2026-10-09 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 11 部 今後の考察 — 仮定 H の先と、別の見方局所の Poincaré 定数・比の形・区画の H · Kiichi, Shiori and Rin

区画の H と局所の H — 型を避けて H を述べ直す二つの形

〔三〕で読める一節です。仮定 H は「すべての試験関数」の文なので、11-01 の型の量（巻き数・位相電荷）の緩和が $\xi^2$ より速く伸びれば、それ一つで上の半分 H↑ は破れます（11-01 の (3)）。その量は時刻にも空間にも局所でない大域の量です。そこで試験関数を二通りに制限して、H を述べ直します。

局所の H。試験関数を、長さ $c\ell$ の窓（四次元では一辺 $c\ell$ の時空の箱）の中の配位だけに依るものに限ります。$\ell$ は隙間とは別に外から与える物差しで、四次元では記帳の長さ $\xi_{\rm RG}$ です。その上限 $C_P^{\rm loc}(c)$ は窓の周辺の分布だけで決まり、窓を広げると単調に増え、$c\to\infty$ で全体の $C_P$ にちょうど戻ります。ところが四次元の箱では、質量の無い自由場でも $C_P^{\rm loc}$ は箱の一辺の二乗の程度で有限です。「$C_P^{\rm loc}\le K\ell^2$」を満たすだけでは何も言っていないことになるので、同じ箱の無質量の値との比 $K_{\rm rel}$ が 1 より十分小さいことを求めます。

区画の H。周期の箱で、滑らかにした位相電荷の値で配位を区画に分け、区画ごとに Poincaré 定数を測ります。分散を区画の中と区画の間に分けると、全体の $C_P$ は「区画の中の最悪の定数」と「区画の間の量 $C_{\rm trans}$」の和で上から、$C_{\rm trans}$ で下から挟まれます。区画の H を仮定すると、H↑ は $C_{\rm trans}\lesssim\xi^2$ と同じことになります。障害は消えずに一つの量に移るだけです。

何を問うか。部分領域の電荷の比を二つの係数で書くと（11-01 の (7)）、局所の H↑ は電荷の輸送の係数 $d$ が小さすぎないことを、全体の H↑ は電荷の保存の破れの係数 $h$ が小さすぎないことを要ります。四次元で位相電荷の凍結が効くのは $h$ の側なので、局所の H は凍結の影響を受けない見込みです 見。ただし局所の H は H↑ を組み立てる鎖の部品にはならず、別の文です（§06 の依存グラフ）。片側の橋が要るのは時刻に局所な側であること（命題 B の仮定の上）は、橋の章 11-04 で扱います。

設定。第 10 部の命題 B と同じ設定に置きます（10-01 の (17)）。有限の空間格子、一つの時刻の配位の空間 $\mathcal Q$（有限次元の連結な Riemann 多様体、計量 $M$）、$H=-\frac{\hbar^2}2\Delta_M+V$ と仮定 (A1)（スペクトルが離散・基底状態 $\psi_0\gt0$ が単純・$\Delta=E_1-E_0\gt0$）、$\mu$ は $T=\infty$ の定常な経路の測度（一つの時刻の分布 $\psi_0^2$、推移 $e^{-\tau A}$、$A=(H-E_0)/\hbar$）、$m=\Delta/\hbar$ です。試験関数の集まりを次の時間で均した汎関数の代数に取ります。

ここで $\Phi\in C_b^\infty(\mathbb R^k)$、$F_i\in C^\infty(\mathcal Q)$（$\mathcal Q=\mathbb R^n$ では多項式の増大まで）、重み $h_i\in L^\infty(\mathbb R)$ は台が有界なものです。$d_{q(\tau)}f=\sum_i\partial_i\Phi\cdot h_i(\tau)\,dF_i(q(\tau))$ で、計量 $G$ は命題 B の (A3) を満たすものとします。全体の Poincaré 定数を $C_P:=\sup_{f\in\mathcal D,\ \mathcal E(f)\gt0}\operatorname{Var}(f)/\mathcal E(f)$ と$\mathcal D$ の上で定めます。命題 B の試験関数 $f_T=\int_0^TF(q)\,d\tau$ はこの $\mathcal D$ に入ります。

