2026-10-09 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 11 部 今後の考察 — 仮定 H の先と、別の見方ほぼ保存される量・五つの例・τ_int ≤ C_P · Kiichi, Shiori and Rin

H を妨げる一つの形 — ほぼ保存される大域の量

仮定 H は冪の文 $\lim\ln C_P/\ln\xi=2$（10-01 の (13)）で、その上の半分 H↑ は「すべての試験関数 $f$ で $\operatorname{Var}(f)\le C\,\xi_{\rm RG}^2\,\mathcal E(f)$」（同 (15)）です。すべての $f$ の文なので、一本でも比 $\operatorname{Var}/\mathcal E$ が $\xi^2$ より速く伸びる関数があれば崩れます。第 10 部で H を鋭い文として立てたので、その関数がどんな形をしているかを名指すことができます。この章の答えは次の型です。

(iii) がこの型と質量ギャップを切り離す条件です。隙間に映らないので、緩和がいくら遅くても隙間は正のままで構いません。この切り離しの一番小さな例が、第 10 部の命題 C（円の上の自由な粒子、隙間は正で $C_P=\infty$）でした。

H↑ が破れる一行。力学が可逆（生成作用素 $L$ が $L^2(\mu)$ で自己共役、$-L\ge0$）なら、どの観測量 $f$ の積分自己相関時間も $C_P$ を越えません。$\tilde f=f-\mu(f)$ の $-L$ のスペクトル測度を $\nu_f$（台は $[\lambda_1,\infty)$、$\lambda_1=1/C_P$）とすると

です 初（$\lambda\ge\lambda_1$ の上で $\lambda^{-1}\le\lambda_1^{-1}$ を積分するだけ。等号は $\tilde f$ が最も遅い固有空間に載るとき）。Lean では有限のスペクトル和の版を検査しています（LatticeGauge.FourDTrial.tau_int_le_CP、仮定：重み $\ge0$・各固有値 $\ge\lambda_1\gt0$・重みの和 $\gt0$）。力学を使わない版は上限の定義そのもので

初。したがって、$Q$ の緩和の時間（(1) なら $\tau_{\rm int}(Q)$、(2) なら静的な比）が $\beta\to\infty$ の列で $c\,\xi^p$（$p\gt2$）以上に伸びるなら、どの定数 $K$ でも $C_P\le K\xi^2$ は破れます。相関長 $\xi$ と記帳の長さ $\xi_{\rm RG}$ が定数倍で比べられる範囲では、これは H↑ の否定です。

初 Lean LatticeGauge.FourDTrial.not_hup_of_fast_tau（仮定：$0\lt c$・$2\lt p$・$\xi_n\to\infty$・$\xi_n\gt0$・各 $n$ で $\tau_n\le C_n$ と $c\,\xi_n^p\le\tau_n$）。指数の伸び $\tau\ge c\,e^{\alpha\xi}$ は $p=3$ を含みます（$e^x\ge x^3/6$）。逆向きの注意も一行です。速い量の $\tau$ が小さいことは H↑ を支えません。重みが速いモードに載った観測量は、$C_P$ がいくら大きくても $\tau_{\rm int}$ が小さいままです（陰性対照 tau_small_but_CP_large）。

この一行の水準を確かめておきます。(3) の左の二つの仮定のうち、Lean が受け取るのは実数の列の不等式だけで、$\tau_n$ が可逆な力学の自己相関時間であること、$C_n$ が Wilson 測度の Poincaré 定数であることは Lean の外にあります。四次元で (3) の第二の仮定を支えるのは、原典の Monte Carlo の数値 典 を、算法の違いを越えて Langevin の自己相関に読み替えたもので、その読み替えは仮定です（§06 (a)）。

表 1 は、型の三つの条件を満たす五つの例を、同じ列で並べたものです。列は、族の外にある量（型の $Q$）・それを動かす出来事（保存の破れ）・遅さの尺度と相関長の関係・強さ・測った数とその札・本文のある章です。行の札はその行の数の札で、「同じ型に入る」という分類そのものは全ての行で 見 です。

