2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 4 部 量子化Λ・exp(−1/g²)

次元転移と Λ — 尺度の無い古典論に、量子論が尺度を一つ持ち込む

$\hbar=c=1$ では長さは質量の逆数で、すべての量を質量の冪で測れます。作用 $S=\frac{1}{2g^2}\int\mathrm{tr}\,F_{\mu\nu}F_{\mu\nu}\,d^dx$ の結合の次元は

です（2-04・1-12）。三次元なら $g^2$ そのものが質量で、$m=c\,g^2$ と書けます（6-06）。四次元では $g$ が無次元なので、古典の材料からは質量が作れません。古典の波は分散 $\omega=|\mathbf k|$ で、問題文も 'massless waves that travel at the speed of light' と書きます（§1）既知。静止した有限エネルギーの解（塊）もありません（3-03。Deser 1976・Coleman 1977）既知。

例。BPST インスタントンの作用 $8\pi^2/g^2$ は大きさ $\rho$ に依りません（3-05）。古典解には好みの大きさが無いのです。量子論で $\Delta\gt0$ なら、その尺度は古典の作用の外から来るはずです。問題文 §6.6 の 'the mass gap is not classically visible' はこの事情です（§05）。

4-06 の $\beta(g)=\mu\,dg/d\mu$ は一階の常微分方程式です。変数を分けて積分すると

です。右辺の下端の自由度を定数として左辺に出したのが $\Lambda$ で、積分定数なので流れのどの点から計算しても同じ値です。一ループ（$\beta=-b_0g^3$）で定数を 0 に選ぶと

で、$\ln\Lambda$ を $\ln\mu$ で微分すると $1+\beta/(b_0g^3)=0$ です。格子の SU(2)（$\beta=4/g^2$）で書き直すと $1/(a\Lambda)\propto e^{3\pi^2\beta/11}$ で、第 10 部の記帳の長さ $\xi_{\rm RG}$ の一ループの部分と同じ式です（10-03 §01）既知。二ループ以上では下端の約束が要ります。広く使われるのは Capitani ほか 1999 の式 (2.7) です。

角括弧の中は $x\to0$ で有限なので、下端に 0 が使えます。PDG の総説は $\Lambda$ を 'a constant of integration, which corresponds to the scale where the perturbatively-defined coupling would diverge' と説明します 既知。

例（表 2）。二ループの β を厳密とみなし、SU(3) で $g^2(\mu_0)=2$ から流れを数値で積分しました。式 (4) は 9 桁まで一定です。式 (3) は $\mu$ を $10^{16}$ 倍するあいだに 2.7 倍ずれ、前の冪だけ付けた式も差が 4.6% から 0.43% へ縮むだけです。数値には定義の式を添えます。

計算python3（RK4）。式 (4) の積分は閉じた形と数値積分が 9 桁一致。

式 (3) を裏返すと、$\Lambda$ 一つで流れ全体が決まります。

$\Lambda$ は $\mu/\Lambda$ の形でしか入りません。$\Lambda$ を 2 倍にするのは質量の単位を半分にするのと同じで、「$\mu_0$ での結合を選ぶ」一径数の族は、単位を除けばただ一つの理論です。無次元の $g$ が次元を持つ $\Lambda$ に置き換わりました。これを次元転移（dimensional transmutation）と呼びます 物理。

Tong は、この考えが Coleman と E. Weinberg の 1973 年の仕事から知られていたと書きます（Tong §2.9）。E. Weinberg の同年の学位論文は、質量の無いスカラー場の電磁気学で、量子効果によって生じた真空期待値 $\langle\phi\rangle$（スカラー場の真空での値で、質量の尺度になるもの）を変えることは 'completely equivalent to changing the scale in which masses are measured' だと書きます 既知。純ヤン–ミルズには無次元の結合が残らず、残る入力は群（$N$）と θ 角（3-05）だけです。

計算この図の数値はこの端末で計算した（図は式 (3)(5) をその場で評価）。細線の $\Lambda/\mu_0$ は $3.44\times10^{-4}$ から $0.106$ まで動くが、$\mu=10\Lambda$・$10^3\Lambda$・$10^6\Lambda$ の $g^2$ はどれも 3.117・1.039・0.520。

尺度の出所は切断です。格子なら $\Lambda$ は組 $(a,g_0)$ から作られます（4-06 の式 (8)）。

質量の次元を持つ物理量を計算すると、次元解析から $m=\mu\,F(g(\mu))$ の形です。$m$ は $\mu$ の選び方に依らないので

で、解は $F(g)=C\exp\!\big(-\int^g dg'/\beta(g')\big)$ です。式 (2) と比べると

で、$C$ は純数です。式 (6) は異常次元の無い物理量の繰り込み群方程式（4-04）です。弦張力なら $\sigma=C'\Lambda^2$ で、比 $m/\sqrt\sigma$ は $N$ と θ だけで決まる純数になり、調整できる値はありません 物理。これが「尺度は一つ」の中身です（7-01・7-12）。

