2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 6 部 構成的場の理論確率量子化・正則性構造

確率量子化と正則性構造 — 測度を「動かして」作る道と、四次元の手前で止まる理由

有限次元の密度 $e^{-S(x)}/Z$（$Z$ は正規化の定数）から点を引くには、点を坂 $S$ に沿って下らせながら雑音で揺すり続けます。

$W_t$ はブラウン運動（1-09）です。式 (1) は、小さな刻み $\Delta t$ で

（$N$ は毎回新しく引く標準正規乱数）と進める規則の、$\Delta t\to0$ の極限という意味です。図 1 の玉もこの規則で動きます（Euler–丸山法）。式 (1) を Langevin 方程式、それが定める時間発展を Langevin 力学と呼びます。

点をたくさん同時に走らせると、点の群れの密度 $\rho(t,x)$ は Fokker–Planck 方程式 $\partial_t\rho=\nabla\cdot(\nabla\rho+\rho\nabla S)$ に従います。右辺が流れの湧き出しの形なので、点の総数は保たれます（密度が従う保存則）。$\rho=e^{-S}/Z$ では括弧の中が 0 で動きません。これが不変測度です。比喩で言えば、坂を下る流れと雑音が広げる流れの釣り合いです。正確には、$S$ が無限遠で十分速く増えるとき、$X_t$ の法則はどこから始めても $e^{-S}/Z$ に近づきます。既知

場の測度をこの形の方程式の不変測度として作るのが確率量子化で、ゲージ理論の文脈で Parisi–Wu（1981）が提案しました（Chevyrev 2022 §1.2）。6-02 の式は時間の尺度を取り直した同じもので、モンテカルロ法（5-07）も同じ考えです。例は $x=\pm1$ に谷を持ち、山の高さが $h$ の $S_h(x)=h(x^2-1)^2$ です。

計算この図の $Z$・$\langle x^2\rangle$・$T$ はこの端末で計算した値。玉はその場で Euler–丸山法で動かす。表 1 の模擬は $x=-1$ から出る 2000 本の鎖（刻み 0.002、時刻 20〜120）、$T$ は $-1$ から $+1$ への平均到達時間 $\int_{-1}^{1}e^{S(y)}\int_{-\infty}^{y}e^{-S(z)}dz\,dy$。

$\langle x^2\rangle$ は 0.3% 以内で合います。一方 $T$ は $h$ が大きいと指数関数的に伸び（$h=6,8$ で 80.9・437.5）、$h=4$ では時刻 10 でも鎖の平均 $\langle x\rangle$ が −0.33 と左の谷に偏っています。計算

大きい $h$ での伸び方には Kramers の公式があり、谷の底と山の頂の曲がり具合 $S_h''(\pm1)=8h$・$S_h''(0)=-4h$ から

となります。既知 計算した $T$ から $T\cdot h/e^{h}$ を作ると $h=4,6,8$ で 1.27・1.20・1.17 で、係数 $\pi/(2\sqrt2)\approx1.11$ にゆっくり近づいています。計算 不変測度が在ることと、そこへ速く近づくことは別の問題で、場の理論でも時間に一様な評価が難所です（§08）。

トーラス $T^d$ 上の場で $S(\phi)=\int\big(\tfrac12|\nabla\phi|^2+\tfrac12m^2\phi^2+\tfrac\lambda4\phi^4\big)dx$ とすると、式 (1) は

になります（$\Delta$ はラプラシアン。質量ギャップの $\Delta$ とは別）。$\xi$ は時空の白色雑音で、形式的に $\mathbb E[\xi(t,x)\xi(s,y)]=\delta(t-s)\,\delta(x-y)$ を満たすランダムな分布です（1-09）。$\lambda=0$ の線形の確率熱方程式はフーリエ成分ごとに独立な $d\hat\phi_k=-(|k|^2+m^2)\hat\phi_k\,dt+\sqrt2\,dW_k$ に分かれ、定常分布は共分散 $(-\Delta+m^2)^{-1}$ のガウス自由場（6-03 の出発点の測度）です。既知

