2026-10-09 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 10 部 質量ギャップの証明へ向けて — 階段の一段目を組む構成の筋・仮定 H・片側の橋 · Kiichi, Shiori and Rin

構成の筋と仮定 H — 八つの言明、格子版の質量ギャップの向き、仮定 H の六段

この章は四次元の格子の側の話です。群は $SU(2)$、Wilson 作用は $S_W=\beta\sum_P(1-\tfrac12\operatorname{tr}U_P)$（5-01）、$\beta=4/g^2$ は結合の逆数で、逆温度ではありません。量はすべて格子単位（格子間隔が 1）で数えます。

$m_{\rm lat}(\beta)$ は転送行列のゲージ不変な状態の上の隙間（格子単位の質量）、$\xi=1/m_{\rm lat}$ は相関長、$a(\beta)$ は格子間隔を物理の単位で測った値です。物理単位の質量は

です。$a(\beta)$ の決め方は一つではありません。弦張力 $\sigma$ を物理の単位に取れば $a\sqrt\sigma$ が格子間隔で、この部の四次元の記録では、格子を粗くする段を数えて決めた長さ $\xi_{\rm RG}$ の逆数を $a$ に置きます（§07）。どちらを取るかは三つの鎖 (ii)(iii)（§05）の仮定の中に入ります。

例。$\beta=2.60$ で $m_{\rm lat}=0.514$（Lucini–Teper の Monte Carlo の値）なら $\xi=1.95$ 格子間隔です 読。$\Delta$ はこれを $a$ で割ったときにだけ決まる量で、格子の上の数だけでは決まりません（5-09）。

問題文（0-03）は、$\mathbb R^4$ の上の非自明な量子ヤン–ミルズ理論が在ること、そしてその理論に質量ギャップ $\Delta>0$ があることを求めます。格子から入る道では、これを一本の筋に並べます。

各 $\beta$ の測度で先に体積を無限にし、次に $\beta\to\infty$ とする順です（Chatterjee 2018 の順。有限の箱で先に $a\to0$ とする順もある、9-04）。筋の各段を言明にしたのが表 1 で、問題文の要求は次の見取り図になります。

(2) は見取り図で、定理ではありません。(S5) は (2) に入らない、(S4) の言い直しです（§04）。

八つは独立ではありません。「元が先の前提になる」矢印で書くと次のとおりです（この本の整理。$\mathrm H_{\rm band}$ の付いた矢印は、§05 の帯の文の下でだけ）。

四次元で手にあるのは (S2) と (S7) です。「極限さえ取れれば残りは自動」と言いたくなりますが、問題文の脚注は、コンパクト性だけによる弱い存在を、極限の性質（'such as the existence of a mass gap and the axioms'）を別に示さない限り解と認めません（Jaffe–Witten）典。

例。(S4) に入る矢印は三本で、(S5) からの一本だけが帯の文の下の矢印です。(S3) に入るのが (S1) からだけなのは、体積を先に無限にする順だからです。

格子の上の「質量ギャップ」を「格子単位の隙間 $m_{\rm lat}(\beta)$ がすべての $\beta$ で一定値以上」と読むと、連続極限では反対の意味になります。(1) のとおり、物理単位の質量は格子単位の質量を格子間隔で割ったものだからです。

初 (1) を $a(\beta)$ で割るだけです。比喩で言えば、定規の目盛りを細かくしていっても測る物がいつも目盛り数個分なら、物の実際の長さは 0 に縮みます。正確には、(5) の下では $\xi$ が有界で、物理単位の相関長 $a\xi$ が 0 に向かいます。(S4) が求めるのは反対に、$m_{\rm lat}$ が $a$ と同じ速さで 0 に向かうことです。

この向きは Chatterjee（2018）の Problem 5.1 そのものです：'Show that for any β > 0, there exists some ξ(β) ∈ (0, ∞) such that … Moreover, prove that lim_β→∞ ξ(β) = ∞.' 典 尺度の決め方は 5-09 にあります。

