第 11 部の入口 — 第 10 部から受け取るもの

この章で分かること — 第 11 部「今後の考察」の位置づけと、第 10 部から受け取る文、九章の地図（題・一行・水準・その章が言えている範囲）、この部で定まった言葉、この部が扱わないもの。

前提となる章 — 10-00（第 10 部の入口）・10-01 §05（仮定 H）・10-01 §06（H が与えるもの・与えないもの）。

先に言うこと — 水準は〔二〕です。この頁は地図で、何も証明しません。第 11 部のどの章も、質量ギャップを示しません。仮定 H が誤りだったとも、正しい道だったとも書きません。

この章の順序

位置づけ — 第 10 部の検討の次に、何を考えるか
第 10 部から受け取る文 — 五つの文と札（表 1）
部の地図 — 九章の一覧と、各章が言えている範囲（図 1・表 2・表 3）
この部で定まった言葉 — 局所の H と比の形・閾・保存が壊れる長さ
扱わないもの・記号の対応表・第 10 部への戻り

位置づけ — 第 10 部の検討の次に、何を考えるか

第 10 部は、質量ギャップの問題を、格子で計算でき機械検査の届く量——Langevin 力学の緩和の時間 $C_P$ と相関長 $\xi$ の冪の関係（仮定 H）——に言い換え、その言い換えを取っ掛かりにして検討した部でした。H を鋭い文として立てたことで、H がどこで成り立たないかを名指せるようになりました。どの試験関数が H の上の半分 H↑ を妨げるかが、一つの型としてまとまったのです。これは「H が誤りだった」ではなく、「H を立てたから壊れ方の正体が見えた」という順の出来事です。

第 11 部はそこから始まる「今後の考察」です。まず、H を妨げるものが一つの形——隙間に映らない大域の量が、相関長とは別の長さで緩和を遅くする——にまとまることを見ます（11-01・11-02）。次に、H を前提に置いたまま、その形を避けて H を述べ直す二つの候補（位相の区画ごとの H と、窓や箱を物差しの数倍に限った局所の H）を定義し、片側の橋が質量ギャップに要るのはどちらの部分かを調べます（11-03・11-04）。そこから、H を経由しない二つの見方——時間を連続に取った格子では隙間がちょうど真空の測度の Poincaré 定数になること（11-05）と、群の上では凸性の代わりに稀さで払う道具が要ること（11-06）——に進みます。最後に、四次元であることがどこに効いているかを「無次元の結合」と「位相」の二点に限って述べ（11-07）、問いと主張しないことで閉じます（11-08）。

この部の多くの文は見立てで、第 10 部の五つの札（初・典・機・読・仮）に、見立ての札〔見〕を一つ足して区別します。見立ては判断の材料としての意見で、証明も数値も持ちません。

第 10 部から受け取る文

表 1 は、第 11 部が第 10 部から受け取って使う五つの文です。札と言明は第 10 部のままで、この部では式番号と節を引くだけにし、証明を写しません。

表 1　第 10 部から受け取る文
文	札	第 10 部の場所	使う章
言い換えの取引：問題文の量はユークリッドの時間の隙間、H の量は Langevin の時間の緩和 $C_P$ （上限で定義され、試験関数一本で下界が出て、上界を部品から組める量）。二つは別の量	約束	10-01 §04（三つの $C_P$ ）	11-01・11-04・11-05
仮定 H は冪の文 $\lim\ln C_P/\ln\xi=2$ 。帯の文の半分を H↑・H↓ と書く	仮	10-01 §05	全章
片側の橋：時間を連続に取った格子で $C_P\ge\kappa\hbar^2/\Delta^2$ 。橋の仮定の下で H↑ は格子の物理単位の隙間より強い文（論文の形の版もあり、外部の検査の前）	初（連続時間）・仮（Wilson の時間を刻む格子では仮定 (D)）	10-01 §06（Lean `hup_is_gap_positivity_of_lower`、仮定： $0\lt m$ ・ $\kappa/m^2\le C_P$ ・ $C_P\le K\xi^2$ ）	11-04・11-05
逆向きは一般には偽：円の上の自由な粒子では $\Delta\gt0$ のまま $C_P=\infty$ （命題 C）	初	10-01 §06	11-01・11-04
四次元の周期の箱では、位相電荷の凍結で H↑ が破れると読める（ $SU(3)$ 以上の原典と、予想を延ばした読みの上）。位相の区画と体積の順の注	仮・読	10-01 §05 の注・10-02 §05	11-01・11-03・11-07