$\ell$ を隙間で決めないのは、11-04 で局所の H から隙間の下界を導くとき、窓の長さに隙間が入っていると議論が循環するためです。測度が定常なので、窓の位置は値に効きません（区間 $[a,a+c\ell]$ でも同じ値）。

初 証明。(i) $f\in\mathcal D_c$ は経路の窓の中の値だけで決まります（経路は連続で、$\int h F(q)\,d\tau$ は窓の中の点の Riemann 和の極限）。$\tau\notin W_c$ では $d_{q(\tau)}f=0$ なので $\mathcal E(f)=\hbar\int_{W_c}\mathbb E\langle\cdots\rangle\,d\tau$ で、分散も Dirichlet 形も窓の周辺の法則の期待値です。

(ii) $\mathcal D_c$ の閉包は、窓の中の経路が生成する $\sigma$-代数 $\mathcal F_{W_c}$ に可測な関数の空間 $L^2(\mathcal F_{W_c})$ に入ります。窓の外の時刻 $\tau_0$ の値 $F(q(\tau_0))$（$F$ は定数でない）は $\mathcal F_{W_c}$ に可測でありません。窓の端からの距離を $s\gt0$ とすると、条件つき期待値は $\psi_0^{-1}e^{-sA}(F\psi_0)$ の型で、(A1) の下で $F$ そのものと一致しないからです。

(iii) $c\le c'$ なら $\mathcal D_c\subseteq\mathcal D_{c'}\subseteq\mathcal D$ で、部分集合の上の上限は小さい。

(iv) $\mathcal D$ の重みは台が有界なので、定常性で窓を $[-c\ell/2,c\ell/2]$ に取り直せば $\mathcal D=\bigcup_c\mathcal D_c$ です。$b\lt C_P$ なら比が $b$ を越える $f\in\mathcal D$ があり、その $f$ はある $c$ の $\mathcal D_c$ に入るので $C_P^{\rm loc}(c)\gt b$ です。(iii) の単調性と合わせて極限は $C_P$ です。∎

Lean LatticeGauge.LocalH.local_le_global（仮定：上に有界・空でない・部分集合）と local_approaches_global（仮定：$S=\bigcup_cS_c$・上に有界・空でない。結論：$\sup S$ より小さいどの $b$ も、ある $c$ の $\sup S_c$ で越えられる）は、(iii)(iv) の実数の集合の上限の部分だけを検査しています。経路の測度・$\mathcal D$・$\mathcal E$ は Lean の外です。

(iv) が仮定なしで成り立つのは、$C_P$ を $\mathcal D$ の上で定めたからです。「局所の関数が形式の芯である」という仮定は、この極限には要りません。芯の問いが残るのは、$C_P(\mathcal D)$ を確率量子化の方程式（Langevin 力学の SPDE）の生成作用素の隙間と同一視するときだけです（$\mathcal D$ の上の形の閉包の生成作用素の隙間は $1/C_P(\mathcal D)$ で、それが SPDE の生成作用素と一致するかが芯の問い）。

局所の H。定義 1 の上で、局所の H を二つの水準で書きます。

（左は $\ell\to\infty$ の族での冪の文、右はその上の半分の絶対の形）。命題 1 から二つのことが一行で出ます 初。第一に、全体の H↑ $C_P\le K\ell^2$ は、全ての $c$ で同じ定数の $\mathrm{H}{\uparrow}^{\rm loc}_c(K)$ を含意します（(iii)）。第二に、$c$ に一様な $K$ で全ての $c$ の $\mathrm{H}{\uparrow}^{\rm loc}_c(K)$ が成り立てば、(iv) で全体の H↑ に戻ります。したがって、局所の H↑ が全体の H↑ と違う中身を持つのは、一つの $c$ を止めて述べるときだけです。

