2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 4 部 量子化摂動論・Feynman ダイアグラム

摂動論と Feynman ダイアグラム — ガウス積分のまわりで展開すると、項が図になる

ユークリッドの経路積分（4-02 の (3)）で厳密に計算できるのは、作用が場の二次式、つまりガウス積分のときです（2-07 §02）。そこで作用を二次の部分 $S_0$ と相互作用 $S_{\mathrm{int}}$ に分け、$e^{-S_{\mathrm{int}}}$ を展開します（$\langle\cdot\rangle_0$ は $S_0$ だけの期待値）。

和と積分の入れ替えは形式的です（§08）。例。場の代わりに実数一つ $x$ を取り、$S=\frac12x^2+\frac{u}{4!}x^4$（$u\ge0$。4-04 と同じ約束）とします。時空が一点だけの「ゼロ次元の場の理論」です。$\langle x^{2k}\rangle_0=(2k-1)!!$（1-08 §06）から

です（$\sim$ の意味は §08。係数は分数で計算 計算）。図の値がすべて数になるので勘定を手で確かめられ、四次元でも図の形と重みの勘定は同じです。展開の各項は、ガウス分布の下での多項式の平均、つまり正規分布の積率だけで書けます。難しい積分は一つも残らず、残るのは「数え上げ」だけです。

(2) の $n$ 次の項は、$4n$ 個の $x$ を二つずつ組にする方法の数でした（Isserlis の公式、物理では Wick の定理。1-08 の (9)）。$\frac{u}{4!}x^4$ の一つを脚が 4 本の点（頂点）で描き、組にした脚を線で結びます。結んだ後の形が同じ組み方は値も同じなので、形ごとにまとめます。これが Feynman ダイアグラム（図）です。

分母は頂点と脚の並べ替えの数で、ふつうはちょうどこの数の組み方が一つの形を作ります。形に対称性があると並べ替えの一部が同じ組み方を返して数が減り、その比が対称因子 $S(\Gamma)$、正確には図の自己同型（頂点の入れ替えと脚の付け替えのうち、線のつながり方を変えないもの）の数です 既知。例。頂点一つなら組み方は 3 通りで、どれも「8 の字」です。$3/4!=1/8$ が (2) の $u$ の係数で、輪の入れ替えと各輪の反転で $S=2\cdot2\cdot2$ です。

計算この図の数え上げはブラウザの中で行い、表 1 と一致することを確かめてある。番号は頂点の脚、x・y・1〜4 は外の点（外から入れた $x$）。

寄り道：1949 年の論文と翌年の定理

表 1 には外の点につながらない部分（真空の泡）を含む図も混じっています。離れた部分からなる図の値は部分の値の積で、(1) の分母 $Z$ は泡だけの図の和なので、割り算で泡は消えます。さらに図全体の和は連結な図の和の指数です。同じ連結な図 $C$ が $k$ 個並ぶと入れ替え $k!$ が $S$ に加わり、$\sum_kC^k/k!=e^C$ となるからです 既知。ゼロ次元では線の値が 1 なので、図の値は $(-u)^n/S$ です。

例。$u^2$ では、連結な真空の図の $\frac1{16}+\frac1{48}=\frac1{12}$ が $\log Z$ の係数 $\frac{35}{384}-\frac12\cdot\frac1{64}=\frac1{12}$ と一致し、連結な二点の図の $\frac14+\frac14+\frac16=\frac23$ が $\langle x^2\rangle$ の係数です。逆に読めば積分一つが図を数える母関数で、曲面の上の図の数え上げ（Bessis–Itzykson–Zuber 1980、7-04）につながります。

四次元の場でも手順は同じです。$d$ 次元の作用

の二次の部分は共分散 $G=(-\Delta+m^2)^{-1}$（$\Delta$ はラプラシアン $\sum_\mu\partial_\mu^2$。質量ギャップの $\Delta$ とは別） のガウス測度で（4-02 §06）、Wick の定理はそのまま使えます。変わるのは二点です。線の値が伝播関数 $G(x-y)$ になり（点 $x$ の場の揺らぎが点 $y$ にどれだけ伝わるかの度合いで、離れるほど小さくなります）、頂点は時空のどこにでも置けるので、その位置 $z$ を積分します。

