2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 4 部 量子化反射正値性と再構成

Osterwalder–Schrader の公理と再構成 — 反射正値性が確率を量子力学に戻す

ユークリッドの側で作れるのは確率測度 $\mu$ とその積率です（4-02・符号が一つ違う）。問題文が求めるのは Hilbert 空間 $\mathcal H$・$H\ge0$・真空 $\Omega$（4-09）で、§4 は 'Existence includes establishing axiomatic properties at least as strong as those cited in [45, 35].' と書きます。[35] が Osterwalder–Schrader（OS）の二本の論文です 既知。

行きの道（時空から虚時間へ）は解析接続です。帰り道について Schwinger は 1958 年の CERN の会議の討論で 'The question of to what extent you can go backwards, remains unanswered' と述べています（Jaffe 2018 による）。Nelson が Markov 性（現在を知れば過去と未来が独立という性質）の下で帰り道を作り、OS はそれを反射正値性に置き換えました（問題文 §3）既知。

例。一粒子では $\mathbb E[x(\tau)x(0)]=\langle x\psi_0,e^{-\tau(H-E_0)}x\psi_0\rangle$ が行きの道です（2-06 の式 (8)）。06 節はその逆です。

点を $x=(\tau,\vec x)\in\mathbb R^d$ と書き、$\tau$ をユークリッドの時間と呼びます。$n$ 点の Schwinger 関数は $\mu$ の積率で、正確には試験関数でならした $S_n(f)$ が対象です（1-11）。Wightman 関数とは形式的に $x^0\to-i\tau$ の置き換え $S_n=W_n(x_1^E,\dots,x_n^E)$ で結ばれます（Summers §3）既知。

例：質量 $m$ の自由場は共分散 $(-\Delta+m^2)^{-1}$（$\Delta$ はラプラシアン $\sum_\mu\partial_\mu^2$。質量ギャップの $\Delta$ とは別） のガウス測度です（問題文 §6.2）。$p_0$ だけを積分すると（2-04 の式 (11)）

で、$\omega=\sqrt{\vec p^{\,2}+m^2}$ は運動量 $\vec p$ の粒子のエネルギーです。相関の減る速さにエネルギーが書き込まれている——これが再構成の種です。$d=1$ では右がそのまま $S_2(\tau)$ で、04 節の例になります。高次の $S_n$ は $S_2$ の対の積の和です（1-08）。

$\Theta(\tau,\vec x)=(-\tau,\vec x)$ を時間の反転とします。

既知表 1　OS の条件（スカラー場。番号は OS 1975 のものとされる）

表の記号。関数 $f$ の台は $f\ne0$ となる点の集まり（の閉包）で、「正の時間に台を持つ」は $\tau\le0$ で $f=0$ となることです。$\otimes$ は変数を分けて掛けた関数 $(f\otimes g)(x,y)=f(x)g(y)$、$\Theta\overline{f}$ は $\overline{f}$ の各変数の時間を反転したものです。$|f|_k$ は $f$ の $k$ 階までの導関数に多項式の重みを掛けた大きさの上限で、急減少関数の滑らかさと減り方を測ります（1-11）。

(E0) が点の重なりを除くことは、自由場の $S_2$ が $x=y$ で発散すること（$d\ge2$）と合っています。1973 年の論文の証明には超関数のテンソル積の連続性に関わる誤りがあり（Jaffe 2018）、1975 年の第二論文は線形増大の条件 (E0′) を仮定に加えて正しい証明を与えたとされます（二次資料による。OS 1975 は書誌のみ）。Wightman 理論から作った $S_n$ は (E0)〜(E4) を満たすことが示されていますが、(E0′) を満たすとは限りません。そのため、(E0′) を含む OS の公理が Wightman の公理そのものと同値かは分かっていません（Summers §3・脚注 15）。OS 1975 が示したのは、Wightman の理論を修正した形との同値です（Jaffe 2018。修正は増大の条件を足すものとされる）既知。例。自由場は全部を満たし、(E0′) は $S_{2k}$ が $(2k-1)!!\le(2k)!$ 個の対の組み方の和であることから出ます。対の数 $(2k-1)!!$ が $\sigma_n$ に入り、各因子は次数一定のセミノルムで押さえられます。