時間を長さ二つ分と数える放物型の尺度で、白色雑音は次数 $-(d+2)/2$ のすぐ下の正則性を持ち、熱方程式で解くと 2 上がります（Hairer 2014 §8）。線形の解 $\Psi$ は

にあります。$\mathcal C^{\alpha}$ は、$0\lt\alpha\lt1$ なら $|f(x)-f(y)|\lesssim|x-y|^\alpha$ の滑らかさ、$\alpha\lt0$ なら幅 $r$ の山形の関数で均した値が $r^{\alpha}$ 程度に収まる分布の空間です。$d=1$ で $\tfrac12-\kappa$（ブラウン運動の粗さ）、$d=2$ で $-\kappa$（もう関数でない）、$d=3$ で $-\tfrac12-\kappa$ です。

困るのは $\phi^3$ です。分布の積には次の限界があります（Hairer 2014 §1、Chevyrev 2022 §1.3。$\alpha,\beta$ は整数でない）。既知

$d=2$ の $\Psi\in\mathcal C^{-\kappa}$ では $\Psi^2$ が定義できず、切断した $\Psi_\varepsilon^2$ の平均は $\log(1/\varepsilon)$ の程度で発散し、定数を引く（Wick 積。6-03）と極限が取れます。表 2 の余裕は「非線形項の次数 − 雑音の次数」で、正なら細かい尺度で非線形項は雑音より滑らかな補正にとどまります。

計算表 2　次数の勘定（$\kappa$ を除く。trees.py が有理数で出力）。$d=4$ が臨界、$d=5$ が超臨界。

余裕は $\phi^4$ で $4-d$、$A\partial A$ で $(4-d)/2$（$A^3$ は $\phi^3$ と同じ）で、$d\lt4$ で正です。Hairer はこれを局所劣臨界の条件とし、$\phi^4$ では $d\lt4$ と同値だと確かめています（Hairer 2014 Assumption 8.3・§8）。既知

二次元では解を「雑音のいちばん粗い部分」と残りに分け、$\phi=\Psi+v$ と置きます。

${:}\Psi^n{:}$ は確率の計算で先に作れる $\mathcal C^{-\kappa}$ の Wick 積です。右辺が $\mathcal C^{-\kappa}$ なので $v\in\mathcal C^{2-\kappa}$ で、$v\cdot{:}\Psi^2{:}$ は次数の和が正になって (4) に入り、普通の不動点定理で解けます（短い時間なら、方程式を積分の形に書いた右辺が縮小写像になり、不動点がちょうど一つ在る）。$\phi$ に戻すと、$\phi^3$ を $\phi^3-3C_\varepsilon\phi$（$C_\varepsilon$ は $\log(1/\varepsilon)$ の程度）に替えた方程式の極限です。Da Prato–Debussche（2003）がこれで二次元の強い解（与えられた雑音の実現ごとに方程式を満たす解）を得ました。既知

過程の構成はそれより前からあります。Jona-Lasinio–Mitter（1985）は、Dirichlet 境界の正方形の上で、作用素の冪で均した方程式の弱い解（雑音ごと取り替えてよく、法則として方程式を満たす解）として、時刻が無限大で $\phi^4_2$ 測度に収束する Markov 過程（未来の分布が現在の状態だけで決まる確率過程）を作っています（Summers 2016 §5）。Hairer 2014 §1 は二次元の先行研究に Albeverio–Röckner（1991）と Da Prato–Debussche（2003）を挙げています。既知

$a=1-d/2$ とすると $v\in\mathcal C^{2+3a}$ なので、$v\cdot{:}\Psi^2{:}$ には $5a+2\gt0$、つまり $d\lt14/5$ が要ります。三次元では一段の分け方では足りません（Hairer 2014 §8）。計算

滑らかな関数は各点の近くで Taylor の多項式で書けます。Hairer（2014）はこの多項式を、問題ごとに雑音から作った分布の組（要旨の言葉で「目の前の問題のために作ったモデル」）に取り替えました。

