2026-10-09 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 10 部 質量ギャップの証明へ向けて — 階段の一段目を組む残件・費用の見積もり・二つの道 · Kiichi, Shiori and Rin

残件と費用 — 定理までの距離

定理までの「距離」は比喩です。この章では、目標の命題の前提のうち、証明の無いものの一覧を距離と呼びます。

一段目の目標は、二重井戸の経路の測度で冪の H の上の側、すなわち命題 4.5 の結論 $C_P\le K\xi^2S_0/\hbar$ と、そこから従う $\ln C_P/\ln\xi\to2$ です（10-05 §04）。前提の全体は統合表の 111 行で（10-12 表 1）、証明の無い行は「仮」と「読」の行です。「読」の行は数値としては手元にありますが、上界や下界の命題ではないので、結論の前提としては証明の無い行に数えます。

各行には、閉じるのに要る作業の種類を付けます。区間演算（計算機援用の不等式に置き換える。10-08）、紙（証明を書く）、書誌（既知の定理を原典で確かめて「典」に上げる）、測定（まだ測っていない量を測る）、別の方法（いまの道具では届かないことが分かっていて、別の道具が要る）、方法未定（どの道具で攻めるかがまだ決まっていない）の六つです。時間の見積もりは、記録に見積もりがある行だけに書き、「見積もり無し」の行は空けておきます。

例。(H1) の節点の間の行 [013] には「部分区間 24・計 23〜39 時間」という見積もりがあります。一方、管の行 [002] には見積もりがありません。前者が後者より「近い」と読むのは誤りです。前者は計算すれば閉じる見込みの仕事で、後者は何をすれば閉じるかがまだ分からない仕事です。計算の時間を足し上げた数は、距離の大きさを表しません。

統合表の依存グラフで、結論 [111] から前提の向きにたどると、「または」の分かれ道が一か所だけあります。行 (T0′_P)（芯の Poincaré 定数が芯の長さと端の値に一様、[103]）です。この行は二通りに支えられます（10-12 §07）。

• 道 A（箱の側の芯）：命題 CORE3（芯の定数の三段、[082]）と、局所の項が $\hbar\to0$ で消えること（[084]）で支える（10-11 §05）。
• 道 B（区画の側の芯）：区画の枠組みの芯の隙間の一様な下界（[099]）と、継ぎ目の正則性 (lim) で支える（10-09 §02）。

どちらの道を取っても、結論に要る行は一つの集合に決まります。表 1 は、二つの道の和に入る「仮」「読」「機」の行を全て並べ、各行を閉じるのに要る作業と費用を書いたものです。表とグラフと数えは、統合表と同じ一つのデータ（行・辺）に費用の列を足して作りました。

表 1 から読むこと。(1) 二つの道に共通の行は、仮定 13 行と読み 1 行です。共通の前提 [001]、箱の中の行 [002][003][005]、箱の間の [006]、(H1) を延ばす [009]〜[016]、相関長の伸び方の読み [044] で、どちらの道を取っても残ります。(2) 道 A だけに要るのは、芯の交互の最大相関 [007] と作用の障壁 [008]、段 2・段 3 の読み [046][047] の四行です。(3) 道 B だけに要るのは、道筋 5 の残る一命題 [026] と、区画の入力 [019][021][022][024]・Barta の行 [023]・継ぎ目の正則性 [018] の仮定 7 行と、読み [055][089] の二行です。(4) 計算機援用の二行 [040][041] は、節点と範囲の中では済んでいて、両方の道に共通です。

二つの道の費用を、行の数でなく作業の種類で比べます（表 2）。

読み方は三つです。

第一に、時間の見積もりが付くのは、どちらの道でも共通の [013] だけです（部分区間 24・23〜39 時間、走らせていない）。区間演算で閉じる見込みのある行は他にもありますが（[046]・[023]・[055]）、本数と時間の見積もりはまだありません。そして共通の行には、区間演算では届かないと分かっている [014]（$\hbar\lt0.005$、部分区間が無限個要る）があります。だから「計算機の時間さえあれば閉じる」道は、二つのどちらにもありません。