$F$ を正の時間の場だけで決まる量（例：$F=\sum_jc_j\phi(\tau_j,\vec x_j)$、$\tau_j\gt0$）、$\Theta F$ をその時間を反転したものとします。(E2) は次の形です。

比喩で言えば、未来の量の長さを鏡像との重なりで測る条件です。正確には、過去と未来の相関の二次形式が負にならない条件で、$\mathbb E[|F|^2]\ge0$ と違って自明ではありません。一次元の定常なガウス過程（共分散 $C(\tau-\tau')$）で $F=\sum_jc_j\phi(\tau_j)$ とすると

です。右は二点の $2\times2$ の行列の対角と行列式で、$\log C$ の凸性を要求します。十分条件は、$C(\tau)=\int_{[0,\infty)}e^{-E\tau}d\rho(E)$（$\rho\ge0$）なら左辺が $\int|\sum_jc_je^{-E\tau_j}|^2d\rho\ge0$ になることです。

例：$e^{-\tau^2}$ は反射正値でない

$e^{-\tau^2}$ は正当な共分散です（フーリエ変換が正。Bochner の定理：連続関数 $C$ が正定値、つまりどの $\tau_i$ と複素数 $c_i$ でも $\sum_{i,j}\overline{c_i}c_jC(\tau_i-\tau_j)\ge0$ であることと、そのフーリエ変換が正の測度であることは同値）が、$\log C$ は凹で、$\tau_1=0.2$、$\tau_2=1.5$ では $C(0.4)=0.852144$、$C(1.7)=0.055576$、$C(3.0)=1.234\times10^{-4}$ から行列式が $-2.98\times10^{-3}$ です 計算。（この形に書けない理由：正の $\rho$ なら $C(\tau)\ge\rho([0,E])e^{-E\tau}$ で、指数関数より速くは減れません。これが破れの原因であることは、05 節で必要性を示してから分かります。）

計算この図の数値はこの端末で計算した（(5) の行列をその場で計算）。

計算表 2　「行列」は $[C(\tau_i+\tau_j)]$（$\tau_i=0.1i$、$i\le40$）の最小固有値、「二点」は $\tau_1,\tau_2\in(0,2]$ での (5) の行列式の最小値。

六つとも共分散としては正当で、下の四つが反射正値性を破ります（$(a)_+=\max(a,0)$）。減衰振動は複素の極 $\omega=\pm3\pm i$ を持つ伝播関数の姿で、7-02 の Gribov–Zwanziger の形も複素の極を持ちます。時間方向の相関が負になる場は (5) により反射正値な理論の場として読めません。Landau ゲージの格子計算では、グルーオンの時間方向の相関が負になることが観測されており、物理ではこれをグルーオンが観測される粒子でない表れと読みます 物理。

(4) があれば、あとは線形代数で進みます 既知。① 内積。正の時間の場の有界な関数の全体 $\mathcal E_+$ に $\langle F,G\rangle:=\mathbb E[\overline{\Theta F}\,G]$ を置きます。(4) により $\langle F,F\rangle\ge0$ ですが、$F\ne0$ でも $\langle F,F\rangle=0$ でありえます（半正定値）。それでも Cauchy–Schwarz $|\langle F,G\rangle|^2\le\langle F,F\rangle\langle G,G\rangle$ は成り立ちます（$t$ の二次式 $\langle F+tG,F+tG\rangle\ge0$ の判別式から）。そこから長さ 0 のものの全体 $\mathcal N$ は部分空間になり、長さ 0 の差しかないものを同一視した $\mathcal E_+/\mathcal N$ を完備化して $\mathcal H$ とします（完備化は 1-10）。② ずらす。時間の向きに $s\ge0$ ずらす $U_s$ は正の時間の量を正の時間の量に移し、$\mu$ の平行移動不変性と $\Theta U_s\Theta=U_{-s}$ から