式 (6) の解には $C=0$ も含まれます。言えるのは「質量が在るなら $\Lambda$ の定数倍」までで、$C\gt0$ は言えません。質量ギャップの問題は、理論を構成し、真空の次の状態について $C\gt0$ を示せという問題だと読めます（0-03・4-11）。

例（表 3）。格子の数値は無次元の比で出ます（$r_0$ は 4-06 の長さ）。$m(0^{++})$ は、スピン 0・パリティ正・荷電共役正の最も軽いグルーボールの質量です（5-08）。

計算最終行は python3 で割り、誤差を独立として伝播。物理どれも格子からの外挿で、連続理論が在ることを前提に読む（7-01）。

一ループで式 (7) を書き直すと

です。$f(x)=e^{-1/x}$（$x\gt0$）、$f(x)=0$（$x\le0$）は $x=0$ で何回でも微分でき、導関数はすべて 0 です。$f^{(n)}(x)=P_n(1/x)\,e^{-1/x}$（$P_1(u)=u^2$、$P_2(u)=u^4-2u^3$）で、多項式は $e^{-u}$ に勝てないからです 既知。(8) を $g^2$ の冪に展開すると係数はすべて 0 です。

摂動論（4-03）は $g^2$ の冪級数を計算するので、(8) の形の量はどの次数でも 0 に見えます。問題文 §6.6 は、ギャップが古典的に見えないので、それを示すには古典的でない変数の取り替え（'change of variables or “duality transformation.”'）が要るかもしれないと書きます 既知。Gross–Neveu 1974 の要旨も、漸近自由な理論で動的に生じる質量は 'must depend on the coupling constants in a nonanalytic fashion, vanishing exponentially when these vanish' と述べます（繰り込み群の水準）。二重井戸のトンネルの隙間も同じ型です（2-05）。

例（表 4）。係数を 1 とした目安で、$\alpha=g^2/4\pi$ の $n$ 乗が $\Lambda/\mu$ まで下がる次数 $n^*=\ln(\Lambda/\mu)/\ln\alpha$ は、$g^2=1$ で 2.8、$g\to0$ で際限なく増えます。実際の係数は次数とともに増え、級数は発散すると考えられています（4-12）。

計算python3。右端（§08）は $(\Lambda/\mu)^{11}$ と全桁で一致。$P_n$ は $n=6$ まで確かめた。

厳密な例は二次元の量子力学にあります。$\hbar^2/2m=1$ の単位で、$d$ 次元のデルタ関数の井戸

を考えます。$\delta^d$ は長さの $-d$ 乗、$\nabla^2$ は $-2$ 乗の次元なので、$g$ は長さの $d-2$ 乗の次元で、$d=2$ で無次元です。四次元のヤン–ミルズと同じ状況です。フーリエ変換を $\hat\psi(\mathbf k)=\int\psi(\mathbf x)\,e^{-i\mathbf k\cdot\mathbf x}\,d^dx$（1-11）とすると、$\delta^d$ の変換は 1 です。束縛状態 $E=-\kappa^2$ は $(k^2+\kappa^2)\,\hat\psi(\mathbf k)=g\,\psi(0)$ を満たすので、$k^2+\kappa^2$ で割って積分すると

が出ます（$K$ は運動量の切断）。$d=2$ の右辺は $(g/4\pi)\ln(1+K^2/\kappa^2)$ で、四次元のヤン–ミルズの一ループと同じく対数的に発散します（4-04）。解くと

で、式 (8) と同じ形です。繰り込みは $E_B$ を固定して $K\to\infty$ とする操作で、$g(K)=4\pi/\ln(1+K^2/E_B)$ と結合を 0 に近づけます。$K^2\gg E_B$ で

で、符号は負、つまり漸近自由です。極限に残る径数は $E_B$ だけです。ここまでは運動量の切断での初等的な計算です 計算。

数学の側では、切断を外す極限で、ハミルトニアンは束縛状態をただ一つ（エネルギー $-E_B$）持つ自己共役作用素に収束する（レゾルベント $(H-z)^{-1}$ の意味で）ことが知られています（Albeverio ほか、第 I 部 5 章。書誌のみ）既知。そこでの極限の取り方は、短い距離のポテンシャルを縮めながら結合を対数で繰り込むもので、上の運動量の切断とは別の道筋です。教材としては Gosdzinsky–Tarrach 1991 があります（書誌のみ）。

計算この図の数値はこの端末で計算した。式 (10) の閉じた形は数値積分と 11 桁一致、$K\,dg/dK$ は $K\ge10^4$ で $-g^2/2\pi$ と一致（比 1.000000）。$g_2$ を 1% 動かしたときの $E_B$ の倍率は $K=10$ で 1.05、$10^{12}$ で 1.73。