第二に、道 A の追加は「別の方法」に偏り、道 B の追加は「紙」に偏ります。道 A の [007][047] は、芯の交互の最大相関を $k$ に一様に押さえる比較の定理を要し、それは二点の量に縮まない例（10-11 §05）を避ける形でなければなりません。道 B の追加の多くは区画の入力の紙ですが、その奥に「方法未定」の [026] が一つあります。道筋 5 の残る一命題で、三本の筋がどれも頂上の一サイトの曲率の不足 $\tfrac14$ で止まった場所です（10-09 §06）。

第三に、行の数の多い道 B が重いとは限りません。道 B の追加の紙は、どれも何を示せばよいかが言明として決まっている行です。道 A の追加の二行 [007][047] と道 B の一行 [026] は、どれも「何を示せばよいか」は決まっていても「どう示すか」が決まっていない行です。二つの道の差は、このやり方の分からない行が、芯の最大相関の側にあるか、頂上の曲率の側にあるかの違いです。

図 1 は、二つの道それぞれで結論の祖先だけを残した依存グラフです。統合表のグラフ（111 節点）から、[103] の「または」の片方を選んで前提の向きにたどった節点だけを、同じ番号で並べています。

[001] 仮 P0     T=∞ の測度の一意性・Markov 性・局所関数からの延長・極限の段・正則性
[002] 仮 TUBE   (H2tube) 管の Poincaré が管の長さ ≤ Cξ に一様
[003] 仮 KG     (KG) 縮約したキンクの気体の箱の隙間が Glauber の型
[005] 仮 X      (X) 交差項 ℰ_Y(E[f|Y]) ≤ (1+χ)ℰ(f)、χ が一様
[006] 仮 MXA    (MIX_alt) 箱の間の交互の最大相関 c_alt < 1 が一様
[007] 仮 MXC    (MIX_core) 芯の交互の最大相関 c̄ < 1 の上界（k ≥ 15）
[008] 仮 DSC    (ΔS_core) 芯と窓の C_P ≤ c ħ^(−p) e^(ΔS/ħ)
[009] 仮 A5     Holley の比較の連続版（尾の補題）
[010] 仮 A10    Poincaré–Miranda の定理（箱の被覆）
[011] 仮 A15    (T5) 使う関数の正則性・稠密性
[012] 仮 B1     (T1b) 隣と端の値 > 2.5
[013] 仮 B2     (T1c) 節点の間の ħ（一様な形で）
[014] 仮 B3     (T1c) ħ < 0.005（一様な形で）
[015] 仮 B4     (T3d) 二つのサイトの端の値 > 4
[016] 仮 B5     環から切れ端（端の値つき）への写し
[030] 典 MOB    キンク一本の移動度 D = ħ/S₀（過程の水準）
[031] 典 BE     凸な領域の Bakry–Émery（Kolesnikov–Milman）
[032] 典 A3     Muckenhoupt の挟み B ≤ C_P ≤ 4B
[033] 典 A4     MTP₂ の相関不等式（e の単調性・ħκ ≥ 0）
[034] 典 A6     Helffer の判定の Poincaré 版（Ledoux 命題 3.1）
[035] 典 A12    Brascamp–Lieb（交差 κ_f・(T4)）
[040] 機 A1     (T1a) 余白 ħρ − 2ħκ ≥ 0.067（隣と端 [0,2.5]²）
[041] 機 A9     (T3) λ_c ≥ 1.3×10⁻⁴（端 [0,4]²）
