computo ergo sum

2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ付録記号表

この本の全体　目次と読む順
  1. 第 0 部 入口 — この本の読み方
  2. 0-01 この本の読み方
  3. 0-02 一枚の絵
  4. 0-03 問題文を一語ずつ読む
  5. 0-04 数学の四次元と物理の四次元
  6. 第 1 部 数学の準備
  7. 1-01 ベクトル空間と線形写像
  8. 1-02 群とは何か
  9. 1-03 リー群とリー環
  10. 1-04 SU(2) と SU(3)
  11. 1-05 多様体と接空間
  12. 1-06 微分形式と外微分
  13. 1-07 ベクトル束と接続
  14. 1-08 確率と測度
  15. 1-09 無限次元の確率
  16. 1-10 ヒルベルト空間と自己共役作用素
  17. 1-11 フーリエ解析と分布
  18. 1-12 寄り道
  19. 第 2 部 物理の準備
  20. 2-01 ラグランジアンと作用
  21. 2-02 場という考え
  22. 2-03 電磁気学はゲージ理論である
  23. 2-04 特殊相対論と時空
  24. 2-05 量子力学の骨
  25. 2-06 調和振動子と生成消滅
  26. 2-07 経路積分の考え方
  27. 2-08 統計力学と相転移
  28. 2-09 寄り道
  29. 2-10 緩和の時間と動的指数 z
  30. 第 3 部 ヤン–ミルズ理論（古典）
  31. 3-01 ゲージ原理
  32. 3-02 非可換ゲージ場
  33. 3-03 作用と方程式
  34. 3-04 幾何としてのゲージ理論
  35. 3-05 インスタントンと位相
  36. 3-06 寄り道
  37. 3-07 標準模型の中のヤン–ミルズ
  38. 第 4 部 量子化
  39. 4-01 正準量子化とハミルトニアン
  40. 4-02 経路積分とユークリッド化
  41. 4-03 摂動論と Feynman ダイアグラム
  42. 4-04 発散と繰り込み
  43. 4-05 発散の代数
  44. 4-06 漸近自由
  45. 4-07 次元転移と Λ
  46. 4-08 ゲージ固定と Faddeev–Popov
  47. 4-09 場の量子論の公理
  48. 4-10 Osterwalder–Schrader の公理と再構成
  49. 4-11 質量ギャップの定義
  50. 4-12 寄り道
  51. 第 5 部 格子ゲージ理論
  52. 5-01 Wilson の格子
  53. 5-02 強結合展開
  54. 5-03 反射正値性と転送行列
  55. 5-04 無限体積極限とクラスター展開
  56. 5-05 弱結合と連続極限
  57. 5-06 U(1) と非可換の違い
  58. 5-07 モンテカルロ法
  59. 5-08 グルーボールと弦張力の測定
  60. 5-09 何を固定して極限を取るか
  61. 5-10 有限群の格子ゲージ理論
  62. 5-11 寄り道
  63. 第 6 部 構成的場の理論
  64. 6-01 構成的場の理論とは
  65. 6-02 二次元の可解性とヤン–ミルズ測度
  66. 6-03 スカラー場の構成
  67. 6-04 クラスター展開
  68. 6-05 繰り込み群の段の列
  69. 6-06 三次元ヤン–ミルズの紫外安定性
  70. 6-07 四次元
  71. 6-08 四次元の φ⁴ の自明性
  72. 6-09 確率量子化と正則性構造
  73. 6-10 四次元で止まる場所
  74. 6-11 発散以外の障害
  75. 6-12 寄り道
  76. 第 7 部 物理の側から
  77. 7-01 物理はどう見ているか
  78. 7-02 閉じ込めの機構
  79. 7-03 弦の絵
  80. 7-04 大 N
  81. 7-05 ひも理論と余剰次元
  82. 7-06 余剰次元が見えなくなる仕組み
  83. 7-07 ゲージ場はどこから来るか
  84. 7-08 ホログラフィー
  85. 7-09 質量ギャップが幾何になる
  86. 7-10 四次元に戻す
  87. 7-11 超対称と Seiberg–Witten
  88. 7-12 等価原理に当たる一文
  89. 7-13 物理の掘り方が数学と離れる場所
  90. 第 8 部 二つの言葉の辞書 — 物理の視点と数学の視点
  91. 8-01 辞書の読み方
  92. 8-02 辞書 A
  93. 8-03 辞書 B
  94. 8-04 辞書 C
  95. 8-05 私たちの仮定の物理側の対応
  96. 第 9 部 現在地と課題
  97. 9-01 世界はどこまで来ているか
  98. 9-02 二つの掘り方の切れ目
  99. 9-03 新しい概念の候補
  100. 9-04 課題の一覧
  101. 9-05 よくある誤解
  102. 第 10 部 質量ギャップの厳密な証明へ — この端末の検討
  103. 10-00 第 10 部の入口 — 酔歩と定規と時計
  104. 10-01 理論の構成の筋
  105. 10-02 一段の記帳
  106. 10-03 仮定 H と三つの鎖
  107. 10-04 方向の地図
  108. 10-05 方向 12〜14
  109. 10-06 方向 15・15′
  110. 10-07 Lean で閉じた言明と既存の結果の対応表
  111. 10-08 壁の一覧
  112. 10-09 ひらめき帳から
  113. 10-10 主張しないこと
  114. 10-12 つじつま合わせ
  115. 10-11 定理までの距離
  116. 10-13 小さな問い — 卒業研究の大きさで決着のつく十〜二十問
  117. 付録
  118. A-01 記号表
  119. A-02 用語集
  120. A-03 文献案内
  121. A-04 Lean と機械検査
  122. A-05 この本の作り方
  123. A-06 仮定の索引

記号表 — 一つの字に一つの約束、二つの意味は名指して分ける

この章で分かること — この本の記号を「意味・定義した章・注」で引けます。ゲージ場の三つの書き方、結合の六つの書き方、CPC_P の正規化を、換算の式と表と動く図で並べます。同じ字の別の意味（β\beta・Δ\Delta・η\eta・σ\sigma・Ω\Omega など）を一表で読み分けます。

