2026-10-09 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 10 部 質量ギャップの証明へ向けて — 階段の一段目を組む命題 H3・命題 H4・命題 CORE3・端の集合 · Kiichi, Shiori and Rin

(H3)(H4) と芯の定数

長い経路の Poincaré 定数を、長さ $C\xi$ の箱の Poincaré 定数で押さえるのが (H3)、その箱の中の隙間を $D/(C\xi)^2$ の桁で押さえるのが (H4) です。

1. 命題 H3。直線を重なりのある箱で覆い、偶の箱と奇の箱に分けると、$C_P\le(1+1/n)\,C_{\rm box}/(1-c_{\rm alt})$ です。使うのは二つの射影の補題・箱の積の不等式・ずらしの平均だけで、対数 Sobolev 不等式は使いません。残る仮定の行は、偶と奇の間の最大相関 $c_{\rm alt}\lt1$ が一様なことと、境界の値についての $\sup$ です。相関長は $\xi\propto\hbar^{1/2}e^{S_0/\hbar}$ と読まれ、箱は頂上の台地を切りません。
2. 命題 H4。箱の中をキンクの配置 $Y$ で分けると、$C_{\rm box}\le C_{\rm loc}+(1+\chi)C_{\rm kg}$。縮約したキンクの気体を一次元 Ising の Glauber 力学と同じ型と置くと、隙間は「対の生成と消滅」と「キンクの拡散」の和 $(C^2+\pi^2)D/(C\xi)^2$ になります。残る行は交差項 (X)・気体の型 (KG)・切れ端の (H1) と、芯の定数です。
3. 芯の定数の三段。芯の長さ $k\le7$ は凸性で $\le9.18$（$\hbar$ と端の値に依らない）、$8\le k\le14$ は二つのブロックの補題で、$k\ge15$ は箱の帰着を芯に当てる形で押さえます。端の値を $[0,x_c]$ の標本に取ると $\sup_kC_P(\text{芯})\le22.1／30.5／66.4$ 読 です。
4. 端の集合。区画の枠組みの芯は端が井戸の側だけで、穴はありません。箱の側の芯は端が頂上を越えることがあり、そこでは条件づけの壁が双安定を作りますが、その障壁 $\Delta S_*\approx10^{-2}$ は $2S_0$ に対して約 95 倍小さく、命題 H4 の局所の項は $\hbar\to0$ で消えます（$\hbar=0$ の読みの上で）。

設定。$T=\infty$ の格子の直線 $\mathbb Z$（刻み $\varepsilon=\tfrac12$）の上の作用 $S=\sum_i(x_{i+1}-x_i)^2/(2\varepsilon)+\varepsilon\sum_iV(x_i)$、$e^{-S/\hbar}$ の無限体積の測度 $\mu$、Dirichlet 形 $\mathcal E(f)=(\hbar/\varepsilon)\sum_i\mathbb E_\mu|\partial_if|^2$ を取ります（$\mu$ の一意性と最近接の Markov 性は前提の行 P0、10-05 段 0）。箱 $B$ は $L$ サイトの区間、境界の値 $(a,b)$ は $B$ の左右の隣のサイトの値、$\mu_B^{a,b}$ はそれを止めた条件つきの測度、$\mathcal E_B$ は $B$ のサイトだけの和で、

と置きます。二つの $\sigma$-代数の最大相関を $c(\mathcal G_1,\mathcal G_2):=\sup\{\operatorname{corr}_\mu(F,G):F\in L^2(\mathcal G_1),\,G\in L^2(\mathcal G_2)\}$ とします。

補題 TP（二つの射影）。$c=c(\mathcal G_1,\mathcal G_2)\lt1$ なら、全ての $f\in L^2(\mu)$ で

初（証明は 10-05 段 1）Leantwo_proj_sum_le（仮定：Cauchy–Schwarz と最大相関の不等式）・two_proj_var（仮定：$A+B\le(1+c)V$）。

箱の族。$L$ サイトの箱 $B_m$ を、隣どうしが $l$ サイト重なるように並べ（$l\le L/3$）、偶の番号の箱の族を $E$、奇の番号の族を $O$ とします。$\mathcal G_E$ は $E$ の外のサイトの値が生成する $\sigma$-代数、$\mathcal G_O$ も同じで、$c_{\rm alt}(L,l):=c(\mathcal G_E,\mathcal G_O)$ です（平行移動に依らない）。