例。表 2 は弦張力 $\sigma$ を物理の単位にし、$a\sqrt\sigma$ を格子間隔とみなしたものです。$\beta=2.25\to2.60$ で $a$ は 3.16 分の 1、$m_{\rm lat}$ は 2.70 分の 1 になり、$\Delta/\sqrt\sigma$ は 3.3〜3.8 にとどまります。最後の列は $m_{\rm lat}$ が $\beta=2.25$ の値で止まった場合で、$a$ に反比例して増えます。

$\Delta/\sqrt\sigma$ はおおむね増えて、原典の外挿値 3.844(61) に下から近づきます（$\beta=2.475\to2.55$ で一度、誤差の内で下がる）読。窓は $\xi\lesssim2$ 格子間隔で、極限が在ることの証拠ではありません（9-05）。

(S4) を、格子の測度 $\mu_\beta$ の Poincaré 定数 $C_P$ で言い直します。観測量の分散を、リンクの動きへの敏感さ（Dirichlet 形 $\mathcal E$）で割った比の上限で、リンクを揺すりながら作用の低い向きへ動かす Langevin 力学の、最も遅い揺らぎが均される時間です（1-10・10-00 §04）。

$\nabla_\ell$ はリンク $\ell$ の向きの微分（リンクの角度で測る）、$A\asymp B$ は比が $\beta$ に依らない正の定数で上下から押さえられることです。Langevin の時間は長さの二乗の次元を持つので（拡散）、$a^2C_P$ は最も遅い緩和を物理の単位で測った値で、(S5) はそれが 0 にも無限大にも行かないと言います。

同じ記号 $C_P$ で三つの量が呼ばれるので区別します（表 3）。この部の $C_P$ は (β)、経路の測度（時空のすべてのリンクの分布）の Poincaré 定数です。

自由場では $C_P^{(\beta)}=4\,(C_P^{(\alpha)})^2$ です 初（表 3 の自由場の列を二乗するだけ。格子間隔 1 の時間の格子では右辺に $1+m^2/4$ が掛かる）。仮定 H は (β) についての文なので、「経路の $C_P$ と真空の $C_P$ の二乗が揃う」と読み替えられます。ただしゲージ理論では一つの時刻の測度はゲージ軌道の空間の上にあり、この読み替えは自由場の形からの類推です。

自由場（場の変数で測る目盛り）では、$C_P$ は共分散 $(-\Delta_{\rm lat}+m_{\rm lat}^2)^{-1}$ の最大固有値です（1-10）典。

自由場では (S4) と (S5) が同じことになり、一様な格子の隙間 $m_{\rm lat}\ge c$ は $C_P\le1/c^2$、つまり $a^2C_P\to0$ の側です。表 4 は $\Delta=1$ を止めて $a$ を小さくした例です。

$a$ を半分にするごとに $C_P$ は 4 倍、$\xi$ は 2 倍になり、$a^2C_P=1$、$a\xi\to1$ です。格子単位の質量を 1 に止めると $C_P=1$ のまま $\Delta=2^k$ が発散します。相互作用のある理論で $C_P$ と $\xi^2$ が同じ冪で大きくなるかが次の節の仮定 H です。

寄り道：二つの時間

仮定 H は、一文で言えば「揺らぎが均される時間は、相関長の二乗と同じ冪で伸びる」という文です。この節と次の節で、この一文を六つの段に分けて説明します。(1) 何を測りたいか、(2) なぜ力学の量に言い換えるか、(3) 言明を段を踏んで、(4) H が与えるもの、(5) H が与えないもの、(6) 類例。各段に、手で確かめられる小さな例を置きます。

この部での位置づけ。仮定 H は、質量ギャップの問題に取り掛かるために選んだ一つの言い換えです。質量ギャップへの唯一の道でも、正しいと決まった道でもありません。H と別の視点や、H を前提にした新しい考え方は 第 11 部 で扱います。

この部で H を軸に置く理由。問題文が求める量は、ユークリッドの時間の向きの隙間（転送行列の隙間を物理の単位で測ったもの）です。H はこれを、格子の測度だけで定まり、「すべての $f$」の不等式を局所の部品から組み立てる道具がそろい、組み立ての代数を機械で検査できる量——Langevin 力学の緩和の時間 $C_P$ と相関長の冪——に置き換えます。§06 で見るとおり、この置き換えは片側の橋を通って質量ギャップの側へ戻ることができ、しかも片側の橋の仮定のもとで、H の上の半分 H↑ は、格子の上の物理単位の隙間が正に残ることより強い文です。より強い文を、道具の多い言葉で言う。この取引がこの部の立脚点で、第 10 部の章はすべて H を軸に組み立てています。H を取っ掛かりとした検討、というこの部の題はこの意味です。

