2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 3 部 ヤン–ミルズ理論（古典）標準模型

標準模型の中のヤン–ミルズ — 三つの群の積に、物質と Higgs を足したもの

規約は 3-02 §02 と同じです（$\hbar=c=1$、計量 $(-,+,+,+)$、エルミートな生成子、$D_\mu=\partial_\mu-igA_\mu$）。

標準模型は三つの群を並べたゲージ理論で、PDG の総説は “the renormalizable field theory with gauge group $G_{\mathrm{SM}}=\mathrm{SU}(3)_C\times\mathrm{SU}(2)_L\times\mathrm{U}(1)_Y$” と定義します 既知（$C$ は色、$L$ は左巻き、$Y$ は超電荷）。因子ごとにヤン–ミルズ場が付き、本数は $8+3+1=12$ で、グルーオン $G^a_\mu$・$W^i_\mu$・$B_\mu$ です。

$G$ と $W$ の場の強さは 3-02 の (7) の形で交換子の項を持ちます。$B_{\mu\nu}=\partial_\mu B_\nu-\partial_\nu B_\mu$ は電磁場と同じく自己相互作用を持ちません。物質への働きは一つの共変微分にまとまります。

$T^a$ は色の三重項に、$\sigma^i/2$（1-04）は二重項にだけ働き、一重項では項ごと落とします。群が単純でないので結合定数は因子ごとに一つ、計三つです（1-03）。例。$g_s\approx1.22$ は、強い力の結合の強さ $\alpha_s=g_s^2/4\pi$ を Z の質量の尺度で測った値 $\alpha_s(m_Z)=0.1180$（$\overline{\mathrm{MS}}$ の約束。§06 の表 3 の注）から出したものです。$g\approx0.65$、$g'\approx0.35$ は、§06 の表 3 で W・Z の質量から逆算した木の水準の推定です 計算。

クォークとレプトンはスピン 1/2 の場です。成分の中身（Dirac 行列）は使わず、群での回り方だけを使います。要るのは、この場が左巻き $\psi_L$ と右巻き $\psi_R$ に分かれること（質量 0 なら進む向きに対するスピンの回り方）と、SU(2) が左巻きにだけ働くことです 既知。空間の反転 $\mathbf x\mapsto-\mathbf x$（パリティ）は左巻きと右巻きを入れ替えるので、左巻きにだけ働く力はこの反転で不変でありません。これをパリティの破れと呼びます。

計算$Q$ は分数のまま計算した。既知PDG の大統一の総説の (93.1) は、右巻きの場を共役の $u^c,d^c,e^c$（§03。色は $\bar{\mathbf3}$ になり、$Y$ の符号が反転）で書き、$Y$ を 2 倍に規格化して下付きに添えている。たとえば表 1 の $u_R$（$(\mathbf3,\mathbf1)$、$Y=2/3$）は $u^c$ の $(\bar{\mathbf3},\mathbf1)_{-4/3}$。Higgs は PDG で $(\mathbf1,\mathbf2)_1$ で、表 1 の $Y=1/2$ に当たる。換算すると表 1 と同じ。

一世代は色まで数えて 15 成分で、それが三世代あります（PDG）既知。どの場がどの表現に入るかをゲージ原理は決めず（3-01）、PDG も表 1 の “apparently rather complex group-theoretic data” は説明されていないと述べます。

先に言葉を一つ用意します。表現 $\psi\mapsto\Omega\psi$ の各成分の複素共役を取った $\psi^*\mapsto\Omega^*\psi^*$ も表現になり、これを共役表現と呼びます。三重項の共役を $\bar{\mathbf3}$（反三重項）と書き、SU(3) では $\mathbf3$ と同値でありません。U(1) では $e^{iY\alpha}$ が $e^{-iY\alpha}$ に変わるので、$Y$ の符号が反転します 既知。SU(2) の二重項では $\sigma^2\Omega^*\sigma^2=\Omega$（$\sigma^2$ は二番目の Pauli 行列で、二乗ではありません）なので、共役は元と同値な表現になり、区別しません 計算。