図 1　偶奇の箱とずらし（L = 8・l = 2 の例。各列の一文字が 1 サイト）
サイト      ....|....|....|....|....|....|....|....
偶の族 E    [ B0   ]       [ B2   ]       [ B4   ]
奇の族 O          [ B1   ]       [ B3   ]
重なり            ^^     ^^      ^^     ^^           ← l サイトずつ
ずらし s=1  箱の並び全体を l サイト右へ（重なりの位置が別のサイトへ移る）
n = ⌊(L−l)/l⌋ 通りのずらしで、重なりのサイトは互いに素

箱の積。偶の箱どうしは $L-2l\ge1$ サイト離れていて、次の不等式が成り立ちます（証明は §03）。

命題 H3。$n:=\lfloor(L-l)/l\rfloor$。$c_{\rm alt}(L,l)\lt1$ なら

初 証明。ずらし $s$ を一つ固定し、その偶奇の族を $E^s,O^s$ とします。(1) と、二つの族の (2) から $(1-c_{\rm alt})\operatorname{Var}f\le C_{\rm box}\bigl(\sum_{B\in E^s}\mathcal E_B+\sum_{B\in O^s}\mathcal E_B\bigr)$。箱は直線を覆い、各サイトは偶の族に高々一度・奇の族に高々一度入り、両方に入るのは重なりのサイトだけなので、括弧の中は $\mathcal E(f)+\mathcal E_{{\rm ov}^s}(f)$（重なりのサイトだけの和）です。ずらし $s=0,\dots,n-1$ で平均すると、重なりのサイトはずらしの間で互いに素なので $\sum_s\mathcal E_{{\rm ov}^s}\le\mathcal E$、よって $(1-c_{\rm alt})\operatorname{Var}f\le C_{\rm box}(1+1/n)\mathcal E(f)$。∎ Leanbox_two_family（仮定：補題 TP・各族の (2)・$\mathcal E_E+\mathcal E_O\le\mathcal E+\mathcal E_{\rm ov}$・$C_{\rm box}\ge0$）・box_shift_average（仮定：各ずらしの二族の不等式・重なりの和が $\mathcal E$ 以下）。

(3) は Poincaré 不等式だけで組まれていて、対数 Sobolev 不等式を使いません。条件 (H1)(H2) は $C_{\rm box}$ を通してだけ入ります（§04）。(H4) の $C_{\rm box}\le K_4(C\xi)^2/D$ と $L\varepsilon=C\xi$・$D=\hbar/S_0$ を入れると、$C_P\le(1+1/n)K_4C^2/(1-c_{\rm alt})\cdot\xi^2S_0/\hbar$ で、命題 4.5 の形です LeanH3_with_H4・H3_H4_compose（仮定：(3)・(H4)・$D=\hbar/S_0$・$n\gt0$・$c_{\rm alt}\lt1$）。離散のスピンの Glauber 力学の箱の力学（Martinelli の講義の命題 3.4・3.5）と同じ型で 典、ここではそれを一次元・$L^2$・最大相関の形に書き直しています。

残る仮定の行と、数

• (MIX_alt)：$c_{\rm alt}\lt1$ が $\hbar$ に一様。紙の証明はありません 仮。値は、遅い部分が符号の二状態の鎖（電信の鎖）であるという読みの上で、$\theta=l/L=\tfrac14$ の箱で $C=2／4／8$ に $c_{\rm alt}=0.731／0.410／0.138$ 読（二状態の鎖の閉じた式の値を写した族の値）。この値は §05 の命題 G の $\varphi(s,t)$ で $s=e^{-C\theta}$・$t=e^{-C(1-2\theta)}$ と置いたものと一致します（$C=2$ で $\varphi=0.7308$）。
• 境界の値の $\sup$。$C_{\rm box}$ は全ての実数の境界の値について $\sup$ を取ります。頂上に近い境界の値が最悪になることを §04 で見ます。
• $\xi$ の大きさ。転送作用素の偶奇の固有値の差を対数の領域で求めると $\ln\xi=218.08／661.04／2212.72$、$\ln\xi-S_0^{\rm lat}/\hbar-\tfrac12\ln\hbar\to-0.778$ 読（二つの独立な計算の経路が中くらいの $\hbar$ で六桁一致）。つまり $\xi\propto\hbar^{1/2}e^{S_0/\hbar}$ で、頂上の台地の長さ（交差の長さ $\ell_\times\approx0.34/\hbar$、10-10 型 5）との比は $\xi/\ell_\times\ge e^{213}$ Leanxi_over_ellx（仮定：測った $\ln\xi-\ln\ell_\times\ge213$）。長さ $C\xi$ の箱は台地を切らず、丸ごと含みます。その代わり、箱の中の芯の定数は芯の長さに一様である必要があります（§05）。

