2026-10-09 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 10 部 質量ギャップの証明へ向けて — 階段の一段目を組む命題 4.5・条件 (H1)〜(H4)・依存グラフ · Kiichi, Shiori and Rin

一段目の言明 — 四条件と命題 4.5

設定は 10-04 §01 のとおりです。格子 $\varepsilon=\tfrac12$、作用 $S_{\rm lat}$、測度 $\mu\propto e^{-S_{\rm lat}/\hbar}$、Dirichlet 形 $\mathcal E(f)=(\hbar/\varepsilon)\sum_i\mathbb E|\partial_if|^2$、$C_P=\sup_f\operatorname{Var}(f)/\mathcal E(f)$、キンクの拡散係数 $D=\hbar/S_0$、$S_0=2/3$ です。$T\to\infty$ を先に取り、そのあとで $\hbar\to0$ とします。

上の側を組む最初の道具は、測度を二つの部分に割る代数です。配位の空間を二つに分け（例えば経路を均した値の符号で）、$\mu=Z_+\mu_++Z_-\mu_-$（$Z_\pm\ge0$・$Z_++Z_-=1$、$\mu_\pm$ は各部分に制限して規格化した測度）と書くと、どの $f$ についても

が成り立ちます 初（混合の分散の恒等式。$m_\pm=\mathbb E_{\mu_\pm}f$、$m=Z_+m_++Z_-m_-$ と置いて $\mathbb E_\mu(f-m)^2$ を各部分で $f-m_\pm$ と $m_\pm-m$ に分け、$Z_+(m_+-m)^2+Z_-(m_--m)^2=Z_+Z_-(m_+-m_-)^2$ を使う）。

右辺の三つの項に、それぞれ次の不等式があるとします。

一つ目は谷の中の局所 Poincaré、二つ目は谷と谷の平均の差を Dirichlet 形で押さえる「平均差の輸送」、三つ目は形の加法です。$Z_+Z_-\le\tfrac14$ なので

です 初 Leansplit_poincare_le（仮定：$Z_++Z_-=1$・$Z_\pm\ge0$・分割の式 (1)・二つの局所 Poincaré・平均差・形の加法・定数が非負）。分割の式 (1) は Menz–Schlichting の補題 2.4 と同じ形です 典（有限次元の Eyring–Kramers の Poincaré 版の骨組み）。

(3) の二つの定数のうち、$C_{\rm loc}$ が後で条件 (H1) になり、$C_{\rm md}$ が条件 (H2) になります。ところが (3) をそのまま長い経路に当てることはできません。

長い経路では一つの粗い変数では足りない。(1) は「遅い変数を一つ（谷のどちらにいるか）取り、残りは速い」という割り方です。経路が相関長より十分長い（$T\gg\xi$）と、キンクの密度の長い波の揺らぎが連続な帯を作り、谷を一つ固定した条件つきの測度の Poincaré 定数は $\xi^2/D$ と同じ大きさのまま残ります（10-04 §05 の Glauber の帯）。つまり $C_{\rm loc}$ が $O(1)$ になりません。そこで、遅い変数を体積に比例する数だけ取る代わりに、問題を長さ $C\xi$ の箱に切り分けます。これが条件 (H3)（箱への帰着）と (H4)（箱の中の隙間）で、(H1)(H2) は箱の中で使われます（§04）。

上の側の組み立てのうち、仮定の行を持たずに言える部分を先に並べます。

(a) 分割の代数。(1)〜(3) は §01 のとおりです 初。

(b) 凸な芯。谷の奥の凸な領域 $\{x_i\ge a\ \forall i\}$（$a\gt1/\sqrt3$）に制限した測度は、作用の Hessian が $\varepsilon\kappa_a$（$\kappa_a=(3a^2-1)/2$）以上なので、凸な領域の Bakry–Émery で $C_P\le2/(3a^2-1)$ が長さ・$\hbar$・境界に一様に出ます 初（曲率の下界）典（凸な領域の Bakry–Émery、Kolesnikov–Milman の定理 1.2）。証明と Lean の言明は 10-04 §06 にあります。ただし芯の外への小旅行はキンクより作用が小さく、長さ $\xi$ の区間には指数で多く入るので、凸な芯だけでは (H1) は出ません。