です。③ 縮小。(6) と Cauchy–Schwarz を $n$ 回繰り返すと

で、$\|U_uF\|\le\sup|F|$ なので $n\to\infty$ で $\|U_sF\|\le\|F\|$。長さ 0 は長さ 0 に移り、$U_s$ は $\mathcal H$ 上の $T(s)$ を定めます。④ ハミルトニアン。$T(s)$ は対称で $0\le T(s)=T(s/2)^2\le1$、$T(s)T(u)=T(s+u)$ なので、連続ならスペクトル定理（1-10）から

です。

一次元での必要性と実時間

一次元では $C(\tau+2\varepsilon)=\langle\psi_\varepsilon,e^{-\tau H}\psi_\varepsilon\rangle=\int e^{-E\tau}d\rho_\varepsilon(E)$（$\psi_\varepsilon=[\phi(\varepsilon)]$、$\rho_\varepsilon$ はスペクトル測度。$\phi$ は有界でありませんが、ガウスなら $\mathcal E_+$ を二乗可積分な関数まで広げてよい）なので、04 節の十分条件は必要条件でもあります。したがって $e^{-\tau^2}$ のように指数関数より速く減る $C$ は反射正値になれません。$\int e^{-E\tau}d\rho(E)$ の形を $\rho$ のラプラス変換と呼び、この側では Widder 1934 の特徴づけに当たります。反射正値性との結びつきは Klein–Landau が指摘したとされます（Jaffe 2018）。$H\ge0$ なので $e^{-zH}$ は $\mathrm{Re}\,z\ge0$ で意味を持ち、$z=it$ で時間発展 $e^{-itH}$ です。押し出しは、OS の再構成では Wightman 関数の解析接続から得られます。回転角を虚数に延ばす形（0-04 §02）に抽象化したのが Fröhlich–Osterwalder–Seiler 1983 と Klein–Landau です（Jaffe 2018 §3.3.1）。(E0′) は $W_n$ を得る段で使います 既知。例。$C=e^{-m|\tau|}/(2m)$、$F=\phi(\tau_0)$ なら $\|U_sF\|=e^{-ms}\|F\|$ で、$H$ はこのベクトルの上で $m$ 倍です。

2-07 の表 4 の $H=\frac12p^2+x^4$ で $C(\tau)=\mathbb E[x(\tau)x(0)]$ を作り（基底 240 本で対角化）、$H$ を忘れて $C$ だけで 05 節を行います。$s=0.25$、$F_i=x((i+\tfrac12)s)$（$i\lt n$）として

の一般化固有値問題 $G^{(1)}v=\lambda Gv$（$G$ が正定値なら $G^{-1/2}G^{(1)}G^{-1/2}$ の固有値と同じ）から $E=-\frac1s\log\lambda$ と読みます。$F_i$ の張る部分空間に制限した $T(s)$ の固有値なので、変分原理（1-10）から真の準位の上界です 既知。$G$ が正定値であること（反射正値性）が前提です。$x$ は奇関数なので読めるのは $E_1-E_0$・$E_3-E_0$・… で、重み $|\langle\psi_0,x\psi_n\rangle|^2$ は $n=1$ の 0.287 から $n=7$ の $3.9\times10^{-9}$ まで急に小さくなります 計算。

計算この図の数値はこの端末で計算した（表 3 と同じ計算の結果）。

計算表 3　相関の数表だけから読んだ準位（雑音なし）と $G$ の最小固有値。

$n=3$ で三つの準位が 4〜5 桁で出て、どれも真の値より上です。$n=4$ で $G$ の最小固有値が倍精度の丸めの大きさになり、その先は区別できません。

寄り道：雑音のあるデータ — 帰り道は不安定

ガウス測度では再構成を書き切れます。一次元の $C(\tau)=e^{-m|\tau|}/(2m)$（角振動数 $m$ の振動子）で、$\phi$ の冪を分散 $\sigma^2=C(0)$ で整えた Wick 積（${:}\phi^2{:}=\phi^2-\sigma^2$、${:}\phi^3{:}=\phi^3-3\sigma^2\phi$、一般には Hermite 多項式 $\mathit{He}_k(x)=(-1)^ke^{x^2/2}\frac{d^k}{dx^k}e^{-x^2/2}$ で ${:}\phi^k{:}=\sigma^k\mathit{He}_k(\phi/\sigma)$）を使うと

