2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 6 部 構成的場の理論六つの段

構成的場の理論とは — 場の量子論を「作る」ことを六つの段に分ける

物理の教科書は理論が在ると仮定して計算します。数学の問いはその手前、公理（4-09・4-10）を満たす対象が在るか、です。問題文は、四次元で公理を満たす非自明な相対論的場の理論を一つも知らない、と書いています（JW §6、2000 年）。

問題文は存在を示す方法を二つに分けます（JW §6.1）。(i) 閉じた形の厳密解を見つける。(ii) 近似の問題の列を解き、解が極限に収束することを示す。構成的場の理論（constructive quantum field theory）は (ii) を指し、中心は近似によらない不等式——一様な事前評価——です。既知

ユークリッドの形（4-02）では、作る対象は超関数の空間 $\mathcal S'(\mathbb R^d)$ の上の確率測度 $\mu$ です。その積率

が OS の公理を満たせば、再構成定理でヒルベルト空間とハミルトニアンが得られます（$\phi(f)$ は場を試験関数 $f$ で均した値）。物理では同じ測度を

と書きます。目標の形ですが、右辺の記号はどれも、このままでは数学の対象ではありません。

例：質量 $m$ の自由場は、平均 0・共分散 $C=(-\Delta+m^2)^{-1}$（$\Delta$ はラプラシアン。質量ギャップの $\Delta$ とは別）のガウス測度で、OS の公理を満たしますが、相互作用が無く自明です（JW §6.2）。仕事はガウスでない測度を作ることです。問題文によれば、公理を満たす形の（ガウスでない測度としての）最初の構成は 1970 年代で、二次元の小さい多項式相互作用の場でした（JW §6.2）。

次元で何が切り替わるかを十一行に並べた図は 1-12 §10 図 4（d = 4 で開く。最下段は表 2 の YM の行）。

式 (2) の壊れた場所は三つです。(i) $\mathcal D\phi$：無限次元の空間では、平行移動で変わらず、どの球にも有限の重さを配る測度は 0 しかありません（1-09 §02）。(ii) 点での値：二次元以上では自由場の見本は超関数で、$\phi(x)^4$ に意味がありません（1-11）。(iii) 体積：$\mathbb R^d$ 全体では作用が無限大です。スカラー場の作用は

で、ヤン–ミルズでは場が接続 $A$、作用は曲率 $F$ の二乗の積分です（3-03）。

(ii) は数で見えます。格子 $a\mathbb Z^d$ の自由場の一点の分散は

で、分母は $m^2+|k|^2$ の格子版、運動量は $|k_j|\le\pi/a$ に切られています。

計算表 1　$G_a(0)$（$m=1$）。熱核の表示 $G_a(0)=a^{2-d}\int_0^\infty e^{-m^2a^2 s}\,[e^{-2s}I_0(2s)]^d\,\mathrm ds$（$I_0$ は変形ベッセル関数）の数値積分。$d=1$ は閉じた式 $1/(m\sqrt{m^2a^2+4})$ と 5 桁一致。

二次元以上では分散が無限大に向かい、点での値は確率変数になりません。$\phi^4$ は $a$ に依存する引き算で定義し直す必要があり、これが段 3 の繰り込みの入口です。

壊れた場所を有限のもので置き換え（正則化と有限体積）、最後に外す（二つの極限）。極限が取れたら、公理とスペクトルの隙間を確かめる。問題文も格子について、格子間隔を 0 に、体積を無限大にしたときの期待値の極限を確かめよ、と書いています（JW §6.5）。

段 1〜4 は二重の極限

を作ることで、段 5・6 は $\mu$ の性質です。格子の強結合の結果のように $a$ を固定して $L\to\infty$ を先に取る道もあり、そのとき段 3 は後に残ります。ただし強結合の領域（格子の結合 $g$ が大きく、$\beta=2N/g^2$ が小さい側）は連続極限（$\beta\to\infty$）から離れているので、この道はそのままでは段 3 につながりません。既知

既知表 2　理論ごとの到達点（閉＝定理がある／一部／未／—＝問いが立ちにくい／取らない＝その道では段を通らない）。問題文と一次資料による。年は代表する論文の掲載年（9-01 の年表は最初の公開年で数えるので、Sengupta は 1992–93、Lévy は 2001 になる）。行を選ぶと図 1 が変わる。

表 2 の「—」は、問いがそのままの形では立ちにくいことを表します。二次元のヤン–ミルズには伝播する自由度（遠くへ伝わる波。電磁気の光に当たるもの）が無いので、スペクトルの隙間という問いが四次元と同じ形では立ちません（6-02）。既知「取らない」は、その道では段を通らないことです。格子の強結合では $a$ を固定したままなので、段 3 を通りません。三次元・四次元のヤン–ミルズの段 2 は、格子なら式 (6) で閉じます（§04）。連続のまま有限体積の測度を作ることはまだできておらず、その部分は段 3 の「一部」と要点の欄に書いています。