(a) 二重井戸のキンクの数。0+1 次元の経路の測度（10-04、$V=(x^2-1)^2/8$、$S_0=2/3$）では、経路がどちらの井戸にいるかは、キンク（谷から谷へ移る道）が入るときだけ変わります。キンクの重み $e^{-S_0/\hbar}$ が相関長 $\xi\propto\hbar^{1/2}e^{S_0/\hbar}$ を決め、キンクの拡散が $C_P$ の上の側の尺度 $\xi^2S_0/\hbar$ を決めるので、遅い量と相関長は同じ出来事から生まれます。比 $C_P/\xi^2$ は $S_0/\hbar\approx\ln\xi$ の程度で、帯の H↑ は対数だけ破れますが冪の H は残ります（10-04 の (14)、希薄なキンクの気体の勘定）仮。窓を限った局所の比にも同じ型が出ます。一つの時刻だけの窓では、周辺 $\psi_0^2$ の Poincaré 定数が基底状態変換で $(H-E_0)$ の隙間に移り、底の曲率の調和振動子との比はちょうど $\omega_b/m$ です（$\psi_0$ が Schrödinger の基底状態のとき）初。格子 $\varepsilon=\tfrac12$ の転送では $\hbar=0.3,\ 0.15,\ 0.08$ で $4.61,\ 21.6,\ 638$、$\omega_b/m$ の $1.04$〜$1.05$ 倍です 読。この比の詳しい振る舞い（窓を長くすると $(\omega_b/m)^2$ へ移る）は 11-04 で扱います。

(b) 円の上の粒子の巻き数。第 10 部の命題 C です。経路を実数直線に持ち上げた $\tilde x(\tau)$ の増分を重み $w$ で積分した $f=\int w\,d\tilde x$ は、$\operatorname{Var}(f)=\hbar\int w^2$・$\mathcal E(f)=\hbar\int w'^2$ で、窓を伸ばすと比はいくらでも大きくなります。巻き数は連続な経路では決して壊れないので、強さは無限です。この $f$ は台が長さ $L$ の窓に入る汎関数で、窓を止めれば比は有限ですが、窓を伸ばすと非有界になります 初。巻き数は時刻で積分した一時刻の関数ではないので、型の条件 (iii) を満たしています。

(c) 二次元 $U(1)$ の帯の流束と位相電荷。幅 2 の帯で外周のリンクを止め、リンクを Langevin で動かすと、プラケットの角（流束）は隣どうしで受け渡されるだけで、流束のむらは拡散で均されます。群がコンパクトなので、一枚のプラケットの角が $\pi$ を越える「巻き付き」で流束の総和（帯の位相電荷 $Q$）が一つ変わり、保存が破れます。保存が壊れる長さ $\ell_c$ は $\beta=2,\dots,6$ で $3.29,\ 9.88,\ 24.7,\ 53.6,\ 139$、$\ln\ell_c$ の傾きは $0.916(21)$ で、静的な長さ $\xi_{XY}=-1/\ln(I_1(\beta)/I_0(\beta))$（$2.78$〜$10.9$）との比は $1.2$ から $12.8$ に開きます 読。帯が $\ell_c$ より長いと、緩和は $Q$ が一つ動く時間で決まり、$\tau(Q)/\xi_{XY}^2$ は $\beta=4$ で約 $0.4$、$\beta=8$（帯の長さ 32）で約 $24$ です 読。条件：二次元 $U(1)$・幅 2・外周凍結・リンクの Langevin のゲージ商・帯の長さ $\le256$・$\tau_{\rm int}$ は隙間の上界としての読み・当てはめの形 $A/M^2+B$。保存が壊れる長さの詳しい話は 11-02 です。

(d) 四次元の周期の箱の位相電荷。滑らかにした位相電荷 $Q$ は、連続極限では区画の間を移れず、格子の上では格子間隔の大きさの小さなインスタントン（転位）が格子を通り抜けるときだけ変わります。周期の箱では $Q$ の自己相関時間が $\xi^2$ より明らかに速く伸びると報告されています（局所の熱浴・過緩和で Del Debbio–Panagopoulos–Vicari 2002、HMC で Schaefer–Sommer–Virotta 2011、局所の算法で Bonanno–Bonati–D'Elia 2021。冪なら指数は約 5、あるいは $1/a$ について指数的で、三本とも冪と指数をデータでは区別できないと書く）典。三本の群はどれも $SU(3)$ 以上です。$SU(2)$ で $\tau_{\rm int}(Q)$ の格子間隔への依存を測った一次資料は、探した範囲で一本（Abe–Morikawa–Suzuki 2025。HMC・周期・一辺が $2.2/\sqrt\sigma$ 程度の小さな箱・三つの格子間隔）で、$a^{-2}$ に近い伸びと報告しています 典。熱浴系で $SU(2)$ を扱った原典は、どれも「凍結が測れるほど強くない」側の観察でした。(3) を通して H↑ の読みに使うときの条件は §06 にまとめます。

