2026-10-09 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 10 部 質量ギャップの証明へ向けて — 階段の一段目を組む二重井戸・キンク・下界 · Kiichi, Shiori and Rin

二重井戸の経路の測度とキンク

質量 1 の粒子が、二つの谷を持つ位置エネルギーの中にいます。

谷は $x=\pm1$ で、谷の底の曲率は $V''(\pm1)=1$（谷の中の振動の角振動数が 1）、山の頂上は $x=0$ で $V''(0)=-\tfrac12$ です。これは 2-05 §07 の (9) で $a=1$ と置いたものです。

虚時間 $\tau$ の経路 $x(\tau)$（$0\le\tau\le T$）に、ユークリッド作用

を付け、重み $e^{-S[x]/\hbar}$ で経路の上の確率の測度を作ります。これが 2-07 §05 の (7) の測度（質量 $m=1$）で、経路を輪にすれば 2-07 §06 の (9) の分配関数、つまり輪の長さ $T$ が逆温度に当たる古典の鎖です。この部では $T\to\infty$（温度 0、基底状態の側）を先に取り、そのあとで $\hbar\to0$ とします。順序を逆にした量（$T$ を止めて $\hbar\to0$）は別の量です。経路が短い場合（$T\lt2\pi\sqrt2$）には、谷を移る平均の時間が $e^{T/(8\hbar)}$ の速さで伸びるという既知の定理 典（Berglund–Gentz の定理 2.6、区間を止めた Eyring–Kramers の型）から、$C_P/\xi^2$ は指数で 0 へ落ちると読まれます 読（平均の時間から固有値への読み替えは二状態への縮約による）。

格子。この部の後の章の数は、虚時間を刻み $\varepsilon=\tfrac12$ で刻んだ格子の上の数です。サイト $i\in\mathbb Z$ の値を $x_i$ として

で、$T=\infty$ の測度は一次元の最近接の Gibbs 測度です。転送作用素の積分核（2-07 §08 の (13)）が正なので、測度は一つに決まると見込まれます 仮（2-07 §08 の Perron–Frobenius の定理の積分作用素版を $\mathbb R$ の上で使う。この形の原典の言明はこの部では確かめていないので、仮定の行に置く）。章によっては刻み $\varepsilon=0.25$ の数も引くので、その都度断ります。

Dirichlet 形と $C_P$。経路の関数 $f$ の「動かしたときの変化の大きさ」を

と置き（正準の Dirichlet 形）、Poincaré 定数を $C_P=\sup_f\operatorname{Var}(f)/\mathcal E(f)$ とします（10-00 §04 の (2)）。$\mathcal E$ に付く $\hbar$ は、位置 $x$ でなく正準の場 $x/\sqrt\hbar$ で微分した形に合わせた正規化です（10-00 §05 の ④）。この $\mathcal E$ を持つ Langevin 力学は、格子では

（$W_i$ は独立なブラウン運動）で、$e^{-S_{\rm lat}/\hbar}$ を平衡に持ち、その隙間が $1/C_P$ です 典（1-10 §07）。人工的な時間 $t$ に沿って経路全体がゆらゆらと揺れ、最も遅い揺らぎが時間 $C_P$ ごとに $1/e$ に減ります。

例（自由場）。$V=\tfrac12x^2$ にすると測度はガウスで、$C_P=1$、相関長も $\xi=1$、比 $C_P/\xi^2$ はちょうど 1 です 初 LeanratioR_free_eq_one（仮定：$C_P=1/m^2$・$m\ne0$）。格子でも零運動量の向きで同じです。

正確には、(2)〜(5) の測度は 0+1 次元の量子力学の模型の経路の測度で、ゲージ場はどこにも入っていません。四次元のゲージ理論との関係は 10-03 §04 の類比だけです。