(1) 何を測りたいか — 物差しと、にじむ時間

問題文の要求のうち格子で述べられる部分は、(6) の「物理単位の隙間 $\Delta=m_{\rm lat}/a$ が $\beta\to\infty$ で正に残る」ことです。格子の上で見ると、二つのことが同時に起きなければなりません。物差し $\xi=1/m_{\rm lat}$ が格子の目盛りに比べて無限に伸びること、そしてその伸び方が格子間隔の逆数と揃うこと（$a\xi$ が 0 にも無限大にも行かない）です。10-00 §05 の五つの量で言えば、問題文は ① と ③ の関係を問う文です。

仮定 H は、この問いに ② を持ち込みます。測度の中で最も遅い揺らぎが均される時間 $C_P$ は拡散の時間なので、長さ $\xi$ を均すには $\xi^2$ 程度かかるはずです（10-00 の寄り道）。そこで「② は ① の二乗と釣り合う」を一つの文にし、① と ③ の関係を ② を通して述べる。これが H の発想です。

例 1（一本道の酔歩を手で数える）。10-00 §04 の一本道（升が $L$ 個・両端で跳ね返る・一様分布・$\mathcal E(f)=\frac1L\sum_i(f_{i+1}-f_i)^2$）では、物差しに当たるのは道の長さ $L$ です。$L=2$ では $f=(1,-1)$ が最も遅い揺らぎで、$\operatorname{Var}(f)=1$、$\mathcal E(f)=\tfrac12\cdot2^2=2$、比は $\tfrac12$ です。$L=3$ では $f=(1,0,-1)$ で $\operatorname{Var}(f)=\tfrac23$、$\mathcal E(f)=\tfrac13(1+1)=\tfrac23$、比は $1$ です。どちらも 10-00 の (3) の $C_P(L)=1/(2(1-\cos(\pi/L)))$ の値と一致し、$L=4$ では $1/(2-\sqrt2)\approx1.707$ です 初。$L$ を倍にすると $C_P$ はおよそ 4 倍になり、大きな $L$ では $C_P\approx L^2/\pi^2$ です（10-00 の表 3）。「にじむ時間は物差しの二乗」を、いちばん小さな道で確かめたことになります。

正確には、一本道の $L$ は外から与えた長さで、測度が自分で持つ物差し（相関長）ではありません。両者が一致する最も簡単な例は自由場で、$C_P=1/m_0^2$ と $m_0^2=2(\cosh(1/\xi)-1)$ から $C_P/\xi^2\to1$ です（10-00 §04、本章の表 4）。相互作用のある測度で ② と ① がどう釣り合うかが、H の問いです。

(2) なぜ力学の量に言い換えるか — 測れる・道具がある・検査が届く

物差しの側の量 $m_{\rm lat}$ は転送行列の隙間で、ゲージ不変な状態の Hilbert 空間の上の作用素の量です。試しの状態を一つ置けば $m_{\rm lat}$ の上界（$\xi$ の下界）は出ますが、下界にはすべての状態が要ります。$C_P$ の上界にも「すべての $f$」が要るので、難しさは同じ向きに残ります。それでも言い換える理由は三つあります。

(a) 格子の測度だけで測れる。$C_P$ は (7) のとおり、分散と Dirichlet 形という $\mu_\beta$ の期待値だけで定まります。Hilbert 空間や再構成を経ずに、測度から直接定義でき、試験関数一つで下界が出て、Langevin 力学やマルコフ連鎖の自己相関から下界の読みも取れます（10-02 §04）。

(b) 「すべての $f$」を組み立てる道具がある。Poincaré 不等式には、局所の部品から全体の上界を組み立てる道具が、次元によらない形でそろっています。測度 $\mu\propto e^{-S}$、$\mathcal E(f)=\mathbb E|\nabla f|^2$ の規約で