(e) 箱を貫く流束。力学の遅さではなく、試験関数の族の取り方で同じ型が出る例です。四次元の箱で局所の Poincaré 定数の参照（無質量の自由なゲージ場の値）を測るとき、箱の全てのサイトのゲージ変換で割れば試験の空間はプラケットの角の関数になり、箱の境のサイトのゲージ変換を割らずに残すと、箱を一様に貫く場（発散が二つの面にしかない流束）が試験の空間に入ります。後者の値は前者の $2.22$（一辺 4）から $2.53$（一辺 12）倍で、ほぼゲージを固定した値に戻ります 読（一色のガウスの近似・$\beta=1$・正準の目盛り・浮動小数）。可縮な箱では、全てのサイトで割った空間とプラケットの関数の空間が一致します 初（11-03 §03）。この行の数は参照の自由場の数で、対象の測度の数ではありません。型の一員とみなすのは 見 です：箱の境を通る流束は、箱の中から見れば「隙間に映らず、族の取り方一つで比を動かす大域の量」です。

型の条件は満たすが、五つの例の表から下へ降ろした行が三つあります（表 2）。どれも別の章に本文があり、ここでは札だけを写します。

階層格子の行の上の側は Lean で検査しています（HierLink.lam_le、束 LatticeGaugeHierarchicalLink。仮定なし：$4\sin^2(\pi/2^{N+1})\le\pi^2/4^N$。最小の固有値がこの式に等しいことは Lean の外）。

五つの例を、遅さの比 $C_P/\xi^2$（あるいは $\tau(Q)/\xi^2$）が相関長とともにどう伸びるかで並べ直すと、型は一つでも強さは三つに分かれます。

表 3 の真ん中の行が、四次元で問題になる行です。二重井戸では遅い量と相関長が同じキンクから生まれるので、指数が揃って対数の差しか残りません。二次元の帯では、相関長（弦張力の逆数）は $\beta$ について一次でしか伸びないのに、保存を壊す巻き付きは高さ $2\beta$ の障壁を越える出来事で、その長さは $\beta$ について指数で伸びます。四次元で同じ割れが起きるかと、割れるならなぜかは 11-07 の問いです。

無限体積では位相電荷の総量 $Q$ は $L^2$ に入らないので、型の (2) に入れるのは部分領域 $R$ の電荷です。その比 $\operatorname{Var}/\mathcal E$ を二つの係数に分けて書くと、11-03 の局所の H が何を問うかがはっきりします。

設定。四次元の無限体積の平行移動で不変な格子の測度 $\mu$ と、リンクの Langevin の Dirichlet 形 $\mathcal E(f)=\sum_\ell\mathbb E|\nabla_\ell f|^2$ を取ります。滑らかにした電荷密度 $q(x)$ は、$x$ から距離 $r_s$ 以内のリンクだけに依るものとします（有限回の均しで作る。Wilson 流のガウスの裾は切り落としの誤差として別に扱う）。勾配の場 $J_\ell(x):=\nabla_\ell q(x)$ は $|x-x_\ell|\gt r_s$ で 0 です。その和 $\bar J_\ell:=\sum_xJ_\ell(x)$（全電荷の勾配）と一次のモーメント $D_\ell:=\sum_x(x-x_\ell)J_\ell(x)$（双極子）を置き、三つの係数を

で定めます 初（定義。立方の対称性で $\mathbb E[D\otimes D]$ は $d$ の単位行列倍の型と置く）。$\chi_t$ は格子単位の位相感受率、$h$ は保存の破れの密度（連続では位相不変性から $\bar J=0$、格子でだけ転位の配位の上で 0 でない）、$d$ は輸送の係数です。境界の層の係数 $g$ は、半空間で切った電荷の $\mathcal E$ から体積の項を引いた面あたりの量です。

鋭い箱。一辺 $R$ の箱では、クラスタの減衰 $\sum_z|z|\,|\operatorname{Cov}(q(0),q(z))|\lt\infty$ を仮定すると 仮（隙間に相当する仮定なので、隙間の議論に戻すときは循環に注意）、