Glauber 力学の例では、環の隙間（帯の下端）が箱の隙間の 6 分の 1 ほどしかない場合も、その差を $1-c_{\rm alt}$ がちょうど担っていました。キンクの気体の帯の構造は、箱の形を壊しません。

10-05 の (7)（この章の (2)）の証明を置きます。10-05 の五分類の表で行 ES を「初」としたのは、この節の証明によります。

段 (a)　条件つきの独立。作用 $S$ は隣どうしの項 $(x_{i+1}-x_i)^2/(2\varepsilon)$ と一サイトの項 $\varepsilon V(x_i)$ の和です。箱 $B$ の外の全ての値を止めると、$x_B$ の条件つき密度は $e^{-S/\hbar}$ のうち $x_B$ を含む項だけで決まり、それは $B$ の中の項と、$B$ の両端と両隣 $a_B,b_B$ をつなぐ二つの項です。よって条件つきの法則は $\mu_B^{a_B,b_B}$ で、$B$ の外の値には両隣を通してしか依りません（最近接の Markov 性）。偶の箱どうしの間には $\mathcal G_E$ が止めたサイトが少なくとも一つあるので、$\mathcal G_E$ を与えたとき、偶の箱たちの条件つき密度は箱ごとの因子の積 $$\prod_{B\in E}\frac{1}{Z_B}\exp\Bigl(-\frac{S_B(x_B;a_B,b_B)}{\hbar}\Bigr)$$ に分かれ、偶の箱の値 $(x_B)_{B\in E}$ は互いに独立で、法則は積 $\bigotimes_{B\in E}\mu_B^{a_B,b_B}$ です 初（有限の体積で密度が積に分かれることの一行。$T=\infty$ の測度でも同じ条件つき法則を持つことは前提の行 P0）。

段 (b)　積の測度の Efron–Stein の不等式。$\nu=\nu_1\otimes\cdots\otimes\nu_m$ を $X_1\times\cdots\times X_m$ の上の積の測度、$F\in L^2(\nu)$、$\operatorname{Var}_jF$ を $j$ 番目の座標だけを動かした分散（他の座標は止める）とすると

初 証明。$F_j:=\mathbb E[F\mid X_1,\dots,X_j]$（$F_0=\mathbb EF$・$F_m=F$）、$\Delta_j:=F_j-F_{j-1}$ と置きます。$\Delta_j$ は互いに直交するので $\operatorname{Var}F=\sum_j\mathbb E\Delta_j^2$ です。座標が独立なので、$F_{j-1}$ は $F_j$ を $j$ 番目の座標について $\nu_j$ で積分したもので、$\mathbb E\Delta_j^2=\mathbb E[\operatorname{Var}_jF_j]$ です。さらに $F_j$ は $F$ を後ろの座標 $X_{j+1},\dots,X_m$ について平均したもので、$G\mapsto\operatorname{Var}_jG=\|G-\int G\,d\nu_j\|^2_{L^2(\nu_j)}$ は凸（半ノルムの二乗）なので、Jensen の不等式から $\operatorname{Var}_jF_j\le\int\operatorname{Var}_jF\,d\nu_{j+1}\cdots d\nu_m$。期待値を取って $\mathbb E\Delta_j^2\le\mathbb E\operatorname{Var}_jF$、$j$ について足すと (4) です。∎

段 (c)　箱の Poincaré。段 (a) の条件つきの積に (4) を当てます（座標 $X_j$ を箱 $B$ の値 $x_B$ とする）。箱 $B$ の座標だけを動かした分散は、測度 $\mu_B^{a_B,b_B}$ の分散なので

です（$C_{\rm box}$ の定義の $\sup$）。

段 (d)　まとめ。(4) と段 (c) から $\operatorname{Var}(f\mid\mathcal G_E)\le C_{\rm box}\sum_{B\in E}\mathbb E\bigl[(\hbar/\varepsilon)\sum_{i\in B}|\partial_if|^2\bigm|\mathcal G_E\bigr]$。期待値を取ると、条件つき期待値の塔の性質で右辺の各項は $\mathcal E_B(f)$ になり、(2) です。$f$ が有限個のサイトにだけ依るので、関わる箱は有限個で、$f$ の台に触れない箱の項は $0$ です。∎

$\mathcal E$ の定義域の一般の $f$ への延長（有限個のサイトに依る関数による近似）は、前提の行 P0 に含めます。奇の族も同じです。段 (b) の (4) は Efron–Stein の不等式（Efron–Stein 1981）の形で、ここでは証明を置いたので分類は「初」です。