空間も局所にした版。無限の空間格子（あるいは箱を含む空間格子）で、空間の箱 $B$ と窓の積 $B\times W_c$ を取り、$F_i$ を $B$ の中の変数だけに依る一時刻の関数に限った族 $\mathcal D_{B,c}$ と $C_P^{\rm loc}(B,c)$ を同じ形で定めます。命題 1 の (i)〜(iv) は同じ証明で成り立ち、(i) の周辺は $B\times W_c$ の上の場の法則です。四次元の Wilson 測度の上の局所の H は、時間と空間を区別しない一辺 $c\ell$（$\ell=\xi_{\rm RG}$）の時空の箱 $B_c$ と、箱の中のリンクが生成する $\sigma$-代数の上でこの定義を写したもので、Dirichlet 形はリンクの Langevin の $\mathcal E(f)=\mathbb E\sum_\ell|\nabla_\ell f|^2$ です。写しの段で前提になるのは、無限体積の Wilson 測度の存在と一意性（第 10 部の (S1)）です 仮。

絶対の形は空虚。(3) の右の形 $\mathrm{H}{\uparrow}^{\rm loc}_c(K)$ は、空間も局所にした四次元の時空の箱では、質量の無い自由場でも成り立ちます。一辺 $R$ の時空の箱 $B_R$ で、無限体積の無質量の自由スカラー場（一成分・正準の目盛り）の局所の Poincaré 定数を $C_P^{\rm loc,0}(R)$ と書くと

です 初。ガウス測度の勾配の Poincaré 定数は、族を張る部分空間に圧縮した共分散の作用素ノルムに等しいので（Hairer–Stuart–Voss–Wiberg 2005 の補題 2.2 の部分空間への写し）典、$C_P^{\rm loc,0}(R)=\|P_B(-\Delta)^{-1}P_B\|$ です。四次元では $(-\Delta)^{-1}$ は有限（過渡的）で、核は連続で $1/(4\pi^2|z|^2)$ の型なので、Schur の評価 $\sup_x\sum_{y\in B}G(x-y)\le\int_{|z|\lt2R}d^4z/(4\pi^2|z|^2)=R^2$ が上を、箱の Dirichlet の基底状態を試験関数にした値が下を与えます。よって $\ell=R/c$ と読めば $\mathrm{H}{\uparrow}^{\rm loc}_c(K)$ は $K=c^2$ で成り立ち、「ある $K(c)$ で $C_P^{\rm loc}(c)\le K(c)\ell^2$」の形は隙間について何も言いません。これがこの定義の陰性対照（無質量の自由場）です。数で見ると、$\Gamma(R):=C_P^{\rm loc,0}(R)/R^2$ は $R=4,6,8,10,12,16$ で $0.0802,\ 0.0768,\ 0.0756,\ 0.0750,\ 0.0747,\ 0.0744$、補正は $1/R^2$ で対数の補正は無く、$\Gamma_\infty=0.0740$ です 読（浮動小数・無限格子の熱核の数値積分・$R\le16$ からの外挿。独立な周期格子の経路と相対 $2\cdot10^{-3}$ 以内）。無質量の場そのものが $K(c)=0.0740\,c^2$ を満たします。

低い次元との対照を一行置きます。時空二次元の無質量では赤外が発散して $C_P^{\rm loc}=\infty$、有限の空間格子で時間の窓だけに局所化すると、一定のモードが $C_P^{\rm loc}\approx T/(2m)$（$mT\ll1$）を与え、$m\to0$ で発散します。無質量の場が有限の局所の定数を持つのは、時空三次元以上で空間も局所にした場合で、第 11 部の四次元の設定がちょうどそこに当たります 初。

