2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 4 部 量子化相殺項・繰り込み群

発散と繰り込み — 無限大を、測った量で書き直す

摂動論の図（4-03）にループがあると、外から決まらない運動量 $k$ の積分が残ります。大きい $|k|$ は短い距離の揺らぎで、四次元ではその数が多すぎて収束しません。$|k|\lt\Lambda$ で切り（$\Lambda$ は切断）、増え方を見ます。

$T$ は伝播関数一本を閉じた図、$I$ は二本で閉じた図（泡）です（$d^4k=2\pi^2k^3dk$）。体積 $k^3dk$ に伝播関数ごとの $k^{-2}$ を掛けると、$T$ は $k\,dk$（二次の発散）、$I$ は $k^{-1}dk$（対数発散）です。位置の側では $G(x)^2\sim|x|^{-4}$ が原点で積分できないことに当たります（1-11）。

例。$m=1$ で $\Lambda=10,10^3,10^6$ とすると、$16\pi^2T$ は 95.4・$1.0\times10^6$・$1.0\times10^{12}$、$16\pi^2I$ は 3.625・12.816・26.631 です。$\Lambda$ を 10 倍するごとに $T$ は約 100 倍、$16\pi^2I$ は $2\ln10=4.605$ ずつ増えます 計算。

人工の尺度を入れて有限にすることを正則化と呼びます。正則化は足場で、$\Lambda\to\infty$（格子なら $a\to0$）で答えが足場に依らないことが目標です。表 1 の四つは、どれも何かを失います。

次元正則化（Bollini–Giambiagi 1972・'t Hooft–Veltman 1972）はヤン–ミルズを含む摂動論の標準の道具です。一方、表 1 で反射正値性を保つのは格子の行だけです。反射正値性は、ユークリッドの相関関数から量子力学のヒルベルト空間（状態の空間）を組み立てるのに要る性質です（4-10）。問題文は、正則化で失った反射正値性を取り戻す方法は少ないと書き、例に次元正則化と Pauli–Villars を挙げます（§6.5。引用は 0-03 §03）。一度失うと取り戻しにくい性質を最初から保てることが、構成の側で格子が選ばれる理由の一つです。

$\hbar=c=1$ では量の次元 $[\,\cdot\,]$ は質量の冪です（長さは $-1$）。作用は無次元、$d^dx$ は $-d$、微分は $+1$ なので、場と結合の次元が決まります。

四次元では $u$ も $g^2$ も無次元です。これが「四次元は周辺」の意味です（0-03・1-12。次元の勘定の導き方は 2-04 §08 の (10)）。ループ $L$ 個・内線 $I$ 本の図の運動量の冪は $\omega=dL-2I$（微分を運ぶ頂点の数を足す）で、$\omega\ge0$ なら表面的に発散します。$\phi^4$ の頂点 $n$ 個・外線 $E$ 本なら $4n=2I+E$、$L=I-n+1$ から

です（$V_3,V_4$ はヤン–ミルズの三点・四点の頂点の数、外線はグルーオン）。四次元では $\omega_{\mathrm{YM}}=4-E$。結合の次元が次数の係数に出るので三通りに分かれます 既知。正なら次数とともに $\omega$ が下がり、発散する図は有限個（超繰り込み可能）。0 なら発散する型（$E$ の値）は有限個だが全次数に現れる（繰り込み可能）。負なら型が際限なく増える（繰り込み不可能）。

二次元の型は $T$ と同じ形で、Wick の順序づけで除けます（6-03。三次元のヤン–ミルズは 6-06）。「表面的」と断るのは、$\omega\lt0$ でも内側に $\omega\ge0$ の部分図があれば発散するからです。部分図まで含めた冪の条件で収束を言うのが Weinberg 1960 の定理で、部分図を順に引く方法は 4-05 で扱います。