部の地図 — 九章の一覧と、各章が言えている範囲

第 11 部の九章と記号の対応表

11-00 入口 — 第 10 部から受け取るもの 〔二〕（この頁）
11-01 H を妨げる一つの形 — ほぼ保存される大域の量〔三〕
11-02 物差しと座標を選び直す — 保存が壊れる長さ〔三〕
11-03 H を直す二つの形 — 区画の H と局所の H 〔研〕（要約は〔三〕）
11-04 片側の橋はどの H を要るか〔研〕（要約は〔三〕）
11-05 時間を連続にする — Hamiltonian 格子と真空の測度〔三〕
11-06 凸性の代わりに稀さで払う — 群の上の繰り込みと対数 Sobolev 〔研〕（要約は〔三〕）
11-07 四次元だからこそ — 無次元の結合と位相〔三〕
11-08 問いと、主張しないこと〔二〕〜〔三〕

11-A1 第 11 部の記号の対応表（参照の頁）

章の順は、壊れ方の形（11-01・11-02）、H を前提に置いた述べ直し（11-03・11-04）、H を経由しない見方（11-05・11-06）、四次元に固有のこと（11-07）、問い（11-08）です。11-01 から 11-05 までは、前の章の結論が次の章の問いになる一本の鎖です。11-06 は鎖の帰結ではなく、11-03〜11-05 のどの言明を示すにも要る道具の章で、筋の上では枝に置きます。

図 1　第 11 部の道筋（矢印は「前の章の結論が次の章の問いになる」。含意の定理ではない）

  11-01 一つの形 ──→ 11-02 物差しと座標 ──→ 11-03 区画の H と局所の H
                          │                          │
                          │                    （比の形と閾）
                          │                          ↓
                          │                    11-04 橋はどの H を要るか ──→ 11-05 真空の測度
                          │
     二次元の試験台（U(1) の帯・CP^(N−1)）── 11-02 と 11-07 に掛かる枝

  道具の枝：11-06 凸性の代わりに稀さで払う（11-03〜11-05 のどれにも要る）
  四次元に固有のこと：11-07 無次元の結合と位相
  閉じ：11-08 問いと、主張しないこと

表 2　各章の一行と、その章が言えている範囲
章	一行	この章が言えている範囲
11-01	キンクの数・巻き数・流束・位相電荷・箱を貫く流束が、どれも「隙間に映らない大域の量が別の尺度で緩和を遅くする」同じ型であることを、強さとともに一つの表にする	五つの例が同じ型であることは分類（見立て）。数は行ごとの札
11-02	$C_P$ と比べるべき長さを三つの物差しに分け、座標（Dirichlet 形式）の選び方で緩和の型が変わることと、二次元の帯と試験台の数を並べる	保存が壊れる長さは二次元 $U(1)$ の帯の読み。比べる相手の言い直しは候補。 $CP^{N-1}$ は一つの体積・一つの相関長の条件つきの読み
11-03	位相の区画に条件づけた H と、窓や箱を物差しの数倍に限った局所の H を定義し、無質量の参照との比の形で述べる	二つの H は定義が立ち、局所の H は比の形でだけ中身を持つ。どの $\beta$ でも示した不等式は無い
11-04	片側の橋が使うのは H↑ の時刻に局所な部分だけであることと、窓の橋・比の形の閾・三つの参照を述べる	橋の閾は参照と族に依り、閾と 1 の間の帯は未決。全ては仮定 (Loc-Δ_c)′ と命題 B の仮定の上
11-05	時間を連続に取った格子では、隙間が一つの時刻の真空の測度の Poincaré 定数とちょうど逆数で結ばれることと、そこで要る道具が当たらない理由を並べる	隙間は真空の測度の Poincaré 定数そのもので、恒等式は問題を易しくしない
11-06	群の上では凸性の道具が弱結合で原理的に立たないこと、凸でない所が確率の小さい所へ押し込まれること、稀さで払う道具と規則の候補を述べる	道具の章。凸性の天井は証明つき、稀さで払う測度の類は候補。階層模型の結果は四次元に含意しない
11-07	四次元で効いていることを無次元の結合と位相の二点に限り、四段のハードルと、三段目の数学がなぜまだ無いかを一次資料の記述で並べる	二点は臨界次元の性質の見立て。 $SU(2)$ の凍結は未決。二次元の結果は四次元に含意しない
11-08	問いの表・規則の候補の一覧・主張しないことの十六項目	問いと主張しないこと。規則の候補は候補