箱 $B$（$L\varepsilon=C\xi$）と境界の値 $(a,b)\in\mathbb R^2$ を止め、$\mu=\mu_B^{a,b}$、$D=\hbar/S_0$ とします。箱の中のキンクの数の期待値は、キンクの密度 $1/(2\xi)$ から $C/2$ で $O(1)$ です 初 Leanpair_fugacity（仮定：$\xi\ne0$）。

素朴な割り方は回る。稀な集合 $E$（例えば長い芯がある配位）で割ると、$p=\mu(E)$ として $\operatorname{Var}f=p\operatorname{Var}_Ef+(1-p)\operatorname{Var}_{E^c}f+p(1-p)(m_E-m_{E^c})^2$ です 初（恒等式）。第二項は $E^c$ の上の定数で払えますが、第一項は $f$ が $E$ に集まれば $\operatorname{Var}f$ と同じ大きさで、$p$ の小ささは出ません。払えるのは $p\cdot\mathrm{osc}(f)^2/4$ までで、これは隙間ではなく弱い形の Poincaré 不等式です Leannaive_split_weak（代数）。稀さは分散では払えない、という 10-10 型 4 の例です。そこで割り方を、稀な集合でなく遅い変数で取ります。

遅い変数で割る。$Y$ を箱の中のキンクの配置（キンクの数と、キンクの多様体への射影で定めた各キンクの位置）として、条件つき期待値の恒等式 初

から始めます。

• 第一項（速い側）。$Y$ を止めた条件つきの測度は、最近接の Markov 性で、キンクの無い相の切れ端（長さ $\le C\xi$・両端の値つき）と、キンクの周りの管、その中の芯の積に分かれます。積の測度の Poincaré 定数は成分の定数の最大以下（(4) と各成分の Poincaré）なので、$\mathbb E\operatorname{Var}(f\mid Y)\le C_{\rm loc}\,\mathcal E(f)$、$C_{\rm loc}=\max(C_{\rm (H1^{seg})},C_{\rm (H2^{tube})},C_{\rm (T0'_P)})$ 初（積の代数）。三つの定数は仮定の行で 仮、芯の $C_{\rm (T0'_P)}$ を §05・§06 で押さえます。
• 第二項（遅い側）。$\mathbb E[f\mid Y]$ は $Y$ だけの関数で、キンクの位置の拡散（移動度 $D$、行 (Mob) 典）と、キンクの対の生成・消滅で緩和します。行 (KG)：縮約したキンクの気体の箱の Poincaré 定数 $C_{\rm kg}\le(C\xi)^2/(c_{\rm kg}(1-\eta_{\rm KG})D)$ 仮。行 (X)：交差項 $\mathcal E_Y(\mathbb E[f\mid Y])\le(1+\chi)\mathcal E(f)$ 仮（二尺度の不等式の交差の定数の型。この形の言明は既知の定理から引いていない）。

命題 H4。上の行の下で、全ての $(a,b)$ について

初（上の二項の和）LeanH4_two_scale（仮定：分解の不等式・第一項 $\le C_{\rm loc}\mathcal E$・(KG)・(X)・$C_{\rm kg}\ge0$）・H4_gap_form（仮定：$D\gt0$・$C\xi\ne0$・$c_{\rm kg}\gt0$・$\eta_{\rm KG}\lt1$・$1+\chi\ge0$）。(5) は 10-05 (12) と同じ式です。

一次元 Ising の Glauber 力学との対照

行 (KG) の定数 $c_{\rm kg}$ を決めるのは、縮約したキンクの気体を一次元 Ising の熱浴 Glauber 力学と同じ型と置く仮定です。両端のスピンを止めた $L$ サイトの箱の隙間は、閉じた式

を持ちます 仮（原典は書誌だけ。格子の対角化で表示の 6 桁まで一致、境界の値が $(+,+)$ でも $(+,-)$ でも同じ 読）Leanglauber_split（右の等号、仮定なし）。相関長が長い極限で、第一項 $1-\gamma\approx1/(2\xi^2)$ は無限体積の隙間＝対の生成と消滅、第二項 $\approx\pi^2/(2L^2)$ は長さ $L$ の区間のキンクの拡散で、Glauber の単位 $D=\tfrac12$ で書くと $D/\xi^2+\pi^2D/L^2=(C^2+\pi^2)D/(C\xi)^2$、すなわち $c_{\rm kg}=C^2+\pi^2$ 初（代数）Leankg_constant（仮定：$C\xi\ne0$）。対の項は小さな摂動ではなく、隙間の主な項の一つとして足し算で入ります。キンクの無い部分の局所の項は、隙間の下端には現れません。