$\tau$ は $\Psi$・$\mathcal I(\Psi^3)\Psi$（$\mathcal I$ は熱方程式で解く操作）・多項式 $X$ などの記号、$\Pi_x\tau$ はそれを点 $x$ 中心に置き直した分布です。定義できない積は記号の代数に移り、解析に要るのは確率の計算で作れる有限個の $\Pi_x\tau$ だけです。その発散を引く操作は「繰り込み群」の作用として現れます（同要旨。代数は Bruned–Hairer–Zambotti 2019）。三次元の $\phi^4$ では

で、$C_1^\varepsilon\sim\varepsilon^{-1}$、$C_2^\varepsilon\sim\log\varepsilon$ です（同 (9.21)・Remark 10.23）。負の次数の記号は $\Xi,\Psi,\Psi^2,\Psi^3,\Psi^2X_i,\mathcal I(\Psi^3)\Psi,\mathcal I(\Psi^2)\Psi^2,\mathcal I(\Psi^3)\Psi^2$ の 8 個です（同 §10.5、Theorem 10.22 の証明）。paracontrolled 分布（Gubinelli–Imkeller–Perkowski 2015）という別の道もあり、その後の不変測度と公理の結果は表 4 と 6-03 にあります。既知

$\phi_\delta(t,x)=\delta^{(d-2)/2}\phi(\delta^2t,\delta x)$ と拡大すると（ゲージ場 $A$ も同じ拡大をします）、雑音の法則と $\Delta$ は変わらず、非線形項の係数だけが変わります。式 (8) の右はヤン–ミルズの結合 $g$ です。作用を $\frac1{g^2}\int|F_A|^2$ とし、$A$ を $gA$ と置き直すと、§07 の式 (9) の $A\partial A$ の項に $g$、$A^3$ の項に $g^2$ が付きます。

$d\lt4$ なら細かい尺度 $\delta\to0$ で非線形項は消え、方程式は確率熱方程式の摂動になります。これが劣臨界で、超繰り込み可能に対応します（Chevyrev 2022 §1.3：劣臨界は $d\lt4$ と同値）。正則性構造の一般論は局所劣臨界を仮定しています（Hairer 2014 Assumption 8.3）。既知 余裕 $4-d$ を、四で切り替わる他の量と並べた図は 1-12 §10 の次元のつまみです。

$d=4$ は臨界で、一般論はどちらの模型も含みません。$\phi^4$ について、Hairer 2014 §1 は四次元で非自明な意味を持つとは期待しないと書き、格子からの極限が自明になることはのちに Aizenman–Duminil-Copin が示しました（6-08）。既知 ヤン–ミルズは漸近自由で、結合が細かい尺度で対数的に小さくなると考えられています。これは摂動論の β 関数としての結果（4-06）で、非摂動の定理ではありません。物理

記号の数で見る

臨界に近づく様子は、§05 の記号の数でも見えます。次の三つの規則で記号を組み、次数が負のものを数えます。$\kappa$ は正の無限小として扱い、$X_i$ の向きや場の成分の添字は区別しません。

1. 材料。雑音 $\Xi$（次数 $-(d+2)/2-\kappa$）と、すでにできた記号 $\tau$ に $\mathcal I$（§05 の、熱方程式で解く操作）を掛けた $\mathcal I(\tau)$（次数 +2）と、その微分 $\partial\mathcal I(\tau)$（次数 +1）。$\Psi=\mathcal I(\Xi)$ です。
2. 積。非線形項の形に合わせて材料を席に並べて掛けます（次数は和）。$\phi^4$ は $\phi^3$ の三つの席に $\mathcal I(\cdot)$ を一つから三つ。ヤン–ミルズは $A\partial A$ の二つの席に $\mathcal I(\cdot)$ と $\partial\mathcal I(\cdot)$ を一つずつまで、または $A^3$ の三つの席に $\mathcal I(\cdot)$ を一つから三つ。
3. 空いた席。席が一つでも空いていれば、そこに多項式 $X$（次数 +1、何乗でもよい）を置いてよい。