前提となる章 — なし。辞書として、どの章からでも開けます。各行の「章」の列が、その記号を定義した章です。

先に言うこと — この章は約束の一覧で、内容の主張を含みません。式の正しさは各章で示し、ここでは換算の算術と生成子の規格化だけをこの端末で確かめました。仮定の名前は A-06 仮定の索引に分けます。質量ギャップについて、この章は何も示していません。

この章の順序
  1. この表の使い方 — 共通の約束と、規約の三つの選択
  2. 時空と添字 — 符号 (−,+,+,+)(-,+,+,+) と虚時間（表 1）
  3. 群とリー環 — 生成子の規格化と構造定数（表 2・表 3）
  4. ゲージ場の三つの書き方 — gg と ii の置き場所（表 4）。寄り道：なぜ物理は ii を付けたがるのか
  5. 格子の記号 — リンク・プラケット・リンクの角度（表 5）
  6. 結合の六つの書き方 — 換算と一ループの係数（表 6・図 1・表 7）
  7. 尺度・長さ・質量 — 格子単位と物理単位、記号 ≍\asymp（表 8）
  8. 確率・スペクトル・緩和 — 三つの CPC_P と二つの η\eta（図 2・表 9・表 10）
  9. 同じ字の別の意味 — 読み分けの一覧（表 11）。寄り道：記号の衝突を無くすことはできるか
01

この表の使い方 — 一つの字に一つの約束

この章は引く辞書で、前から読む必要はありません。表は「記号・意味・章・注」の四列で、「章」はその記号を定義した章です。式の正しさはその章で確かめてください。

全章に共通の約束は四つです。第 3 部から先は ℏ=c=1\hbar=c=1。同じ項に二度出た添字は和を取る。ln⁡\ln と log⁡\log はどちらも自然対数。同じ字が二つの意味を持つときは章の冒頭で宣言する（一覧は §09）。そのうえで、記号の見かけは次の三つの選択で変わります。

ゲージ場の書き方⏟§04 の三通り × 結合の書き方⏟§06 の六通り × CP の正規化⏟§08 の二通り(1)\underbrace{\text{ゲージ場の書き方}}_{\S04\ \text{の三通り}}\ \times\ \underbrace{\text{結合の書き方}}_{\S06\ \text{の六通り}}\ \times\ \underbrace{C_P\ \text{の正規化}}_{\S08\ \text{の二通り}} \tag{1}

(1) の選択は物理の中身を変えず、係数と符号だけを変えます。ただし同じ条件が別の数に見えます。例。Shen–Zhu–Zhu の強結合の条件 ∣βSZZ∣<1/(16(d−1))|\beta_{\mathrm{SZZ}}|\lt1/(16(d-1)) は、四次元（d=4d=4）で βSZZ<1/48\beta_{\mathrm{SZZ}}\lt1/48 となり、この本の Wilson の β\beta では SU(2) で β<0.0833\beta\lt0.0833、SU(3) で β<0.1875\beta\lt0.1875 です（§06）計算。仮定の名前（H・H↑・(S1)〜(S8) など）は A-06 仮定の索引、札の凡例は 0-01 にあります。

02

時空と添字 — 符号は (−,+,+,+)(-,+,+,+)、虚時間で全部 ++ になる

物理の時空はミンコフスキー時空で、距離の二乗に時間の向きだけ負の符号が付きます（2-04・既存の記事 符号が一つ違う）。構成的場の理論と格子の議論は、時間を虚数に回したユークリッド空間 R4\mathbb R^4 で行います（4-02）。

ημν=diag⁡(−1,1,1,1),t=−iτ,A0=iA4,FμνFμν ⟼ ∑μ,ν=14FμνFμν(2)\eta_{\mu\nu}=\operatorname{diag}(-1,1,1,1),\qquad t=-i\tau,\qquad A_0=iA_4,\qquad F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\ \longmapsto\ \sum_{\mu,\nu=1}^4F_{\mu\nu}F_{\mu\nu} \tag{2}

(2) は左から、計量・回し方（Wick 回転）・回した結果です。ユークリッドでは計量が単位行列なので、上下の添字を区別しません。例。光の道 −t2+∣x∣2=0-t^2+|\mathbf x|^2=0 は、回すと τ2+∣x∣2\tau^2+|\mathbf x|^2 になり、原点以外で正です。

表 1　時空と添字
記号意味章注
xμ, μ=0,…,3x^\mu,\ \mu=0,\dots,3ミンコフスキーの座標（x0=tx^0=t）2-04逆の符号 (+,−,−,−)(+,-,-,-) の教科書もある
x4=τ, μ=1,…,4x_4=\tau,\ \mu=1,\dots,4虚時間とユークリッドの添字4-02τ=it\tau=it
i,j,k=1,2,3i,j,k=1,2,3空間の添字3-02色の添字 a,b,ca,b,c と混ぜない
Ei, BiE_i,\ B_i色の電場・磁場3-02Bi=12εijkFjkB_i=\tfrac12\varepsilon_{ijk}F_{jk}、ユークリッドで EE,j=F4jE_{E,j}=F_{4j}
dd（ユークリッド化した）時空の次元0-03問題文は d=4d=4
Zd, aZd\mathbb Z^d,\ a\mathbb Z^d整数格子、間隔 aa の格子5-01§05
03

群とリー環 — 生成子は tr⁡(TaTb)=12δab\operatorname{tr}(T^aT^b)=\tfrac12\delta^{ab} で揃える

ゲージ群 GG はコンパクトな単純リー群で、例はほとんど SU(N)\mathrm{SU}(N) です（1-04）。生成子には物理の流儀でエルミートな TaT^a を取ります。規格化を決めないと、構造定数も結合定数も定数倍ずれます。