(c) 縮約した台地の二状態の値。短い環（$T\ll\xi$）では、谷を移る道はキンクの対一組で、対の間隔 $\ell$ が遅い一つの座標になります。$\ell$ だけを残した一次元の模型（$\ell$ は拡散係数 $2D$ で動き、両端に谷の原子、間に台地の重み $\pi(\ell)$）では、平均差を Cauchy–Schwarz の不等式で押さえ、$\ell$ の両端の値の差を $\int f'(\ell)\,d\ell$ と書いて

から $C_{\rm md}/4=J/(4D)$ の形の値が出て、等号は符号の試験関数でほぼ達します 初（(4) は Cauchy–Schwarz の不等式）Leanreduced_two_state_value（仮定：$0\lt T$・$0\lt D$・$J=4\xi^2I/T$、$I$ は台地の重みの積分）。縮約した模型そのもの（$\ell$ 以外を捨ててよいこと）は模型の仮定で、この値は「縮約した模型の上の値」です 仮。

(d) キンクの拡散係数。一本のキンクの位置は拡散係数 $D=\hbar/S_0$ で動きます。これは単一の界面の過程の水準では既知の定理の係数の写しです 典（10-04 §03 の (9)）。経路全体の隙間の文ではありません。

この四つで尽きます。残る部分、すなわち谷の中の局所 Poincaré が長さと $\hbar$ に一様なこと、平らな鞍点の族に沿う輸送が次元に一様なこと、長い経路を箱に帰着させること、箱の中の隙間は、既知の定理の仮定の外にあります（§05）。これを四つの条件として名指します。

四つの条件を、測度・定数・一様性の三つを明示して書きます。どれも 0+1 次元の二重井戸 $V=(x^2-1)^2/8$、格子 $\varepsilon=\tfrac12$、Dirichlet 形 $\mathcal E$ の上の文です。「一様」は、$\hbar\in(0,\hbar_0]$ のある $\hbar_0\gt0$ について、定数が $\hbar$ に依らない（$\hbar\to0$ で増えない）ことを言います。

四つは同じ重さの条件ではありません。(H3) は「長い経路の問題を箱の問題に移す」段、(H4) は「箱の中を遅い変数（キンクの配置）と速い変数に割る」段で、(H1)(H2) はその速い変数の側の文です。(H1)(H2) が (H4) の中に入る場所を、次の節で一本の筋にします。

正確には、条件の名の (H1)〜(H4) は、仮定 H（冪の文、10-01 §05）とは別のものです。仮定 H は結論の側の文で、(H1)〜(H4) はそれを一段目で導くために置いた条件です（10-03 §05）。

(5) は 10-04 §05 の (15)、10-03 §05 の (3) と同じ式です。以下、段ごとに「何を使うか」と分類を添えます。

段 0　前提の行

$T=\infty$ の測度 $\mu$ が一つに決まること（転送作用素の積分核が正であることからの主固有値の単純さ）仮（$\mathbb R$ の上の正の核の版の原典は確かめていない。10-04 §01 と同じ行）。有限の環の $C_P(T)$ と $T=\infty$ の測度の $C_P$ の関係（極限の段）と、以下の段で使う関数の正則性（条件つきの測度・キンクの座標の滑らかさ）仮。この三つは命題 4.5 の外に置いた前提で、統合表（10-12）でも仮定の行として数えます。