この模型には、性格の違う二つの「時間」があります。

一つ目は虚時間の長さ、相関長 $\xi$ です。量子力学のハミルトニアン $H=-\frac{\hbar^2}{2}\frac{d^2}{dx^2}+V$ の最低の二つの準位の差を $\Delta=E_1-E_0$（トンネル分裂）とすると、経路の上の二点の相関は

で減ります（転送作用素の固有値の比、2-07 §07 と同じ筋）典。$\xi$ は虚時間の向きの長さで、格子のサイトの数で数えるなら $\xi/\varepsilon=2\xi$ です。

二つ目は人工的な時間、にじむ時間 $C_P$ です。(5) の力学で経路全体が平衡に近づく時間で、虚時間とは別の向きの時間です。

二つを比べる量を

とします。自由場では $R=1$、仮定 H（冪の文）は「$\ln R$ が $\ln\xi$ に比べて小さい」と同じです（10-03 §05）。

正確には、(6) の $\xi$ は時間の連続な模型での定義で、格子の模型では転送作用素の上位二つの固有値 $\lambda_0\gt\lambda_1$ から $\xi=\varepsilon/\ln(\lambda_0/\lambda_1)$ で定めます。$\hbar\to0$ で格子の値と連続の値の差は作用の差 $S_0^{\rm lat}\ne S_0$ として指数に入るので、数を書くときは格子の値を使います（§03・§07）。

$\hbar$ が小さいとき、重み $e^{-S/\hbar}$ は作用の小さい経路に集まります。作用を 0 にするのは、ずっと右の谷にいる経路 $x\equiv1$ と、ずっと左の谷にいる経路 $x\equiv-1$ です。その次に作用の小さい「谷から谷へ移る」経路がキンクです。

(2) の停留点の式は $\ddot x=V'(x)$（位置エネルギー $-V$ の中の運動、2-07 §05）で、$\tau\to\pm\infty$ で谷に落ち着く解はエネルギーの保存 $\tfrac12\dot x^2=V(x)$ を満たします。(1) から $\dot x=\sqrt{2V(x)}=(1-x^2)/2$ で、これを解くと

です 初（(2) に $\tfrac12\dot x^2=V$ を入れると被積分関数は $\dot x^2$ になり、$dx=\dot x\,d\tau$ で $x$ の積分に直す）。キンクの幅は $\tau$ で 2 程度、作用は $\hbar$ に依らない数 $2/3$ です。これは 2-05 §07 の $S_0=2a^2/3$（$a=1$）、物理の言葉ではインスタントンの作用です（3-05）。

位置の自由度。(8) の $\tau_0$ は何でもよく、キンクを虚時間の向きにずらしても作用は変わりません。作用の二階微分（ゆらぎの作用素）$-\partial_\tau^2+V''(x_{\rm cl})$ は、$\dot x_{\rm cl}$ を固有値 0 の固有関数に持ちます 初（停留点の式 $\ddot x_{\rm cl}=V'(x_{\rm cl})$ を $\tau$ で微分すると $\dddot x_{\rm cl}=V''(x_{\rm cl})\dot x_{\rm cl}$）。この平らな向き（零モード）が、キンクの位置という一つの遅い自由度です。次の固有値は $3/4$、その上は $[1,\infty)$ の連続の部分と知られています 仮（Pöschl–Teller の型の作用素。原典の言明はこの部では確かめていない）。

拡散係数。(5) の雑音をキンクの位置の向きに射影すると、位置 $X$ は拡散します。位置を一つずらす向きは $\dot x_{\rm cl}$ で、その長さの二乗が $\int\dot x_{\rm cl}^2d\tau=S_0$ なので、雑音の強さ $\hbar$ が $S_0$ で割られて

となります。典 同じ射影の勘定は、区間の上の確率的 Allen–Cahn 方程式で、単一の界面が拡散係数 $3/4$ のブラウン運動に収束するという定理（Bertini–Brassesco–Buttà の定理 2.1）の係数を再現します。つまり (9) は「単一のキンクの動き」の水準では既知の定理の言い換えです。読 刻み $\varepsilon=0.25$ の環で一本のキンクを追った Langevin の数値では、$D/(\hbar/S_0)$ は $1.00\pm0.03$（$\hbar=0.02$）・$1.04$（$0.07$）・$1.14\pm0.05$（$0.1$）でした。