例（$d=3$ の $\phi^4$）：$\Xi$ は $-\tfrac52-\kappa$、$\Psi$ は $-\tfrac12-\kappa$。三つの席を $\Psi$ で埋めた $\Psi^3$ は $-\tfrac32-3\kappa$ で、それに $\mathcal I$ を掛けた $\mathcal I(\Psi^3)$ は $\tfrac12-3\kappa$ です。二つの席に $\mathcal I(\Psi^3)$ と $\Psi$ を置いた $\mathcal I(\Psi^3)\Psi$ は $-4\kappa$ で、0 のすぐ下なので数えます。空いた三つ目の席に $X$ を置くと $1-4\kappa$ で正になり、数えません。新しい負の記号が出なくなるまで、これを繰り返します。

計算この図と表 3 の数値はこの端末で計算した（trees.py。上の規則による「形」の数、— は計算していない）。

$\phi^4$ は $d=3$ で §05 の 8 個と一致します。$d=14/5$ で加わる $\mathcal I(\Psi^3)\Psi^2$ は §04 の分け方が壊れる境目、$d=22/7$ で加わる二つは Hairer 2014 §9.2 が $\alpha=-18/7$ として注意する境目です。余裕が半分のヤン–ミルズは増え方がずっと速く、$d=4$ では $\mathcal I(\tau)\Psi^2$ を重ねても次数が変わらないので無限個になります。計算 $\phi^4$ では Chandra–Moinat–Weber が雑音を $\mathcal C^{-3+\delta}$ に取って非整数の次元をまね、劣臨界の全範囲で事前評価を与えています。既知

ゲージ場 $A=(A_1,\dots,A_d)$ の成分はリー環の元（行列）で、$[X,Y]=XY-YX$ はリー環の括弧です（1-03）。$d_A=d+[A,\cdot\,]$ は共変微分、$F_A$ はその曲率（場の強さ）、$d_A^*$ は $d_A$ の随伴（内積について転置に当たる作用素）です（1-07）。作用 $S(A)=\int|F_A|^2$ に式 (1) を当て、時刻を 2 倍に数え直すと $\partial_tA=-d_A^{*}F_A+\xi$ になります。この式は雑音が無くても放物型（熱方程式 $\partial_tu=\Delta u$ と同じく、どの向きの細かい揺らぎも時間とともにならす型）ではありません。作用がゲージ変換で変わらず、軌道の方向に均す力が働かないからです（Chevyrev 2022 §1.2）。軌道に接する項 $-d_Ad^*A$（$d^*A=-\sum_i\partial_iA_i$）を足すと（Zwanziger 1981・Donaldson 1985、Ricci 流では DeTurck 1983）

と放物型になります（同 (1.3)。略記 $\partial_tA=\Delta A+A\partial A+A^3+\xi$）。形式的には、解 $A$ を時間に依存するゲージ変換 $g$ で移した $B=A^g$ も、雑音 $\mathrm{Ad}_g\xi=g\xi g^{-1}$（$g$ で挟んで回したもの）で同じ式を満たし、$\mathrm{Ad}_g\xi$ は $\xi$ と同じ法則を持ちます。この法則の意味でのゲージ共変性が、軌道の上の過程を定める根拠です。既知

繰り込みでは、雑音を幅 $\varepsilon$ で均した方程式に質量の項 $(C^\varepsilon_{\mathrm{bphz}}+\mathring C)A$ を足します。$C^\varepsilon_{\mathrm{bphz}}$（BPHZ 定数）は $\varepsilon$ に依る部分で、二次元では打ち消し合いで有限の値に収束し、三次元では $\varepsilon^{-1}$ の程度で発散します（Chevyrev 2022 Remark 1.10）。$\mathring C$（裸の質量）は $\varepsilon$ に依らない有限の部分で、自由に選べます。この質量の項も、雑音を均すことも、共変性を壊します。Chandra–Chevyrev–Hairer–Shen（CCHS）は、$\mathring C$ をある値 $\check C$ に選ぶと二つの破れが極限で打ち消し合うことを、二次元（2022）と三次元（2024）で示しました。既知