[044] 読 XI     ln ξ ≥ s/ħ（ξ ∝ ħ^½ e^(S₀/ħ)）・D/(Cξ)² の大きさ
[046] 読 MC2    段 2 の二点の最大相関と B₂（22.1／30.5／66.4）
[047] 読 CB     c̄_(≥15) ≤ 0.535（下界の測り）
[058] 初 A2     補題 K2（傾けの二次の Taylor と Hölder の剰余）
[059] 初 A8     (T2) 残したサイトの周辺は最近接の鎖
[060] 初 A14    (T5) 分散の分解 ⟸ [011]
[061] 初 MARG   余白 λ の連続体の文 ⟸ [040][058][032][033][009]
[062] 初 A7     粗い側の隙間 ≥ λ（環の Gershgorin） ⟸ [034][059][061]
[063] 初 A11    入れ子 λ_S ≥ 2.3×10⁻⁵ ⟸ [041][010][035]
[064] 初 A13    (T4) v/ħ ≤ 5888 ⟸ [041][035]
[065] 初 A16    率の代数 C_P ≤ ε/t ⟸ [060][062][063][064]
[066] 初 A17    命題 H1：C ≤ 1.6×10¹⁰（環の版） ⟸ [065]
[068] 初 SEG    条件 (H1)・(H1seg)：B 行が一様な形で成り立つときの合わせ ⟸ [066][012][013][014][015][016]
[069] 初 TP     補題 TP（二つの射影）
[070] 初 ESP    積の測度の Efron–Stein（鞅の差と Jensen）
[071] 初 BOX    箱の積の不等式（偶の箱の条件つき独立） ⟸ [001][070]
[072] 初 H3     命題 H3：C_P ≤ (1+1/n)C_box/(1−c_alt) ⟸ [006][069][071]
[073] 初 DEC    分散の分解と速い側の積への分解 ⟸ [001]
[074] 初 KGC    c_kg = C²+π²（閉じた式の極限の代数）
[075] 初 H4     命題 H4：C_box ≤ C_loc + (1+χ)C_kg ⟸ [068][002][003][005][030][070][073][074]
[076] 初 BV     補題 BV（k ≤ 7 で凸性） ⟸ [031]
[077] 初 MR     補題 MR（端への縮約） ⟸ [001]
[078] 初 TB     補題 TB（8 ≤ k ≤ 14 の二つのブロック） ⟸ [069][076][077]
[081] 初 BET    形 (β) の不等式（k ≥ 15） ⟸ [001][069][070][076]
[082] 初 CORE3  命題 CORE3：芯の定数の三段 ⟸ [007][046][047][076][078][081]
[084] 初 CLOC   局所の項が ħ→0 で消える ⟸ [008][044]
[103] 初 T0P    行 (T0′P)：芯の Poincaré が芯の長さと端の値に一様 ⟸ [082][084]
[104] 初 K4     K₄ が ħ に依らない ⟸ [103][075]
[105] 初 P45    命題 4.5：C_P ≤ Kξ²S₀/ħ ⟸ [030][072][104]
[106] 初 BL     橋の族・一次元版：命題 L（R ≥ 1） ⟸ [001]
[110] 初 RB     1 ≤ R ≤ K′/ħ ⟸ [105][106]
[111] 初 PH     冪の H：ln C_P / ln ξ → 2 ⟸ [044][110]