境界の値が頂上の近くにあると、箱の端に半分のキンクが座れます。これは Ising の自由端に当たり、閉じた式がありません。格子の対角化で読むと、どの境界の型でも隙間は $1-\gamma$ を割りませんが（比 $\ge1.17$）、自由端は固定の端より遅くなります。

$K=(1+1/n)C^2/(c_{\rm kg}(1-c_{\rm alt}))$ LeanK_fixed_C2・K_ff_C2・K_ff_C4（仮定：測った $c_{\rm ff}$ と $c_{\rm alt}$。算術だけ）。$K_4$ が $C$ とともに減るので、固定の端だけなら $K$ は $C$ にほとんど依らず、頂上の境界の値を含めると $C$ を大きく取るほど良くなります。

(H4) に残る行。(X)・(KG)（Glauber の型と自由端）・(H1^seg)（10-06 の命題 H1 は環の言明で、端の値を持つ切れ端の版は無い）・(H2^tube)・芯の行。$K_4$ の第二項 $C_{\rm loc}D/(C\xi)^2$ は、$D/\xi^2$ が $e^{-441.6}／e^{-1328.6}／e^{-4433.1}$ の大きさなので 読、$C_{\rm loc}$ が $e^{2S_0/\hbar}$ より十分小さければ消えます。この余裕を §06 で芯に使います。

設定。芯は、経路が頂上と井戸の間 $(0,x_c)$（$x_c=0.89$）にとどまるサイトの極大な区間です。この章では対称性で向きを替え、芯を $(0,x_c)^k$ と書きます（10-09 の $Q_k=(-x_c,0)^k$ の鏡映）。芯の測度 $\mu_k^{\alpha,\beta}$ は、両端の外の値 $\alpha,\beta$ を止めた $e^{-S/\hbar}$ を $(0,x_c)^k$ に Neumann の境界で制限したもの、Dirichlet 形は $\mathcal E=(\hbar/\varepsilon)\sum_i\mathbb E|\partial_if|^2$ です（10-09 の $\hbar\int|\nabla g|^2$ の規約とは $C^{(10\text{-}09)}=C/\varepsilon=2C$ で換算）。条件 (H4) の速い側に要るのは、$C_P(\mu_k^{\alpha,\beta})$ が芯の長さ $k$ と端の値に一様に押さえられることです（行 (T0′_P)）。

段 1　$k\le7$：凸性（補題 BV）

芯の作用の Hessian は

で、端の値 $\alpha,\beta$ は $S$ の一次の項にしか入らないので Hessian に現れません。$\lambda_{\min}(T_k)=4\sin^2\frac{\pi}{2(k+1)}$ 初（三重対角の固有値の閉じた式）と $\inf V''=V''(0)=-\tfrac12$ から、$\varepsilon=\tfrac12$ で

です。これは 10-09 §06 で頂上の面の最小固有値として出た式と同じもので、$k\le7$ で正、$k=8$ で負になります（$8\sin^2(\pi/16)\approx0.304\gt\tfrac14$、$8\sin^2(\pi/18)\approx0.241\lt\tfrac14$）Leankappa7_pos・kappa8_neg（仮定なし）。

補題 BV。$\kappa(k)\gt0$ なら、全ての端の値 $\alpha,\beta\in\mathbb R$ と全ての $\hbar\gt0$ で $C_P(\mu_k^{\alpha,\beta})\le\varepsilon/\kappa(k)$。

初 証明。(7) から $S/\hbar$ は $\kappa/\hbar$ で一様に凸です。凸な領域（箱 $(0,x_c)^k$）に Neumann で制限した一様に対数凹な測度は $\operatorname{Var}f\le(\hbar/\kappa)\int|\nabla f|^2$ を満たし 典（凸な領域の Bakry–Émery、Kolesnikov–Milman の定理 1.2 (1) で確認）、$\mathcal E=(\hbar/\varepsilon)\int|\nabla f|^2$ に直すと $\le(\varepsilon/\kappa)\mathcal E$。∎ Leanlemma_BV（仮定：Hessian の下界が端の値に依らず $\ge\kappa\gt0$・各点の Bakry–Émery の不等式）。

値は $\varepsilon/\kappa(k)=0.133／0.286／0.543／0.973／1.749／3.42／9.18$（$k=1,\dots,7$）で、$\hbar$ にも端の値にも依りません。$k=1,2$ で測った $\sup$（$0.128$・$0.26$）はこの内です 読。ブロックを 7 サイト以下に刻めば、端の値の $\sup$ の難しさは凸性で消えます。代価は、刻んだブロックの継ぎ目の相関の側へ移ります。