絶対の形の定数とは $K(c)=K_{\rm rel}\,\Gamma\,c^2$ で対応します 初。比の形にすると定数 $K$ は箱の大きさに依らない絶対の数になり、「1 より十分小さい」が意味を持ちます。

$c$ に一様に求めない理由。質量 $m$ の自由場の比は $mR$ だけの関数 $r(mR)$ で、$mR=0.5,\ 1,\ 2,\ 4,\ 12$ で $0.932,\ 0.825,\ 0.623,\ 0.359,\ 0.0772$ です 読（一辺 $4$〜$12$ の箱で $0.3\%$ 以内に揃う）。箱が相関長より小さい（$mR\to0$）と比は 1 に近づきます。漸近自由な理論は短い距離で自由場に近いので、$K\lt1$ を $c\to0$ まで一様に求める文は偽になる見込みです 見。作用が凸な摂動 $\tfrac12\phi(-\Delta)\phi+\sum U(\phi_x)$（$U$ 凸）の場では Brascamp–Lieb の不等式から $K_{\rm rel}\le1$ です 仮（不等式の原典の言明はこの部では確かめていない）。橋に要るのは比が 1 より小さいことではなく、閾 $K_*$ より小さいことで、閾は参照の取り方で $0.342\kappa$（スカラー）・$0.502\kappa$（ゲージ商・一色の線形化）・$\approx0.62\kappa$（$SU(2)$ の色の一重項・主項）と動きます。閾と、帯 $[K_*,1)$ が未決であることは 11-04 で扱います。

ゲージ場の参照はゲージ商で。四次元のゲージ場では、参照をどの試験の空間で測るかで値が変わります。対象の Wilson 測度はゲージ不変で、ゲージ不変でない関数の Poincaré 定数はゲージの軌道に沿って無限大になるので、比の分子が有限なのはゲージ不変な関数の上だけです。そこで分母の参照も同じ箱のゲージ不変な関数で測ります。

箱が可縮なら $V_F=V_Q$ です 初（立方体の複体は可縮で一次のホモロジーが 0、よって箱のグラフの閉路はプラケットの 2-鎖の境界）。可縮でない領域（穴あき）では $V_F\subsetneq V_Q$ です。ゲージを固定した参照（Feynman ゲージなど）は固定の母数 $\alpha$ に依り、$\Gamma_Q\le\Gamma_{\rm Landau}\le\Gamma_{\alpha=1}$、さらに $\Gamma_\alpha\ge\alpha/(\lambda_D^{\rm int}R^2)$ で $\alpha\to\infty$（固定を外す）と無限大になります 初。数は表 1 です。

表 1 の最後の行が 11-01 の表 1 の (e) です。箱の境のサイトのゲージ変換も箱の中のリンクに作用するので、箱のゲージ不変な観測量（Wilson ループなど）は全てのサイトで割った空間に入ります。「箱の全てのサイトのゲージ変換で割る」ことは定義の一部で、書き落とすと数が $2.2$〜$2.5$ 倍動きます。どの参照も自由場の数で、対象の Wilson 測度の比は、この本では一つも測っていません。

0+1 の注。0+1 次元には有限の無質量の参照がありません（自由な粒子では $C_P^{\rm loc}=\infty$）。参照は必ず尺度を持ち、二重井戸では底の曲率の調和振動子（角振動数 $\omega_b$）を取ります。その比は最短の窓（一つの時刻）でちょうど $\omega_b/m$ です（$\psi_0$ が Schrödinger の基底状態のとき）初：

（$\varepsilon$ は時間の刻み。分子は周辺 $\psi_0^2$ の Poincaré 定数で、基底状態変換で $(H-E_0)$ の隙間に移る。この恒等式は 11-05 の真空の測度の式と同じもの）Lean LatticeGauge.LocalHDoubleWell.one_slice_ratio（仮定：$0\lt\varepsilon,m,\omega$。比の代数だけ）。二重井戸ではトンネルで $m\ll\omega_b$ なので、比は窓を短くしても 1 にならず、格子 $\varepsilon=\tfrac12$ で $4.61$（$\hbar=0.3$）から $638$（$\hbar=0.08$）です 読。したがって「短い距離で比は 1 に近づく」は比の形から出る事実ではなく、漸近自由（短い距離で自由場に近い）という理論の性質に依る仮定です 仮。窓を長くしたときの比の三つの領分は 11-04 で扱います。