[001] 仮 P0     T=∞ の測度の一意性・Markov 性・局所関数からの延長・極限の段・正則性
[002] 仮 TUBE   (H2tube) 管の Poincaré が管の長さ ≤ Cξ に一様
[003] 仮 KG     (KG) 縮約したキンクの気体の箱の隙間が Glauber の型
[005] 仮 X      (X) 交差項 ℰ_Y(E[f|Y]) ≤ (1+χ)ℰ(f)、χ が一様
[006] 仮 MXA    (MIX_alt) 箱の間の交互の最大相関 c_alt < 1 が一様
[009] 仮 A5     Holley の比較の連続版（尾の補題）
[010] 仮 A10    Poincaré–Miranda の定理（箱の被覆）
[011] 仮 A15    (T5) 使う関数の正則性・稠密性
[012] 仮 B1     (T1b) 隣と端の値 > 2.5
[013] 仮 B2     (T1c) 節点の間の ħ（一様な形で）
[014] 仮 B3     (T1c) ħ < 0.005（一様な形で）
[015] 仮 B4     (T3d) 二つのサイトの端の値 > 4
[016] 仮 B5     環から切れ端（端の値つき）への写し
[018] 仮 LIM    (lim)・(END_rand)・環の継ぎ目の正則性
[019] 仮 SM     道筋 4 の小さな仮定（区画の入力）
[021] 仮 LSWin  入力 (LS_W)（サイトの窓の周辺の LSI の形）
[022] 仮 PF     (PF_seg)（橋の上の体積の局所性）
[023] 仮 BAR    Barta の行 κ = 3/1000・b = 493/1000
[024] 仮 REG    Bochner の境界の項と固有関数の正則性
[026] 仮 LSWb   (LS_W♭) A_W < A_max(ħ)：道筋 5 の残る一命題
[030] 典 MOB    キンク一本の移動度 D = ħ/S₀（過程の水準）
[032] 典 A3     Muckenhoupt の挟み B ≤ C_P ≤ 4B
[033] 典 A4     MTP₂ の相関不等式（e の単調性・ħκ ≥ 0）
[034] 典 A6     Helffer の判定の Poincaré 版（Ledoux 命題 3.1）
[035] 典 A12    Brascamp–Lieb（交差 κ_f・(T4)）
[036] 典 BOC    Bochner の公式の積分形（Ledoux 命題 1.3）
[040] 機 A1     (T1a) 余白 ħρ − 2ħκ ≥ 0.067（隣と端 [0,2.5]²）
[041] 機 A9     (T3) λ_c ≥ 1.3×10⁻⁴（端 [0,4]²）
[044] 読 XI     ln ξ ≥ s/ħ（ξ ∝ ħ^½ e^(S₀/ħ)）・D/(Cξ)² の大きさ
[055] 読 ELL    ℓ_min = 38.3／121.9／406.8
[058] 初 A2     補題 K2（傾けの二次の Taylor と Hölder の剰余）
[059] 初 A8     (T2) 残したサイトの周辺は最近接の鎖
[060] 初 A14    (T5) 分散の分解 ⟸ [011]
[061] 初 MARG   余白 λ の連続体の文 ⟸ [040][058][032][033][009]
[062] 初 A7     粗い側の隙間 ≥ λ（環の Gershgorin） ⟸ [034][059][061]
[063] 初 A11    入れ子 λ_S ≥ 2.3×10⁻⁵ ⟸ [041][010][035]
[064] 初 A13    (T4) v/ħ ≤ 5888 ⟸ [041][035]
[065] 初 A16    率の代数 C_P ≤ ε/t ⟸ [060][062][063][064]
[066] 初 A17    命題 H1：C ≤ 1.6×10¹⁰（環の版） ⟸ [065]
[068] 初 SEG    条件 (H1)・(H1seg)：B 行が一様な形で成り立つときの合わせ ⟸ [066][012][013][014][015][016]
[069] 初 TP     補題 TP（二つの射影）
[070] 初 ESP    積の測度の Efron–Stein（鞅の差と Jensen）
[071] 初 BOX    箱の積の不等式（偶の箱の条件つき独立） ⟸ [001][070]
[072] 初 H3     命題 H3：C_P ≤ (1+1/n)C_box/(1−c_alt) ⟸ [006][069][071]
[073] 初 DEC    分散の分解と速い側の積への分解 ⟸ [001]
[074] 初 KGC    c_kg = C²+π²（閉じた式の極限の代数）
[075] 初 H4     命題 H4：C_box ≤ C_loc + (1+χ)C_kg ⟸ [068][002][003][005][030][070][073][074]
[085] 初 S1     (Σ.1) 区画の和
[086] 初 S2     (Σ.2) Gibbs の変分不等式
[087] 初 S3     (Σ.3) 成分ごとの局所化 ⟸ [021][085][086]
[089] 読 S4     (Σ.4) ℓ_min は k に依らない ⟸ [022][055]
[092] 初 S5     (Σ.5) 合成と閉じる条件 ⟸ [023][024][036][087][089]
[099] 初 COREP  芯の隙間の k に一様な正の下界（区画の側） ⟸ [026][092][019][018]
[103] 初 T0P    行 (T0′P)：芯の Poincaré が芯の長さと端の値に一様 ⟸ [099][018]
[104] 初 K4     K₄ が ħ に依らない ⟸ [103][075]
[105] 初 P45    命題 4.5：C_P ≤ Kξ²S₀/ħ ⟸ [030][072][104]
[106] 初 BL     橋の族・一次元版：命題 L（R ≥ 1） ⟸ [001]
[110] 初 RB     1 ≤ R ≤ K′/ħ ⟸ [105][106]
[111] 初 PH     冪の H：ln C_P / ln ξ → 2 ⟸ [044][110]