です（$b$ は相関の片側の一次のモーメント）。分母の形に注意します。密度ごとの勾配の二乗の和 $\sum_{x\in R}\mathbb E|J_\ell(x)|^2$ は $\mathcal E(Q_R)$ ではありません。それは和 $\sum_xJ_\ell(x)$ の打ち消し（連続では全電荷が局所に動かないこと）を落とした量で、完全に保存する理論でも体積の項を残してしまいます。正しい体積の項は $|\sum_xJ_\ell(x)|^2$ の密度 $h$ です。$|R|=R^4$・$|\partial R|=8R^3$ を入れると

初（代数）Lean LatticeGauge.LocalH.subregion_gap_identity（仮定：$0\lt h$・$0\lt hR+8g$）。比は $R\to\infty$ で周期の箱の全体の比 $\operatorname{Var}(Q)/\mathcal E(Q)=\chi_t/h$ に戻り、主項の比 $\chi_tR^4/(hR^4+gS)$ は $\chi_t/h$ を越えません（subregion_ratio_le、仮定：$0\le\chi_t$・$0\lt h$・$0\le g$・$0\lt R^4$・$0\le S$）。

滑らかな窓。$Q_w:=\sum_xw(x)q(x)$、$w(x)=W(x/R)$ とすると、$\nabla_\ell Q_w=w(x_\ell)\bar J_\ell+\nabla w(x_\ell)\cdot D_\ell+O(R^{-2})$ で、交差の項は $\sum\nabla(w^2)=0$ で消え、

です 仮（クラスタの減衰と、$h,d$ の定義の上の見積もり。$\lambda_W$ は単位の四次元立方体の Dirichlet の窓で $4\pi^2$）。二つの領分が交差の長さ $R_*$ で分かれます。$R\ll R_*$ では比は $\chi_tR^2/(d\lambda_W)$ で $R^2$ に比例し、これは保存する力学（2-10 の寄り道）と同じ輸送の型です。$R\gg R_*$ では比は $\chi_t/h$ で、障壁（保存の破れ）の型です。$D_{\rm eff}:=d/\chi_t$・$r\propto h/\chi_t$ と読めば $R_*^2\approx D_{\rm eff}/r$ で、11-02 の「保存が壊れる長さ」の四次元の候補になります 見。

二つの係数は別々の問いに掛かります。全体の H↑ の必要条件は $\chi_t/h\lesssim\xi^2$ で、保存の破れの係数 $h$ を問います。11-03 の局所の H↑ は、箱の一辺 $c\xi$ の窓に (7) を入れた条件で、$h$ が小さい領分では輸送の係数 $d$ を問います（11-03 §05）。$h$・$g$・$d$ の四次元の格子の値は、この本にはありません。

第 10 部の一段目は、頂上の一サイトの曲率が凸性に $\tfrac14$ 足りないという共通の壁で止まりました（10-09 の (11)：対角 $4-\tfrac14=\tfrac{15}4$ が結合の和 $4$ に届かない）。この壁は、この章の型の 0+1 次元の縮小版と読めます 見。理由は次の対応です。

型の (ii) は「$Q$ は稀な配位を通ってしか変わらない」でした。二重井戸で $Q$（どちらの井戸にいるか）が変わる配位は、経路が頂上の台地を渡る配位で、そこはちょうど作用の Hessian が負の向きを持つ場所です。凸性に頼る道具（Bakry–Émery・Brascamp–Lieb・対角優位）は、この配位の上で不足を出し、不足は台地の稀さ（エントロピー）でしか払えません（10-10 型 4）。つまり $\tfrac14$ は「ほぼ保存される量を壊す出来事の配位で、凸性が足りない」ことの局所の顔です。四次元でこれに当たるのは、位相電荷が変わる配位（滑らかさの条件を破る、格子間隔の大きさの転位）です。四次元でも同じ型の壁に出会うという見込みは、ここから来ます 見。

(a) 予想の延長。「HMC と Langevin は同じ動的な普遍類」という予想は、原典（Lüscher–Schaefer 2011）では、開いた境界の $SU(3)$ で自己相関が $a^{-2}$ に伸びるという観察に付いた語です。同じ原典は、周期境界では Langevin を積分する算法も位相の区画を渡りにくくなると書きますが、その根拠に引くのは熱浴と HMC の原典で、自身の周期境界の数値はありません 典。表 1 の (d) の行を (3) に入れて「H↑ は周期の箱で偽と読める」とするのは、予想を周期境界の位相の遅さへ延ばした読みです 仮。熱浴の Dirichlet 形と Langevin の Dirichlet 形の間には一リンクの比較 $\mathcal E_{\rm HB}\le c_1\mathcal E_L$ の一方向しかなく、熱浴の遅さから Langevin の $C_P$ の下界は直接は出ません。HMC と Langevin の関係を定理として述べた一次資料は、探した範囲で見当たりません。