で、減る速さ $km$ が準位です。この過程（共分散 $e^{-m|\tau|}/(2m)$ を持つ定常ガウス過程を Ornstein–Uhlenbeck 過程と呼びます）では $[{:}\phi^k{:}]$ が固有値 $km$ の固有ベクトルで、$H=m\,a^\dagger a$ です 既知。2-06 の準位 $E_k-E_0=km$（2-06）が相関だけから出ます。例。$m=1$、$k=2$ では $\tfrac12e^{-2\tau}$ で、速さ 2 は二粒子の状態です。

$d$ 次元では (3) により運動量ごとに正の指数関数が並ぶので (E2) が成り立ち（問題文 §6.2）、再構成すると Fock 空間が出て、スペクトルは $\{0\}\cup[m,\infty)$ です（2-06 §08）。既知ヤン–ミルズの作用には質量項が無く（3-02）、隙間は相互作用の出力でなければなりません（4-11）。

紫外を抑える正則化（4-04）は反射正値性を壊しえます。例：Pauli–Villars 型。重い質量 $M$ の伝播関数を引くと、大きい $p$ で $p^{-4}$ と速く減ります。

共分散としては正当ですが、時間の向きでは指数関数の重みが $E=M$ で負です。$m=1$、$M=3$ では $CC''-C'^2=-\tfrac13e^{-4\tau}\lt0$ で $\log C$ はどこでも凹になり、(5) の検査が異なるどの二点でも破れます（表 2 の最後の行）計算。負の重みは内積が負の状態（ゴースト。4-08 §03 の Faddeev–Popov の反可換な場を指す「ゴースト」とは別の意味）に当たります 既知。問題文 §6.5 は、正則化で失った反射正値性を取り戻す方法は少ないと書き、例に次元正則化と Pauli–Villars 正則化を挙げます（引用は 0-03 §03）。

格子は逆です。Wilson の作用は反射正値性を保ち（Osterwalder–Seiler 1978、問題文 §6.5）、転送行列とハミルトニアンが立ちます（例は 0-04 §06、ゲージ理論は 5-03）。代わりに回転を 90° 刻みに落とします。反射正値性は不等式なので極限に引き継がれます（6-01 §07）既知。

観測量。意味を持つのはゲージ不変な量で、局所的なものは $\mathrm{Tr}\,F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}(x)$ のような合成の量です（問題文 §4）。Wilson ループ（3-02）について Chatterjee は Seiler を引いて 'the key observables in these theories do not take values at points, but at curves' と書きます。ゲージ固定。固定した場の相関は一般に反射正値でなく、共変なゲージでは内積が不定の空間を使います（4-08）。Magnen–Rivasseau–Sénéor 1993 は、Feynman ゲージのような共変なゲージは 'cannot be used directly at the beginning because of their lack of positivity' として正則化した軸ゲージを使い、OS の正値性は 'could be shown to hold with some additional work' と見込むにとどまります。体積。$T^4$ の上でも、反射正値な測度が作れれば有限体積の Hilbert 空間と転送行列は得られます（格子の周期箱ではそうなります。連続の $T^4$ 上の構成そのものが未完です。問題文 §6）が、$\mathbb R^4$ の Poincaré 共変な理論には $T^4\to\mathbb R^4$ が要ります（0-04 §09）既知。

例。二次元の Driver 1989 の測度からはゲージ不変な期待値のユークリッド不変性が出ますが、公理の全体は主張されていません（6-02）。問題文 §6.4 は二次元の可換 Higgs 模型（Brydges–Fröhlich–Seiler）を 'the only complete example of an interacting gauge theory satisfying the axioms' と書き（2000 年の評価）、§6.5 は 'Establishing a quantum mechanical Hilbert space is part of the solution to this Millennium problem.' と続けます 既知。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：4-11 質量ギャップの定義。格子の反射正値性は 5-03。

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