設定。周期の箱 $\Lambda_L=(\mathbb Z/L)^4$、配位の空間 $\mathcal M=G^{\text{リンク}}$（コンパクトで連結な多様体・両側不変な計量）、Wilson 測度 $\mu$（滑らかで正の密度）、$\mathcal E(f)=\int|\nabla f|^2d\mu$ を取ります。位相電荷は、Wilson 流（流れの時間 $s$）か有限回の均しで滑らかにした格子の電荷 $Q_s$ を使います。均しの写像は滑らかで電荷密度は行列要素の多項式なので、$Q_s\in C^\infty(\mathcal M)$ です。

正則値で切るので、区画の閉包は滑らかな境界をもつコンパクトな多様体で、壁は余次元 1 の滑らかな超曲面です。幾何学的に定めた整数値の電荷（区分的に定数で不連続）で切ると、形は開集合の上の $H^1$ で定義できますが、壁の正則性が分からず、次の (i) が言えません。この章が滑らかにした電荷を使うのはこのためです。

初 証明。(i) 区画の閉包はコンパクトで境界が滑らか、密度は正で滑らかなので、Neumann の作用素の解核はコンパクトです（Rellich の定理 仮：原典の言明はこの部では確かめていない）。零固有値の重複度が連結成分の数に等しいので、隙間が正であることと連結であることは同じです。(ii) 壁は測度 0 なので Dirichlet 形は区画ごとの和に割れ、分散は条件つき分散の期待値と条件つき期待値の分散の和です。(iii) 左は $\operatorname{Var}(\mathbb E[f|N])\le\operatorname{Var}f$、右は (9) の第一項に区画ごとの Poincaré 不等式を使い、$\sum_n\mu(I_n)\mathcal E_n=\mathcal E$ で閉じます。(iv) 区画の関数は壁で跳んでよい（$H^1(\mathcal M)$ に入らない）ので、条件づけが新しい隘路を作れば $C_P^{\rm sec}(n)\gt C_P$ もありえます。∎ Lean LatticeGauge.LocalH.sector_split（仮定：重み $\ge0$・区画ごとの不等式・(9) の二つの式・$\operatorname{Var}(\mathbb E[f|N])\le C_{\rm trans}\mathcal E$。結論：(10) の右）・trans_le_total（仮定：重みと区画の分散が $\ge0$・(9)。結論：(10) の左の分子の不等式）。(9) の恒等式そのもの・Rellich・測度は Lean の外です。

区画の H と、その系。区画の H は、物理の一辺を止めた箱で区画の中の Poincaré 定数が相関長の二乗で押さえられるという文です。

初（(10) から。$\lesssim$ は定数の取り替えを除く）。区画の H は H の障害を区画の間の量 $C_{\rm trans}$ にちょうど押し込みます。障害を消すのではなく、一つの量に移すだけで、10-10 の型 7（移しかえ）と同じ形です。$C_{\rm trans}$ の物理の読みは転位の率で、静的には $C_{\rm trans}\ge\operatorname{Var}(\mathbb E[Q_s|N])/\mathcal E(Q_s)$ です。

橋にはつながらない。(10) と片側の橋（10-01 の (17)、周期の時間で $T$ が有限の補正つき）から出るのは $\kappa/m^2\lesssim\sup_nC_P^{\rm sec}(n)+C_{\rm trans}$ までで、$C_{\rm trans}$ を押さえない限り隙間は出ません 初。区画の中の Langevin の隙間 $1/C_P^{\rm sec}(n)$ は第五の時間の量で、条件つきの測度 $\mu_n$ には転送作用素がありません（全体の電荷の拘束が時間の Markov 性を壊す）。命題 B の型の「区画の中の物理の隙間」は定義から立たず、立てるには θ 真空の重ね合わせの扱いが要りますが、定式化していません 見。

