2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 10 部 この端末の検討管の欠損・尺度の一次元鎖・位相電荷

方向 15・15′ — 管の欠損と尺度の一次元鎖は、どちらも一つの仮定の形で止まる

この章は、H と鎖を合わせた帯の文 $a^2C_P\asymp1$（10-03 の (3)）を三つの比 $(a^2/\sigma)(\sigma/m^2)(m^2/\lambda_1)$ に割り（7-12 §05）、各比を上下の半分に割った見方（10-03 §05：H↑ に要るのは三つの下界）の続きで、記録の二つの方向を扱います。真ん中の鎖 (ii) は「閉じ込めの管には弦張力のほかに長さの径数が無い」という文です。

方向 15 は鎖 (ii) の下の半分、つまり下界 $m^2\gtrsim\sigma$（グルーボールが軽すぎない。10-03 表 2 の (ii) の H↑ 側）を、方向 15′ は H↑（$\xi$ で書いた帯の読み $\text{H}_{\rm band}$ の上の半分、$C_P\lesssim\xi^2$）を狙いました。どちらも 10-04 §07 の地図では「開いた」方向です。記号は 10-03 と同じで、$m$ は格子単位の質量の隙間、$\sigma$ は格子単位の弦張力、$C_P$ はリンクの角度の Dirichlet 形についての Poincaré 定数です。この章で新しく使う量は一つです。

記録はこれを管の欠損と呼びます。強結合展開の主項では、最も軽い状態は四枚のプラケットを一周に並べた最小の管で、$m=4\sigma$ です（5-02）既知。$D$ は、実際の $m$ が「管の面積 × 張力」からどれだけ外れるかを測ります。例：主項だけなら $D=0$ で、比 $m/\sqrt\sigma=4\sqrt\sigma$ は $\sigma\to0$ で 0 に落ち、一尺度は破れます（7-12 §08）。一尺度が成り立つには、$D$ が $4\sigma$ より大きく残らなければなりません。

表 1　二つの方向の見取り図（状態は記録の判定。全体は 10-04 表 1）

主項の $m=4\sigma$ から $m\asymp\sqrt\sigma$ へ移るには、どこかで「$\xi$ 一つ分」の因子が要ります。最初の候補は管のエントロピー、つまり同じ面積の面が何枚あるかでした。記録は正の面の模型で調べました。面 $S$ の重みを $e^{-\sigma_0|S|}$（$\sigma_0$ は一枚の費用）とし、面積 $A$ の連結な面の数が $\mu^A$ 程度で増えるとします。すると張力も質量も同じ量 $\log\mu$ だけ下がります。

管の面積は長さ $r$ の区間ごとに 4 枚以上なので、質量の側には係数 4 が付きます 紙。要点は、エントロピーが $\sigma$ と $m$ を同じ向きに同じ割合でずらすことです。面の展開が収束する領域 $\log\mu\le(1-\varepsilon)\sigma_0$ では $\sigma\ge\varepsilon\sigma_0$ なので $m\le4\sigma/\varepsilon$、したがって

で、一尺度の下の半分はこの領域では偽です Leanlinear_regime_breaks_onescale（仮定：(2) の挟み込みと収束域の条件）。連続極限は、エントロピーがエネルギーをほとんど打ち消す、展開の外の側でしか起きえません。記録の測定では、平面の一枚あたりのエントロピーと $\sigma_0$ の比は、$\beta$ を上げると 0.76 から 0.97 へ 1 に近づきます 計算（記録の数値）。記録の言い方では「冪を変えるのはエントロピーの大きさではなく、エネルギーとの打ち消しの残りのほうである」。その残りが (1) の欠損です。