[Ta,Tb]=i fabc Tc,tr⁡(TaTb)=12 δab,a,b,c=1,…,N2−1(3)[T^a,T^b]=i\,f^{abc}\,T^c,\qquad \operatorname{tr}(T^aT^b)=\tfrac12\,\delta^{ab},\qquad a,b,c=1,\dots,N^2-1 \tag{3}

数学の流儀では反エルミートな Xa=−iTaX^a=-iT^a を取り、[Xa,Xb]=fabcXc[X^a,X^b]=f^{abc}X^c と ii の無い形になります。同じ fabcf^{abc} です。例。SU(2) では Ta=σa/2T^a=\sigma^a/2 で fabc=εabcf^{abc}=\varepsilon^{abc}、SU(3) では Ta=λa/2T^a=\lambda^a/2（Gell-Mann 行列の半分）です。随伴のカシミール CAC_A（facdfbcd=CAδabf^{acd}f^{bcd}=C_A\delta^{ab}）は NN、基本のカシミール CFC_F（∑aTaTa=CF1\sum_aT^aT^a=C_F\mathbf 1）は (N2−1)/2N(N^2-1)/2N、表現の指数 T(R)T(R)（tr⁡RTaTb=T(R)δab\operatorname{tr}_RT^aT^b=T(R)\delta^{ab}）は基本表現で 12\tfrac12 です。一ループの係数（4-06）に入るのは CAC_A と T(R)T(R) です。

表 2　生成子の規格化の数値確認 計算
群max⁡∣tr⁡TaTb−12δab∣\max|\operatorname{tr}T^aT^b-\tfrac12\delta^{ab}|CFC_FCAC_A独立な非零の fabcf^{abc}（a<b<ca\lt b\lt c）
SU(2)00.752f123=1f^{123}=1
SU(3)1.1×10−161.1\times10^{-16}1.3333333f123=1f^{123}=1；f147=f246=f257=f345=12f^{147}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=\tfrac12；f156=f367=−12f^{156}=f^{367}=-\tfrac12；f458=f678=32f^{458}=f^{678}=\tfrac{\sqrt3}2

表 2 は、行列を書き下して fabc=−2itr⁡([Ta,Tb]Tc)f^{abc}=-2i\operatorname{tr}([T^a,T^b]T^c) を求め、(3) に戻した残差（1.1×10−161.1\times10^{-16} 以下）とカシミールが単位行列の定数倍であることを確かめたものです。

表 3　群とリー環の記号
記号意味章注
G, g, NG,\ \mathfrak g,\ Nゲージ群、リー環、SU(N)\mathrm{SU}(N) の大きさ1-03大 NN は 7-04
Ta, fabcT^a,\ f^{abc}エルミートな生成子、構造定数1-04・3-02規格化は (3)
σa, λa\sigma^a,\ \lambda^aパウリ行列、Gell-Mann 行列1-04σ\sigma は別の意味にも使う（§09）
CA, CF, T(R)C_A,\ C_F,\ T(R)カシミールと表現の指数4-06本文の値
χr, dr\chi_r,\ d_r表現 rr の指標と次元5-02χr(U)=tr⁡rU\chi_r(U)=\operatorname{tr}_rU
Ω(x)\Omega(x)ゲージ変換（点ごとの群の元）3-01字 gg は結合に取っておく
04

ゲージ場の三つの書き方 — gg をどこに置き、ii をどこに付けるか

同じゲージ場が三通りに書かれます。物理の章は「エルミートな AA と結合 gg を分ける」、経路積分と辞書の章は「gg を場に吸収し、作用の前に 1/g21/g^2 を出す」、幾何の章は「反エルミートな 1-形式 A\mathcal A」です。翻訳は一行です。

A^=g A,A=−iA^=−ig A,F^=g F,F=−iF^=−ig F(4)\hat A=g\,A,\qquad \mathcal A=-i\hat A=-ig\,A,\qquad \hat F=g\,F,\qquad \mathcal F=-i\hat F=-ig\,F \tag{4}

「吸収」は gg を掛けるだけ、「幾何」はさらに −i-i を掛けるだけです。ただし −i-i で tr⁡F2\operatorname{tr}F^2 の符号が変わります。エルミートな XX では tr⁡X2≥0\operatorname{tr}X^2\ge0、反エルミートな −iX-iX では ≤0\le0 なので、幾何の作用には負の符号が付きます。

表 4　ゲージ場の三つの書き方（作用はユークリッド）
物理（gg を DD に置く）物理（gg を吸収）幾何（反エルミート）
共変微分∂μ−igAμ\partial_\mu-igA_\mu∂μ−iA^μ\partial_\mu-i\hat A_\mud+Ad+\mathcal A
場の強さ∂μAν−∂νAμ−ig[Aμ,Aν]\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu-ig[A_\mu,A_\nu]∂μA^ν−∂νA^μ−i[A^μ,A^ν]\partial_\mu\hat A_\nu-\partial_\nu\hat A_\mu-i[\hat A_\mu,\hat A_\nu]dA+A∧Ad\mathcal A+\mathcal A\wedge\mathcal A
ゲージ変換ΩAΩ−1−ig(∂Ω)Ω−1\Omega A\Omega^{-1}-\tfrac ig(\partial\Omega)\Omega^{-1}ΩA^Ω−1−i(∂Ω)Ω−1\Omega\hat A\Omega^{-1}-i(\partial\Omega)\Omega^{-1}ΩAΩ−1−(dΩ)Ω−1\Omega\mathcal A\Omega^{-1}-(d\Omega)\Omega^{-1}
作用 SES_E12∫tr⁡FμνFμν=14∫FμνaFμνa\tfrac12\int\operatorname{tr}F_{\mu\nu}F_{\mu\nu}=\tfrac14\int F^a_{\mu\nu}F^a_{\mu\nu}12g2∫tr⁡F^μνF^μν\tfrac1{2g^2}\int\operatorname{tr}\hat F_{\mu\nu}\hat F_{\mu\nu}−1g2∫tr⁡F∧∗F-\tfrac1{g^2}\int\operatorname{tr}\mathcal F\wedge*\mathcal F
使う章3-02・3-03・第 4 部（4-02 を除く。4-03 は両方）0-01・4-02・8-041-07・3-04・3-05