正確には、(9) は一本のキンクの位置の過程についての文で、経路全体の隙間 $1/C_P$ についての文ではありません。多くのキンクがある長い経路で、隙間がキンクの拡散で決まるかは、まさに上の側の問い（命題 4.5）です。

物差しの伸び方

トンネル分裂 $\Delta$ は、虚時間の経路で言えば「キンクが一本入る重み」$e^{-S_0/\hbar}$ で決まります。半古典の主項は（2-05 §07 の (10) を $\hbar$ つきに書いたもの）

で 典（主項の式は 2-05 の出典の写し。$\Delta$ を独立な二つの数値の方法で求めると、主項との比は $\hbar=0.5$ の 0.47 から $\hbar=0.05$ の 0.92 へと 1 に近づく 読）、相関長は $\xi\propto\hbar^{1/2}e^{S_0/\hbar}$ と指数で伸びます。格子の模型では $S_0$ の代わりに格子のキンクの作用 $S_0^{\rm lat}=0.665266$（$\varepsilon=\tfrac12$。$2/3$ との差は 0.2%）が指数に入ります 読。$\hbar=10^{-3}$ でこの差は $\ln\xi$ を 1.4 だけ動かすので、数を書くときは格子の値を使います。

$C_P$ は上限なので、一つの試験関数で下から押さえられます（10-00 §06）。最も素直な試験関数は、一つの時刻の関数 $h(x)$ を時間で足したもの

です（時刻に局所な試験関数）。この族では、下界は物差しの二乗にちょうど届きます。

初 証明〔三〕。$\varphi:=(h-\langle h\rangle)\psi_0$、$A:=(H-E_0)/\hbar$ と置きます。$A$ は虚時間の生成子で、$\psi_0$ に直交する関数の上で $A\ge m$ です。転送作用素で相関を書くと（2-07 §08）

です。一方 $\delta f/\delta x(\tau)=h'(x(\tau))$ なので $\mathcal E(f)/T=\hbar\int\psi_0^2h'^2\,dx$ で、基底状態変換の恒等式 $\langle\varphi,(H-E_0)\varphi\rangle=\frac{\hbar^2}{2}\int\psi_0^2h'^2\,dx$（2-05 §08・1-10 §08）から $\mathcal E(f)/T=2\langle\varphi,A\varphi\rangle$ です。$A$ の固有分解 $\varphi=\sum_kc_ke_k$（固有値 $a_k\ge m$）で、$1/a\le a/m^2$ から

で、等号は $\varphi$ が固有値 $m$ の固有空間にあるとき、つまり $h-\langle h\rangle\propto\psi_1/\psi_0$ のときです。∎ 転送作用素の式 (12) と基底状態変換の恒等式は既知の事実として引いています 典。Leanlocal_rayleigh_ratio_le_one（仮定：$0\lt m$・$a_k\ge m$・$c_k\ge0$・$\sum c_ka_k\gt0$）は (13) の有限和の骨だけを検査したもので、固有分解・(12)・基底状態変換は Lean の外です。

命題 L は、二重井戸に限らずどの一次元の井戸でも成り立ちます。同じ形の主張が文献にあるかは確かめていません（既知かもしれません）。

その先の読み。命題 L は「時刻に局所な試験関数では $R=1$ が天井」とも言っています。$R\gt1$ を見るには、時刻をまたぐ試験関数（例えば、経路を時間でぼかしてから符号を見る、キンクの集団の位置を数える）が要ります。そうした試験関数の Rayleigh 商を、転送作用素から直接引いた標本（マルコフ連鎖を回して近づける標本ではない）で評価すると、$R$ の下界は $\hbar=0.4$ の 1.06 から $\hbar=0.07$ の 6.5 へ伸びました 読（族の下界・刻み $\varepsilon=0.25$・$T=\infty$ の測度の窓・種による差 ±10〜15%）。Langevin 力学で最も遅い観測量の減衰を測った値とも、$\hbar=0.3$〜$0.15$ で揃いました 読（どちらも下界で、上界ではない）。