寄り道：Fekete の補題 — 数え上げの率が在ること

エントロピーでは足りないので、記録は問いを欠損 $D$ そのものに向けました。閉じた管の状態を、周長 $\ell$（格子の歩数）ごとに分けて考えます。周長 $\ell$ の管の「重さ」が張力の分 $\sigma\ell$ に加えて $c/\ell$ 以上あれば、最も軽い管でも重さの下限が決まります。記録はこれを、ループ空間の管の転送作用素 $\mathcal T$ と周長の作用素 $\hat\ell$ についての不等式として書き、$T(c,1)$ と呼びました。

右の最小は相加相乗平均の不等式で、$\ell_*=\sqrt{c/\sigma}$ で達成されます Leanmass_sq_ge_of_tube（仮定：転送作用素のノルムが $e^{-2\sqrt{c\sigma}}$ 以下。結論：$m=-\ln t$ で $m^2\ge4c\sigma$。10-03 表 2 と同じ定理）。仮定の中身は $T(c,1)$ の側にあり、それ自身の証明の型はありません。

なぜ $1/\ell$ か。長さの次元で数えると $\sigma$ は長さ$^{-2}$、$\ell$ は長さなので、$c/\ell^p$ の $c$ は長さ$^{p-1}$ の次元を持ちます。無次元になるのは $p=1$ だけで、$1/\ell^2$ なら係数は格子間隔とともに流れます（記録は Lean で確かめた）。「一尺度は、ループの長さについての不確定性原理の形をしている」が記録の着想です。弦の絵の Lüscher 項 $-\pi(d-2)/(24R)$（7-03 §03）が $1/R$ の係数を普遍に持つのと同じ次元の理由です。

例：Lucini–Teper の $SU(2)$ の六点（7-12 表A）から、(1) と (4) の量を計算します。

表 2　Lucini–Teper 表 1 の $a\sqrt\sigma$・$am$ から計算した欠損と $T(c,1)$ の係数（格子単位。$c=m^2/(4\sigma)$ は (4) が等号になる値、括弧は誤差を独立とみなした目安）

計算$D$ は六点すべてで正で、$D/m$ は 0.49 から 0.86 へ増えます。連続極限に近づくほど面積の項 $4\sigma$ は $m$ に比べて小さくなり、質量のほとんどが欠損になります。$c$ は定義から $(m/\sqrt\sigma)^2/4$ なので、表の $c$ は比の二乗の書き直しにすぎません。$T(c,1)$ の中身は、同じ $c$ がすべての周長で効くという一様性の側にあります。最適の周長 $\ell_*$ は $\beta\approx2.25$ で最短の管の周長 4 を横切り、ここが主項の世界から一尺度の世界への乗り換えの目安になります。

正の $1/\ell$ はどこから来るか。周期の方向に巻きついた管では、横揺れの零点エネルギーは Casimir 項 $-\pi(d-2)/(6L)$ で負です（7-03 式 (7)）物理。したがって正の $1/\ell$ は、巻きつかない閉じた管（輪の呼吸の揺らぎ）から来るはずだ、というのが記録の描像です。未証明の描像で、次の二節はそれを模型で数えた記録です。

符号を具体的に数えるため、記録は三次元 Ising 模型の低温展開から一本の柱だけを取り出した模型（柱の模型）を使いました。時刻ごとの断面は単連結なポリオミノ（正方形をつないだ図形）$R_t$ で、重みは周の長さと、隣の時刻との食い違いの面積で決まります（$u$ は一辺あたりの小さな重み）。

最小の管では、平面の張力の下がりの 4 倍と管の質量の下がりを $u$ で展開して比べられます 紙。

差の全部は、平面にだけ許される「横に二点並んだ瘤」から来ます。幅 1 の管の壁にはこの瘤が入りません。記録の言葉で「窮屈さは太さの不足」、つまり正の欠損はエントロピーを足す側ではなく、細い物体から平面の揺らぎの一部が締め出される引き算の側から来ました。転送行列（正方形の対称性で縮約し、周長 18 まで）で $u=0.1$ から 0.5 まで、$D\gt0$ が続きます。$D/m$ は $9\times10^{-7}$ から 0.11 に、$m/\sqrt\sigma$ は 6.07 から 3.05 へ下がり続け、平坦な域はありません 計算（記録の数値）。