です。左の二つは 典（Bakry–Émery の凸性の判定と Holley–Stroock の有界な摂動。$\operatorname{osc}W=\sup W-\inf W$。書誌は 10-06 の出典表）、右は 初（Efron–Stein の不等式 $\operatorname{Var}(f)\le\mathbb E\operatorname{Var}_1(f)+\mathbb E\operatorname{Var}_2(f)$ の各項に成分の Poincaré 不等式を使えば $\le\max$、片方の座標だけの関数で等号）。これに分散の分解（条件つきの分散と条件つき期待値の分散の和、10-05 §01）を加えた四つが、一段目の組み立ての部品です。対数 Sobolev 不等式（LSI）にも同じ型の道具があり、尺度ごとに分けた凸性の判定もその一つです（10-02 §05）。

(c) 機械検査が届く。部品の不等式を組み合わせる段は、実数の不等式の代数です。代数は Lean で検査でき、有限の窓の中の数値の不等式は区間演算（計算機援用）で確かめられます。検査するのは仮定から結論への組み立てで、仮定そのものではありません（10-13）。

例 2（二つのサイトのガウス測度で、道具がどこで効くか）。$\mathbb R^2$ の上の測度 $\mu\propto e^{-S}$、$S(x_1,x_2)=\tfrac12(x_1-x_2)^2+\tfrac12m_0^2(x_1^2+x_2^2)$ を考えます。Hesse 行列は $\begin{pmatrix}1+m_0^2&-1\\-1&1+m_0^2\end{pmatrix}$ で、固有値は $m_0^2$（向き $(1,1)$）と $m_0^2+2$（向き $(1,-1)$）です。(9) の左の判定から $C_P\le1/m_0^2$。一方 $f=x_1+x_2$ では、共分散が Hesse 行列の逆なので $\operatorname{Var}(f)=2/m_0^2$、$\mathcal E(f)=|\nabla f|^2=2$ で、比は $1/m_0^2$ です。上界と下界が一致して $C_P=1/m_0^2$ 初。一本道（例 1）では行列を対角化して $C_P$ を求めましたが、この例では対角化をしなくても (9) が答えを出しています。二重井戸 $V(x)=(x^2-1)^2/8$ では頂上で $V''(0)=-\tfrac12\lt0$ となり、(9) の凸性の判定は全体には使えません。そこで谷ごとに割る分散の分解と、割った先での凸性と摂動を組み合わせることになります（10-04 §06・10-05 §04）。対角化できない相互作用のある測度で、上界を部品から組み立てられること——これが言い換えの第一の得です。

(3) H の言明を段を踏んで — 帯の文、冪の文、上下の半分

一段目：帯の文。素直に書けば、「$C_P$ は物差しの二乗の定数倍の幅に入る」という文になります。物理の単位 $a$ と、$\beta$ に依らない定数倍の幅（帯）で比べると

です。数で言えば、$\xi_{\rm RG}=1/a=10$ のとき $C_P$ は $100c$ から $100C$ の間、$\xi_{\rm RG}=1000$ なら $10^6c$ から $10^6C$ の間にある、という文です。Langevin の時間は長さの二乗の次元を持つので（拡散）、$a^2C_P$ は最も遅い緩和を物理の単位で測った値で、(10) はそれが 0 にも無限大にも行かないと言います。

例 3（一本道は帯の文を満たす）。例 1 の一本道で $L$ を物差しにすると、$x=\pi/L$ と置いて $C_P(L)/L^2=\frac1{\pi^2}\cdot\frac{(x/2)^2}{\sin^2(x/2)}$ です。$t/\sin t$ は $(0,\pi/2]$ で増えるので、$L\ge2$ で

（右の等号は $L=2$ の $C_P=\tfrac12$）で、帯の文が $c=1/\pi^2\approx0.101$・$C=1/8$ で成り立ちます 初。

相関長を挟むと、帯の文は三つの因子に割れます。

第一の因子は物理単位の質量 $m_{\rm phys}=m_{\rm lat}/a$ で決まり、第二は「Langevin の隙間 $\lambda_1$ が質量の二乗と揃う」という鎖 (i) の因子です。第一の因子をさらに「質量の二乗と弦張力が揃う」（鎖 (ii)）と「弦張力と格子間隔の二乗が揃う」（鎖 (iii)）に割った三つの比が三つの鎖です（7-12）。三つとも仮定です 仮。鎖の上下の半分がそれぞれ何を要るかは 10-02 §05 で見ます。

