。二つを見分けられる度合い（全変動距離）は $C^{-1}h$ の方向の一次元の問題に帰着し、厳密に次の式になります（$\Phi$ は 1-08 (13)）。

(7) は数値積分と 40 次元の標本で確かめました 計算。$n\to\infty$ で $\|h\|_H$ が有界なら $d_{\mathrm{TV}}\lt1$、発散すれば $d_{\mathrm{TV}}\to1$ で、後者では二つの測度は互いに特異になります。

Cameron–Martin の定理 既知 $\mu_h$ が $\mu$ と同値なのは $\|h\|_H\lt\infty$ のときに限り、そうでなければ互いに特異である（Hairer 定理 4.44 とその証明。原論文は Cameron–Martin 1944）。この $h$ の全体 $H$ が Cameron–Martin 空間です。ところが (4) の見本では $\|x\|_H^2=\sum_k\xi_k^2=+\infty$（大数の法則）で、無限次元なら $\mu(H)=0$ です（Hairer 命題 4.45）既知。ずらしてよい方向の全体 $H$ には、見本が確率 1 で入りません。

計算図1 と表1 の数値はこの端末で計算した（図は (7) と部分和からその場で描き、表と 4 桁で一致）。JavaScript が無効なら表1 で読める。

境目の $a=3/2$ では $\|h\|_H^2\approx\ln n+0.577$ と対数でしか伸びず、$n=10^{20}$ でも $d_{\mathrm{TV}}=0.9994$ です 計算。

$[0,1]$ の上の連続関数に値を取り、平均 0・共分散 $E[B(s)B(t)]=\min(s,t)$ のガウス測度がウィーナー測度、その見本 $B$ がブラウン運動です（Wiener 1923 に始まるとされる）既知。経路は指数 $1/2$ 未満のヘルダー連続性を持ち（$\gamma\lt1/2$ なら、経路ごとの定数 $C$ で、すべての $s,t$ について $|B(t)-B(s)|\le C|t-s|^\gamma$）、確率 1 でどの点でも微分できません（Durrett 定理 7.1.5・7.1.6）既知。Durrett は前者を Wiener 1923 の結果として、後者を Paley–Wiener–Zygmund 1933 の発見として挙げています。

(4) の形にするには、共分散作用素 $(Cf)(s)=\int_0^1\min(s,t)f(t)\,dt$ の固有関数を探します。$g=Cf$ は $g''=-f$、$g(0)=0$、$g'(1)=0$ を満たすので、固有値の問題は常微分方程式 $-g''=\lambda^{-1}g$ になり、$\cos\omega=0$ から次が出ます。

$\sigma_k=1/\omega_k\approx1/(\pi k)$ は §05 の例と同じ減り方で、4000 項の共分散は $\min(s,t)$ と $5.1\times10^{-5}$ 以内で合います 計算。Cameron–Martin 空間は $h(0)=0$、$\|h\|_H^2=\int_0^1\dot h^2\,dt\lt\infty$ の関数の全体で（Hairer 演習 4.29）既知、この $\|h\|_H^2$ が (1) の $d=1$、$m=0$ の指数の中身です。$K$ 項の部分和 $S_K$ では $\int_0^1\dot S_K^2\,dt=\sum_{k\le K}\xi_k^2\approx K$ で、図2 の経路は落ち着くのに、この「エネルギー」は伸び続けます。

計算図2 の数値はこの端末で計算した（固定した 128 個の乱数 $\xi_k$ の部分和）。$K=1,16,64,128$ で $\sum\xi_k^2=2.13,\ 13.4,\ 56.5,\ 132.8$、$\max_t|S_K-S_{128}|=0.589,\ 0.202,\ 0.090,\ 0$。JavaScript が無効ならこの数値と表2 で読める。