段 1　箱への帰着 — 条件 (H3) を命題 H3 の形で

直線 $\mathbb Z$ を長さ $L$ サイトの箱で覆います。隣どうしの箱は $l$ サイト重なり（$l\le L/3$）、箱を交互に偶の族 $E$ と奇の族 $O$ に分けます。$\mathcal G_E$ を偶の族の外のサイトの値が生成する $\sigma$-代数、$\mathcal G_O$ を同様に置き、二つの $\sigma$-代数の最大相関を

とします。

補題 TP（二つの射影）。$c=c(\mathcal G_1,\mathcal G_2)\lt1$ なら、全ての $f\in L^2(\mu)$ で $\operatorname{Var}f\le(1-c)^{-1}\bigl(\mathbb E\operatorname{Var}(f\mid\mathcal G_1)+\mathbb E\operatorname{Var}(f\mid\mathcal G_2)\bigr)$。

初 証明。$\tilde f=f-\mathbb Ef$、$a_i=\mathbb E[f\mid\mathcal G_i]-\mathbb Ef$ と置きます。$s:=\|a_1\|^2+\|a_2\|^2=\langle\tilde f,a_1+a_2\rangle\le\|\tilde f\|\,\|a_1+a_2\|$、一方 $\|a_1+a_2\|^2\le s+2c\|a_1\|\|a_2\|\le(1+c)s$。よって $s\le(1+c)\|\tilde f\|^2$ で、$\mathbb E\operatorname{Var}(f\mid\mathcal G_i)=\|\tilde f\|^2-\|a_i\|^2$ を足すと $(1-c)\|\tilde f\|^2$ 以上です。∎ Leantwo_proj_var（仮定：$A+B\le(1+c)V$。射影の幾何は Lean の外）。

箱の積。偶の箱どうしは $L-2l\ge1$ サイト離れているので、最近接の相互作用の Markov 性により $\mathcal G_E$ の下で互いに独立です。独立な成分の関数の分散は成分ごとの条件つきの分散の和以下（Efron–Stein の型）なので

です 初（Markov 性と、独立な積の分散の不等式。証明は 10-11 に置く）。奇の族も同じです。各サイトは偶の族に高々一度・奇の族に高々一度入り、両方に入るのは重なりだけです。

ずらしの平均。箱の並びを $l$ ずつ $n=\lfloor(L-l)/l\rfloor$ 通りずらすと、どのずらしも同じ $c_{\rm alt}$ を持ち、重なりのサイトはずらしの間で互いに素です。補題 TP と (7) を各ずらしに当てて平均すると

です 初 Leanbox_two_family・box_shift_average（仮定：各ずらしで二族の不等式・$C_{\rm box}\ge0$・重なりの形の和が $\mathcal E$ 以下）。これが命題 H3 で、(H3) の $c_M$ は $(1-c_{\rm alt})/(1+1/n)$ に当たります。この段は Poincaré 不等式だけを使い、対数 Sobolev 不等式を使いません。

(8) に残る仮定の行は一つ、交互の最大相関 $c_{\rm alt}\lt1$ が $\hbar$ に一様なことです（行 (MIX_alt)）。値は $C=2$・重なり $\theta=l/L=\tfrac14$ で $c_{\rm alt}\approx0.73$ と読まれます 読（二状態の電信の鎖の閉じた式の値を写した族の値。上界の証明ではない）。箱の帰着の型は、離散のスピンの Glauber 力学の箱の力学（Martinelli の講義の命題 3.4・3.5）と同じ形です 典（離散のスピン・全変動の結合の形。ここでは一次元・$L^2$・最大相関の形に書き直した）。

段 2　箱の中 — 条件 (H4) を命題 H4 の形で、(H1)(H2) の入る場所

箱 $B$（$L\varepsilon=C\xi$）と境界の値 $(a,b)$ を止めます。箱の中の遅い変数を $Y$＝キンクの配置（キンクの数と、キンクの多様体への射影で定めた各キンクの位置）とします。分散を $Y$ で分けると