四次元の $\phi^4$ で手順を一ループでたどります。作用の係数 $m_0,u_0$ を裸の質量・結合と呼びます（切断の下の係数で、直接は測れない）。四点の強さ $\Gamma^4$（4-03 の図の記号 $\Gamma$ とは別。外線の伝播関数を外し、線一本を切っても二つに分かれない図だけを足した四点関数。木の水準で $u_0$）は、泡を一つ挟んだ分ずれます。

三項は外線を二本ずつに分ける三通り、$\tfrac12$ は対称因子です（6-08 と同じ数え方）。運動量 $P$ の流れ込む泡は、$\frac{1}{AB}=\int_0^1\frac{dx}{[xA+(1-x)B]^2}$（Feynman のパラメタ）と変数のずらしで式 (1) の $I$ に帰着します。

ずらした変数で切った値と元の $k$ で切った値の差は $\Lambda\to\infty$ で 0 です（$P=m$、$\Lambda=10^3m$ で、$16\pi^2$ 倍で $3\times10^{-7}$）計算。そこで、測る量で結合を定義し直します。三つの $|P_j|$ がすべて $\mu$ の配置で測った $\Gamma^4$ を、尺度 $\mu$ の繰り込まれた結合 $u_R(\mu)$ とします。

$\delta u\approx\frac{3u_R^2}{32\pi^2}\ln\frac{\Lambda^2}{\mu^2}$ は発散します。これを式 (4) に戻すと、発散が差の形に閉じ込められます。

右辺に $\Lambda$ は残りません。予言を測った結合で書けば有限、というのが繰り込みの中身で、無限大は測れない $u_0$ に押し込まれます。質量の発散（$T$）は $m_0$ に、二ループからは場の規格化 $Z$ にも押し込み、四次元の $\phi^4$ ではこの三つで全次数が足ります。これが「繰り込み可能」の実際の意味です 既知。

計算この図の数値はこの端末で計算した（式 (5)(7) を python3 で数値積分。図は同じ式をその場で Simpson 則で積分し 4 桁で一致）。静止した値（$16\pi^2$ 倍、$\mu=10m$）：$P=1000m$ の差は $\Lambda=10^2m$ で −5.477、$10^4m$ で −9.096、$10^8m$ で −9.099（極限 −9.099）。同じ $\Lambda$ で裸の $B(100m)$ は 1.289・10.208・28.629 と伸び続ける。

基準の尺度 $\mu$ は勝手に選べます。$u_0,\Lambda$ を止めて $\mu$ を動かしたときの $u_R$ の変わり方が β 関数です。

$\Lambda$ は微分で消えます。式 (5) を数値で微分すると係数は $\mu=10m$ で 0.01728、$10^3m$ で 0.018997 と $3/16\pi^2=0.018998$ に近づきます 計算。一ループで積分すると

で、短い距離ほど結合が強まります。$u_R(\mu_0)=1$ なら $\mu/\mu_0=10^{10}$ で 1.78、$10^{22.86}$ で分母が 0 です（Landau 極。6-08）計算物理。ヤン–ミルズは符号が逆です（4-06）。

例。量子電磁気学の一ループでは、電荷 1 のディラック粒子（荷電レプトン）ごとに $d(1/\alpha)/d\ln\mu=-2/3\pi$。$1/\alpha=137.036$ から $M_Z=91.188$ GeV まで電子・μ・τ で延ばすと 132.20 です（一ループの対数の主要部だけ）計算。PDG 2024 の値は $\hat\alpha^{(5)}(M_Z)^{-1}=127.930$ です。$\overline{\mathrm{MS}}$ は、切断の代わりに次元正則化の極だけを引く方式です（4-05）。上付きの (5) は、トップを除く五種のクォークを入れた値であることを表します。132.20 との差はクォークと方式の定数の分です（3-07）。

関数全体でも言えます。裸の量で書いた $n$ 点関数は $\mu$ を知らず、繰り込んだ $\Gamma^{(n)}_R$ は場の規格化 $Z$ の分だけ違うので