表 1 の $Y$ には強い制約があります。古典の作用がゲージ不変でも、量子化の段で左右を別々に回す変換の不変性が壊れることがあり、これをゲージアノマリーと呼びます。Gross–Jackiw（1972）の要旨は、それが “may destroy this gauge invariance in perturbation theory” と述べます 既知。導出は扱わず、条件が算術になることだけを使います。スピン 1/2 の場は共役を取ると右巻きが左巻きになるので、右巻きの場を共役で左巻きにそろえる（$Y$ の符号が反転し、$u^c$ は $-2/3$）と、条件は次の和がすべて 0 になることです。右の括弧は、それぞれがどの群の組のアノマリーの条件かを示します。

和は、組に入らない群の表現の次元を重みに取ります（二重項の和では $Q_L$ を色の数 3 倍、三重項と反三重項の和では $Q_L$ を 2 倍）。$\sum Y^3$ と $\sum Y$ は色と二重項の成分まで数えた 15 成分にわたり、後者が重力との組 $\text{重力}^2\,\mathrm U(1)$ の条件です。Bouchiat・Iliopoulos・Meyer（1972）の要旨は、レプトンとクォークを含む模型で “the troublesome anomalies cancel” と述べます 既知。例。電荷を固定して色の数 $N_c$ だけ変えると表 2 です。

計算分数のまま足した。一般の $N_c$ で、$\mathrm{SU}(2)^2\mathrm U(1)$ の列は $N_c/6-1/2$、$\mathrm U(1)^3$ の列は $(3-N_c)/4$。$\mathrm{SU}(3)^3$ の条件は表に列を置かず、$N_c=3$ で $\#\mathbf3-\#\bar{\mathbf3}=2-2=0$（$Q_L$ の二つと $u^c,d^c$ の二つ）。既知SU(2) には別の条件もあり、Witten（1982）の要旨は、左巻きの二重項が奇数個（ほかの表現は無し）の SU(2) ゲージ理論は数学的に矛盾すると述べる。一世代の二重項は $3+1=4$ 個で偶数。

$\mathrm U(1)^3$ ではクォークの分が $-3/4$、レプトンの分が $+3/4$ で、一世代がそろって初めて、しかも色が 3 のときだけ打ち消します 計算。スピン 1/2 の場の無い純ヤン–ミルズには、この条件は現れません。

寄り道：SU(5) に収まる

SU(3) の部分が量子色力学（QCD）です。PDG は QCD を “the SU(3) component of the SU(3)×SU(2)×U(1) Standard Model” と呼び、クォークは三色で基本表現、グルーオンは 8 種で随伴表現と書きます 既知。

和は 6 種のクォーク（$u,d,s,c,b,t$）にわたり、$\gamma^\mu$ はスピンに働く $4\times4$ 行列、$\bar\psi=\psi^\dagger\gamma^0$ です。PDG の (9.1) の共変微分の符号を 3-02 に合わせた形で、最後の項が純ヤン–ミルズです。$\gamma^\mu$ の項は PDG の約束（計量 $(+,-,-,-)$）のままにしてあり、中身はこの章では使いません。質量の項 $m_q\bar\psi\psi$ は左右を掛ける項で、色は左右を同じに回すので書けますが、SU(2) は左巻きだけを回すので $\bar u_Lu_R$ は不変でなく、標準模型では質量が Higgs 場を通して入ります（§07）既知。色の一重項は SU(3) の二つの性質から作れます。

前者が中間子、後者がバリオン（陽子・中性子）の形です。例。$\Omega=\mathrm{diag}(e^{i\alpha},e^{i\beta},e^{-i(\alpha+\beta)})$ で $\psi^1\psi^2\psi^3$ の位相は変わりません。1-04 の中心 $\mathbb Z_3$ の元も三回で 1 です。Jaffe–Witten は閉じ込めを、物理的な粒子の状態が “SU(3)-invariant” であることとして述べます 既知（機構は 7-02）。

質量項はゲージ不変性を壊します（3-02 §08）が、W と Z は重い粒子です。この食い違いを埋めたのが、電荷を持つスカラー場のポテンシャルの最小を $\phi=0$ の外に置く考えです。U(1) の模型で見ます。

$\lambda\gt0$ とします。$\mu^2\lt0$ なら最小は円周 $|\phi|=v/\sqrt2$（$v=\sqrt{-\mu^2/\lambda}$）に並び、ゲージ変換 $\phi\mapsto e^{i\alpha(x)}\phi$ はこの円周に沿って動かします。各点で位相を回して $\phi=(v+h)/\sqrt2$（実数）と書くと

です。$h=0$ の部分は 3-02 の (14) で禁じた質量項そのもので、質量は次のとおりです 既知。作用は不変のまま、解（最小の位置）が質量を持ち込みます。