伸び方の型は、キンクを数える物理の水準の勘定（希薄なキンクの気体・(9) の拡散係数）では $R\approx S_0/\hbar\approx\ln\xi$、つまり

です 仮（勘定は発見的で、証明ではない）。この範囲の数値だけでは、$R$ が $1/\hbar$ で伸びるか $e^{c/\hbar}$ で伸びるかを区別できません。前者なら冪の H は成り立ち、後者なら破れます。二重井戸でも、定数倍の幅で言う文 $C_P\le K\xi^2$ は破れる側にある、と読むのはこのためです。

(14) の形に合わせて、上の側の目標を

と置きます。命題 L と合わせれば $1\le R\le KS_0/\hbar$ で、冪の H が従います（10-03 §05 の (4)）。(15) は条件 (H1)〜(H4) の上の命題 4.5 の結論で、証明されていません（10-05）。

(11) を示す素朴な道は、遅い変数を一つ（例えば経路の平均の位置、磁化）選び、「それに直交する関数は速く緩和する」ことを示す道です。短い経路（$T\ll\xi$、キンクが高々一対）ではこの形で正しい勘定が出ます。ところが長い経路（$T\gg\xi$）では、この道は使えません。

理由は一次元の Ising 鎖の Glauber 力学で見えます。一つのスピンの関数が張る空間は生成作用素で閉じ、波数 $k$ のフーリエ成分 $S_k=\sum_je^{ikj}\sigma_j$ は固有値 $\alpha(1-\gamma\cos k)$ の固有関数です（$\alpha$ は率、$\gamma=\tanh2K$）。磁化は $k=0$ で、磁化に直交する最も遅い成分 $k=2\pi/N$ との比は

で、鎖が相関長より十分長い（$N/\xi\to\infty$）と 1 に近づきます 初（比の書き換え）Leanglauber_band_ratio（仮定：$\gamma\ne1$）。固有値の式そのものは、$N=8,10$ の鎖の全状態の対角化で、二つの固有値がそのまま現れることを 8 桁で見ました 読（Glauber の原典の言明はこの部では確かめていない）。最も遅い揺らぎは孤立した一つのモードではなく、連続な帯の下の端です。二重井戸の長い経路でも、キンクの密度の長い波の揺らぎが同じ帯を作り、磁化を固定した条件つきの測度の Poincaré 定数は $\xi^2/D$ と同じ大きさのまま残ります。

だから長い経路では、遅い変数を体積に比例する数だけ取るか、長さ $C\xi$ の箱に問題を切り分ける必要があります。後者が条件 (H3)（箱の力学への帰着）と (H4)（箱の中の隙間）です（10-11）。

測度 $e^{-S/\hbar}$ が凸な作用（対数凹な密度）を持てば、Bakry–Émery の判定で $C_P$ は作用の曲率の逆数以下に押さえられ、長さにも $\hbar$ にも依りません 典（1-10）。二重井戸の経路の測度は凸ではありません。どこで凸性が破れるかを格子 (3) で見ます。

作用 (3) の二階微分（Hessian）は、対角に $2/\varepsilon+\varepsilon V''(x_i)$、隣どうしに $-1/\varepsilon$ が並ぶ行列です。$\varepsilon=\tfrac12$ では対角は $4+\tfrac12V''(x_i)$、隣は $-2$ です。長い区間で一様に凸であるには、対角が隣の二つの和の大きさ $4$ 以上であれば足ります（対角優位）。谷の中（$|x_i|$ が 1 に近い）では $V''\approx1$ で対角は $4.5$ と足りますが、山の頂上 $x_i=0$ では $V''(0)=-\tfrac12$ なので