格子で見る — 二次変分

格子に切っても同じことが見えます。$N$ 等分した増分の二乗和（二次変分）は 1 に近づき（Durrett 演習 7.1.6）既知、滑らかな関数では 0 に近づくので、離散化したエネルギー $\sum(\Delta B)^2/\Delta t$ は $N$ に比例して発散します（表2）。経路積分（2-07）の $e^{-\frac12\int\dot x^2dt}\prod_tdx(t)$ は、この測度を形式的に書いたものです。正確には、指数も $\prod_tdx(t)$ も単独では意味を持たず（§01）、組としてウィーナー測度を指します。

形式的な微分 $\xi=\dot B$ が白色雑音です。点ごとの値が無い（図2 の下段）ので、関数と組にして定義します。白色雑音とは、二乗積分が有限な関数 $f\in L^2[0,1]$ ごとのガウスの確率変数 $\xi(f)$ で、$f$ について線形で次を満たすものです（Hairer 例 4.63）既知。

例：$\mathbf 1_{[0,t]}$ を $[0,t]$ の上で 1、外で 0 の関数とすると、$\xi(\mathbf 1_{[0,s]})$ と $\xi(\mathbf 1_{[0,t]})$ の共分散は $\int_0^1\mathbf 1_{[0,s]}(u)\,\mathbf 1_{[0,t]}(u)\,du=\min(s,t)$ で、これはブラウン運動です（Hairer 演習 4.64）。幅 $\varepsilon$ の区間の平均 $\xi(\mathbf 1_{[t,t+\varepsilon]})/\varepsilon$ の分散は $1/\varepsilon$、$d$ 次元の一辺 $\varepsilon$ の箱なら $\varepsilon^{-d}$ で、点に縮めると発散します。

白色雑音は共分散が恒等写像（すべての $\sigma_k=1$）のガウスで、§03 の通り $L^2$ に入りません。どれだけ入り損ねるかを次元ごとに測るため、ここから舞台を $[0,1]$ から $d$ 次元のトーラス $\mathbb T^d=[0,2\pi)^d$（向かい合う端をつないだ箱）に移します（(9) の積分は $\mathbb T^d$ の上の積分に替える）。$\mathbb T^d$ の上の関数を $f(x)=\sum_{k\in\mathbb Z^d}c_k\,e^{ik\cdot x}$ と書き、$c_k$ をフーリエ係数と呼びます。$-\Delta=-\sum_i\partial_i^2$ は $e^{ik\cdot x}$ に $|k|^2$ を掛けるので、係数では $c_k$ を $|k|^2c_k$ にする操作です。白色雑音のフーリエ係数は、$c_{-k}=\overline{c_k}$ で結ばれる組を除いて独立で、$E|c_k|^2$ はどれも同じ定数です。

形式的な級数 $\sum_kc_ke^{ik\cdot x}$ に長さ $\big(\sum_k(1+|k|^2)^{-s}|c_k|^2\big)^{1/2}$ を与えた空間を $H^{-s}$ とします（$s$ が大きいほど高い周波数を軽く数える）。白色雑音ではこの長さの二乗の平均が $\sum_k(1+|k|^2)^{-s}$ の定数倍で、半径 $R$ の殻に $R^{d-1}$ 程度の $k$ があるので、有限なのは $s\gt d/2$ のときです。実際、そのときに限り白色雑音は $H^{-s}$ に実現できます（Hairer 演習 4.65）既知。関数と組にして初めて値が出るものが超関数で、一般論は 1-11、白色雑音で場を揺らす確率量子化は 6-09 です。

トーラスの上で考えた (1) の自由場は、白色雑音のフーリエ係数 $c_k$ を $(|k|^2+m^2)^{-1/2}$ 倍してならしたものです。この操作を $(-\Delta+m^2)^{-1/2}$ と書くと、共分散は $(-\Delta+m^2)^{-1}$（§04 の問題文の形）で、係数の分散は $1/(|k|^2+m^2)$ に比例します。§07 の勘定で $H^{-s}$ に入る条件は $s\gt d/2-1$ になり、白色雑音より一階分なめらかですが、$d\ge2$ では関数になりません。有界な領域の自由場は、$d=1$ なら $L^2$ の見本として作れ、$d=2$ では作れません（Sheffield 命題 2.7 の後の注意）既知。