第二項は「輪つきの線」で、ゼロ次元の $\langle x^2\rangle=1-\frac u2+\cdots$ の数 1 が伝播関数に替わっただけです。四点の最低次「×」は $-u\int d^dz\prod_iG(x_i-z)$ で、四つの粒子が一点で出会うと読めます。正確には、その点の位置を全空間で積分するという意味です。注意。$G(0)$ は $d\ge2$ で無限大で（1-11）、一次から発散します。その扱いが 4-04 で、そこでの $T(\Lambda)$ がこの輪です。

$G(x)=\int\frac{d^dp}{(2\pi)^d}\frac{e^{ip\cdot x}}{p^2+m^2}$（1-11 の (10) の $\hat G$ をフーリエ逆変換したもの。回転は 4-02 の (5)）を入れて頂点の位置を積分すると $\int d^dz\,e^{i(p_1+\cdots+p_4)\cdot z}=(2\pi)^d\delta^{(d)}(p_1+\cdots+p_4)$、つまり各頂点で運動量が保存します。ここの $\delta$ は、平面波を全空間で積分すると波数が 0 のところにだけ値が集まるという 1-11 の関係です。位置の積分が、運動量の足し算の条件に替わります。内線 $I$ 本に条件が $V$ 個、そのうち一つは全体の保存で外線だけに掛かるので、連結な図で自由に残る運動量の数は

で、これは図の独立な輪（ループ）の数です 既知。規則は、線ごとに $1/(p^2+m^2)$、頂点ごとに $-u$、ループごとに $\int d^dk/(2\pi)^d$、全体に $1/S$ です。例。四点の一ループの「泡」は $I=V=2$、$L=1$ で、運動量 $P$ が流れ込むと

です。二点の「三本でつなぐ」図は $I=3$、$V=2$、$L=2$ で二重の積分です。(8) は大きい $|k|$ で $k^{d-1}dk/k^4$ のように振る舞い、$d=4$ で対数発散します。三通りの泡を足して符号を変えたものが 4-04 の (4) の一ループの項です。

重みを $e^{-S_E/\hbar}$ に戻すと、伝播関数は $\hbar$ 倍、頂点は $1/\hbar$ 倍です。外の点へ行く線も含めて線 $I'$ 本・頂点 $V$ 個・外の点 $E$ 個の連結な図では、外の点も点と数えて $L=I'-V-E+1$ なので

です。$E$ を決めると $\hbar$ の冪はループの数で決まります（Srednicki §21）既知。最低次はループの無い図（木）で、Boulware–Brown（1968）の要旨は、源の作る古典の場が 'the generating functional of the tree-graph approximation' だと書きます 既知。

例。ゼロ次元に源を足した $\frac12x^2+\frac u{4!}x^4-Jx$ の古典解は $x_{\mathrm{cl}}=J-\frac u6J^3+\frac{u^2}{12}J^5-\frac{u^3}{18}J^7+\cdots$ です。一般に $x_{\mathrm{cl}}=\sum_k(-1)^kT_k\,(u/6)^kJ^{2k+1}$ と書け、$T_k=1,1,3,12,55,\dots$ は三分木の数です。$u=1$、$J=0.8$ で数値積分すると、$(\langle x\rangle-x_{\mathrm{cl}})/\hbar$ は $\hbar=0.1,\,0.01,\,0.001$ で $-0.2167,\,-0.2266,\,-0.2277$ と、一ループの図（$x_{\mathrm{cl}}$ のまわりの輪つきの線）の値 $-0.2278$ に近づきます 計算。ヤン–ミルズでは $\hat A=gA$ と取り直すと作用は $\frac1{2g^2}\int\mathrm{tr}\,\hat F^2$（4-02 の (7)）で、重みには $g^2\hbar$ の組でしか入らず、ループ展開は $g^2$ の展開です（3-03）。

約束は 3-02 と同じで、$g$ を分けて書き、$F^a_{\mu\nu}=\partial_\mu A^a_\nu-\partial_\nu A^a_\mu+gf^{abc}A^b_\mu A^c_\nu$、$S_E=\frac14\int F^a_{\mu\nu}F^a_{\mu\nu}\,d^4x$ です。二次・三次・四次に分けると（3-02 の (11) を 4-02 §04 のとおりユークリッドに読み替えたもの。添字はすべて下付きで、繰り返す添字は 1〜4 で和を取る）

二次の核は運動量で $K_{\mu\nu}=p^2\delta_{\mu\nu}-p_\mu p_\nu$ で、$p_\mu$ を 0 に送ります。$A_\mu=\partial_\mu\lambda$ は作用を変えない無限小のゲージ変換の向きだからです（4-02 §07）。逆行列が無いので伝播関数が作れません。ゲージを固定する項 $\frac1{2\alpha}\int(\partial_\mu A^a_\mu)^2$ を足すと（正当化は 4-08）