$d=1$ では $E_B=g^2/4$ は $g$ の冪で、$g(K)$ は 2 に落ち着きます。$d=3$ では $g$ を臨界値 $2\pi^2/K$ に冪で寄せる必要があります。結合の質量次元が正・0・負の場合で、四次元のヤン–ミルズは $d=2$、三次元のヤン–ミルズは $d=1$ の側です（類比）。

寄り道：金属の Cooper 対

$\Lambda$ の値は結合の定義（方式）で変わります。方式 A の $g$ と B の $\tilde g$ が $\tilde g=g+c\,g^3+O(g^5)$ でつながると、$1/\tilde g^2=1/g^2-2c+O(g^2)$ なので、式 (3) から

です。$b_0,b_1$ が方式に依らないので（4-06）、式 (4) の $\Lambda$ ではこの比がちょうど成り立ちます。Celmaster–Gonsalves 1979 の要旨は、二つの方式の $\Lambda$ の比は 'a pure number which we show is exactly deducible from our one-loop results' と書きます 既知。

例（表 6）。MS（最小引き算：次元正則化で現れる極だけを引く方式。4-04）と、PDG が標準とする $\overline{\mathrm{MS}}$（極と一緒に定数 $\ln4\pi-\gamma_E$ も引く方式。Bardeen ほか 1978）は尺度の読み替え $\mu^2\to\mu^2e^{\gamma_E}/4\pi$ だけ違い、比は $\sqrt{4\pi e^{-\gamma_E}}=2.656$ です。格子の Wilson 作用との比 28.81（SU(3)、4-06）も、$1/g^2$ のずれでは 0.468 にすぎません。一ループの差が $1/b_0$ 倍されて指数に入るので、$\Lambda$ は一桁以上変わります。

計算python3。$\tilde g=g(1+cg^2)$ から方式 B の β を作り、式 (4) を数値積分した比は $\mu/\mu_0=1$〜$10^{16}$ で 6 桁一定。前の冪だけの式の比は 6.76→23.08（SU(3)）と遅い。

$m/\sqrt\sigma$ のような物理量どうしの比は方式に依りません。$r_0\Lambda$ は方式を名指して初めて一つの数です。MeV を付けるには別の量を借ります（7-01）。

§01 の古典の尺度対称性は、量子論で二か所に跡を残します。一つはインスタントンの大きさで、古典では自由だった $\rho$ が結合の走りで区別されます（Tong §2.3.1–§2.3.2）。尺度 $1/\rho$ での結合を使うと、式 (3) と $16\pi^2b_0=11N/3$ から一ループで

が恒等的に成り立ちます（表 4 で照合 計算）。小さいインスタントンは $\rho\Lambda$ の冪で抑えられ、$\rho\sim1/\Lambda$ で抑えが効かなくなります。一ループの計算は 't Hooft 1976 物理。

もう一つはエネルギー運動量テンソルの跡です。尺度変換の保存流（2-01）の発散は跡 $T^\mu{}_\mu$ で、古典の四次元では 0 です（3-03）。量子論では $\beta(g)$ に比例する $F^a_{\mu\nu}F^{a\,\mu\nu}$ の項が残ります（Collins–Duncan–Joglekar 1977。式は 8-04）物理。問題文 §4 も短い距離の要件に 'the existence of a stress tensor' を含めます 既知。

格子では、式 (7) から相関長 $\xi_{\mathrm{lat}}=1/(am)$ どうしの比が一定値に近づくかが検査になります（5-05・5-09）。確かさを例ごとに並べます。上の四つは結合が無次元の二次元の模型で、定理になっているのは自由度が有限の模型か、切断を残した形です。

行ごとに、何が定理で何が物理かを分けておきます。デルタ井戸では、切断つきの束縛条件 (10) は初等的な計算で、切断を外した極限の作用素は数学の文献にあります。二次元 Gross–Neveu 模型（相互作用するフェルミオンの模型）では、紫外の切断を残し、成分の数 $N$ を大きく（ただし有限に）取ると、二点関数が指数的に減衰すること、つまり質量が生じることが定理です。二次元 O(N) σ 模型（長さ 1 の $N$ 成分ベクトルを値とする場の模型）でも、正則化した版での質量生成は定理ですが、切断を外した理論の構成は無いままです。O(3) の $8/e$ は、Bethe 仮説（二次元の可積分な模型で散乱が厳密に解けることを使う方法）の結果を摂動論と突き合わせて得た物理の値です。四次元の純 SU(3) では、比 $m/\Lambda$ は格子の数値だけで、理論の構成も $\Delta\gt0$ も示されていません。

問題文は $\Lambda$ に触れず、$\Delta\gt0$ と、短い距離で漸近自由の予言と合うことを求めます（0-03）。理論が在ってその予言と合うなら、物理ではそこから $\Lambda$ が読み取れると考えます 物理。そのとき質量ギャップは、摂動論にも古典論にも映らない $C$ が正だという主張です。この一尺度の使い方は 7-01・7-12 で扱います。

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出典と再現

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