以前のこの頁に置いていた材料の一覧（題と一行）は、表 3 の章が本文として受けています。

表 3　以前の入口の材料と、受ける章
材料	第 10 部の関連	受ける章
他の道の表（繰り込み群と対数 Sobolev・確率量子化・Hamiltonian 格子・階層模型など）	10-02 §08	11-05・11-06
H↑ と質量ギャップの片側の橋	10-01 §06	11-04
階層的ゲージ模型と座標の問題	10-17 着想 12	11-02 §02・11-06 §05
流束の保存と「保存が壊れる長さ」	10-17 Q17	11-01・11-02
四次元の格子での仮定 H の検討（位相電荷の凍結と、区画の文・局所の文への直し方）	10-01 §05 の注・10-02 §05	11-01・11-03

この部で定まった言葉

局所の H と比の形。試験関数を、物差し $\ell$ の $c$ 倍の窓（または箱）に台を持つものに限った Poincaré 定数 $C_P^{\rm loc}(c)$ を、同じ窓・同じ目盛りの無質量の参照との比 $K_{\rm rel}(c)$ で述べた文（11-03 §03）。「ある定数で押さえる」形は自由場でも成り立って空虚なので、比の形にします。

閾 $K_*$ 。比が閾より小さければ、仮定の上で片側の橋が質量の下界を与える、という閾の値。参照の取り方で $0.342\kappa$ （スカラー）・ $0.502\kappa$ （ゲージ商）・約 $0.62\kappa$ （ $SU(2)$ の色の一重項）と変わります（11-04 §06。数は自由場の参照の読み）。

保存が壊れる長さ $\ell_*$ 。隙間に映らない大域の量が、局所の輸送でなく保存の破れで緩和しはじめる長さ。静的な相関長とは別の物差しで、二次元 $U(1)$ の帯で測った値は相関長と比例しません（11-02 §01・§03）。

扱わないもの・記号の対応表・第 10 部への戻り

扱わないもの。第 11 部は、紫外の側——連続極限の存在・回転の回復・OS 公理・非自明性（第 10 部の (S3)(S6)(S7)(S8)、10-01 §02）——に触れません。四次元に固有の難しさとして三段目の到達点を一次資料で並べるのは 11-07 §05 だけで、そこでも構成は扱いません。

記号。第 11 部の記号と、第 10 部の同じ字の記号との対応は 11-A1 第 11 部の記号の対応表にあります。とくに $\Delta$ はハミルトニアンの隙間 $E_1-E_0$ に限り、物理単位の質量は $m_{\rm phys}$ と書きます。

第 10 部へ戻る。第 10 部の地図は 10-00 §01、主張しないことは 10-16、小さな問いは 10-17 にあります。

この頁が言えている範囲

言えている	言えていない
第 11 部の章の並びと、各章が言えている範囲の一行（表 2）。第 10 部から受け取る文と札（表 1）	どの章も質量ギャップを示さない。仮定 H の真偽も示さない
この部で定まった言葉の意味（§04）	局所の H・閾・保存が壊れる長さについての定理（定義と比の形と、自由場や二次元の数まで）

出典と再現

もの	種別	出典・道具
表 1 の文	本書	10-01・10-02 の各節と出典表
表 2・§04 の各行	本書	第 11 部の各章の「この章が言えている範囲」

この頁で使った語 — 今後の考察・言い換えの取引・片側の橋・見立ての札〔見〕・局所の H・比の形・閾・保存が壊れる長さ・道具の枝。意味は A-02 用語集と 11-A1 にあります。

次に読む章：11-01 H を妨げる一つの形 — ほぼ保存される大域の量。

改訂 2026-10-09：材料の一覧の頁を、本文つきの入口に書き直した。