位相電荷 QQ は、第二 Chern 数 c2=18π2∫tr⁡F∧Fc_2=\frac1{8\pi^2}\int\operatorname{tr}\mathcal F\wedge\mathcal F と Q=−c2Q=-c_2 の関係にあり（3-05 の (2)。符号の差は F=−igF\mathcal F=-igF から来る (−i)2=−1(-i)^2=-1）、作用には SE≥8π2∣Q∣/g2S_E\ge8\pi^2|Q|/g^2 の下界があります 既知。例。SU(2) で g2=1g^2=1（β=4\beta=4）なら、一つのインスタントンの作用は 8π2=78.968\pi^2=78.96、重み e−SEe^{-S_E} は 5×10−355\times10^{-35} 程度です 計算。

寄り道：なぜ物理は ii を付けたがるのか

寄り道 飛ばしてよい。量子力学では観測量はエルミートな作用素で、固有値が実数です（2-05）。色の荷は観測量なので、物理は生成子をエルミートに取り、eiθaTae^{i\theta^aT^a} と ii を指数に出します。幾何の側では、リー環は群の単位元での接ベクトルの空間で、su(N)\mathfrak{su}(N) は反エルミート行列そのものです。eXe^X と書けて、曲率に ii も gg も出ません。正確には、二つの流儀は基底を ii 倍だけ取り替えたもので、同じ群の同じ接続を表します。違いは tr⁡F2\operatorname{tr}F^2 の符号と fabcf^{abc} の前の ii だけです。
05

格子の記号 — リンク・プラケット・Wilson ループ

格子ゲージ理論は時空を間隔 aa の格子に置き換え、各辺（リンク）に群の元を置きます（5-01）。記号の要は Wilson 作用と、その前の係数 β\beta です。

SW(U)=β∑P(1−1NRe⁡tr⁡UP),β=2Ng2,UP=Ux,μUx+aμ^,νUx+aν^,μ−1Ux,ν−1(5)S_W(U)=\beta\sum_P\Bigl(1-\frac1N\operatorname{Re}\operatorname{tr}U_P\Bigr),\qquad \beta=\frac{2N}{g^2},\qquad U_P=U_{x,\mu}U_{x+a\hat\mu,\nu}U_{x+a\hat\nu,\mu}^{-1}U_{x,\nu}^{-1} \tag{5}

(5) は、小さな正方形（プラケット PP）を一周した積 UPU_P の単位元からのずれを全部足したものです。滑らかな場で a→0a\to0 のとき連続の作用に係数まで合うのが β=2N/g2\beta=2N/g^2 です（5-01 §05）既知。この本の β\beta は、断りの無い限りこの Wilson の β\beta です。SU(2) の章（10-02・10-03・8-05）の β=4/g2\beta=4/g^2 は N=2N=2 の同じ式です。リンクは場を Ux,μ≈e−igaAμU_{x,\mu}\approx e^{-igaA_\mu} の形でだけ見ます。1-07 の平行移動はその逆元で、プラケットの指数の符号が 1-07 と逆なのはこのためです（トレースは変わりません）。

SU(2) のリンクは角度でも書きます。この端末の記録は U=eiϑ⋅σU=e^{i\vartheta\cdot\sigma} と書き、本の (3) では U=eiθaTaU=e^{i\theta^aT^a} なので、θ=2ϑ\theta=2\vartheta でつながります。

U=eiϑ⋅σ=eiθaTa(θa=2ϑa),12tr⁡U=cos⁡∣ϑ∣(6)U=e^{i\vartheta\cdot\sigma}=e^{i\theta^aT^a}\quad(\theta^a=2\vartheta^a),\qquad \tfrac12\operatorname{tr}U=\cos|\vartheta| \tag{6}

例。ϑ=(0.3,−0.2,0.5)\vartheta=(0.3,-0.2,0.5) では、行列の指数関数で計算した 12tr⁡U\tfrac12\operatorname{tr}U と cos⁡∣ϑ∣\cos|\vartheta| がどちらも 0.8159410.815941 です 計算。角度の取り方の違いは、§08 の CPC_P に定数倍として効きます。

表 5　格子の記号
記号意味章注
a, La,\ L格子間隔、周期格子の一辺の点の数5-01リンク 4L44L^4 本・プラケット 6L46L^4 枚
Uℓ=Ux,μU_\ell=U_{x,\mu}リンク ℓ\ell の上の群の元5-01Ux+aμ^,−μ=Ux,μ−1U_{x+a\hat\mu,-\mu}=U_{x,\mu}^{-1}
P, UPP,\ U_Pプラケットと一周の積5-011−1NRe⁡tr⁡UP∈[0,2]1-\tfrac1N\operatorname{Re}\operatorname{tr}U_P\in[0,2]
μβ\mu_\betaWilson 測度 Z−1e−SW∏dUℓZ^{-1}e^{-S_W}\prod dU_\ell5-01dUdU は Haar 測度
W(C), WR×TW(C),\ W_{R\times T}Wilson ループ 1Ntr⁡UC\tfrac1N\operatorname{tr}U_C、長方形5-02TT は時間の長さ
σ\sigma弦張力：⟨WR×T⟩≈e−σRT\langle W_{R\times T}\rangle\approx e^{-\sigma RT}5-02・5-08格子単位。物理単位は σ\sqrt\sigma
ϑ, θ\vartheta,\ \thetaSU(2) のリンクの角度、θ=2ϑ\theta=2\vartheta(6)・10-07θ 項の θ\theta と別
b, k, δ(b)b,\ k,\ \delta(b)一段の倍率、段数、記帳の取りこぼし10-02この端末の記録の定義
06