例。道 A のグラフで [103] の前提は [082][084]、道 B のグラフでは [099][018] です。それ以外の幹（[104] 以下の箱の隙間と合成）は二つのグラフで同じ節点で、分かれ道の手前の仕事はどちらの道でも共通に効きます。

統合表には、結論への道の上に無いのに残件として名前の付いた仕事があります。どれも閉じても結論 [111] は動きませんが、数の確かさや別の道の材料として持っておく値打ちがあります。

表 3 の最初の三行は、計算の量で言えば表 1 の [013] より大きい仕事です。それでも結論への道の上に無いのは、閉じても統合表の「仮」の行が一つも減らないからです（10-12 §05 の「(H2) の機の二行は結論への道の上に無い」と同じ理由）。計算の量の大きさと、結論への近さは別の物差しです。

表 1 の行が全部閉じても、それぞれの行が成り立つ $\hbar$ の範囲が交わらなければ、結論は一つの $\hbar$ でも言えません。いまの範囲は四種類です（10-12 §06）：(H1) の節点 $\{0.2,0.1,0.05,0.02,0.01,0.005\}$、計算機援用の窓 $[3\cdot10^{-4},3\cdot10^{-3}]$、命題 P5 の範囲 $[3\cdot10^{-4},10^{-3}]$ の節点、読みの三点 $\hbar=3\cdot10^{-3}/10^{-3}/3\cdot10^{-4}$。(H1) の側は $0.005$ より下に無く、(H2) の側は $3\cdot10^{-3}$ より上に無いので、交わりは空です。

揃える道は二つしかありません。(a) (H1) を $\hbar\le10^{-3}$ へ延ばす（行 [014]）か、(b) (H2) の側を $\hbar\ge0.005$ へ延ばすかです。(b) はこの部の対象の外と決めました（道筋 7、10-07 表 1）。(a) は区間演算では届きません。部分区間の幅は $\hbar$ とともに縮み、$\hbar\to0$ までを覆うには部分区間が無限個要るからです。要るのは $\hbar\to0$ の漸近を紙で書く別の方法で、未着手です。

さらに、揃う $\hbar$ が一点でも作れたとしても、冪の H は $\hbar\to0$ の極限の文です。

(2) は、どんな有限の窓の上の不等式からも出ません。窓の計算機援用は、窓の中の各 $\hbar$ で不等式を確かめるだけで、窓の外については何も言わないからです（10-08 §10）。だから一段目を閉じるには、表 1 の全ての行を「$\hbar\to0$ で一様な形」で言う必要があり、計算機援用の役は、その一様な形の命題の中の有限の部分（例えば $\hbar\ge\hbar_1$ の側）を受け持つことに限られます。

例。[013] を 23〜39 時間かけて閉じても、閉じるのは $0.005\le\hbar\le0.2$ の連続体です。[014] は手つかずのまま残り、(2) の極限には一歩も近づきません。計算の時間で買えるのは「節点の間」であって「$\hbar\to0$」ではありません。

