2026-10-09 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 10 部 質量ギャップの証明へ向けて — 階段の一段目を組む階段・冪の H・命題 4.5 の形 · Kiichi, Shiori and Rin

階段の四段 — なぜ 0+1 次元から始めるか

仮定 H に出てくるものは三つです。一つの径数で並んだ確率の測度の族 $\mu_s$、各 $\mu_s$ の相関長 $\xi(s)$、各 $\mu_s$ の Poincaré 定数 $C_P(s)$（その測度を平衡に持つ Langevin 力学の緩和の時間）。径数を動かすと $\xi(s)\to\infty$ となるとき、仮定 H は

という一文です。この文は測度がどの空間の上にあるかを言いません。四次元格子では $\mu_s$ は Wilson 測度で $s=\beta\to\infty$（10-01）、0+1 次元の二重井戸では $\mu_s$ は虚時間の経路の測度 $e^{-S/\hbar}$ で $s=1/\hbar\to\infty$ です（10-04）。同じ形の文を、対象を替えて並べられます。

例。自由場（質量 $m_0$ のガウスの鎖）では $C_P=1/m_0^2$、$\xi\approx1/m_0$ で、(1) は $m_0\to0$ で成り立ちます（10-00 §04）初。相互作用があると、緩和を遅らせる新しい仕組み（障壁を越える、位相の違う配位の間を移る）が入り、(1) は自明でなくなります。

正確には、この部の「仮定 H」は冪の水準の文 (1) だけを指します。定数倍の幅で言う文（帯の文）は別の名で呼び、H とは呼びません（10-01）。また、一段目の四つの条件は「条件 (H1)〜(H4)」と書き、仮定 H と取り違えないように必ず「条件」の語を添えます。条件の名は Lean の定理名に入っているので変えません。

易しい場所から難しい場所へ、四段を置きます。

• 一段目：0+1 次元の二重井戸の経路の測度。径数 $\hbar\to0$。
• 二段目：四次元格子の非可換ゲージ理論（SU(2) または SU(3) の Wilson 測度）。径数 $\beta\to\infty$。
• 三段目：格子間隔 $a\to0$ の連続極限。極限の測度が在り、Osterwalder–Schrader の公理（4-10）を満たすこと。
• 四段目：極限の理論の質量ギャップ（4-11）。

一段目の「閉じた」は、上の側の命題を「どの行が証明でどの行が仮定か」が一枚の表で読める形にすることを指します。全ての行が証明・原典・計算機援用で埋まり、命題 4.5 の段が一本の証明として通ってはじめて一段目は定理になります。いまはそうなっていません（10-12）。

二段目から上へ進むには、各段の間にもう一つずつ橋が要ります。二段目の文 (1) が成り立っても、それだけでは連続極限の存在（三段目）は出ませんし、極限の隙間（四段目）は、(1) の上の側に相関長と物理の長さを結ぶ仮定（10-01 の鎖）を足してはじめて読み替えられる形です。この部は、どの段の間の橋についても含意の定理を持ちません。

四次元格子の記録（10-02）では、試験関数・ゲージ固定・分光のどの道も $C_P$ の下界か質量の上界で終わり、上の側（すべての $f$ について $C_P$ が大きすぎない）に届く道具は見つかっていません。強結合の側の評価（$C_P$ が有界）と、凸な測度に効く Bakry–Émery の型は在りますが、どちらも $\xi\to\infty$ の体制には届きません。体積に一様な既知の判定法を二重井戸の経路の格子に当てた例でも、出る上界は $e^{c\xi}$（$\hbar$ について二重指数）の型で、冪の文には遠いと読まれています 典（判定法：Bauerschmidt–Dagallier の定理 2.1）読（$c\approx1.4$〜$1.8$、$\varepsilon=0.25$・$\hbar\in[0.1,0.4]$ の数値）。そこで、H が成り立つことの見込まれる最小の試験台で、まず「上からの組み立て」を作ります。詳しい道と壁は 10-02 に置きます。

一段目の模型に求める条件は三つです。

1. 物差しが径数について指数で伸びる。四次元格子の相関長は、一ループの勘定では $\beta$ について指数で伸びます（4-07）。冪と指数を取り違えない試験台にするには、同じ速さで伸びる物差しが要ります。
2. 遅い動きが「相を移る」動きである。緩和を遅らせるのが、二つ（以上）の相の間を移る稀な出来事であること。二つの相の中の揺らぎは速く、相を移る動きだけが遅い、という二つの尺度があることです。
3. 比べる量が正確に分かる。相関長が、独立な方法で高い精度で求まること。比べる相手がぼやけていると、$C_P/\xi^2$ の伸び方を読み違えます。

0+1 次元の二重井戸 $V(x)=(x^2-1)^2/8$ の経路の測度は、三つを満たします。物差しは $\xi=\hbar/\Delta\propto\hbar^{1/2}e^{S_0/\hbar}$ と指数で伸び（$\Delta$ はトンネル分裂、$S_0=2/3$ は谷から谷へ移る道の作用）、二つの相は「経路が右の谷にいる区間」と「左の谷にいる区間」で、相を移る出来事はキンク（作用 $S_0$ の短い遷移）です。$\Delta$ は半古典の式（2-05 §07 の (10)）と、転送作用素の数値の二つの道で求まります（10-04）。