段 2　$8\le k\le14$：二つのブロック（補題 TB）

補題 MR（端への縮約）。鎖 $x_1,\dots,x_k$ が Markov なら、$a\lt b$ について $c\bigl(\sigma(x_1,\dots,x_a),\sigma(x_b,\dots,x_k)\bigr)=c\bigl(\sigma(x_a),\sigma(x_b)\bigr)$。

初 証明。右辺 $\le$ 左辺は $\sigma$-代数の包含から。逆に $F$ を前の片の、$G$ を後ろの片の中心化した関数とします。Markov 性から $\mathbb E[G\mid x_1,\dots,x_a]=\mathbb E[G\mid x_a]=\mathbb E\bigl[\mathbb E[G\mid x_b]\bigm|x_a\bigr]$ なので、$\hat F=\mathbb E[F\mid x_a]$・$\hat G=\mathbb E[G\mid x_b]$ と置くと $\mathbb E[FG]=\mathbb E[\hat F\,\mathbb E[\hat G\mid x_a]]=\mathbb E[\hat F\hat G]\le c(\sigma(x_a),\sigma(x_b))\|\hat F\|\|\hat G\|\le c(\sigma(x_a),\sigma(x_b))\|F\|\|G\|$。∎

補題 TB。$1\le a\lt b\le k$、$k-a\le7$、$b-1\le7$ とすると

初 証明。$\mathcal G_1=\sigma(x_1,\dots,x_a)$・$\mathcal G_2=\sigma(x_b,\dots,x_k)$ に補題 TP を当てます。補題 MR で $c(\mathcal G_1,\mathcal G_2)=c(x_a,x_b)$。$\mathcal G_1$ を与えた条件つき法則は、$x_{a+1},\dots,x_k$ の長さ $k-a\le7$ の鎖（端 $x_a$ と $\beta$）を箱に制限したもので、補題 BV から $\operatorname{Var}(f\mid\mathcal G_1)\le(\varepsilon/\kappa(k-a))(\hbar/\varepsilon)\sum_{i\gt a}\mathbb E[|\partial_if|^2\mid\mathcal G_1]$。$\mathcal G_2$ も同じく $\sum_{i\lt b}$ と $\varepsilon/\kappa(b-1)$ です。期待値を取って (1) に入れると、サイト $i$ の係数は $[i\gt a]\varepsilon/\kappa(k-a)+[i\lt b]\varepsilon/\kappa(b-1)$ で、両方が立つのは $a\lt i\lt b$ のときだけ、それは $b\ge a+2$ のときだけです。∎ Leantb_far・tb_adjacent（仮定：補題 TP の結論・各ブロックの BV・$\mathcal E_i\le\mathcal E$・$c\lt1$）。

条件 $k-a\le7$・$b-1\le7$・$a\lt b$ から $k\le14$ で、$k=15$ では $(a,b)$ がありません Leantb_range・tb_none_at_15（自然数の算術）。入力は二点の最大相関 $c(x_a,x_b)$ 一つで、これは二サイトの同時分布を正規化した行列の第二特異値です 典（Witsenhausen・Rényi の特異値の表示、再述で確認）。格子の上の測度では、この値を転送行列の積から計算できます。

値。端を $[0,x_c]$ の標本に取ると、$8\le k\le14$ の上界の $\sup$ は $k=8$・両端 $0$ で取られ $15.5／30.5／66.4$、多項式の試験関数による下界（Rayleigh–Ritz）は $8.39／17.3／38.5$ です 読（$3\cdot10^{-3}$ では補題 TB だけの $\sup$ は $k=13$ の $22.1$）。$k=8$ は凸性の閾のすぐ外で、$\hbar=0$ の読みでは制約つきの最小点の Hessian の最小固有値が $0.0175$、$C_P\to\varepsilon/\lambda_{\min}=28.55$ へ向かいます。$\hbar\approx10^{-4}$ には峰があり（下界 57・上界 99）読、$\hbar$ について単調ではありません。

なぜ段 3 の形をここで使わないか。$k=8$・両端が頂上の芯では、長さ 5 の副箱の交互の最大相関が $0.879／0.938／0.971$ まで上がり、段 3 の係数が $76$ 以上になります 読 Leancoeff_k8（仮定：測った $\bar c\ge0.9713$）。柔らかい向き（$\lambda_{\min}=0.0175$）が継ぎ目の相関を 1 に近づけるためで、二つのブロックの形は交互の相関を避けて二点の相関だけで払えます。