結合の六つの書き方 — β\beta・βCh\beta_{\mathrm{Ch}}・βSZZ\beta_{\mathrm{SZZ}}・λ\lambda・g2g^2・α\alpha

同じ結合 g2g^2 が、文献ごとに別の字と別の規格化で書かれます。作用 (5) と項ごとに比べれば換算が決まります（5-01 の (8a) の再掲）。

β=2Ng2,βCh=βN,βSZZ=βN2,λ=g2N=2N2β,α=g24π(7)\beta=\frac{2N}{g^2},\qquad \beta_{\mathrm{Ch}}=\frac{\beta}{N},\qquad \beta_{\mathrm{SZZ}}=\frac{\beta}{N^2},\qquad \lambda=g^2N=\frac{2N^2}{\beta},\qquad \alpha=\frac{g^2}{4\pi} \tag{7}

βCh\beta_{\mathrm{Ch}} は作用を βCh∑PRe⁡tr⁡(I−UP)\beta_{\mathrm{Ch}}\sum_P\operatorname{Re}\operatorname{tr}(I-U_P) と書く Chatterjee の形、βSZZ\beta_{\mathrm{SZZ}} は逆結合を NβSZZN\beta_{\mathrm{SZZ}} と書く 't Hooft の規約（Shen–Zhu–Zhu。5-04）、λ\lambda は 't Hooft 結合、α\alpha は物理でいう結合の強さです。走りの係数も変数ごとに書き方があり（4-06 の表 1）、この本では b0b_0 が gg の、κ\kappa が Wilson の β\beta の係数です。

μdgdμ=−b0g3+⋯ ,b0=11N48π2,dβdln⁡μ=κ=4Nb0=11N212π2(8)\mu\frac{dg}{d\mu}=-b_0g^3+\cdots,\qquad b_0=\frac{11N}{48\pi^2},\qquad \frac{d\beta}{d\ln\mu}=\kappa=4Nb_0=\frac{11N^2}{12\pi^2} \tag{8}

(8) の右は、aa を半分にするごとに β\beta を κln⁡2\kappa\ln2 上げれば同じ物理が保たれる、という一ループの予言です 既知。SU(2) の κ=11/(3π2)\kappa=11/(3\pi^2) は、この端末の記録の「段の式の傾き」と同じ数で、既知の係数を格子の規約で書いたものです（10-12）。

表 6　群ごとの定数（純 SU(N)\mathrm{SU}(N)） 計算
NNdim⁡G\dim Gb0b_02b02b_0κ\kappaκln⁡2\kappa\ln2b0(α)=11N/12πb_0^{(\alpha)}=11N/12\pi（μ2 dα/dμ2=−b0(α)α2\mu^2\,d\alpha/d\mu^2=-b_0^{(\alpha)}\alpha^2、4-06 の表 1）
230.046440.092880.37150.25750.5836
380.069660.139320.83590.57940.8754
図 1　結合の換算器。つまみで Wilson の β\beta を動かすと、六つの書き方の値（●）が対数の目盛りの上で一斉に動きます。縦の破線は四次元（d=4d=4）での Shen–Zhu–Zhu の条件の端 βSZZ=1/(16(d−1))=1/48\beta_{\mathrm{SZZ}}=1/(16(d-1))=1/48、色の帯は条件が成り立つ側です。SU(2)／SU(3) の切り替えで端の位置が変わります。
SU(2)・β = 2.5：β_Ch = 1.25、β_SZZ = 0.625、λ = 3.2、g² = 1.6、α = 0.1273

計算この図の数値はこの端末で計算した。図は (7) をその場で計算します（表 7 と同じ式）。

表 7　換算の数値例と、四次元（d=4d=4）での強結合の条件の端 計算
場合β\betaβCh\beta_{\mathrm{Ch}}βSZZ\beta_{\mathrm{SZZ}}λ\lambdag2g^2α\alpha
SU(2)・β=2.5\beta=2.52.51.250.6253.21.60.12732
SU(3)・β=6.0\beta=6.0620.66667310.07958
SU(2)・条件の端0.083330.041670.0208396483.81972
SU(3)・条件の端0.18750.06250.0208396322.54648

't Hooft の規約の βSZZ\beta_{\mathrm{SZZ}} と λ\lambda では、条件の端が NN に依りません。数値計算でよく使う SU(2) の β=2.5\beta=2.5 と条件の端は、α\alpha で約 30 倍離れています。条件は各文献の規格化のまま読むもので、ここの換算はこの本の算術です。

07

尺度・長さ・質量 — 格子単位と物理単位を分ける

長さと質量の記号は、格子単位（格子間隔を 1 とした数）と物理単位で二重になります。混同すると「格子で隙間がある」と「連続で隙間がある」が同じ文に見えます（4-11）。

mlat=1ξ,Δ=mphys=mlata,ξphys=a ξ(9)m_{\rm lat}=\frac1\xi,\qquad \Delta=m_{\rm phys}=\frac{m_{\rm lat}}{a},\qquad \xi_{\rm phys}=a\,\xi \tag{9}

ξ\xi は格子単位の相関長で、二点相関の指数減衰の速さで決めます（2-08 の (6)）。連続極限では a→0a\to0 と ξ→∞\xi\to\infty を、積 aξa\xi が一定になるように同時に取ります。例。ξ=20\xi=20、a=0.05a=0.05 なら ξphys=1\xi_{\rm phys}=1 です。aa を半分にすると ξ=40\xi=40 が要り、一ループでは β\beta を κln⁡2\kappa\ln2 上げることに当たります。二つの量が定数倍の範囲で同じことは次の記号で書きます。

A≍B⟺∃ 0<c≤C:  c≤A/B≤C(考えている範囲のすべてで)(10)A\asymp B\quad\Longleftrightarrow\quad \exists\,0\lt c\le C:\ \ c\le A/B\le C\quad(\text{考えている範囲のすべてで}) \tag{10}