キンク一本の作用 $S_0$ と、相関長 $\xi\propto e^{S_0/\hbar}$。この組が、四次元格子で「インスタントンの作用」と「指数で伸びる相関長」が並ぶ構造を、最も小さい次元で持っています。ただしこれは類比で、対応の定理ではありません。

一段目は易しい模型ですが、易しすぎはしません。冪の H の上の側を与える既知の定理は、探した範囲では見当たりません。区間の長さを止めて $\hbar\to0$ とする Eyring–Kramers の型の定理は在りますが、経路の長さ $T$ を先に無限大にする体制（$T\gg\xi$）は、その定理の範囲の外です 典（Brooks–Di Gesù 2026 が、長さを無限大にする体制と平行移動の族を範囲の外と本文に明記している）。

一段目の言明は、二重井戸の経路の測度（$T\to\infty$ を先に取る）について

です。$R:=C_P/\xi^2$ と置くと $\ln C_P/\ln\xi=2+\ln R/\ln\xi$ なので、(2) は「$\ln R$ が $\ln\xi$ に比べて小さい」と同じです。

下の側。$R\ge1$、つまり $C_P\ge\xi^2$ は、どの 0+1 次元の井戸でも成り立ちます（命題 L。証明は 10-04 §04）。

上の側の目標。キンクの位置は拡散係数 $D=\hbar/S_0$ で動き、長さ $\xi$ を拡散で渡る時間は $\xi^2/D=\xi^2S_0/\hbar$ です（10-04 §03）。そこで上の側の目標を

の形に置きます。物理の水準の勘定（キンクを希薄な気体として数える）では $C_P\approx\xi^2S_0/\hbar$ と読まれ、(3) はその定数倍の余裕をとった形です 仮（勘定は発見的で、証明ではない）。

(3) から (2) へ。(3) と $R\ge1$ から $1\le R\le KS_0/\hbar$。$\hbar$ が小さいとき $\ln\xi\ge s/\hbar$（ある $s\gt0$）なので、

となり、(2) が従います 初 Leanpower_H_of_kink_ratio（仮定：$0\lt K$・$0\lt s$・$0\lt\delta$、$0\lt\hbar\lt\delta$ で $1\le R\le K/\hbar$ と $s/\hbar\le\ln\xi$。Lean の $K$ は本文の $KS_0$）。$\ln\xi\ge s/\hbar$ は半古典の主項 $\ln\xi\approx S_0/\hbar$ から来る行で、格子の模型では 読 です。値は 10-04 §07 にあります。

命題 4.5 の形

(3) は証明されていません。一段目の組み立ては、(3) を次の四つの条件に割り、その上で (3) が従う、という条件つきの命題の形にしたものです。

四つの条件の中身、命題 4.5 の分散の分割の代数、示せた部分と仮定の行の分け方は 10-05 に置きます。条件ごとの現状は 10-06〜10-11、全ての行を一枚にした表は 10-12 です。

正確には、四つの条件はどれも、いまの時点で仮定の行を残しています。また、全ての条件の全ての行が同時に成り立つ $\hbar$ は、まだ一つもありません（10-12）。命題 4.5 は「何を示せば一段目が閉じるか」を名指した命題であって、一段目が閉じたことを言う命題ではありません。

一段目で (3) が閉じても、二段目（四次元格子）の文が従うわけではありません。この節は、何が持ち上がる見込みがあり、何が持ち上がらないかを、理由とともに述べます。どちらも見込みの記述で、含意の定理ではありません。

それでも一段目から始めるのは、上の側の命題を「どの行が仮定か」が見える形に組む手順そのものが、二段目でも要るからです。仮定の行に名前を付け、依存の向きを確かめ（10-12）、機械検査が何を保証するかを分ける（10-13）手順は、模型によりません。一段目でその手順を通しておくと、二段目で同じ形の命題を立てたとき、どの行が新しく要るかを名指せます。

正確には、二段目に「同じ形の文」を立てることは、二段目の文が成り立つ証拠ではありません。一段目の模型では H が成り立つと読まれていても（物理の水準の勘定と下界の読み）、二段目で成り立つかは別の問いです（10-15）。

〔研〕の章は冒頭に〔三〕で読める要約の節を置くので、要約だけを読んで 10-12 へ進むこともできます。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 階段（四段）・冪の H・条件 (H1)〜(H4)・命題 4.5・キンク・トンネル分裂・相（キンクの無い相）・局所 Poincaré・箱の力学（箱への帰着）。意味は A-02 用語集 にあります。

次に読む章：10-04 二重井戸の経路の測度とキンク — 一段目の舞台を定義し、下界 $C_P\ge\xi^2$ と上界の目標の形を導く。

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