です 初（条件つき期待値の恒等式）。

第一項＝速い側。ここに (H1) と (H2) が入る。$Y$ を止めた条件つきの測度は、最近接の Markov 性で、次の部分の積に分かれます。(i) キンクとキンクの間の、キンクの無い相の切れ端（長さ $\le C\xi$、両端の値つき）。(ii) 各キンク・キンクの対の周りの管と、その中の芯（頂上の近くにとどまる区間）。積の測度の Poincaré 定数は成分の定数の最大なので（独立な積の分散の不等式）、

です 初（積の測度の Poincaré 定数は成分の定数の最大。積に分かれることは $Y$ の定め方に依り、その正則性は段 0 の行に含める）。(i) の定数が条件 (H1) の切れ端の版、(ii) の定数が条件 (H2) の管と芯の行です 仮（三つとも仮定の行）。

第二項＝遅い側。ここに鞍点の族に沿う縦の輸送が入る。$\mathbb E[f\mid Y]$ は $Y$ だけの関数で、その揺らぎはキンクの位置の拡散と、キンクの対の生成・消滅で緩和します。$Y$ の上の Dirichlet 形 $\mathcal E_Y$ は、キンク一本あたりの移動度が $D=\hbar/S_0$ の形です（行 (Mob)：射影の式、10-04 §03）。ここで二つの行を置きます。

• 行 (KG)：縮約したキンクの気体の箱の Poincaré 定数 $C_{\rm kg}\le(C\xi)^2/\bigl(c_{\rm kg}(C)(1-\eta_{\rm KG})D\bigr)$、$\eta_{\rm KG}\lt1$ は $\hbar$ と境界の値に一様 仮（キンクの気体が一次元 Ising の Glauber 力学と同じ型に入る、という仮定）。
• 行 (X)：交差項 $\mathcal E_Y(\mathbb E[f\mid Y])\le(1+\chi)\,\mathcal E(f)$、$\chi$ は $\hbar$ と境界の値に一様 仮（二尺度の不等式の交差の定数の型。この形の言明は既知の定理から引いていない）。

(KG) の $c_{\rm kg}$ は、固定した端の Glauber の箱の隙間の閉じた式 $(1-\gamma)+\gamma(1-\cos(\pi/(L+1)))$ を連続の極限で読んだ

から $c_{\rm kg}=C^2+\pi^2$ です 初（(11) の代数）Leankg_constant（仮定：$C\xi\ne0$）。第一項の $D/\xi^2$ が対の生成と消滅、第二項がキンクの位置の拡散です。境界の値が頂上の近くにあると箱の端に半分のキンクが座れ（自由端に当たる）、その場合を含む $\sup$ では $c_{\rm kg}=c_{\rm ff}(C)$、$C=2$ で $7.17$ と読まれます 読（一次元 Ising の自由端の箱の隙間を格子の値で求めた族の値）。

(9)(10) と (KG)(X) を合わせると

です 初 LeanH4_two_scale（仮定：分解 (9) の不等式・第一項 $\le C_{\rm loc}\mathcal E$・(KG) $\le C_{\rm kg}\mathcal E_Y$・(X)・$C_{\rm kg}\ge0$）・H4_gap_form（仮定：$D\gt0$・$C\xi\ne0$・$c_{\rm kg}\gt0$・$\eta_{\rm KG}\lt1$・$1+\chi\ge0$・上の二つの不等式）。これが命題 H4 です。

$K_4$ の第二項は $C_{\rm loc}$ に $D/(C\xi)^2$ を掛けたもので、$D/\xi^2=\hbar/(S_0\xi^2)$ は三つの $\hbar$ で $e^{-441.6}／e^{-1328.6}／e^{-4433.1}$（$\hbar=3\cdot10^{-3}／10^{-3}／3\cdot10^{-4}$）の大きさです 読（10-04 §07 の表 2）。$C_{\rm loc}$ が $\hbar$ について指数で増えない限り、この項は $\hbar\to0$ で消えます。(H1) が $C_{\rm loc}=O(1)$ を要求するのは、この意味では余裕のある要求です。