格子間隔 $a$ の格子 $a\mathbb Z^d$ では、$-\Delta$ を差分に替えます。1-08 (10) の $(\Delta x)_j=x_{j+1}-2x_j+x_{j-1}$ を座標の向きごとに足し、$a^2$ で割ったものです。$e^{ik\cdot x}$ はこの差分ラプラシアンの固有関数で、$e^{ik_ia}-2+e^{-ik_ia}=-4\sin^2\frac{k_ia}2$ から、固有値は $-\sum_i\frac4{a^2}\sin^2\frac{k_ia}2$ です。したがって一点の分散は次の積分です（$k$ は格子で区別できる範囲の箱を動く）。

$a\to0$ では大きい $|k|$ の寄与がおよそ $\int^{1/a}k^{d-3}\,dk$ で、$d\ge2$ で発散します。点の値の代わりに、標準偏差 $\ell$ のガウス核 $\rho_\ell(x)=(2\pi\ell^2)^{-d/2}e^{-|x|^2/(2\ell^2)}$ と組にした値 $\varphi(\rho_\ell)$（形式的には $\int\varphi(x)\rho_\ell(x)\,dx$、ならした値）を見ると、その分散は

です（格子では $k$ を (10) と同じ箱に制限し、分母を (10) のものに替える）。因子 $e^{-\ell^2|k|^2}$ が大きい $|k|$ を抑えるので、どの $d$ でも有限です。

(10) は $d=1$ の厳密な値、$d=2,3$ の格子の直接の和と照合済みです。$d=1$ は $1/(2m)$ に収束し、$d=2$ は $\frac1{2\pi}\ln\frac1a$ との差が 0.276 に落ち着き、$d=3$ では $a\,G_a(0)$ が 0.253 前後に近づき（$a=1/64$ で 0.2515）、$d=4$ では $a^2G_a(0)$ が 0.155 に近づきます 計算。この二つの行き先は $\mathbb Z^3$・$\mathbb Z^4$ の格子のグリーン関数の原点での値で、別の一次元積分から 0.2527・0.1549 と出ます（$d=3$ は Watson の積分の半分）計算。ならした値の分散はどの $d$ でも有限に収束し、$a=1/32$ で極限と小数第 3 位まで合います。場の値は「点では無限、ならせば有限」です。境目が 2 のこの量を、四で切り替わる量と並べた図は 1-12 §10 の次元のつまみです。

計算図3 と表3 の数値はこの端末で計算した（$a=2^{-p}$、$p=1,\dots,6$ の値を表として図に埋めてある。表3 はそれに $a=1$ の行と増え方の行を足したもの）。JavaScript が無効なら表3 で読める。

§08 の通り、$d\ge2$ では $\varphi(x)^2$ の平均が無限大です。そのため $\varphi^4$ のような項には引き算の手当て（繰り込み、4-04・6-03）が要り、超関数どうしの積は一般に定義できません（1-11）。四次元のヤン–ミルズ場 $A$ は、短い距離では四次元の自由場と同じ荒さを持つと期待されています（漸近自由、4-06）物理。正確には、短い距離での相関関数が、対数の補正を除いて自由場のものに近づく、という期待です。問題文は漸近自由を 'at short distances the field displays quantum behavior very similar to its classical behavior' と説明し（§1）、構成すべき理論の相関関数が 'should agree at short distances with the predictions of asymptotic freedom' ことを求めています（§4）既知。場の強さ $F=dA+A\wedge A$（1-07）の $A\wedge A$ は、そういう超関数どうしの積です（6-10）。

この章が言えている範囲

出典と再現

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