計算この図と表の数値はこの端末で計算した（(9) による）。$\mu^2\ge0$ の行のスカラーの質量は $\phi$ の二つの実の成分のもの（どちらも $\sqrt{\mu^2}$）、$\mu^2\lt0$ の行は動径の $h$ のもの。

自由度と Goldstone ボソン

例。自由度を数えます。質量 0 のベクトル場の偏りは 2 です。四成分のうちゲージ変換で一つ、拘束で一つが消えるからです（2-03 §04）。質量項があるとゲージ変換で消せる一つが無くなり、拘束だけが残るので $4-1=3$ です 既知。すると前は質量 0 の $A$（2）と $\phi$（実の成分 2）、後は質量を持つ $A$（3）と $h$（1）で、どちらも 4 です。消えた位相は $A$ の縦の振動になりました。

連続な対称性が自発的に破れたときに現れる質量 0 の励起を Goldstone ボソンと呼びます 既知。図 1 の谷に沿った動きがそれに当たり、ゲージ場があると、この向きはゲージ変換で消せます。Higgs（1964）は “the longitudinal degrees of freedom of these particles (which would be absent if their mass were zero) go over into the Goldstone bosons when the coupling tends to zero” と書き、超伝導体のプラズモンについての Anderson（1963）の指摘の “relativistic analog” と呼びました。同年に Englert–Brout、Guralnik–Hagen–Kibble も論文を出しています 既知。Higgs は “nothing is proved about the quantized theory” とも断っています。

「対称性の自発的な破れ」はゲージを固定した記述での言い方です。Elitzur（1975）は、ゲージを固定しない格子ゲージ理論では局所的な対称性が自発的に破れないと論じました 既知（3-01 §07）。

標準模型では SU(2)×U(1) と表 1 の Higgs 二重項 $\Phi$ で同じことをします。$V=\lambda(\Phi^\dagger\Phi-v^2/2)^2$ の最小の一つ $\Phi_0=(0,\,v/\sqrt2)$ を変えないのは、下の成分で $T_3+Y=-\tfrac12+\tfrac12=0$ となる電荷 $Q$ の U(1) です。Jaffe–Witten の言い方では、構造群が “to a U(1) subgroup (diagonally embedded in SU(2) × U(1))” に減ります 既知。(2) を $\Phi_0$ に働かせると

です。$W^3$ と $B$ は $gW^3-g'B$ の組でしか現れないので、平面 $(W^3,B)$ を弱混合角 $\theta_W$（$\tan\theta_W=g'/g$）だけ回します。

$W^\pm=(W^1\mp iW^2)/\sqrt2$ です。PDG の (10.3)(10.5) と同じで、PDG は “at tree level, i.e., to lowest order in perturbation theory” の質量と断ります 既知。計算$4\times4$ の質量行列を Pauli 行列から作ると、三通りの $(g,g',v)$ で固有値が (12) と一致しました（相対の差は $10^{-15}$ 未満で、丸めの誤差の程度）。

計算この図と表の数値はこの端末で計算した（(12) による）。$g'/g=0$ では光子は $B$ そのもの。0.536 は表 3 の測定値からの値。

例。PDG 2024 の値から (12) を逆算すると表 3 です。

計算PDG では on-shell の $\sin^2\theta_W=0.22348$、$1/\alpha$ は低エネルギーで 137.036、$m_Z$ で 127.930（$\overline{\mathrm{MS}}$）。on-shell・$\overline{\mathrm{MS}}$ は量子補正の入れ方（繰り込みの約束）の名前で、同じ名前の量でも値が少し違う（4-04）。表 3 の $\lambda$ は本文の $V=\lambda(\Phi^\dagger\Phi-v^2/2)^2$ の約束の値。PDG の $\lambda$ は $m_H=\lambda v$（(10.5a)）の規格化で $m_H/v=0.5085$ になり、二つは $\lambda=\lambda_{\mathrm{PDG}}^2/2$ で結ばれる。$m_W$ は CDF（2022）を除く平均。