(H2) の行き先の注。§01 の二つの谷の割り方では、(H2) は平均差の定数 $C_{\rm md}$ そのものでした。箱の割り方では、鞍点の族に沿う向き（キンクの位置）を遅い変数 $Y$ に取ったので、その向きの輸送は第二項の (KG) と (X) が受け持ち、(H2) に残るのは $Y$ を止めた管と芯の Poincaré です。この本では、管と芯の行を (H2) の行、(KG)(X) を (H4) の行として数えます（統合表 10-12 と同じ数え方）。

段 3　合成 — $C_P\le K\xi^2S_0/\hbar$

(8) の $C_{\rm box}$ に (12) を入れ、$L\varepsilon=C\xi$ と $D=\hbar/S_0$ を使うと

です 初 LeanH3_H4_compose（仮定：命題 H3 の結論 (8)・命題 H4 の結論 $C_{\rm box}\le K_4(C\xi)^2/D$・$D=\hbar/S_0$・$n\gt0$・$\hbar\gt0$・$S_0\gt0$・$c_{\rm alt}\lt1$）。$K$ が $\hbar$ に依らないことは、$c_{\rm alt}$・$\chi$・$\eta_{\rm KG}$・$c_{\rm kg}$・$C_{\rm loc}$ の一様性、つまり仮定の行の中身そのものです。

縮約した模型の値（$\chi=\eta_{\rm KG}=0$・$n=3$・$\theta=\tfrac14$）を入れると、$C=2$ で $K\approx2.76$（頂上の境界の値を含む $\sup$）・$1.43$（端が井戸の側だけ）、$C=4$ で $K\approx1.78$ です 読（族の値で、$K$ の上界ではない）LeanK_ff_C2・K_ff_C4（仮定：測った $c_{\rm ff}$ と $c_{\rm alt}$ の値。算術だけ）。三つの $\hbar$ で同じ値なのは、縮約した模型に $\hbar$ が入らないからです。

段 4　比 $R$ を挟む — $1\le R\le K'/\hbar$

(13) を $\xi^2$ で割ると、$R=C_P/\xi^2\le KS_0/\hbar=:K'/\hbar$ です 初（割り算）。下からは命題 L（10-04 §04）で $R\ge1$ です 初（連続の時間・$T\to\infty$。証明は 10-04 に置いた）。合わせて

です。命題 L は条件を使わない下界で、(14) の左の不等号は (H1)〜(H4) に依りません。

段 5　冪の H — $\ln C_P/\ln\xi\to2$

$\ln C_P/\ln\xi=2+\ln R/\ln\xi$ で、(14) から $0\le\ln R\le\ln K'+\ln(1/\hbar)$ です。残る入力は物差しの伸び方 $\ln\xi\ge s/\hbar$（ある $s\gt0$ と小さい $\hbar$）で、これは $\xi\propto\hbar^{1/2}e^{S_0/\hbar}$ から来ます。連続の模型の半古典の主項は既知の式の写しで 典、格子の模型では $\ln\xi-S_0^{\rm lat}/\hbar-\tfrac12\ln\hbar$ が三つの $\hbar$ で $-0.774／-0.777／-0.778$ と一定に寄る読みです 読（10-04 §07）。この入力の上で

となり、冪の H が従います 初 Leanpower_H_of_kink_ratio（仮定：$0\lt K$・$0\lt s$・$0\lt\delta$、$0\lt\hbar\lt\delta$ で $1\le R\le K/\hbar$ と $s/\hbar\le\ln\xi$。Lean の $K$ は本文の $K'$）。