三つの弱点。(a) 条件づけの壁が人工の双安定を作りうる。第 10 部の箱の側の芯では、区間を「ちょうどこの区間」と条件づけた壁の上に二つの局所の最小点が現れ、物理の準安定ではない双安定が生まれました（10-11 §06）。区画の壁は測度の小さい転位の配位の上にあるので害は小さいと見込みますが、確かめていません 見。命題 2 の (i) で連結かどうかが分かっていないのは、この弱点の極端な形です。(b) 物理の体積を大きくすると、区画を止めても障害が残る。$\beta$ を止めて $L\to\infty$ とすると、区画 $I_n$ の中でも半分の箱の電荷は動けます。11-01 の (5) の係数で、条件つきの分散は $\chi_tV/4$、Dirichlet 形は $hV/2+g\,|\text{面}|$ の程度で、比は $V\to\infty$ で $\chi_t/(2h)$、周期の箱の全体の比 $\chi_t/h$ と同じ桁です 仮（$h,g$ の定義と、二つの半分の和を止めた正規分布の条件つき分散の勘定の上）。区画で止まるのは全体の電荷の一つのモードだけで、部分領域の電荷のモードは残ります。したがって区画の H が H↑ と違う中身を持つのは、箱が交差の長さより小さい（区画の中の部分領域が輸送の領分にある）ときだけで、物理の体積を止めた順でしか意味を持たない見込みです 見。(c) $T=\infty$ の経路の測度には区画が無い。四次元の電荷は時間について積分した量で、$T=\infty$ では $L^2$ に入りません。

一段目の割り方との対応。(9) は、一段目の分散の分割（相の中の局所 Poincaré と、相を移る輸送、10-05 §01）と同じ割り方で、相 ↔ 区画、キンク ↔ 転位と対応します 見。10-03 §06 の「二尺度の割り方は持ち上がる見込み」の、具体的な行き先の一つです。ただし一段目では、相を移る輸送（キンクの拡散）の時間は $\xi^2S_0/\hbar$ の程度と読まれ（10-04 の (14) 仮）、冪の H の形に入ります。四次元の区画の間の量 $C_{\rm trans}$ は 11-01 の型の量そのもので、同じ形に入る見込みは立っていません。

局所は輸送の係数を、全体は保存の破れの係数を問う。11-01 の (7) の滑らかな窓の電荷 $Q_w$ は、一辺 $R=c\xi$ の箱の局所の族に入ります。(7) を局所の H↑（絶対の形）に入れると、必要条件は $\chi_tc^2\xi^2/(hc^2\xi^2+d\lambda_W)\le K\xi^2$ で、$h$ が小さい領分（交差の長さ $R_*$ が $c\xi$ よりずっと長い）では

です 初（代数）Lean LatticeGauge.LocalH.transport_requirement（仮定：$0\lt d$・$0\lt\lambda_W$・$0\lt\xi$）。比の形では $K$ を $K_{\rm rel}\Gamma c^2$ に読み替えます。一方、全体の H↑ の必要条件は、11-01 の (2)(6) で $R\to\infty$ とした

です 仮（11-01 の (5) の上）。(12) と (13) は別の係数に掛かります。局所の H は電荷の輸送の係数 $d$ を、全体の H は電荷の保存の破れの係数 $h$ を問います。四次元の位相電荷の凍結は、連続極限で $h$ が速く消えること（転位の配位が稀になること）の現れと読めるので、効くのは (13) の側です。局所の H が凍結の影響を受けない見込みはここから来ます 見。$d$ と $h$ の四次元の格子の値はありません。