巻きつく管では符号が逆です。粗い相では Lüscher 型の $1/L$ の係数が 0.46〜0.50 と測られ、三次元の値 $\pi/6=0.524$ に近く、滑らかな相では指数的に小さい補正になります 計算（記録の数値）。零点和の閉じた形 $\sum_{k=1}^{L-1}\sin(k\pi/L)=\cot\bigl(\pi/(2L)\bigr)$ は Lean で閉じています（$L=4,8,16$ で両辺 2.4142・5.0273・10.1532 計算）。

もう一つ、区画の取り方の罠が出ました。周長（外接長方形の周）を決めた区画で数えると、斜めの壁の「隅の反転」は周長を変えずに形の数を増やすので、自由エネルギーは $\ell$ に一次で負の寄与を受けます。これは格子の向きの異方性の効果で、$T(c,1)$ を生の格子周長と軸方向の張力 $\sigma(0)$ で書くと、どの $c$ でも偽になります Leanlinear_deficit_breaks_inv。$T(c,1)$ は異方性を引いた後にだけ立つ、というのが記録の結論です（§05）。

非可換性はどこに要るか。三次元の $\mathbb Z_2$ ゲージ模型（可換）でも一尺度は保たれ、比 $m/\sqrt\sigma=3.08(3)$（7-12 §09）物理 から $c=2.37(5)$ と正です 計算。$D\gt0$ は非可換性を要しません。記録は「非可換性 $\kappa\gt0$ が必須」という読みを「第二の小さな径数を禁じる入力が要る」に直し、その入力を 7-12 §09 の I（関連する方向が一本）と R（回転対称の回復）に書き直しました。非可換性の置き場所は、符号ではなく係数 $c$ の一様性の側だと見ています。

7-03 §08 では、向きに依る張力 $\tau(\mathbf n)=|n_1|+|n_2|$ の下で面積を固定すると、張力の総和を最小にする形（Wulff 形）は軸に沿った正方形でした。柱の模型には断面の面積の費用が無く、区画が固定するのは格子周長です。すると問いが変わります。四つの弧の格子長 $\ell_i$（和が $P$）と、一格子あたりの自由エネルギー $g(\theta)$（$\theta$ は弧の平均の傾き）で

となり、四つの弧がすべて 45° に揃う菱形が選ばれます Leanfour_arcs_ge（凸性で四つの弧を揃える不等式）。面積を固定したときの正方形とは逆の形です。記録の計算では $u\le0.3$ で 45° が最小でした。§04 の一次の負の欠損は、この菱形の Wulff 形そのものです。

理由は数え上げで見えます。角から角へ $k$ 歩右・$k$ 歩下に進む階段の本数は $\binom{2k}{k}\approx4^k/\sqrt{\pi k}$ で、同じ格子長 $2k$ を使う軸に沿った辺（一本しかない）より圧倒的に多い。正方形の四隅を階段で切り、切る割合を $s$（$s=0$ が正方形、$s=1$ が菱形）とすると、格子周長 $P=4n$ は変わらず、形の数の対数は

です。周長を固定すれば $S$ の大きい菱形が勝ち、面積を固定すれば同じ面積に要る格子周長の短い正方形が勝ちます。

計算この図の数値はこの端末で計算した（(8) と $P(s)/P(0)=1/\sqrt{1-s^2/2}$ をその場で評価。表 3 は Python の値）。角の重み $u$ は無視した数え上げの模式で、柱の模型の計算そのものではない。

表 3　(8) の $S/P$ と、面積を固定したときの格子周長の比

計算$S/P$ の $s\ln2$ からのずれは角ごとの $-\tfrac12\ln(\pi k)$（Stirling の近似）で、$k=1000$ で $-4.02637$ 対 $-4.02624$ です。数え上げの模式では、菱形の得は周長に比例する一次の項で、補正は対数です。