(10) は比が 0 にも無限大にも行かないことで、冪の指数だけを比べる ln⁡A/ln⁡B→1\ln A/\ln B\to1 より強く、対数の因子のずれを見分けます（§08 の図 2）。

表 8　尺度・長さ・質量の記号
記号意味章注
H, Ω, HH,\ \Omega,\ \mathcal Hハミルトニアン、真空、Hilbert 空間4-11HΩ=0H\Omega=0
Δ, m\Delta,\ mΔ\Delta：問題文の、励起のエネルギーの下界となる定数。mm：Δ\Delta として取れる値の最大（スペクトルの下端）0-03・4-11m=inf⁡σ(H∣Ω⊥)m=\inf\sigma(H|_{\Omega^\perp})。隙間がある ⟺\Longleftrightarrow m>0m\gt0
ξ, mlat, mphys\xi,\ m_{\rm lat},\ m_{\rm phys}相関長（格子単位）、1/ξ1/\xi、mlat/am_{\rm lat}/a2-08・8-03(9)
μ\mu繰り込みの尺度（運動量）4-06添字・測度と同じ字（§09）
Λ\Lambda次元転移の尺度（一ループで μ e−1/(2b0g2)\mu\,e^{-1/(2b_0g^2)}）4-07値は方式に依る。比 m/σm/\sqrt\sigma は依らない
ξRG, a:=1/ξRG\xi_{\rm RG},\ a:=1/\xi_{\rm RG}記帳の長さ bk(β)b^{k(\beta)} と、それで決めた格子間隔10-03この端末の記録の定義。第 5 部の aa とは鎖 (iii) の下で揃う
08

確率・スペクトル・緩和 — 三つの CPC_P と二つの η\eta

本の後半では、揺らぎが均される速さを表す Poincaré 定数 CPC_P が中心に来ます（1-10）。分散を傾きの二乗の平均で割った比の上限です。

CP=sup⁡fVar⁡μ(f)E(f),E(f)=Eμ[∑ℓ∣∇ℓf∣2],λ1=1CP(11)C_P=\sup_f\frac{\operatorname{Var}_{\mu}(f)}{\mathcal E(f)},\qquad \mathcal E(f)=\mathbb E_\mu\Bigl[\sum_\ell|\nabla_\ell f|^2\Bigr],\qquad \lambda_1=\frac1{C_P} \tag{11}

λ1\lambda_1 は μ\mu を保つ Langevin 力学の隙間です。同じ CPC_P の字が三つの量に使われます。(α) 一つの時刻の真空の測度の CPC_P（Δ=1/(2CP(α))\Delta=1/(2C_P^{(\alpha)})。運動項 12p2\tfrac12p^2 の規約、有限自由度で厳密。2-05 §08・10-03 の表 0）、(β) 経路の測度（Wilson 測度）の CPC_P（この端末の記録の CPC_P）、(γ) (β) の傾きをリンクの角度 ϑ\vartheta で測るか場 A=β ϑA=\sqrt\beta\,\vartheta で測るかの正規化の違いです（10-03 の表 0）。

EA=Eϑβ,CP[EA]=β CP[Eϑ],自由近似で  CP(A)=ξ2,  CP(ϑ)=ξ2β(SU(2))(12)\mathcal E_A=\frac{\mathcal E_\vartheta}{\beta},\qquad C_P[\mathcal E_A]=\beta\,C_P[\mathcal E_\vartheta],\qquad \text{自由近似で}\ \ C_P^{(A)}=\xi^2,\ \ C_P^{(\vartheta)}=\frac{\xi^2}{\beta}\quad(\mathrm{SU}(2)) \tag{12}

自由近似は、作用を二次の項だけ残したガウスの自由場とみなす近似で、CP(A)=1/m2=ξ2C_P^{(A)}=1/m^2=\xi^2 となります（mm は格子単位）。(12) の AA は §04 の AA を格子単位で測ったものです（β ϑa=−aAa\sqrt\beta\,\vartheta^a=-aA^a、符号を除いて同じ場）。

\n\n

(12) は、正規化を名指さずに「CP≍ξ2C_P\asymp\xi^2」と書くと文の真偽が変わりうることを示します。冪の指数を比べる文（仮定 H）は β\beta の対数の分しか動かず、二つの正規化で同じ文です。比が定数の範囲に収まるという帯の文は、正規化で真偽が変わります。だからこの本は帯の文を Hband[Eϑ]\mathrm H_{\rm band}[\mathcal E_\vartheta] のように正規化つきで書きます（10-03 §02）。

図 2　正規化を名指す理由（SU(2)・自由近似）。横軸 log⁡10ξ\log_{10}\xi、縦軸 CP/ξ2C_P/\xi^2（対数）。実線が場の正規化 11、破線が角度の正規化 1/β1/\beta。β\beta は、ξ\xi を ξRG\xi_{\rm RG} の一ループの式 ξ≈e3π2β/11\xi\approx e^{3\pi^2\beta/11}（定数倍を除く）で置き換えて結んでいます（漸近スケーリングを仮定 物理）。つまみで ξ\xi を動かすと、局所的な冪の指数 ln⁡CP/ln⁡ξ\ln C_P/\ln\xi が読み出しに出ます。
ξ = 10⁶：β = 5.133、C_P^(ϑ)/ξ² = 0.1948、冪の指数 1.8816（角度）／2（場）

計算この図の数値はこの端末で計算した。図は (12) と一ループの式をその場で計算します（表 9 と同じ式）。

表 9　角度の正規化での CP/ξ2C_P/\xi^2 と局所的な冪の指数（SU(2)・自由近似・ξ\xi を ξRG\xi_{\rm RG} の一ループの式で置き換えて β=113π2ln⁡ξ\beta=\tfrac{11}{3\pi^2}\ln\xi。漸近スケーリングを仮定 物理） 計算
ξ\xiβ\betaCP(ϑ)/ξ2C_P^{(\vartheta)}/\xi^2ln⁡CP(ϑ)/ln⁡ξ\ln C_P^{(\vartheta)}/\ln\xiln⁡CP(A)/ln⁡ξ\ln C_P^{(A)}/\ln\xi
10210^{2}1.71090.58451.88342
10610^{6}5.13260.19481.88162
101210^{12}10.26520.09741.91572
104810^{48}41.06090.02441.96642