$\check C$ が一つに決まるかは二段で答えられています。CCHS は、ある結合（ゲージ同値な二つの初期値からの解を、回した雑音で同じ確率空間に並べて比べる作り方）の意味では一意な選び方があることを示しました（Chevyrev 2022 Theorem 1.14）。法則の意味でゲージ共変な解を与える質量の繰り込みが一つしかないことは、二次元では Chevyrev–Shen（Comm. Pure Appl. Math. 2026、arXiv:2302.12160 の Theorem 2.15）、三次元では Chevyrev–Shen（Arch. Ration. Mech. Anal. 2026、arXiv:2503.03060）が示し、CCHS の結果を強めました。既知

例：$G=U(1)$ では式が $\partial_tA=\Delta A+CA+\xi$ となり、$T^d$ 上で共変なのは $C=0$ だけです（$C\ne0$ だと、$A_1$ を定数 $2\pi$ ずらした同値な初期値で $e^{i\int A_1}$ の期待値が食い違う。同 §1.4）。既知

解が住む状態空間も要ります。二次元では線分に沿う線積分が意味を持ち、軌道の空間は Polish 空間（完備で、可算な稠密部分集合を持つ距離空間。確率測度を扱うのに都合がよい）になります（CCHS 2022）。三次元ではガウス自由場の線積分が既に発散する（$\mathbb E|A(\ell)|^2\asymp\int_0^1\!\int_0^1|\ell|/|t-s|\,ds\,dt=\infty$）ので、ヤン–ミルズ流（式 (9) から雑音を除いた決定論的な流れ）で均した場でゲージ同値を定める非線形な空間を使います（Chevyrev 2022 §3.1、6-06）。得られたのは軌道の空間の上の Markov 過程（§04）で、有限時間での爆発の可能性を残した形です。二次元では Chevyrev–Shen（Comm. Pure Appl. Math. 2026）が、$T^2$ 上のヤン–ミルズ測度がその一意な不変測度であることを、可解性によるモーメント評価・格子上のゲージ固定・Bourgain の論法で示しました（6-02）。力学では避けたゲージ固定を、不変測度の証明では格子の上で使っています。既知

既知表 4　確率量子化の到達点（有限体積は原則トーラス）。

総説の未解決問題は、不変測度の存在（三次元なら有限体積でも初めてのヤン–ミルズ測度の構成）、$T^d\to\mathbb R^d$（二次元でも自明でない）、自明でない主束、$N\to\infty$ です（Chevyrev 2022 §4）。Chevyrev–Shen（Comm. Pure Appl. Math. 2026）は二次元に限られる理由を Bourgain の論法が要するモーメント評価に帰し、高次元への拡張を未解決としています。反射正値性も別の課題です（6-01）。既知

持ち出せるもの：測度をゲージと両立する力学の不変測度として捉える見方。ヤン–ミルズ流で均してから比べる状態空間（格子の側でも、流れた場が滑らかな繰り込まれた場になることが理論と数値から示唆される、と Lüscher 2010 は書きます物理）。DeTurck の項がもとは Ricci 流の工夫だったことは、9-03 で「何が Ricci 流に当たるか」を考える手がかりです。

持ち出せないもの：局所劣臨界という前提です。四次元では余裕が 0 で、記号は有限個に収まりません（表 3）。三次元でさえ不変測度の存在・無限体積・反射正値性が残ります。質量ギャップは無限体積のハミルトニアンのスペクトルの性質（4-11）で、有限体積の不変測度からは直接には出ません。四次元の止まり方は 6-10 でまとめます。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：6-10 四次元で止まる場所。確率量子化を新しい概念の候補として見るのは 9-03。

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