記録の柱の模型では、$u$ の一次で隅の反転は一次元の XX 鎖（隣どうしの入れ替えだけを持つ量子スピン鎖）の飛び移りと同じ形になり、45° の張力は $g(45^\circ)=K-2u/\pi$ です 計算。閉じた管は「角で四点を失った $N=P-4$ 点の XX 鎖の輪」になり、Wulff の主項を引いた残りは

です 紙＋計算（輪の固有値 $2/\sin(\pi/N)$・$2\cot(\pi/N)$ は Lean）。一次の項は消え、角の定数 $8/\pi$ は正、$1/P$ の係数は周長の剰余で符号が変わります。負の側は Casimir 項 $-\pi v/(6N)$（速さ $v=2u$）、正の側は粒子の詰め方が一つずれる歪みです。周長 18 以下の当てはめで符号が決まらなかったのは、45° の長方形の族（形の零モード）の閉じ込め $+C/N^3$ が $P\approx22$ まで Casimir を上回るためでした。

こうして $T(c,1)$ は書き直されました。一様な $D\ge c/\ell$ は大きな輪では Casimir の側に落ちる形なので、短い輪での局所化した $T$、大きな輪での Casimir の床、その間のつなぎ目の三つを仮定すれば $m^2\ge4c\sigma$ が出ます Leanmass_bound_localized。床だけでは下界は出ません Leancasimir_only_no_bound。係数 $c$ の一様性の問いは、相関長の大きさの輪で欠損が正かどうかに絞られました。四次元 $SU(2)$ について記録が言えるのは「同じ形が予想される」までです。

7-09 §06 で見たとおり、ホログラフィーの模型ではグルーボールの質量は動径方向の一変数の固有値問題の固有値で、隙間は一次元の Poincaré 不等式の最良定数でした。記録はこれを一般の形で読み直しました。区間の上の測度 $d\mu=e^{2B(r)}dr$ と Dirichlet 形 $\int|\xi'|^2d\mu$ を考え、$\psi=e^{B}\xi$ と変数を替えると、Dirichlet 形は Schrödinger 作用素の二次形式になります（Gürsoy–Kiritsis–Nitti の模型の形）物理。

$P\,e^{B}=0$ なので $e^B$ が零モードの候補で、$H=P^\dagger P\ge0$ は基底状態変換と呼ばれる因数分解です 既知。変分原理（1-10 §06）から、Poincaré 定数は $H$ のスペクトルの底の逆数に定数 1 で等しくなります。

仮定 H の帯の読み（$C_P\asymp\xi^2$。$\mathcal E$ はこの変数の Dirichlet 形）は、この変数の上では証明を要しない恒等式です 紙。記録の一文は「ホログラフィーは H を証明していない。H が自明になる変数（尺度一つ）まで問題を移している」。

例 1（ガウス）：$B=-r^2$（実数直線の上）なら $V=4r^2-2$ で、$H$ の固有値は $0,4,8,\dots$ です。零モード $e^{-r^2}$ は $\mu$ の上の定数に当たり、平均を引いた後の隙間は 4、$C_P=1/4$ は $\mu\propto e^{-2r^2}$ の分散 1/4 に等しく、一次関数で等号です（1-10 §07）既知。例 2（Csáki–Ooguri–Oz–Terning の三次元の模型）：定数は規格化できないので零モードは無く、最低固有値 $M_1^2=11.588\,b^{-2}$ から $C_P=0.0863\,b^2$ です 計算（表 4）。

では何が隠れているか。記録は三つを挙げます。(a) 背景 $B$ は与えた一つの関数で、揺らぎは二次（ガウス）に切ってある。格子の $C_P$ は非ガウスな測度そのものの定数です。(b) 動径 $r$ は四次元の格子に無い変数で、辞書では繰り込み群の尺度に当たります（7-08）。(c) 極限は $N\to\infty$・$\lambda=g^2N\to\infty$ で、問題文の外です（7-10）。模型の数値と格子の比較は 7-09 §07 にあります。