(b) $SU(2)$ は未決。原典の群は $SU(3)$ 以上です。$SU(2)$ の一次資料は一本で、その数は $a^{-2}$ に近い側にあります。半古典の粗い勘定（転位の作用を一ループのインスタントンの作用の定数倍と置く）では、$SU(3)$ の数に合わせた定数で $SU(2)$ はちょうど $z=2$ の境目の近くに落ちます（11-07）。$SU(2)$ について、位相電荷の凍結が仮定 H を壊すかは決まっていません。

(c) 二次元と四次元。(c) の行は二次元 $U(1)$ の玩具の数で、二次元 $U(1)$ は連続極限で自明な理論です。四次元・非可換・$\beta\to\infty$ の指数については何も言いません。

(d) 冪か指数か。(d) の行の三本の原典は、自ら「冪と指数はデータで区別できない」と書いています。表 3 の「冪か指数」はその言い方の写しです。

(e) 型は分類。五つの例が一つの型に入ることは定理ではありません。(e) の行は参照の自由場の数で、対象の測度の数ではありません。(4)〜(7) の係数 $h,g,d$ は定義だけで、四次元の値はありません。

(f) 質量ギャップ。どの例も隙間を壊しません。型の (iii) がそれを保証する条件で、この章が言うのは「H↑ という形では捕まらない遅さがある」ことまでです。

この章の行を五分類の書式（10-00 §01）に、見立ての札〔見〕を足して一表にします。行の記号は下の依存グラフの節点と同じです。

[01] 仮 CL   クラスタの減衰                                   無限体積
[02] 仮 HL   予想を周期の箱の位相の遅さへ延ばした読み         周期の箱
[03] 典 Q3   SU(3) 以上で τ(Q) が ξ² より速い                 周期の箱
[04] 典 Q2   SU(2) の一次資料一本（a⁻² に近い）               HMC・小さな箱
[05] 仮 KR   二重井戸の全体の比 ≈ S₀/ħ                        ħ → 0
[06] 読 ST   帯の ℓ_c・τ(Q)/ξ_XY²                             二次元 U(1)
[07] 読 FO   境のゲージを凍らせた参照の倍率                   一色のガウス
[08] 初 TI   τ_int ≤ C_P                                      可逆な半群
             Lean tau_int_le_CP
[09] 初 RC   命題 C（10-01）                                   円
[10] 初 OS   一サイトの比 = ω_b/m                              0+1
[11] 初 SB   部分領域の比 (6) ⟸ [01]                           無限体積
             Lean subregion_gap_identity・subregion_ratio_le
[12] 初 NH   τ ≥ cξ^p（p>2）なら H↑ は破れる ⟸ [08]
             Lean not_hup_of_fast_tau
[13] 仮 R4   周期の箱で H↑ は偽と読める ⟸ [02][03][12]        SU(3) 以上
[14] 見 TY   一つの形 ⟸ [05][06][07][09][10][13]

確かめ方。「⟸」の行で右の番号が左より小さいことを目で見ます（[11] は [01]、[12] は [08]、[13] は [02][03][12]、[14] は [05][06][07][09][10][13]）。円はありません。[04]（$SU(2)$）はどの行の前提にも入っていません。$SU(2)$ の読みが決まっていないことの、グラフの上の姿です。[13] の葉には仮定 [02] があり、[13] の札が「仮」なのはこのためです。

正確には、[13] の言明「H↑ は偽と読める」は結論の量 $C_P$ を含みますが、前提 [02][03] は $C_P$ を含みません。[03] は Monte Carlo の自己相関の数、[02] は力学の普遍類についての読みで、$C_P$ に届くのは [08] を通る一回だけです。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — ほぼ保存される大域の量・保存の破れ・輸送の係数 $d$ と保存の破れの係数 $h$・交差の長さ $R_*$・巻き付き・帯の位相電荷・箱を貫く流束。記号は 11-A1 にあります。

次に読む章：11-02 物差しと座標を選び直す — 比べるべき長さは静的な相関長か、保存が壊れる長さか。型を避けて H を述べ直す二つの形は 11-03。

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