正則化には格子（場を格子点や辺に置く）と運動量の切断（フーリエ成分を $|k|\le\kappa$ に制限する）があり、どちらも何かを壊します。

格子では有限体積の測度が直ちに意味を持ちます。ゲージ群 $G$ がコンパクトなら

で、$\ell$ は格子の辺、$U_\ell\in G$、$\mathrm dU_\ell$ は Haar 測度（重さ 1 の不変な測度）、$S_W$ は Wilson 作用

です。和は格子の最小の正方形（プラケット）$P$ についてとり、$U_P$ は $P$ の四辺の $U_\ell$ を一周する順に掛けた積です（5-01）。被積分関数は有界で連続、範囲はコンパクトなので $Z_{a,L}$ は有限で正です（JW §6.5）。既知

例：四次元・一辺 16 点の周期格子の辺は $4\times16^4=262144$ 本、SU(3) は実 8 次元なので、式 (6) は 2,097,152 次元の積分です。計算

連続のまま作るのは難しく、三次元のヤン–ミルズでもトーラス $T^3$ の上でまだ構成されていません（Chevyrev 2022）。格子なら段 2 は式 (6) で閉じ（表 2 の「閉（格子）」）、代わりに回転の対称性の回復が段 5 に回ります。

$a\to0$ では、作用の係数（裸の結合）を $a$ に応じて動かさないと、極限は発散するか自明に潰れます。この動かし方が繰り込みです（4-04）。問題文によれば、$\phi^4$ では切断に依存する定数を摂動論の示す形で選べば、定数は発散しても期待値は収束します。二次元では少数の定数で足り、三次元では係数の全部に加えて波動関数の繰り込み、つまり状態のベクトル（2-06 の Fock 空間のベクトル）を切断とともに発散する定数で規格化し直すことが要ります（JW §6.2）。既知

何が要るかは次元の数え方で見当が付きます。既知作用が単位を持たないことから、質量の単位で

です（$g$ はヤン–ミルズの結合）。$d\lt4$ では結合が正の質量次元を持ち（超繰り込み可能）、表面的に発散するダイアグラム（摂動論の各項を図にしたもの。4-03）の型は有限個です。「表面的に」は、図に付く積分の運動量の冪を数えるだけで発散と判定される、という意味です（4-04。教科書として Rivasseau 1991）。$d=4$ は結合が単位を持たない境目です。表 1 も同じ数え方で読めます。$[\phi^2]=d-2$ なので $G_a(0)$ は $a^{2-d}$ で増え、$d=2$ では対数になります（1-12）。

例：二次元では積を ${:}\phi^4{:}_a=\phi^4-6G_a(0)\phi^2+3G_a(0)^2$ と定義し直し（Wick の順序積）、これと真空のエネルギーの定数で足ります（JW §6.2 の $\alpha,\gamma$）。

示したいのは、期待値が $a$ によらない定数で抑えられること、

です。一様な評価 (8) があれば、測度の列から弱い意味で収束する部分列が取れます（有界な数列から収束する部分列が取れることの、測度の版）。ただし極限は一意とは限らず、公理やギャップは別の問題です。問題文は、コンパクト性による弱い存在だけでは、極限の性質を別に示さない限り解と認めない、としています（JW 脚注 2）。四次元は 6-07 で扱います。

$L\to\infty$ には $L$ によらない評価が要り、とくに遠く離れた量がほぼ独立になること（クラスター性）が鍵です。問題文は評価の立て方として (a) 相関不等式、(b) 対称性、(c) 収束する展開（クラスター展開）を挙げ、(a) はスカラー場や可換なゲージ理論に限られがちで、(c) が中心の道具になったとしています（JW §6.1）。示したい形は

です（$B_x$ は $B$ を $x$ だけずらしたもの）。減衰の速さ $m$ があれば、箱の縁の影響は $e^{-mL}$ 程度しか届きません。

例：一次元の鎖で、長さ $L$ の輪の一点の分散と無限の鎖の値の差は、$L$ が大きいとほぼ $e^{-mL}/m$ です。$m=1$ なら $L=16$ で $1.1\times10^{-7}$、$m=0.1$ ならまだ 2.5。近づく速さは $m$ が決めます。計算

四次元のヤン–ミルズでは、長い距離で結合が強くなると考えられています。物理これは摂動論の繰り込み群から来る見方です（4-04）。MRS 1993 §I は、赤外の切断を外さない理由として 'this would lead to large values of the coupling constant'（結合定数が大きな値になってしまう）と書き、さらに 'there is no easy solvable model of these phenomenons around which to expand'（展開の出発点にできる、これらの現象の簡単に解ける模型が無い）と書いています。

比喩で言えば、展開の足場が無くなります。正確には、展開の出発点にできる解ける模型も、展開に使える小さいパラメータも無い、ということです。問題文も $T^4\to\mathbb R^4$ を得る方法を今の手法は示唆しない、としています（JW §6）。

正則化で成り立つ公理は極限に引き継がれやすく、壊したものは取り戻す必要があります。要は反射正値性です。時間の反転 $\Theta:t\mapsto-t$ について、$t\gt0$ の場だけに依る $F$ に対し