二段目：冪の文。帯の文は、$\mathcal E$ の目盛り・記帳の次数・確率時間の繰り込みが持ち込む対数の因子に動かされます（§07 の寄り道）。そこで定数倍だけでなく、$\ln\xi$ の冪の因子も無視する水準に下げたものが仮定 H です。

この文は、一段目の言明 10-03 §05 の (2)、$\lim_{\hbar\to0}\ln C_P(\hbar)/\ln\xi(\hbar)=2$ と同じ形です。違うのは測度の族だけで、ここでは Wilson 測度 $\mu_\beta$ と $\beta\to\infty$、一段目では二重井戸の経路の測度と $\hbar\to0$ です。だからこの部では (13) を、次元によらない「冪の H」として二つの段で同じ名で呼びます。冪の文なので、$\mathcal E$ を $\beta$ の冪倍しても変わりません（$\ln\beta/\ln\xi\to0$）初 Leanexponent_invariant_of_slowly_varying（仮定：$X_n,\ell_n\gt0$、$\ln X_n/\ln a_n\to p$、$\ln\ell_n/\ln a_n\to0$。結論：$\ln(X_n\ell_n)/\ln a_n\to p$。極限の和の代数）。

例 4（帯と冪の違いを数で）。$C_P=\xi^2\ln\xi$ という族を考えます。比 $C_P/\xi^2=\ln\xi$ は $\xi=10,10^3,10^6$ で $2.30,\ 6.91,\ 13.8$ と増え続けるので、帯の文は破れます。一方 $\ln C_P/\ln\xi=2+\ln\ln\xi/\ln\xi$ は $2.362,\ 2.280,\ 2.190$ とゆっくり 2 に近づき、冪の文は成り立ちます 初（$\ln\ln\xi$ の値 $0.834,\ 1.933,\ 2.626$ を $\ln\xi=2.303,\ 6.908,\ 13.82$ で割る）。逆に例 3 の一本道は帯の文を満たしますが、$\ln C_P/\ln L=2-(\ln\pi^2+o(1))/\ln L$ は $L=256$ で $\ln6640/\ln256\approx1.587$ と、2 から遠い所にいます。冪の文は「極限で 2」とだけ言い、定数の分だけゆっくり近づくことを許します。帯の文は冪の文を含意し（$\ln c/\ln\xi\to0$）、逆は $C_P=\xi^2\ln\xi$ が示すとおり成り立ちません 初。

(10) は H と鎖 (ii)(iii) を合わせた文で、この本では H と呼びません。名前を表 5 のように固定します。

冪の水準の二行は、目盛りの選び方にも、§07 の対数の因子にも動かされません。この部が仮定 H を冪の文に置くのはこのためです。

三段目：上下の半分。帯の文 (10) の右と左を分けたものが H↑・H↓ です。

$C_P$ は (7) の上限で、$\xi_{\rm RG}=1/a$ は測度と別に決めた長さなので、二つは試験関数 $f$ についての量化子が逆向きです。

初 上限の定義をそのまま書いたものです。H↓ は試験関数を一つ見せれば済み、H↑ はすべての関数についての本物の Poincaré 不等式です。固有値で言う「上からは易しく、下からは難しい」（1-10）が、その逆数の $C_P$ では「下からは易しく、上からは難しい」になります。この非対称が、10-02 の道と壁の全体を決めます。

例 5（片方だけが成り立つ族）。$C_P=\xi_{\rm RG}^2\ln\xi_{\rm RG}$ の族では、$\xi_{\rm RG}\ge e$ で $a^2C_P\ge1$ なので H↓ は $c=1$ で成り立ち、$a^2C_P=\ln\xi_{\rm RG}\to\infty$ なので H↑ は破れます（冪の H は例 4 のとおり成り立つ）。逆に $C_P$ が $\beta$ によらず有界な族（強結合の側の定理の形、§06 の表 7）では、H↑ は成り立ち H↓ は破れます 初。帯の文は、この二つの破れ方のどちらも起きない、という文です。