一次元に落ちれば、$C_P$ の上界を与える道具があります。試験関数が $C_P$ の下界しか与えない（10-03 §03）のと対照的で、H↑ の型の道具です。区間 $(a,b)$ で右端 $f(b)=0$ の関数について、二つの重み $w,p$ の Hardy 不等式の最良定数 $C$ は、陽な積分の積 $B$ で挟まれます（Muckenhoupt 1972）既知。

言葉で言えば「その点より手前の質量」×「その点から先の抵抗」の最大です。固有値を解かずに、重みの形だけから $C$ を 4 倍の幅で決めます。(12) は一次元でだけ成り立つ必要十分の判定で、高次元の類似はありません。

表 4　(12) の検算（$C$ は固有値から、$B$ は積分から独立に計算）

計算例 2 の固有値は $11.588,\ 34.527,\ 68.975,\ 114.91,\ 172.33,\ 241.24$ で、Csáki–Ooguri–Oz–Terning の表 1 の値（三次元の模型の $0^{++}$ の質量の二乗）と表示の桁で一致します。$B$ は $\int_x^\infty dr/(r^5-r)=\tfrac14\ln\bigl(x^4/(x^4-1)\bigr)$ を使った閉じた形です。

記録はこれを格子の段の列に持ち込みました。尺度 $s=\ln\ell$ の上に一次元の鎖を置き、殻の体積 $\pi(s)\propto e^{4s}$ を重み、伝導度 $\propto e^{2s}$ を $p$ とし、段の記帳 $\beta\mapsto\beta-\kappa(\ln b-\delta(b))$（10-02）が閾値を切る尺度 $s_*$ で鎖を強結合の主項に閉じます。(12) の離散版から、三つの項がどれも $e^{2s_*}=\xi^2$ に比例する挟み込み $B_{\rm cut}\le C_{\rm chain}\le8B_{\rm cut}+\cdots$ が出ます 紙。機械検査したのは次の条件つきの形です。

Leanconditional_scale_bound（仮定：射影 (P)・非負で部分和が有界な取りこぼし・幾何級数の重み。有限鎖の Hardy $B\le C\le4B$ は既知の再証明）。陰性対照として、一定の $\delta$ では有界性が崩れることも示されています Leanconst_defect_scale_unbounded。ただし数値を見ると、挟み込みは尺度共変の恒等式 $C=G\,e^{2s_*}$・$s_*-\ln(1/a)=\sum\delta$ に崩れ、中身は仮定 (P) の側にありました。記録は (P) を四つに分けています。

記録は「(P) は H より弱くない」と書きます。一次元の鎖は H↑ を証明したのではなく、H↑ を (P) に言い換えました。

(P4) が壊れる理由は位相電荷です。滑らかな場の電荷 $Q$（第二 Chern 数、3-05）は整数で、格子の上では格子間隔の大きさの「転位」を通してだけ変わります。紫外の出来事が赤外の離散量を変える、尺度について非局所な辺です。周期の箱では状態空間が $Q$ ごとの枚に分かれ、紫外の端でだけつながります。一本の線ではありません。

これを測る道具が、力学からの下界です。連続時間の可逆な力学（生成作用素 $L\ge0$、最小の正の固有値 $\lambda_1=1/C_P$）で、平均 0 の観測量 $f$ の自己相関の積分 $\tau_{\rm int}(f)=\langle f,L^{-1}f\rangle/\langle f,f\rangle$ と静的な商 $R(f)=\operatorname{Var}f/\mathcal E(f)=\langle f,f\rangle/\langle f,Lf\rangle$ について