が成り立つこと。これがヒルベルト空間とハミルトニアンを取り出す条件です（5-03）。

式 (10) は不等式なので、極限に引き継がれます。既知条件は三つです。極限をとる $F$ が、正の時間の側の格子の場だけに依る関数で近似できること。その期待値が収束すること。反射の面が格子の面（格子点を通る面か、隣り合う格子点の間の面）であること。このとき各 $\mu_{a,L}$ での非負の値の極限なので、極限でも非負です。格子ゲージ理論では、格子の面についての反射正値性が示されています（Osterwalder–Seiler 1978。MRS 1993 §I もこれを文献として引いています）。

逆に、失った反射正値性を取り戻す方法は乏しく、ヒルベルト空間を立てること自体が問題の一部だと問題文は書いています（JW §6.5）。格子で壊した回転の対称性は、回復を別に示します。既知

例：ガウス測度では、反射正値性は $\Theta C$ を正の時間の側に制限したものの正値性と同じです（JW §6.2）。一次元では $C(t)=e^{-m|t|}/(2m)$ なので、$t_i,t_j\gt0$ で

と平方になります。格子の鎖で 40 点・乱数の $f$ を 20000 本試すと、最小値は $1.4\times10^{-8}$ で負になりません。平方なので当然で、これは式の確かめです。対照として、符号を変えた共分散 $-C(t_i+t_j)$ では行列の最小固有値が $-2.49$ になり、反射正値性が成り立ちません。計算

確率量子化（6-09）は測度を方程式の不変測度として作るので、反射正値性は出力に含まれず、別に示す課題になります。

次に、ハミルトニアンのスペクトルの隙間を問います（4-11）。ユークリッドの側では相関の減衰の速さです。格子では時間方向の減衰率が格子単位の隙間 $m_{\rm lat}$ で、物理の単位のギャップは

です。これが正で有限で、しかも体積に一様であることを示したい。

有限の箱の格子では、隙間は自動的に在ります。既知転送行列 $T$ は、時刻 $t$ の切り口（その時刻の格子の場の値の組 $u$）から時刻 $t+a$ の切り口 $v$ へ重みを運ぶ積分作用素

です。核 $K(u,v)$ は、二つの時刻をつなぐ作用の部分 $S_{t,t+a}(u,v)$ から $e^{-S_{t,t+a}(u,v)}$ として作ります。反射正値性から $T$ は正の作用素になり、ハミルトニアンは $T=e^{-aH}$ で決まります。場の値の範囲が有界で閉じていて（ゲージ群がコンパクトな格子ゲージ理論はこれに当たる）、核が連続かつ正なら、最大固有値 $\lambda_0$ は重複しません。成分がすべて正の行列についての Perron–Frobenius の定理の、無限次元の版（Jentzsch の定理の一般化）です 既知（一般化は Schaefer 1974。出典は 5-03）。よって次の固有値 $\lambda_1$ との比は $\lambda_1/\lambda_0\lt1$ で、隙間 $-\log(\lambda_1/\lambda_0)/a\gt0$ が在ります（5-03。格子ゲージ理論の正の自己共役な転送行列は Osterwalder–Seiler 1978）。問われるのは $a\to0$・$L\to\infty$ のもとでの一様さで、問題文は、体積に一様なギャップには新しい考えが要ると書いています（JW §6.5）。

例：$m=1$ の鎖では $m_{\rm lat}/a$ が 0.9624（$a=1$）、0.9974（$a=0.25$）、0.99990（$a=0.05$）と 1 に近づき、格子単位の $m_{\rm lat}$ そのものは $a=0.05$ で約 0.05 と 0 に向かいます。連続極限では格子単位の隙間は閉じていくのが正しい姿で、見るべきは比 (12) です（5-09）。転送行列の固有値の比 $-\log(\lambda_1/\lambda_0)/a$ は、相関の減衰率と一致し、差は $5\times10^{-14}$ 以下です。計算

表 2 の各行は、段 1 から順に閉じていく様子を並べたものです。第 6 部の各章は、その「閉」がどの道具で得られたか、「一部」「未」がどこで止まっているかを、段ごとに追います。二次元のヤン–ミルズとスカラー場は段が通った例として、クラスター展開と繰り込み群はそれが効く段の道具として、三次元・四次元の章は止まっている段の記録として読むと、各章の位置が分かります。一つの章が複数の段に触れることもあるので、下の対応は主に扱う段です。

• 段 1〜4：6-02 二次元のヤン–ミルズ
• 段 1〜6：6-03 $\phi^4_2$・$\phi^4_3$（六段が通った例）
• 段 4・6：6-04 クラスター展開
• 段 3：6-05 繰り込み群、6-06 三次元、6-07 四次元、6-08 自明性、6-12 寄り道：1/0
• 段 2・3 を別の道で：6-09 確率量子化
• 全部：6-10 四次元で止まる場所、6-11 発散以外の障害、9-01 年表

この章が言えている範囲

出典と再現

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