です（$\gamma$ は異常次元。$\phi^4$ では二ループから）。質量が効かない所では、運動量を $s$ 倍しながら結合も一緒に動かすと、式 (10) の左辺が $s$ についての一つの常微分に揃います（特性曲線の方法）。$\gamma$ を無視すれば $\Gamma^4(sP;u,\mu)=\Gamma^4(P;\bar u(s),\mu)$（$s\,d\bar u/ds=\beta(\bar u)$、$\bar u(1)=u$）。運動量を $s$ 倍して見ることは、結合を尺度 $s\mu$ の値に替えることです 既知。Gell-Mann–Low 1954 は電子の有効電荷 $e(\mu)$ を尺度の関数として定義しました（講義録 D. Tong, Statistical Field Theory §3.5.3）。繰り込みの変換が群をなすことには Stueckelberg–Petermann 1953 が注目していたとされます。質量を動かす形の方程式は Callan 1970・Symanzik 1970 によるもので（Callan–Symanzik 方程式）、教科書では式 (10) の形もこの名で呼ばれます。どれも摂動の各次数の言明です。

$\Lambda$ を本物の最小の尺度とみなし、$\Lambda/b\lt|k|\lt\Lambda$ の揺らぎだけを積分して長さを $b$ 倍に測り直すと、作用の係数がすべて少し動きます。これを繰り返すのが Wilson 1971 の繰り込み群で、Kadanoff のブロック化の考え（2-08）を運動量の殻ごとの積分として実装したものです（格子の上の厳密な版は 6-05）。比喩で言えば写真の解像度を一段ずつ落とす操作です。正確には、有効作用の係数の列が段ごとの写像で移る力学系です。

次元 $\Delta_{\mathcal O}$ の局所的な項の係数は次元 $d-\Delta_{\mathcal O}$ を持ち、無次元にした係数は長い距離へ一段ごとに $b^{\,d-\Delta_{\mathcal O}}$ 倍されます。講義録（§3.2.2）は 'Relevant if Δ_O < d'・'Irrelevant if Δ_O > d'・'Marginal if Δ_O = d' と分けます 既知。無関係な項はエネルギー $E$ で $(E/\Lambda)^{\Delta_{\mathcal O}-d}$ 程度に薄まり、長い距離には関係する項と周辺の項だけが残ります。四次元の $\mathrm{tr}F^2$（$\Delta=4$）は周辺、$\mathrm{tr}F^4$（$\Delta=8$）は無関係です（3-01 の問い）。格子の作用の細部によらず同じ連続極限になるという期待（普遍性。8-04）もここから来ます 物理。

周辺の結合の向きは量子の補正が決めます。講義録は 'most couplings which naively appear marginal will end up becoming either marginally relevant or marginally irrelevant due to such corrections' と書き、関係する側に回る例に 'the Kondo effect and non-Abelian gauge theories' を挙げます（§3.4）。$\phi^4_4$ は長い距離で弱まる側、ヤン–ミルズは強まる側です。長い距離へ向かう $t=\ln(\ell/\ell_0)$ と無次元の $\hat u=u\,\ell^{\,4-d}$ で、$d$ を実数に延ばして書くと

です（講義録 §3.5 の式を $u/4!$ の規格化に直したもの。式 (8) と向きが逆で符号も逆）。$d\lt4$ では $\hat u_*=16\pi^2(4-d)/3$ に固定点があり、正のどの初期値もそこへ流れ込みます。Wilson–Fisher 1972 の固定点で、普遍性のいちばん小さな模型です。$d=4$ ではゆっくり、$d\gt4$ では速く 0 へ向かいます（6-08）物理。(2) の $[g^2]$ と (11) の固定点を、四で切り替わる他の量と並べた図は 1-12 §10 の次元のつまみです。