段 3　$k\ge15$：箱の帰着を芯に当てる（形 (β)）

芯の測度も一次元・最近接の Markov なので（積の箱への制限は Markov 性を保つ）、§02・§03 の組み立てを芯の中で字義どおりに使えます。副箱を長さ $L_c=5$・重なり $l_c=1$（$n_c=4$）に取ると、副箱（端で切られた短いものを含め全て 5 サイト以下）の定数は補題 BV で端の値に一様に $\le\varepsilon/\kappa(5)=1.749$ なので、全ての $k$ と全ての端の値で

です 初（命題 H3 の証明を芯に写したもの）Leancore_uniform_L5（仮定：命題 H3 の結論・$C_{\rm box}\le7/4$・測った $\bar c_{\rm core}$）。$\bar c_{\rm core}$ は芯の中の偶奇の副箱の間の交互の最大相関で、$k\ge15$ で測った値は端の値（頂上を越えた負の端を含む）について $\le0.535$、$k=20〜30$ で 7 桁まで飽和しています 読（多項式の加法の関数と継ぎ目の二点による最大相関の下界の測り）。これを入れると $C_P\le4.70$ です。

交互の最大相関の形（命題 G）。片の内側の相関 $t$、継ぎ目の相関 $s$ の定常なガウスの鎖 $\dots,L_j,R_j,L_{j+1},R_{j+1},\dots$（$\operatorname{corr}(L_j,R_j)=t$・$\operatorname{corr}(R_j,L_{j+1})=s$・$|s|,|t|\lt1$。鎖は両側に無限に続くものとします）で、偶の片と奇の片の最大相関は $\varphi(|s|,|t|)$ です。ここで

です。導き方：一様な型 $F=\sum_{j\text{ 偶}}(L_j+R_j)$・$G=\sum_{j\text{ 奇}}(L_j+R_j)$ の一周期あたりの共分散は、Markov 性で二点の相関が途中のリンクの相関の積になることから $S_{AB}=2s(1+t)^2/(1-s^2t^2)$、分散は $S_{AA}=2(1+t)+2(1+t)^2s^2t/(1-s^2t^2)$ で、比が $\varphi$ です 初（等比級数の和）Leangauss_mode0・one_sub_phi。この比は、ガウスの目標分布に対する二ブロックの Gibbs 標本化の収束率の枠に入ります 典。偶の片の全体と奇の片の全体を交互に引き直す Gibbs 標本化の率は、ブロック Jacobi の行列の最大固有値の二乗で（Roberts–Sahu 1997 の定理 5 と §2.4）、その最大固有値が二つの片の最大相関 $\varphi$ です。片の長さが 1 の場合（$L_j=R_j$。(10) で $t=1$ と置いた値 $2s/(1+s^2)$）は、その二乗が鎖の長さを無限にした極限の率として、Pitt–Shephard 1999 の定理 1 と Mider–Jenkins–Pollock–Roberts 2022 の系 2 にあります 典。一般の片の長さでの (10) の値は、数値線形代数でいう line Jacobi 反復の収束半径と同じ量です（その側の書誌は照合していません）。ガウスの鎖で最大相関が線形の正準相関に等しいことは 典（Kolmogorov–Rozanov、再述で確認）、その中で一様な型が最大であることは計算で確かめただけです 読。$\varphi\ge s\ge st$ なので、素朴な積 $c\le s\cdot t$ は偽です Leannaive_product_false（仮定：$0\lt s,t\lt1$）。§02 の二状態の鎖の $c_{\rm alt}=0.7308$ は $s=e^{-1/2}$・$t=e^{-1}$ の $\varphi$ です。

二点の量には縮まない。芯では、二点の最大相関から作るガウスの代理 $\varphi_G$ が測った値と $10^{-4}$ の桁で一致します 読。それでも、一般の Markov 鎖では二点の量だけで交互の最大相関を押さえる不等式はありません。三変数の鎖 $X_1–X_2–X_3$：$X_2\sim\mathrm{Bern}(p)$、$X_2=1$ なら $X_1=X_3=1$、$X_2=0$ なら $X_1,X_3$ は独立に確率 $e$ で 1、$p=10^{-4}$・$e=10^{-3}$。二値の変数の関数は一次なので二値どうしの最大相関は $|\operatorname{corr}|$ で、$\operatorname{corr}(X_1,X_2)^2=p(1-p)(1-e)^2/(m_1(1-m_1))\le1/10$（$m_1=p+(1-p)e$）。ところが $Z=X_1X_3$ は $\operatorname{corr}(Z,X_2)^2=p(1-p)(1-e^2)^2/(m_Z(1-m_Z))\ge98/100$（$m_Z=p+(1-p)e^2$）初（共分散の計算）LeanrareR_pair・rareR_joint（有理数の算術）。稀な状態を両側から挟む非線形の関数が効く例で、行 (MIX_core) の紙は、芯の条件つき法則が対数凹に近いことを使う比較の定理を要ります。