表 1 の行ごとの作業とは別に、四つの条件の全てに掛かる前提が五つあります。どれも一つの行を閉じても消えず、一段目を「閉じた」と言える形にするときに、文の側に書き込む条件です。

一段目の距離は、表 1 の行の一覧でした。二段目（四次元格子・非可換）から先の距離は、行の一覧として書けるほどには言明が割れていません。この節は、四次元格子の目標を三つの水準で書いたときの姿と、$\beta$ の上の段の数を、物理の外挿の目安として並べます。一段目から二段目以後へ持ち上がる見込みがあるのは文の形と道具の形だけで、定数や $\hbar$ の範囲が持ち上がらない理由は 10-03 §06 にあります。

「最も軽い粒子の質量が正」は、量子論のハミルトニアン $H$ のスペクトルの言明 $\operatorname{spec}(H)\subset\{0\}\cup[\Delta,\infty)$、$\Delta\gt0$ です（4-11）。格子から入る道では、同じ目標が三つの水準に割れます。

次に、証明の在る $\beta$ と連続極限の側の $\beta$ の隔たりを、格子を 2 倍に粗くする段の数で測ります。二ループの漸近スケーリングを、Lucini–Teper の $\beta=2.60$ の値 $\xi=1/0.514$ に合わせて延ばした物理の外挿で、定理の距離ではありません。

表 6 の数はどれも有限です。それでも距離が縮まらないのは、定理に要るのが「ある目標まで」ではなく「すべての目標で、同じ定数で」だからです。比喩で言えば、階段の段数ではなく、どの段でも踏み外さないという保証が欠けています。強結合の側の定理（Shen–Zhu–Zhu の $\beta\lt1/12$ 典）の定数を改善しても、手にある $\beta$ の範囲が広がるだけで、この一様性には触れません。曲率の端 $0.2722$ は、曲率の下界（Lean）から出る閾で、隙間へ進む段は概略です 仮。

一段目の言葉に置き直すと、同じことが $\hbar$ について起きています。§05 のとおり、$\hbar$ の窓をいくら広げても冪の H (2) は出ず、要るのは $\hbar\to0$ で一様な形の命題でした。四次元格子では $\beta\to\infty$ で一様な形、一段目では $\hbar\to0$ で一様な形——階段のどの段でも、足りないものの形は同じです。

寄り道：φ⁴₄ の教訓 — 極限まで届いても、着く先が自明かもしれない

この章の距離を一つの矢印の図にまとめます。

点線は含意ではなく、同じ形の文が二つの段に置かれていることを表します。(5) のどの矢印も証明されていません。一段目では、矢印の手前の行を一覧にし、二つの道に割り、各行に作業の種類を付けたところまでで、割ったことは整理であって矢印を短くしたことではありません。

一行で言えば、足りないのは段の数ではなく、全ての尺度で同じ定数で成り立つという一様性です。一段目ではそれが $\hbar\to0$ で一様な (H1) と芯の行に、四次元格子では $\beta\to\infty$ で一様な H↑ と橋に、形を変えて現れます。

この部は仮定 H を軸に置いて、その一様性を一段目の行に割りました。H とは別の視点から同じ一様性を問う道は 第 11 部 で扱います。四段の階段のそれぞれについて、ハードル・既知の到達点・この本の道具で届くか・費用の種類を一枚の表に並べ直したものは 11-07 §04 にあります。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 距離（一覧）・分かれ道・道 A（箱の側の芯）・道 B（区画の側の芯）・作業の種類（区間演算・紙・書誌・測定・別の方法・方法未定）・揃う $\hbar$・目標の三つの水準・一様性。意味は A-02 用語集 にあります。

次に読む章：10-16 主張しないこと — この部が示さないこと・強く読まないこと・偽とも言わないことを、本文の文との対応表つきで。

← 10-14 突き合わせ — 記録の数と既知の数目次10-16 主張しないこと →