計算物理この図の数値はこの端末で計算した（閉じた解。RK4 と一致）。静止した値（長さ $10^8$ 倍、$\hat u_0=1$／100）：$d=3$ で 52.6／52.6（$\hat u_*=52.64$）、$d=4$ で 0.741／2.78、$d=5$ で $9.8\times10^{-9}$／$3.5\times10^{-7}$。式は一ループの近似で、$4-d$ が小さいときに信頼できる。

寄り道：繰り込めない理論も役に立つ — Fermi の相互作用

ヤン–ミルズの相殺項は、足した後もヤン–ミルズの形に収まっていてほしいところです。ゲージ不変で次元 4 以下の局所的な項は $\mathrm{tr}F^2$ と $\mathrm{tr}F\tilde F$（θ 項。全微分で摂動論に入らない。3-05）だけで、質量項 $\mathrm{tr}A_\mu A_\mu$ は書けません（3-02）。ただし摂動論はゲージを固定した作用で行います。そこではゲージ不変性の代わりに BRST 対称性（ゲージ固定の後に残る対称性）が相殺項の形を縛ります（4-08）。その結果、ゲージ場の部分は $\mathrm{tr}F^2$ の形に保たれます。発散は $g$ と場の規格化（ゴーストとゲージ固定の項の規格化も）に吸収され、径数が一つなので走りの積分定数が唯一の尺度 $\Lambda_{\mathrm{YM}}$ になります（切断の $\Lambda$ とは別の量。4-07）。ゲージ不変性は発散も減らします。グルーオンの二点の補正は Ward（非可換では Slavnov–Taylor）の恒等式で横向きの形に限られます 既知。

横向きとは $P_\mu\Pi_{\mu\nu}=0$、つまり運動量の向きの成分が無いことです。$P$ の二次が括り出されるので、表 2 の $\omega=2$ のうち残るのは対数発散の $\Pi$ だけです。質量項に当たる $\Lambda^2\delta_{\mu\nu}$ はゲージ不変な正則化では現れません。運動量の切断はこれを壊し、Magnen–Rivasseau–Sénéor 1993 の構成でも 'breaks gauge invariance and requires gauge restoring counterterms' と書かれます。't Hooft 1971 の要旨は、ゲージ不変でない調整場も、その質量を大きくした極限で有限個の相殺項によりゲージ不変性を回復できれば使えるとし、質量の無いヤン–ミルズ場は通常の意味で繰り込めるとみられる（'appear to be renormalizable'）と書きます。ゲージ固定とゴーストは 4-08。格子は正則化の段でゲージ不変性を厳密に保ちます（5-01）。

三つの水準を混ぜないことが肝心です。

一つ目の考え方の早い例は量子電磁気学の Dyson 1949 です（質量と電荷の繰り込みで各次数の発散を除く議論。完全な証明は後の Weinberg 1960・BPHZ。級数の収束は示していない）。三つ目について問題文は、二・三次元の $\phi^4$ で係数を切断 $\kappa$ に 'to depend on κ in the way that perturbation theory suggests' 選び、'One then proves that the expectations converge as κ → ∞, even though the specified constants α, . . . diverge.' と書きます（§6.2）。式 (6) の $\delta u$ が発散しても式 (7) が有限だったことの、構成の側の版です。

四次元のヤン–ミルズでは、相関関数が短い距離で教科書にある漸近自由と摂動的な繰り込み理論の予言に合うことが求められます（§4。引用は 0-03 §07）。§2 は 'Asymptotic freedom ensures a decisive regularity in the case when classical Sobolev inequalities are borderline' と書きます。この記事の読みでは、「境目」は §03 の「四次元で結合が無次元」に当たり（8-04）、この文は見通しで定理ではありません。無限大の処理そのものが難しさの中心ではないことは 9-05。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：4-05 発散の代数（BPHZ・次元正則化・Connes–Kreimer）。β 関数の符号は 4-06。

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