2026-10-09 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 10 部 質量ギャップの証明へ向けて — 階段の一段目を組む入口・階段・五つの量 · Kiichi, Shiori and Rin

第 10 部の入口 — 階段と、酔歩・物差し・時計

この部は、仮定 H（揺らぎが均される時間は相関長の二乗の冪で伸びる）を軸に置いた検討です。H は質量ギャップそのものではなく、それを格子で測れる力学の量に言い換えた文で（10-01 §05）、この部はその文を、四段の階段の一段目——0+1 次元の二重井戸の経路の測度——で組み立てます。一段目の主張を四つの条件に割り、条件ごとに、証明を置いた行・原典を引く行・計算機援用の行・数値の読みの行・仮定の行を一つの表に並べます。

章の順は、なぜこの仮定か（10-00〜10-02）、一段目の言明（10-03〜10-05）、四つの条件（10-06〜10-11）、全体の表（10-12・10-13）、突き合わせと残り（10-14〜10-17）です。印〔二〕〔三〕〔研〕は読者の水準で、〔二〕は 2 年生、〔三〕は 3 年生以上（測度・作用素・Poincaré 不等式を使う）、〔研〕は研究の水準です。この章は〔二〕です。仮定 H とは別の視点や、H を前提にした新しい見方は 第 11 部 今後の考察 に置きます。

この部の札

この部では、主張の強さを五つの札で分けます（0-01 §03 の札を、この部の材料に合わせて細かくしたものです）。札は一つの文に一つで、二つ要る文は分けて書きます。

Lean は五つの札とは別の欄です。Lean の定理は「仮定から結論への代数」を機械で検査したもので、定理名と、その定理の仮定を同じ行に書きます。仮定が正しいかどうかは検査の外です（10-13）。

仮定 H は「ある測度の族で、揺らぎの均される時間が相関長の二乗の冪で伸びる」という文で、次元によらずに述べられます。そこで、同じ形の文を易しい場所から難しい場所へ四段に並べます。

図 1 を文字で書くと次のとおりです。下から順に、一段目＝0+1 次元の二重井戸（量子力学の模型の虚時間の経路の測度）、二段目＝四次元格子の非可換ゲージ理論（Wilson 測度）、三段目＝格子間隔を 0 にした連続極限と、その極限が Osterwalder–Schrader の公理を満たすこと、四段目＝極限の理論の質量ギャップです。

一段目を閉じても、二段目以後に持ち上がる保証はありません。持ち上がる見込みがあるのは「文の形」と「道具の形」で、定数や径数の範囲は持ち上がりません。理由は 10-03 §06 で両側から述べます。

揺らぎは、近い場所どうしで似ていて、離れると無関係になります。どれだけ離れると無関係になるかの長さが相関長 $\xi$ です。比喩で言えば、測度が持っている一本の物差しです。

式では、二点の相関（平均を引いた積の期待値）が距離 $r$ とともに指数で減り、その減り方の長さが $\xi$ です。

$m$ は転送行列（または転送作用素）の隙間、つまり最も低い固有値と次の固有値の差で、$r$ は虚時間の向きの距離です。相関の減り方と隙間が同じ量であることは 4-11 §02、相関長としての言い直しは 4-11 §07 にあります 典。

例 1（自由場）。一次元の格子の自由場（隣どうしをばねで結んだガウスの鎖、質量 $m_0$）では、相関がちょうど $e^{-r/\xi}$ で減り、$m_0^2=2(\cosh(1/\xi)-1)$ で $\xi$ が決まります。$m_0=1$ で $\xi\approx1.04$、$m_0=0.1$ で $\xi\approx10.0$ です（8-03 §05）。

例 2（二重井戸）。量子力学の二重井戸（2-05 §07）では、隙間は二つの谷の間のすり抜けで決まるトンネル分裂 $\Delta$ で、山が高いほど指数で小さくなります。虚時間の経路で見ると、相関長は $\xi=\hbar/\Delta$ で、$\hbar$ を小さくすると $e^{S_0/\hbar}$ の速さで伸びます（$S_0$ は谷から谷へ移る道の作用）。物差しが指数で伸びる、というこの性質が、一段目の模型を選ぶ理由の一つです（10-03 §04・10-04 §03）。

格子の上で測れる $\xi$ は、格子の一目盛りを単位にした数です（5-09 §01）。物理の長さは $\xi$ に格子間隔 $a$ を掛けた $a\xi$ で、連続極限では $a\to0$ のまま $a\xi$ が有限に残らなければなりません。つまり格子単位の $\xi$ は無限大へ伸びる必要があります（5-09 §05）。二重井戸の $\hbar\to0$ は、この「物差しが目盛りに比べて無限に長くなる」体制の最小の見本です。