角度の正規化の比は 0 に向かうので、Hband[Eϑ]\mathrm H_{\rm band}[\mathcal E_\vartheta] はこの自由近似で破れます。冪の指数 2−ln⁡β/ln⁡ξ2-\ln\beta/\ln\xi は ξ=1048\xi=10^{48} でも 1.97 ですが、2 に向かいます。これは記号の約束を示す例で、ヤン–ミルズの測度の CPC_P について何かを示したものではありません。

指数も二つあります。動的指数 zz は CP≍ξzC_P\asymp\xi^z の冪で、断りの無い η\eta は ηdyn=2−z\eta_{\rm dyn}=2-z です（8-05 §02・2-10）。静的な ηs=2ΔO−(d−2)\eta_s=2\Delta_O-(d-2) は演算子 OO の尺度次元 ΔO\Delta_O から決まる相関の冪で、二つが等しいのは関係 z=2−ηsz=2-\eta_s が成り立つ場合だけです。例。二次元 Ising の Glauber 力学では ηs=1/4\eta_s=1/4、ηdyn=−0.1665\eta_{\rm dyn}=-0.1665 です（8-03）物理。

表 10　確率・スペクトル・緩和の記号
記号意味章注
Eμ, Var⁡μ, ⟨⋅⟩\mathbb E_\mu,\ \operatorname{Var}_\mu,\ \langle\cdot\rangle期待値、分散、物理の期待値1-08⟨ψ,ϕ⟩\langle\psi,\phi\rangle は内積
σ(H)\sigma(H)作用素のスペクトル1-10弦張力 σ\sigma と別
CP, λ1, Eϑ, EAC_P,\ \lambda_1,\ \mathcal E_\vartheta,\ \mathcal E_A(11)(12)1-10・10-03三つの CPC_P：(α)(β)(γ)
τexp, τint\tau_{\rm exp},\ \tau_{\rm int}指数的・積分された自己相関の時間2-10・5-07連続時間の Langevin で τexp=CP\tau_{\rm exp}=C_P
z, ηdyn, ηsz,\ \eta_{\rm dyn},\ \eta_s動的指数、2−z2-z、静的な冪2-10・8-05計量 ημν\eta_{\mu\nu} と別
09

同じ字の別の意味 — 文脈で読み分ける一覧

数学と物理の慣習が同じ字を別のものに当ててきたので、一冊の中で衝突は避けられません。この本は慣習の強いものはそのまま残し、章の冒頭で意味を宣言します。読み分けの目安は「添字と引数」です。例。8-04 の β(ba)=β(a)−κln⁡b+⋯\beta(ba)=\beta(a)-\kappa\ln b+\cdots は、格子間隔を引数に取る Wilson の逆結合で、β 関数 β(g)\beta(g) ではありません。

表 11　同じ字の別の意味
字意味（章）読み分け
β\betaWilson の逆結合（5-01。換算した βCh\beta_{\mathrm{Ch}}・βSZZ\beta_{\mathrm{SZZ}} は §06）／逆温度 1/kBT1/k_BT（2-08。2-07 では輪の長さ βℏ\beta\hbar）／臨界指数 β\beta（2-08 §06、二次元イジングで 1/81/8）／β 関数（4-06）／三つの CPC_P の (β)（10-03）断りが無ければ Wilson の逆結合。β 関数は引数 gg 付き。指数は α,γ,ν\alpha,\gamma,\nu と並べて書く
Δ\Delta質量ギャップ（4-11）／ラプラシアン Δlat\Delta_{\mathrm{lat}}（1-08）／尺度次元 ΔO\Delta_O（8-05。7-08 のスケーリング次元も同じ）／一段の減り Δ(b)\Delta(b) と MCRG の下げ幅 Δβ\Delta\beta（8-04）／余積 Δ(Γ)\Delta(\Gamma)（4-05）／群の量 ΔG\Delta_G（9-01 の Adhikari–Cao。9-02・9-05 の ΔG\Delta_G は質量ギャップ）／差 Δx\Delta x（2-04）尺度次元は演算子の添字付き、ラプラシアンは lat 付き、余積は図を引数に取る。ΔG\Delta_G は章の宣言を見る
η\eta計量 ημν\eta_{\mu\nu}（2-04）／ηdyn,ηs\eta_{\rm dyn},\eta_s（8-05）添字二つなら計量
κ\kappa一ループの傾き（4-06）／ガウス鎖の減衰率 1/ξ1/\xi（2-08）2-08 の中だけ減衰率
λ\lambdaGell-Mann 行列（1-04）／'t Hooft 結合（7-04）／固有値 λ1\lambda_1（1-10）色の添字なら行列、数字の添字なら固有値
σ\sigmaパウリ行列（1-04）／弦張力（5-02）／スピン σx\sigma_x（2-08）／スペクトル σ(H)\sigma(H)（1-10）引数が作用素ならスペクトル
Ω\Omegaゲージ変換 Ω(x)\Omega(x)（3-01）／真空（4-11）点 xx の引数があればゲージ変換
θ\thetaθ 項の角（3-05）／リンク角 2ϑ2\vartheta（§05）／プラケットの gacgac（5-01）QQ と掛かっていれば θ 項
Λ\Lambdaローレンツ変換（2-04）／次元転移の尺度（4-07）行列なら変換
μ\mu時空の添字／繰り込みの尺度（4-06）／測度 μβ\mu_\beta下付きの位置なら添字
aa格子間隔（5-01）／記帳で決めた間隔 1/ξRG1/\xi_{\rm RG}（10-03）／経路の始点（2-07 の 01〜06 節。07 節からは刻みの幅）／色の添字（3-02）上付きなら色。2-07 では節で切り替わる
δ\deltaクロネッカーの δab\delta^{ab}（1-04）／記帳の取りこぼし δ(b)\delta(b)（10-02）添字二つならクロネッカー、倍率 bb の引数なら取りこぼし
PPプラケット PP（5-01）／Poincaré 定数 CPC_P の添字（1-10）／仮定 (P)（A-06）括弧で囲めば仮定、CC の下付きなら Poincaré 定数
HHハミルトニアン（4-11）／仮定 H（10-03）／Ising のエネルギー関数（2-08）仮定は文の名前
II単位行列（5-01 の tr(I−UP)\mathrm{tr}(I-U_P)）／変形 Bessel 関数 Ik(J)=12π∫02πeJcos⁡θcos⁡kθ dθI_k(J)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{J\cos\theta}\cos k\theta\,d\theta（0-04 の 06・07 節）添字 kk と引数があれば Bessel 関数
ゴーストFaddeev–Popov の反可換な場 ca,cˉac^a,\bar c^a（4-08 §03）／Pauli–Villars の正則化の負の重みの状態（4-10）場なら Faddeev–Popov、内積が負の状態なら Pauli–Villars
リンクの向き平行移動は始点から終点へ運ぶ（1-07）／格子のリンク Ux,μU_{x,\mu} はその逆元で x+aμ^x+a\hat\mu から xx へ運ぶ、U≈e−igaAU\approx e^{-igaA}（5-01 §02）／鎖の番号の付け方：3-01 は Uj=U(j+1,j)U_j=U(j{+}1,j)、3-02 は Un=U(n,n+1)U_n=U(n,n{+}1)トレースの値は向きに依らない。指数の符号を比べるときは各章の宣言（5-01 §05 の 1-07 との対応）を見る
TT生成子 TaT^a・指数 T(R)T(R)／時間の長さ（5-02）／温度（2-08）／転送行列 TT（2-08・4-11。T=e−aHT=e^{-aH}）上付きなら生成子。行列の冪やトレースに入っていれば転送行列