で、$\tfrac14$ 足りません 初。全てのサイトが頂上にいる経路 $x\equiv0$ では、Hessian の最も小さい固有値（一様な向き）がちょうど $\varepsilon V''(0)=-\tfrac14$ です。

キンクの対の間、経路が頂上の近くにとどまる区間は、作用がほとんど変わらない平らな向き（台地）を作ります。逆に、谷の奥の凸な芯 $\{x_i\ge a\}$（$a\gt1/\sqrt3$）に経路を閉じ込めれば、Bakry–Émery で $C_P\le2/(3a^2-1)$ が長さ・$\hbar$ に一様に出ます 初（曲率の下界）典（Bakry–Émery の型）Leanconvex_core_curvature（仮定：$1/3\lt a^2$・$0\le a\le x$）。ただし芯から外へ出て戻る小旅行の作用 $2/3-a+a^3/3$ はキンクの作用 $2/3$ より小さく（$a=1/\sqrt3$ で $0.1535$）Leanexcursion_action_lt_kink（仮定：$0\lt a\lt1$）、長さ $\xi$ の区間には小旅行が指数で多く入ります。凸な芯だけでは、相の中の局所 Poincaré（条件 (H1)）は出ません。

この $\tfrac14$ の不足は、上の側を組むどの道でも、形を変えて同じ場所に戻ってきます。後の章でこれを共通の壁と呼びます（10-09）。

この部の後の章は、三つの $\hbar$ を代表に使います。順は必ず大から小で、$\hbar=3\cdot10^{-3}／10^{-3}／3\cdot10^{-4}$ です。選ぶ理由は、$\ln\xi$ が約 218 から約 2213 まで大きく変わり、相関長が $\hbar$ について指数で伸びる体制の代表になるからです。表 2 は格子 $\varepsilon=\tfrac12$ の値です。

$\ln\xi$ は転送作用素の上位二つの固有値の差を、引き算をしない Herring の式（次の寄り道）で求めた値です。中くらいの $\hbar$（0.2・0.05・0.04）では、行列の固有値を直接求める道と Herring の式の道が六桁まで一致しました 読。三行目の残りが $\hbar$ に依らない数に寄ることは (10) の形 $\ln\xi=S_0/\hbar+\tfrac12\ln\hbar+O(1)$ と整合し、連続の半古典の値 $\tfrac12\ln(\pi/16)\approx-0.814$ との差は格子の補正と読まれます。

四行目は (15) の右辺の尺度で、$2\ln\xi$ との差は $\ln(S_0/\hbar)$ です。二つの列の比は 2 に近く、$\hbar$ を下げるほど 2 に寄ります。冪の H の「2」が、この差の小ささの言い換えです。

正確には、表 2 は浮動小数の値で、区間演算で包んだ値ではありません。$\xi$ は $e^{218}$〜$e^{2213}$ の大きさで、Monte Carlo で直接測れる長さではなく、転送作用素の固有値から読む量です。三つの $\hbar$ は代表の点で、後の章の「節点」や「窓」とは別の役です（区別は 10-12）。

寄り道：トンネル分裂を Herring の式で

この章の言明の分類

この章の言明を、この部の五分類の書式（10-00 §01 の表 1）で一表にします。後の章の命題の表と同じ列です。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 二重井戸・経路の測度・Dirichlet 形・キンク・零モード・キンクの拡散係数・トンネル分裂・相関長（二重井戸の）・Herring の式・台地・凸な芯・相（キンクの無い相）。意味は A-02 用語集 にあります。

次に読む章：10-05 一段目の言明 — 四条件と命題 4.5 — 分散の分割の代数で上の側を四つの条件に割り、命題 4.5 を示せた部分と仮定の行に分けて述べる。

← 10-03 階段の四段目次10-05 一段目の言明 →