六段の残りの三つ、(4) H が与えるもの、(5) H が与えないもの、(6) 類例です。(4) と (5) は、問題文の量（ユークリッドの時間の隙間）と H の量（Langevin の緩和の時間）が別の量であることから始まり、二つをつなぐ片側の橋と、橋の反対向きが成り立たない例で、H と質量ギャップの関係を正確に決めます。

(4) H が与えるもの — 質量への読み替えと片側の橋

等号の版。鎖 (i) を等号 $C_P=1/m_{\rm lat}^2$ で置くと、(14) の二つの半分は物理単位の質量 $m_{\rm phys}=m_{\rm lat}\,\xi_{\rm RG}$ の言明に読み替わります。

初 証明：H↑ の $1/m_{\rm lat}^2\le C\xi_{\rm RG}^2$ の両辺に $m_{\rm lat}^2/C$ を掛けると $1/C\le(m_{\rm lat}\xi_{\rm RG})^2$。H↓ は不等号を逆にして同じ。∎ 証明の水準は代数で、Lean の二つの定理がこの代数を検査しています。

theorem hup_is_gap_positivity {CP xi mlat K : ℝ}
    (hmlat : 0 < mlat) (hCP : CP = 1 / mlat ^ 2) (h : CP ≤ K * xi ^ 2) :
    1 ≤ K * (mlat * xi) ^ 2

theorem hdown_is_mass_finiteness {CP xi mlat c : ℝ}
    (hmlat : 0 < mlat) (hCP : CP = 1 / mlat ^ 2) (h : c * xi ^ 2 ≤ CP) :
    c * (mlat * xi) ^ 2 ≤ 1

LeanLatticeGauge.hup_is_gap_positivity（仮定：$m_{\rm lat}\gt0$・$C_P=1/m_{\rm lat}^2$・$C_P\le K\xi^2$。結論：$1\le K(m_{\rm lat}\xi)^2$）と LatticeGauge.hdown_is_mass_finiteness（仮定：$m_{\rm lat}\gt0$・$C_P=1/m_{\rm lat}^2$・$c\,\xi^2\le C_P$。結論：$c\,(m_{\rm lat}\xi)^2\le1$）。四つの文字はどれも Lean の中では名前の付いた実数で、それが Wilson 測度の Poincaré 定数であること、$C_P$ が上限であること（すべての $f$ を動かすこと）は Lean の外にあります（10-13）。H↑ は「質量が 0 に潰れない」、つまり質量ギャップの側の下界で、H↓ は「質量が無限大に逃げない」側です。

等号 $C_P=1/m_{\rm lat}^2$ は自由場の値で、相互作用のある理論で置くには強すぎる仮定です。ところが H↑ から質量の下界を出す証明は、等号のうち片側 $C_P\ge\kappa/m_{\rm lat}^2$ しか使っていません。そしてこの片側は、時間を連続に取った格子では、仮定を名指した命題として示せます。

初 証明〔三〕。$m=\Delta/\hbar=1/\xi$、$\varphi=(F-\langle F\rangle)\psi_0$ と置きます。$\langle F\rangle=\int\psi_0\psi_1=0$ なので $\varphi=\psi_1$、$A\varphi=m\varphi$ です。

(i) 分散。(A2) の測度の相関は $\operatorname{Cov}(F(q(s)),F(q(t)))=\langle\varphi,e^{-|s-t|A}\varphi\rangle=\|\varphi\|^2e^{-m|s-t|}$ です 典（転送作用素で相関を書く式、2-07 §08・10-04 §04 の (12) の型）。正方形 $[0,T]^2$ の上で積分すると $\operatorname{Var}(f_T)=\|\varphi\|^2\bigl(2T/m-2(1-e^{-mT})/m^2\bigr)$ です（$\iint e^{-m|s-t|}=2\int_0^T(T-u)e^{-mu}du$ を一回の部分積分で閉じる）。

(ii) Dirichlet 形。$f_T$ を経路 $q(\tau)$ で微分すると、$\tau\in[0,T]$ で $dF(q(\tau))$、それ以外で 0 です。定常性と (A3) から $\mathcal E_G(f_T)=\hbar T\int\psi_0^2\langle dF,G\,dF\rangle\le\hbar T\lambda_G\int\psi_0^2|dF|_{M^{-1}}^2$ です。