寄り道：記号の衝突を無くすことはできるか

寄り道 飛ばしてよい。全部の量に別の字を割り当てれば衝突は無くなりますが、二つの理由でそうしません。一つは文献との距離で、弦張力を σ\sigma 以外で書くと格子の論文の表をそのまま読めなくなります。もう一つは字の数で、量の数はよく使う字体の字の数よりずっと多くなります。正確には、衝突が害になるのは同じ式や同じ表に二つの意味が並ぶときだけです。たとえば 10-03 の表 0 の「(β)」は Wilson の β\beta と同じ表に並ぶので、括弧つきで区別しています。

この章が言えている範囲

事項言えている言えていない
記号の約束（表 1・3・5・8・10・11）この本の各章が使う約束を一か所に集めた一覧。定義はリンク先の章の通り各記号が指す量の性質（存在・正値性など）。それは各章の札の範囲でだけ言える
生成子の規格化 (3) と構造定数（表 2）SU(2)・SU(3) で数値的に確認 計算。標準の約束 既知一般の GG（1-04 の一覧）
ゲージ場の三つの書き方（表 4）(4) の置き換えで互いに翻訳できること。Q=−c2Q=-c_2（3-05 の (2)） 既知—
結合の換算 (7) と定数（表 6・7・図 1）この本の算術としての換算 計算。b0b_0・κ\kappa は既知の一ループ係数の書き直し 既知各文献の条件の中身（条件は文献の規格化のまま読む）
CPC_P の正規化（(12)・表 9・図 2）自由近似と一ループの式（定数を除く）の下での算術 計算格子ヤン–ミルズの測度の CPC_P の大きさ。仮定 H の成否
質量ギャップ—この章は記号の約束だけで、格子の上でも連続でも何も示していない

出典と再現

もの種別出典・道具
各記号の定義（各表の「章」の列）この本の章リンク先の章。一次資料はその章の出典表による
問題文の Δ\Delta・mm の定義一次資料（本文を確認）A. Jaffe, E. Witten, “Quantum Yang–Mills Theory”（Clay の公式問題説明）§4。4-11 の出典表による
Wilson 作用と β=2N/g2\beta=2N/g^2既知K. G. Wilson, Phys. Rev. D 10 (1974) 2445–2459。5-01 の出典表による
βCh\beta_{\mathrm{Ch}} の規約一次資料（本文を確認）S. Chatterjee, “Yang–Mills for probabilists”, arXiv:1803.01950 (2018) §3。5-01 の出典表による
βSZZ\beta_{\mathrm{SZZ}} の規約と条件 1/(16(d−1))1/(16(d-1))本文の (1.2)(1.3) を確認（規格化の読みは 5-04）H. Shen, R. Zhu, X. Zhu, Comm. Math. Phys. 400 (2023) 805–851, arXiv:2204.12737。5-04 の出典表による
一ループの係数 b0b_0 と四つの書き方既知D. J. Gross, F. Wilczek (1973)・H. D. Politzer (1973)、D. Tong の講義録 §2.4、PDG の QCD の章。4-06 の出典表による
三つの CPC_P・Eϑ\mathcal E_\vartheta・EA\mathcal E_A・ξRG\xi_{\rm RG}この端末の記録の定義10-03・10-07 の出典表
ηs\eta_s・ηdyn\eta_{\rm dyn}・zz物理・記録8-05・2-10 の出典表
表 2・表 6・表 7・表 9・(6)・§04 の数値この端末で計算Python 3・NumPy・SciPy：generators.py（規格化・交換関係・カシミール）、constants.py（(7)(8) の算術）、normalisation.py（(12) と一ループの式）。図 1・図 2 は同じ式を素の JavaScript で計算

次に読む章：A-02 用語集（語の意味を一〜三行で引き、章へ飛ぶ）。仮定の名前は A-06 仮定の索引。

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改訂 2026-10-01：初版。