一本の筋の確かめ

段 1〜5 を一行に縮めると

です。矢印の上に書いた入力のうち、仮定の行は (H1^seg)・(H2^tube)・(T0′_P)・(KG)・(X)・(MIX_alt) と段 0 の前提で、残りは初等の代数か既知の定理か読みです。

仮定の行の言明が結論の量を含んでいないことも、ここで確かめておきます。結論の量は $T=\infty$ の測度全体の $C_P(\mu)$ と比 $R$ で、(H1^seg)・(H2^tube)・(T0′_P) は切れ端・管・芯の測度の定数、(KG) は縮約した気体の定数、(X) は形の比較、(MIX_alt) は相関の量で、どれも $C_P(\mu)$ や $R$ を含みません。結論を前提に置く形（依存の円）は、この段の組み方には現れません（確かめ方は 10-13）。

正確には、命題 4.5 の結論は「Langevin 力学の緩和の時間 $C_P$ が $\xi^2$ の冪で伸びる」という一段目の文です。$C_P$ は転送作用素の隙間（トンネル分裂）とは別の量で、命題 4.5 の全ての行が揃っても、二段目以後の文は従いません（10-01 §08・10-03 §06）。

命題 4.5 の上界 (5) を与える既知の定理は、探した範囲では見当たりません。近い定理がどこまで届き、どこで止まるかを表 1 にまとめます。

表 1 の最後の三行が示すように、既知の道具は「一本のキンク」と「体積に一様だが粗い上界」の両端にあり、その間（長い経路の上で、キンクの気体の拡散の時間 $\xi^2/D$ まで鋭い上界）が命題 4.5 の場所です。Bauerschmidt–Dagallier の上界が $e^{c\xi}$ になるのは、判定法が感受率という一つの量だけを見るため、遅いが局所的な緩和と遅く大域的な緩和を区別できず、指数の中に $\xi$ が入るからと読まれます 読。

§04 の段を、五分類の書式（10-00 §01）で一表にします。分類は一行に一つで、機械検査の欄は分類の外です。行の記号は §07 の依存グラフの節点の番号と対応します。

表 2 の「初」の行は、どれも仮定の行を入力にとる代数です。「初」の行が並んでいることは、命題 4.5 の結論が示されていることを意味しません。結論が無条件になるのは、全ての「仮」の行と、「読」の行（Xi）が置き換わったときだけです。

表 2 の行を、番号つきの節点の一覧にします。書式はこの部で共通で（10-12 の統合のグラフも同じ）、「⟸」の右に並ぶ前提の番号は、左の結論の番号より必ず小さく置きます。葉（仮定・既知・読み）が小さい番号、結論が最大の番号です。