閉じた箱と開いた箱。第 10 部の命題 H3（10-11 §02）は、全体の $C_P$ を箱の定数 $C_{\rm box}$ で押さえる帰着で、$C_{\rm box}$ は境界の値を止めた条件つきの測度の定数（境界の値について $\sup$）でした。これを閉じた箱と呼びます。局所の H の箱は境界を止めない周辺の箱で、開いた箱と呼びます。四次元で境界のリンクを止めると、箱の中の位相電荷の整数部分は箱の中の転位でしか変わらない見込みです（連続では、箱の電荷は境界の Chern–Simons の値と巻き数の和）見。したがって $\chi_t(c\xi)^4\gtrsim1$ の大きさの閉じた箱では、$C_{\rm box}$ が転位の障壁の時間を受け継ぐ見込みです 見。開いた箱では電荷が境界を通って出入りし、緩和は (12) の輸送の型です 仮。

閉じた箱と開いた箱の違いは、周期境界と開いた境界の違いと同じ形です。開いた境界は、物理の一辺を止めた有限の箱の中でしか位相の障害を外しません（開いた境界の $Q^2$ の自己相関時間は、時間の向きの長さにほぼ比例して伸びる、Lüscher–Schaefer 2011 の §5.3 読）。これは (12) の輸送の型の、箱の言葉での言い直しです。帰結の読み 見：予想を延ばした読み（11-01 の §06 (a)）の下で H↑ が四次元で偽と読めるなら、局所の H↑ が成り立つ場合でも、命題 H3 の四次元版は閉じた箱の段で破れます。壊れる場所は「箱の中の緩和」ではなく「閉じた箱の中の区画の移り変わり」です。

Langevin を実装する算法の自己相関の尺度づけ（格子単位で $1/a^2$）を、原典は「無限格子と、開いた境界の有限の格子で成り立つと期待される」と書き、周期境界の位相を変える遷移は格子の作り物として解析から外しています（Lüscher–Schaefer, Non-renormalizability of the HMC algorithm, 2011 の脚注）典。表 2 の二行目はこの言い方と同じ向きですが、原典の対象は局所の量の自己相関で、局所の H そのものではありません。

この章の行を五分類の書式に〔見〕を足して一表にします。行の記号は依存グラフの節点と同じで、11-01 の行（CL）を一つ引き継ぎます。

依存グラフ

[01] 仮 S1   無限体積の Wilson 測度の存在と一意性             β ≥ β₀
[02] 仮 RL   Rellich の定理                                   滑らかな境界
[03] 典 GP   ガウスの Poincaré 定数 = 圧縮した共分散のノルム  ガウス
[04] 初 L1   命題 1（連続時間の経路の測度）                   T = ∞
             Lean local_le_global・local_approaches_global（上限の部分だけ）
[05] 仮 W4   命題 1 の証明が四次元の箱で同じに通ること         四次元
[06] 初 LD   四次元の局所の Poincaré 定数の性質 ⟸ [01][04][05]
[07] 初 VC   絶対の形の空虚さ (4) ⟸ [03]                       時空四次元
[08] 読 GM   参照の数（Γ_∞・Γ_Q・λ_W^Q・境の凍結の倍率）       自由場
[09] 初 GQ   可縮な箱で V_F = V_Q・ゲージ固定は α に依る      可縮な箱
[10] 初 OS   最短の窓の比 = ω_b/m                              0+1
             Lean one_slice_ratio
[11] 仮 AF   短い距離で比は 1 に近づく（漸近自由）            四次元
[12] 仮 HR   局所の H↑（比の形・一つの c）                     β ≥ β₀
[13] 初 P2   区画の定数が有限 ⟺ 連結 ⟸ [02]                   正則値の切り口
[14] 初 SW   挟み C_trans ≤ C_P ≤ sup C^sec + C_trans          周期の箱
             Lean sector_split・trans_le_total
[15] 初 CO   区画の H の下で H↑ ⟺ C_trans ≲ ξ² ⟸ [14]
[16] 初 NB   区画から出る橋の不等式 ⟸ [14]（＋命題 B）
[17] 仮 CL   クラスタの減衰（11-01）                           無限体積
[18] 初 TR   局所は d・全体は h ⟸ [17]
             Lean transport_requirement
[19] 仮 HB   区画の中の半分の箱の比 → χ_t/(2h)
[20] 仮 MX   (MIX4) 閉じた箱の族の最大相関 < 1               四次元
[21] 仮 BX   (BOX4) 閉じた箱の C_box ≤ K′ξ_RG²  ← 位相の障壁が入る見込みの行
[22] 仮 RD   四次元の多族の箱の帰着（書き下していない）
[23] 初 HU   H↑ ⟸ [20][21][22]