紙の上に一滴のインクを落とすと、インクは少しずつにじんで広がり、最後は一様に薄くなります。にじみの正体は、インクの粒の酔歩です。各粒は毎刻み左右どちらかにでたらめに一歩動きます。$t$ 歩のあとの粒の広がり（二乗平均の距離）は $\sqrt t$ で、長さ $L$ の帯を一様にするには $L^2$ 程度の歩数がかかります。

この「均し終わるまでの最も長い時間」を、揺らぎについて一般に定めたものが Poincaré 定数 $C_P$ です。比喩で言えば、測度が持っている一個の時計の読み、にじむ時間です。

式で書きます。確率の測度 $\mu$ と、関数 $f$ の「場所による変化の大きさ」$\mathcal E(f)$（Dirichlet 形）があるとき、

の最良の定数が $C_P$ です（1-10 §07）。分散が大きいのに変化が小さい関数、つまり「大きくゆっくり変わる揺らぎ」があると $C_P$ は大きくなります。$\mu$ を平衡に持つ拡散の力学（Langevin 力学）では、$1/C_P$ がその力学の隙間で、最も遅い揺らぎは時間 $C_P$ ごとに $1/e$ に減ります 典。

例：一本道の酔歩

升が $L$ 個並んだ一本道（両端で跳ね返る）を考えます。$\mu$ は一様分布、$\mathcal E(f)=\frac1L\sum_{i}(f_{i+1}-f_i)^2$ です。このとき (2) の $C_P$ は道のラプラス行列の 0 の次の固有値の逆数で、閉じた形に書けます。

初 証明：$f_i=\cos(\pi(i-\tfrac12)/L)$（$i=1,\dots,L$）は、両端で跳ね返る道のラプラス行列の固有ベクトルで、固有値は $2(1-\cos(\pi/L))$ です（隣の二項の和に $\cos(A+B)+\cos(A-B)=2\cos A\cos B$ を使い、両端では $f_0=f_1$・$f_{L+1}=f_L$ となる鏡の条件が成り立つことを確かめる）。他の固有ベクトルは $\cos(\pi k(i-\tfrac12)/L)$（$k=0,\dots,L-1$）で、固有値は $k$ とともに増えます。$\mu$ が一様なので $\operatorname{Var}$ と $\mathcal E$ は同じ $1/L$ で割られ、比の上限は 0 の次の固有値の逆数です。∎

$L$ を倍にすると、均し終わるまでの時間は 4 倍になります。

この部で使う $C_P$ は、この一本道を「経路全体の配位の空間」に置き換えたものです。二重井戸では、虚時間の経路 $x(\tau)$ の全体の上の測度 $e^{-S/\hbar}$ が $\mu$、$\mathcal E$ は経路を少し動かしたときの変化の二乗の期待値で、Langevin 力学は「人工的な時間」$s$ に沿って経路全体を拡散させます（10-04 §01）。四次元格子では $\mu$ が Wilson 測度、動かすのはリンクの角度です（10-01・6-09）。

自由場では、いちばん遅い揺らぎは経路全体を一様にずらす向きで、その速さが質量の二乗 $m_0^2$ です。だから $C_P=1/m_0^2$ で、例 1 の $m_0^2=2(\cosh(1/\xi)-1)$ から $C_P/\xi^2$ は $\xi=1,4,16,256$ で 0.921・0.995・0.9997・0.999999 と 1 に寄ります 初（閉じた式の値）。にじむ時間が物差しの二乗、というのが自由場の答えです。

正確には、ここで言う $C_P$ は「時空（0+1 次元なら虚時間）の全体の配位の分布（経路の測度）」の Poincaré 定数です。一つの時刻の分布（基底状態の $|\psi_0|^2$）の Poincaré 定数は別の量で、そちらはハミルトニアンの隙間と結び付きます。三つの $C_P$ の区別は 10-01 に置きます。$C_P$ が $\xi$ の何乗で伸びるかの冪 $z$（動的指数）が 2 からずれる既知の例は 2-10 にあります。

寄り道：酔歩はなぜ二乗か

物差し $\xi$ とにじむ時間 $C_P$ のほかに、四次元格子の記録で使ってきた量が三つあります。一段目（二重井戸）では主役になりませんが、仮定 H を「冪の文」に置く理由がここにあるので、比喩だけを並べます。

③ 縮尺の回数。四次元の格子ヤン–ミルズで $\xi$ を結合 $\beta$ の関数として式で求める手はありません。そこで地図の縮尺を一段ずつ粗くし、何回で決まった粗さの絵に着くかを数える長さ $\xi_{\rm RG}$ を別に作ります。一ループの勘定では $\beta$ を少し上げるだけで $\xi_{\rm RG}$ は指数で伸びます（4-07）。$\xi_{\rm RG}$ と $\xi$ が定数倍で揃うことは仮定です。定義と表は 10-01 と 10-02 に移しました。