[01] 仮 P0        T=∞ の測度の一意性・極限の段・正則性          ħ：—
[02] 仮 (H1seg)   キンクの無い切れ端の Poincaré                  ħ：—
[03] 仮 (H2tube)  管の Poincaré（長さ ≤ Cξ）                     ħ：—
[04] 仮 (T0'P)    芯の Poincaré（芯の長さに一様）                ħ：—
[05] 仮 (KG)      縮約したキンクの気体の箱の隙間                 ħ：—
[06] 仮 (X)       交差項 ℰ_Y ≤ (1+χ)ℰ                            ħ：—
[07] 仮 (MIXalt)  交互の最大相関 c_alt < 1                        ħ：—
[08] 典 Mob       キンク一本の移動度 D = ħ/S₀                    ħ→0
[09] 読 Xi        ln ξ ≥ s/ħ（ξ ∝ ħ^½ e^(S₀/ħ)）                  三点・主項
[10] 初 TP        二つの射影の補題                               ħ に依らない
                  Lean two_proj_var（仮定：A+B ≤ (1+c)V）
[11] 初 ES        偶の箱の条件つき独立と積の分散 (7) ⟸ [01]       ħ に依らない
[12] 初 DEC       分散の分解 (9)・積への分解 (10) ⟸ [01]          ħ に依らない
[13] 初 KGc       c_kg = C²+π²（(11) の代数）                     ħ に依らない
                  Lean kg_constant（仮定：Cξ ≠ 0）
[14] 初 命題 H3   (8) ⟸ [07][10][11]                              ħ に依らない
                  Lean box_two_family・box_shift_average（仮定：二族の不等式・C_box ≥ 0・重なりの和 ≤ ℰ）
[15] 初 命題 H4   (12) ⟸ [02][03][04][05][06][08][12][13]         ħ に依らない
                  Lean H4_two_scale・H4_gap_form（仮定：分解・C_loc・(KG)・(X)・D > 0・η < 1 ほか）
[16] 初 命題 4.5  (13) C_P ≤ Kξ²S₀/ħ ⟸ [08][14][15]               ħ→0
                  Lean H3_H4_compose（仮定：(8)・(12)・D = ħ/S₀・n, ħ, S₀ > 0・c_alt < 1）
[17] 初 命題 L    R ≥ 1 ⟸ [01]                                    全ての ħ
                  Lean local_rayleigh_ratio_le_one（有限和の骨だけ）
[18] 初 (14)      1 ≤ R ≤ K'/ħ ⟸ [16][17]                         ħ→0
[19] 初 冪の H    ln C_P / ln ξ → 2 ⟸ [09][18]                     ħ→0
                  Lean power_H_of_kink_ratio（仮定：0 < K, s, δ・1 ≤ R ≤ K/ħ・s/ħ ≤ ln ξ）

確かめ方。全ての「⟸」の行で、右の番号が左の番号より小さいことを目で見ます。[11] と [12] は [01] だけ、[14] は [07][10][11]、[15] は [02]〜[06][08][12][13]、[16] は [08][14][15]、[17] は [01]、[18] は [16][17]、[19] は [09][18] で、どの行も規則を守っています。規則が守られていれば、前提をたどると必ず番号が下がり、いずれ葉に着くので、円はありません。

葉のうち「仮」は [01]〜[07] の七つ、「典」は [08]、「読」は [09] です。命題 4.5 の結論 [16] は [01]〜[08] の全てに依り（[11][12] を通して [01] にも）、冪の H [19] はさらに [09] に依ります。命題 L [17] だけは [01] にしか依らず、(H1)〜(H4) を使いません。

正確には、このグラフは命題 4.5 の段の組み立ての依存で、各仮定の行の中身（例えば [02] を節点の上で支える命題 H1）は入れていません。それらは各条件の章のグラフにあり、全てを一つに繋いだものが 10-12 の統合のグラフです。

全ての行が揃う $\hbar$ は無い。条件 (H1) の節点の命題は $\hbar\ge0.005$ の六点、芯の行を支える仮定つきの命題は $\hbar\le10^{-3}$ の桁の窓の下の端にあって交わらず、(KG)・(X)・(H2^tube) はどの $\hbar$ でも仮定の行です。帯の図と揃え方は 10-12 に置きます。

四つの条件の現在地を一行ずつ並べます。詳細は各章です。

この部は仮定 H を取っ掛かりとして選んだ検討で、命題 4.5 は一段目の上の側を組む一つの割り方です。別の視点は第 11 部で扱います。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 分散の分割・局所 Poincaré・平均差の輸送・条件 (H1)〜(H4)・命題 4.5・相（キンクの無い相）・切れ端・管・芯・箱の力学（箱への帰着）・最大相関・交互の最大相関・二つの射影の補題・Efron–Stein の不等式・縮約したキンクの気体・交差項・依存グラフ。意味は A-02 用語集 にあります。

次に読む章：10-06 (H1) 相の中の局所 Poincaré — キンクの無い相の測度の Poincaré 定数を、残したサイトと橋の二尺度の組み立てで六つの $\hbar$ の節点の命題にし、節点の間を埋める方法と費用を述べる。

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