$1/\alpha$ の 132.1 は、低エネルギーの 137.036 より 3.6 % 小さい値です。表 3 の $v$ は $G_F$（ミューオンの寿命から決める定数）から取ったので、$G_F$ と $\alpha$ を結ぶ量子補正 $\Delta r$ が入っていません。PDG の電弱の総説の (10.22b) を二乗すると $m_W^2\sin^2\theta_W\,(1-\Delta r)=\pi\alpha/(\sqrt2\,G_F)$（$\sin^2\theta_W$ は on-shell）で、PDG は $\Delta r=0.03685$ を与えます 既知。木の水準の $1/\alpha$ は $(1-\Delta r)/\alpha$ に当たり、$137.036\times(1-0.03685)=131.99$ は表 3 の 132.1 と 0.09 % で合います 計算（量子補正は 4-04）。$\overline{\mathrm{MS}}$ の 127.930 は約束の違う量で、参考に並べるだけです。自由度は前後とも 12 です（$W^i,B$ の 8 と二重項の 4 から、重い $W^\pm,Z$ の 9・光子の 2・H の 1 へ）計算。

Weinberg（1967）は W と Z の質量が “not from a mass term put in at the beginning” と書き、Higgs 粒子は 2012 年に ATLAS と CMS が観測を報告しました 既知。

$v$ が直接与えるのは、W・Z と、湯川結合を通したクォークとレプトンの質量です 既知。湯川結合は Higgs 場とスピン 1/2 の場の積の項 $\bar\psi_L\Phi\psi_R$ で、上向きのクォークには $\tilde\Phi=i\sigma^2\Phi^*$（$Y=-\tfrac12$ の二重項。§03 の共役）を使います。どの項も $Y$ の和が 0 で（例：$\bar Q_L\Phi d_R$ は $-\tfrac16+\tfrac12-\tfrac13=0$）ゲージ不変です 計算。$\Phi$ を $\Phi_0$ に置くと、$\bar\psi_L\psi_R$ に比例する質量の項になります。ところが陽子の質量はこれではほとんど説明されません。芯の u, u, d の質量の和は陽子の 1% ほどです。

計算値は PDG 2024 の要約表（$m_u,m_d$ は $\overline{\mathrm{MS}}$、2 GeV）。クォークの質量は定義に依るので、(13) は桁の目安です。残りは QCD の力学から来ると考えられ、その尺度は量子化で生じる $\Lambda$ です（4-07）物理。

パイ中間子は軽く、陽子の 15% ほどです（$m_{\pi^\pm}=139.57$ MeV）計算。PDG によれば、三種の軽いクォークの質量を 0 にした極限で、左右を別々に回す味の対称性（カイラル対称性）が破れ、“eight massless Goldstone bosons, the π’s, K’s, and η” が現れます 物理。その QCD には隙間が無いと考えられます。Jaffe–Witten が QCD の三つ目の性質に挙げる “chiral symmetry breaking” です 既知。純ヤン–ミルズにはクォークが無く、最も軽い状態はグルーボールと考えられています（5-08）物理。問題文の隙間 $\Delta$ は、クォークにも Higgs 場にも頼らず、ヤン–ミルズ場だけから生じるはずの尺度です（4-11）。

問題文は任意のコンパクト単純群の純ヤン–ミルズ理論を対象にします（0-03）。標準模型から何を外すとそこに着くかが表 4 です。

違いは三つです。群：単純でありません。可換な U(1)$_Y$ の部分は漸近自由（短距離で結合が弱くなる性質）でなく（Coleman–Gross、4-06 §04）既知、一ループでは結合が短距離で強くなります 物理。質量 0 の粒子：光子が残るので標準模型の全体には隙間が無く、隙間を問えるのは強い力の部分です。質量の出所：Higgs 機構では尺度 $\mu^2$ が古典の作用にあり解から見えますが、純ヤン–ミルズの古典の作用には尺度が無く、隙間は量子化で生じると考えられています 物理。Jaffe–Witten も §2 で、Higgs 機構を “classical properties” の例に、質量ギャップと閉じ込めを “quantum properties that do not have classical analogs” の例に挙げます 既知。

外したものは拡張問題に残ります。Jaffe–Witten は “other four-dimensional gauge theories (incorporating additional fields that preserve asymptotic freedom)” を挙げ（0-03）、問題説明を書いた時点では、Brydges–Fröhlich–Seiler の二次元の可換な Higgs 模型を “the only complete example of an interacting gauge theory satisfying the axioms” と呼んでいます 既知。四次元の Higgs 模型の特殊な極限は 6-10、群の出どころの絵は 7-07 です。

この章が言えている範囲

出典と再現

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