④ 時計の目盛り。(2) の $C_P$ は、$\mathcal E$ をどの単位で測るかで値が変わります。$\mathcal E$ を $c$ 倍すると $C_P$ は $1/c$ 倍です。二重井戸でも同じことが起きます。経路を正準の場 $x/\sqrt\hbar$ で測る $\mathcal E$ と、位置 $x$ のまま測る $\mathcal E_x=\mathcal E/\hbar$ では、$C_P^{(x)}=\hbar\,C_P$ です 初 LeanratioR_x_normalisation（仮定なし。$C_P^{(x)}=\hbar C_P$ なら比も $\hbar$ 倍）。目盛りの違いは「定数倍の幅」には映りますが、$\hbar$ の冪の因子は $\ln\xi$ に比べて小さいので「冪」には映りません。

⑤ 遅れる時計。Langevin の時間そのものが、尺度を変えると伸び縮みします。確率量子化の摂動論では、確率時間の目盛りも繰り込む必要があります（6-09）典（摂動論の水準）。四次元格子での影響は $\beta$ の端数の冪の因子で、これも冪には映りません。四つの時計の比べ方は 10-01 の寄り道に置きます。

正確には、③〜⑤ は「定数倍の幅」で言う文（帯の文）を動かし、「冪」で言う文を動かしません。だからこの部の仮定 H は冪の文です。

量がそろったので、仮定 H を比喩で一文にします。「にじむ時間は、物差しの二乗と同じ冪で伸びる」。測度の族が一つの径数で並び、径数を動かすと物差しが無限に伸びるとき、

です。四次元格子では径数は $\beta$ で $\beta\to\infty$、二重井戸では径数は $\hbar$ で $\hbar\to0$ です。自由場では §04 のとおり $C_P/\xi^2\to1$ で成り立ちます。相互作用のある四次元格子で成り立つかが問いで、それより易しい二重井戸で上の側を組むのが一段目です。

二重井戸では、(5) より強い「定数倍の幅」の文（$C_P\le K\xi^2$）は破れる側にあると読まれています。経路の $C_P$ の下界が $\xi^2$ の 1 倍から 6.5 倍へ、$\hbar$ を下げるとともに伸びるからです 読（族の下界・刻み $\varepsilon=0.25$・$\hbar\in[0.07,0.4]$、10-04 §04）。伸び方は、キンクを数える物理の水準の勘定では $S_0/\hbar\approx\ln\xi$ の一次です（この範囲の数値だけでは、指数の伸びと区別できません）。一次なら冪の文 (5) は保たれます。だから一段目の目標は帯の文でなく、冪の文の上の側 $C_P\le K\xi^2S_0/\hbar$ です（10-03 §05）。

「ある f」と「すべての f」

(2) の $C_P$ は上限なので、下から押さえるのと上から押さえるのとでは難しさが違います。下から押さえる（$C_P$ が大きい）には、$\operatorname{Var}(f)/\mathcal E(f)$ が大きい試験関数を一つ見せれば足ります。上から押さえる（$C_P$ が大きすぎない）には、すべての $f$ について不等式を示す必要があります。

比喩で言えば、にじみが遅いことは一つのしみを見せれば言えますが、遅すぎないことはあらゆるしみについて言わなければなりません。質量ギャップの側にあるのは上の側（$C_P$ が大きすぎない）で、試験関数や数値で届くのは下の側だけです。上の側を質量の下界に読み替える代数と、上下の半分 H↑・H↓ の定義は 10-01 に置きます。

正確には、二重井戸の下界 $C_P\ge\xi^2$ は、時刻に局所な試験関数（一つの時刻の関数を時間で足したもの）の族で等号まで届く、という形の命題です（10-04 §04 の命題 L）。上の側には、一段目でも条件つきの命題しかありません。

この章の比喩は、第 10 部のどこかで一度ずつ正確な文に置き換わります。表 4 は比喩・記号・正確にする章の対応です。

筋を先に追うなら 10-03 → 10-04 → 10-05 → 10-12（統合表）→ 10-15（定理までの距離）、四次元格子との関係を先に見るなら 10-01 → 10-02、主張しないことを先に見るなら 10-16 が近道です。Lean の言明と仮定は 10-13、Lean の読み方は Lean の案内 にあります。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 相関長・Poincaré 定数・Dirichlet 形・経路の測度・階段（四段）・仮定 H（冪の文）・五つの札（初・典・機・読・仮）・トンネル分裂。意味は A-02 用語集 にあります。

次に読む章：10-01 構成の筋と仮定 H — 問題を八つの言明に割り、仮定 H と上下の半分を定義する。一段目へ直接進むなら 10-03 階段の四段。

← 9-05 よくある誤解目次10-01 構成の筋と仮定 H →