で、$\alpha=1$（Feynman ゲージ）なら $\delta^{ab}\delta_{\mu\nu}/p^2$ です（4-08 と同じ字です）。運動量への移り方は $A^a_\mu(x)=\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}e^{ip\cdot x}\tilde A^a_\mu(p)$（微分は $ip_\mu$ に替わる）とします。頂点は、作用の $n$ 次の項を $\tilde A$ で $n$ 回微分したものの符号を変えたもの（$(2\pi)^4\delta(\sum p)$ を除く）で、$e^{-S}$ の符号がここに入ります（運動量はすべて流れ込む向き）。フーリエの向きを逆に取ると (12) の $i$ の符号が逆になります。

三点は運動量に比例し、四点は運動量によらず、どちらも $f^{abc}$ を含みます。例。(10) に平面波を入れて係数を直接取り出し、SU(2) と SU(3) の乱数の運動量・偏極・色 20 組で (11)〜(13) と比べると、相対誤差は最大 $8\times10^{-13}$ でした計算。

ゴースト。Faddeev–Popov（1967）の要旨は 'Feynman and De Witt showed, that the rules must be changed for ... diagrams with closed loops' と書き、経路積分から任意の図の規則を得る方法を提案しました。結果は、伝播関数 $\delta^{ab}/p^2$ のゴーストと、ゴースト二本・ゲージ場一本の頂点を足し、ゴーストの閉じたループごとに $-1$ を掛ける規則です（Srednicki §71）既知。$-1$ は、ゴーストが反可換な数（4-08）であることから来ます。導き方と、前提の局所的なゲージ固定の限界（3-04）は 4-08 です。

(2) の係数 $a_n$ の比は $|a_{n+1}/a_n|=\frac{(4n+1)(4n+3)}{24(n+1)}\approx\frac{2n}{3}$ で、$a_n$ はおよそ $n!\,(2/3)^n$ の速さで増え、どの $u\gt0$ でも級数は収束しません。$u\lt0$ で積分 (2) が発散することも同じ事情を示します。量子電磁力学でこの形の議論をしたのが Dyson（1952）で、要旨は結論を 'tentatively'（暫定的に）と断っています（4-12）。それでも、Taylor の剰余 $\bigl|e^{-s}-\sum_{n\lt N}(-s)^n/n!\bigr|\le s^N/N!$（$s\ge0$）に $s=\frac{u}{4!}x^4$ を入れて積分すると

です 既知。$N$ を決めて $u\to0$ とすれば誤差は $u^N$ の速さで消えます。これが漸近級数で、(2) の $\sim$ の意味です。$u$ を決めて $N$ を増やすと誤差は下がってから上がり、最良は項が最小になる $N\approx3/(2u)$ の辺りです（項の大きさの谷は 4-12 の図 1 で動かせます）。

$u=1$ では何も足さない $N=0$ が最良です。(14) は $u\le1$、$N\le16$ で数値でも成り立ちました 計算。場の理論について問題文は、多くの既知の例で（'In most known examples'）摂動級数は 'divergent expansions' だと書き（Jaffe–Witten §6.1）、構成された二次元の模型では散乱行列が 'an asymptotic series in the coupling constants' に展開できると書きます（§6.2）。四次元のヤン–ミルズには、級数が何の漸近展開なのかを言うための理論がまだありません。

各次数の係数は図の積分の有限和で、繰り込みの後に各次数が有限になることは、ゲージ理論を含めて定理です（4-04 §08・4-05）既知。級数の和は一般に意味を持ちません。摂動論に映らないものもあります。伝播関数 (11) は $p=0$ に極を持ち、質量 0 の粒子を表します。質量ギャップが在るなら、$\Lambda\propto e^{-1/(2b_0g^2)}$ のように $g^2$ のどの次数でも 0 に見える形で来ると考えられています（4-07）物理。問題文 §6.6 も 'the mass gap is not classically visible' と書きます。

それでも摂動論は問題文の条件に入っています。§4 は、構成された理論の相関関数が短い距離で漸近自由と摂動的な繰り込み理論の予言に合うことを求めます（引用は 0-03 §07）。摂動論は理論を作る方法ではなく、作った理論が満たすべき目印です。漸近自由は 4-06、大 $N$ は 7-04 です。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：4-04 発散と繰り込み。(6) の $G(0)$ と (8) の対数発散を、測った結合で書き直します。

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