命題 CORE3 と三段の表

命題 CORE3。端の値の集合 $\mathfrak E$ について、$B_2(\hbar;\mathfrak E):=\sup_{8\le k\le14}\sup_{(\alpha,\beta)\in\mathfrak E^2}\min_{(a,b)}M(a,b)/(1-c_{k,\alpha,\beta}(x_a,x_b))$、$B_3(\hbar;\mathfrak E):=2.186/(1-\bar c_{\ge15}(\mathfrak E))$ とすると、全ての $k\ge1$ と $(\alpha,\beta)\in\mathfrak E^2$ で

初（$k$ で場合を分けて段 1〜3 を当てる）Leanthree_stage（仮定：各段の上界）。

表 3 から $\sup_kC_P(\text{芯})\le22.1／30.5／66.4$ 読 Leanthree_stage_3em4（仮定：測った段 2・段 3 の値）。上界と下界の比は $2.6／1.76／1.72$ です。段 2 の入力（二点の最大相関）は、行列の積と第二特異値なので区間演算に載る型ですが、格子の測度と連続の測度の差の紙の評価が要り、走らせる費用は $10^3$ CPU 時間の桁の見積もりです（未）。段 3 は測っているのが下界で、上界の紙がありません。

表 3 は端の値を $[0,x_c]$ の標本に取った値でした。芯は $(0,x_c)$ に入るサイトの極大な区間なので、その外の隣のサイトは本来 $(-\infty,0]\cup[x_c,\infty)$ の値を取ります。どの組み立てでどの端が要るかを分けます。

区画の枠組みの芯 — 端は井戸の側だけ

区画の枠組み（10-09）の芯は、両端の値が井戸の側（この章の向きで $[x_c,\infty)$）にあるものとして定義されています。したがって頂上を越えた端はそこには入らず 初（定義から）Leanp5_end_not_negative（仮定：$x_c=0.89$）、端の集合に穴はありません。定常な鎖では、長さ $k$ の連の質量の $1-e^{-0.63/\hbar}$ がこの型で、$\hbar=0$ の読みの最小点は全てのサイトを壁 $x_c$ に押しつけた形一つです 読。

箱の側の芯 — 頂上を越えた端と、条件づけの壁

命題 H4 の速い側の芯（キンクの配置で割った後の芯）では、外の隣が頂上を越えた負の値を取りえます。そこでは $k=9,10$ の芯に $\hbar=0$ の局所の最小点が二つ現れ、障壁は $\Delta S\in[1.1\cdot10^{-4},2.5\cdot10^{-3}]$（端の値に依る）、$k=9$・端 $(-0.035,-0.035)$ の $C_P$ の下界は $13.9／44.6／526$ と $e^{\Delta S/\hbar}$ の型で増えます 読。

• 二つの最小点はどちらも条件づけの壁の上。一つは芯の区間そのままの瘤、もう一つは両端の零点が一サイトずつ内へ動いた形です。芯の区間を「ちょうどこの区間」と条件づけたので、零点が動きたい向きに壁が立ち、二つの型が競り合っています。離散のキンクの Peierls–Nabarro の障壁はこの格子では $10^{-12}$ 以下で、双安定の障壁 $0.5〜2.0\cdot10^{-3}$ と桁が違います 読 Leanpn_vs_bistab（仮定：測った値）。双安定は物理の準安定ではなく、条件づけの選び方が作るものです。
• 瘤の二値で切れば繊維は戻る。頂上の近くのサイト $x_m$ が閾 $\theta^*$ 以上か（瘤があるか）の二値 $Y_3$ で割ると、各繊維の $C_P$ は補題 TB（区間の直積にも同じ証明で当たる）で上界 $25.8／46.2／101$、下界 $8.9／17.4／32.8$ と、表 3 の段 2 と同じ桁に戻ります 読。
• $e^{\Delta S/\hbar}$ は移るだけ。その代わり、二値 $Y_3$ の周辺の Poincaré 定数が $e^{\Delta S/\hbar}$ を受け持ち、$\operatorname{Var}(\mathbb E[f\mid Y_3])\ge470\,\mathcal E(f)$（$3\cdot10^{-4}$）です 読 Leany_side_k9_3em4（仮定：測った値）。切っても障壁は消えず、10-10 型 7 の移しかえの形になります。芯の定数を $O(1)$ のまま本来の端の集合に広げることは、この割り方ではできません。