確かめ方。「⟸」の行で右の番号が左より小さいことを目で見ます（[06] は [01][04][05]、[07] は [03]、[13] は [02]、[15][16] は [14]、[18] は [17]、[23] は [20][21][22]）。円はありません。葉の「仮」は [01][02][05][11][12][17][19][20][21][22] の十、「典」は [03]、「読」は [08] です。

このグラフで読むことは二つです。第一に、局所の H [12] は、H↑ [23] を組む鎖のどこにも入りません。命題 H3 の型の帰着は閉じた箱 [21] を使い、局所の H の箱は開いた箱だからです。局所の H は H↑ の部品ではなく、別の文です。局所の H がどこで使われるかは 11-04 の橋のグラフにあります。第二に、四次元で H↑ が壊れる見込みの場所は [21] の一行に集まります。[21] の言明は閉じた箱の定数 $C_{\rm box}$ だけを含み、全体の $C_P$ を含まないので、結論を前提に置く形にはなっていません。

(a) 二つの H は定義の候補で、どの $\beta$ でも、対象のゲージ理論について示した不等式はありません。示したのは定義の性質（命題 1・命題 2）と、自由場の参照の値です。H の「正しい直し方」も主張しません。

(b) 四次元の Wilson 測度の上の局所の H は、連続時間の経路の測度の上の定義の写しで、無限体積の測度の存在 [01] と、定義域の扱い [05] は前提の行です。

(c) 部分領域の電荷の勘定（開いた箱で輸送・閉じた箱で障壁）は、クラスタの減衰と形式的な係数 $h,g,d$ の上の見積もりで、四次元の格子の値はありません。

(d) 四次元の多族の箱の帰着 [22] は書かれていません。区画の壁の害・物理の体積を大きくしたときの区画の H の破れ方は見立てです。

(e) 局所の H が四次元で成り立つ証拠はありません。あるのは「凍結が効くのは $h$ の側で、局所の H が問うのは $d$」という勘定だけです。

(f) 表 1 の数はどれも参照の自由場の数（一色のガウス・$\beta=1$・浮動小数・外挿）で、対象の測度の比 $K_{\rm rel}$ は一つも測っていません。閾は参照と試験の観測量の族に依り、帯 $[K_*,1)$ の場について橋は何も言いません（11-04）。

(g) 「短い距離で比は 1 に近づく」は漸近自由に依る仮定で、0+1 の二重井戸ではこの読みが成り立ちません（(7)）。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 時間で均した汎関数の代数 $\mathcal D$・窓・局所の Poincaré 定数 $C_P^{\rm loc}(c)$・比の形 $K_{\rm rel}$・無質量の参照と $\Gamma$・ゲージ商の参照・区画と反射の形・区画の間の量 $C_{\rm trans}$・開いた箱と閉じた箱・輸送の係数 $d$ と保存の破れの係数 $h$。記号は 11-A1 にあります。

次に読む章：11-04 片側の橋はどの H を要るか — 比の形の局所の H↑ から隙間の下界が出る閾 $K_*$ と、橋が質量を見る箱の大きさ。

← 11-02 物差しと座標目次11-04 片側の橋はどの H を要るか →