です。左は Cauchy–Schwarz $\langle f,f\rangle^2=\langle L^{1/2}f,L^{-1/2}f\rangle^2\le\langle f,Lf\rangle\langle f,L^{-1}f\rangle$、右はスペクトルが $[\lambda_1,\infty)$ に載ること（8-03 式 (10)）から出ます 既知。Leantau_int_le・rayleigh_le_tau（有限の可逆な連鎖。既知の事実の再証明）。測った $\tau_{\rm int}$ はどれも $C_P$ の下界なので、H↑ が破れることは測定で示しえますが、成り立つことは示せません。

一次資料では、Schaefer–Sommer–Virotta（2011）が HMC 型のアルゴリズムで純ゲージ理論の位相電荷の二乗の有効な動的指数を「約 5」と報告し、Lüscher–Schaefer（2011）は時間方向に開いた境界で $SU(3)$ の位相の障壁が消え、自己相関時間が格子間隔の逆数のほぼ二乗で伸びることを、HMC が Langevin 方程式の普遍類にあるという予想の支持として報告しています 物理。HMC と Langevin が同じ普遍類だという予想と (14) を重ねると、周期の箱では $C_P\gtrsim a^{-5}$ で、H↑（$C_P\lesssim a^{-2}$）は破れます。予想の上の条件つきの読みで、記録は「H は無限体積か開いた境界で述べるべき」としました。

記録は $SU(2)$・$8^4$ の過減衰 Langevin で測りました。$\beta=2.3,\,2.45$ で $\tau(Q)/\xi^2$ と $\tau(E)/\xi^2$ は両方の境界で 0.5〜1.4、$\beta=2.6$ の周期の箱は小さい箱の相に入っていて $\xi$ が定義できず、位相の保護が出る点と重なりました 計算（記録の数値）。さらに訂正が一つあります。部分領域 $R$ の電荷 $Q_R$ を試験関数にすると

（$\chi$ は位相感受率、$h,g$ は体積と境界あたりの Dirichlet 形の係数）で、周期の箱と同じ量に戻ります 紙。開いた境界は有限の箱でしか障壁を救いません。無限体積の H↑ の必要条件の一つは $\chi/h\lesssim\xi^2$ で、これは力学を走らせずに静的な期待値だけで測れます。

計算この図の数値はこの端末で計算した（40 点の連鎖の生成作用素を対角化。すべての $h$ と境界で (14) を確かめた）。四次元の格子の計算ではなく、(15) の型を目で見るための模式。

図 2 の読み方。通り道が無いと、$C_P$・$\tau_{\rm int}(Q)$・静的な $R(Q)$ はどれも $h$ とともに $e^{h}$ の割合で伸びます（$h=12$ で $C_P=7.9\times10^7$）。局所の量 $E$ の $\tau_{\rm int}$ は 6.5 のままで、障壁を見ません。井戸の底どうしを率 0.1 でつなぐ（小さい箱の開いた境界の模式）と $C_P$ は 54 で、率 0.001（大きい箱）では 4450 で止まります。通り道の率が $|\partial R|/|R|$ のように体積とともに小さくなれば、障壁は戻ります。局所の観測量は遅いモードから切り離されている、という SSV の Wilson ループについての観察の模式でもあります。

二つの方向は、どちらも「難しさがどこへ移ったか」を名指しして止まりました。方向 15 では、一尺度の下の半分が局所化した $T(c,1)$ と Casimir の床とつなぎ目に移り、方向 15′ では H↑ が射影の仮定 (P) に移りました。どちらの移り先にも証明の型はまだありません。

矢印は右から左の一方向だけで、右辺はどれも仮定です。着想（上界の道具は一次元にしか無い）は 10-09 §03 に置きました。

記録に書かれた次の一歩（形の零モードの模型で $C\approx320$ を解析的に当てること、$R(E)$・$R(Q)$ を境界を替えて測ること）は、どちらも H↑ そのものを押しません。Lean の言明と仮定の一覧は 10-07、壁の一覧は 10-08、定理までの距離は 10-11 です。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：10-07 Lean で閉じた言明と既存の結果の対応表 — この章に出た定理の仮定を一行ずつ既知の章に当てます。

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