(iii) 基底状態変換の恒等式。滑らかな実関数 $F$ について

です 初。$(V-E_0)\psi_0=\frac{\hbar^2}2\Delta_M\psi_0$ を使うと $(H-E_0)(F\psi_0)=-\frac{\hbar^2}2\bigl(\psi_0\Delta_MF+2\langle dF,d\psi_0\rangle_{M^{-1}}\bigr)=-\frac{\hbar^2}{2\psi_0}\operatorname{div}_M(\psi_0^2\,\nabla_MF)$ となり、$F\psi_0$ を掛けて一回部分積分すれば右辺です（$Q$ がコンパクトで境界が無いか、関数が無限遠で減衰するので境界の項は消える）。∎ 1-10 §08・2-05 §08 の一次元の計算と同じ形です。$F\psi_0=\psi_1$ なので左辺は $\Delta\|\varphi\|^2$ で、$\int\psi_0^2|dF|_{M^{-1}}^2=(2m/\hbar)\|\varphi\|^2$、よって $\mathcal E_G(f_T)\le2\lambda_GmT\|\varphi\|^2$ です。

(iv) 比。(i) を (ii)(iii) で割ると $\operatorname{Var}/\mathcal E_G\ge\kappa\bigl(1/m^2-(1-e^{-mT})/(Tm^3)\bigr)$、これが (17) の左です。$C_P$ は上限なので右辺以上で、$T\to\infty$ で $C_P\ge\kappa\xi^2$ です。正準のときの上限は、時刻に局所な任意の $f$ で $\operatorname{Var}/T\to2\langle\varphi,A^{-1}\varphi\rangle$・$\mathcal E/T=2\langle\varphi,A\varphi\rangle$ となり、$A$ の固有値 $a\ge m$ について $1/a\le a/m^2$ を使えば $\xi^2$ 以下で、等号は $\varphi$ が固有値 $m$ の固有空間にあるときです（10-04 §04 の (13) と同じ）。∎

LeanLatticeGauge.HupBridge.cont_ratio_closed（仮定：$0\lt m$・$0\lt T$。結論：(i) を (ii)(iii) で割った比が $1/m^2-(1-e^{-mT})/(Tm^3)$ に等しい）と one_sided_bridge（仮定：分散の下界・Dirichlet 形の上界・$\operatorname{Var}/\mathcal E\le C_P$、正の数。結論：$\kappa/m^2\le C_P$）は、(i)〜(iv) の数の代数だけを検査したものです。経路の測度・相関の式・(18)・$C_P$ が上限であることは Lean の外です。

$\kappa$ は時間の長さ $T$ に依りません。$T$ は (17) の因子 $1-(\xi/T)(1-e^{-T/\xi})\in(0,1)$ にだけ入り、$T/\xi\to\infty$ で 1 に近づきます。一次元の井戸で $G=M^{-1}=1$ と置いたものが命題 L（10-04 §04）で、命題 B はその多次元・計量つきの版です。鎖の言葉で言えば、命題 B は鎖 (i) の片側 $\lambda_1\le m_{\rm lat}^2/\kappa$（H↓ の側の半分）を、時間を連続に取った格子で示すものです。同じ形の主張が文献にあるかは確かめていません（既知かもしれません）。

冪が二次になる理由。分散は相関の時間の積分で $T\cdot(2/m)\|\varphi\|^2$、つまり $1/\Delta$ の一次で大きくなります。Dirichlet 形は、最も遅い励起の $F=\psi_1/\psi_0$ の勾配が小さい関数なので、(18) により $T\cdot2m\|\varphi\|^2$、つまり $\Delta$ の一次で小さくなります。比が $1/\Delta^2$ です。勾配の小ささを見落として Dirichlet 形を $\Delta$ に依らない量と見積もると、$c/\Delta$ の一次の下界に落ち、次の (19) は出ません。

注（記号 $\Delta$ の二つの意味）。この章では $\Delta$ を二つの意味で使っています。(1) の $\Delta(\beta)=m_{\rm lat}/a$ は物理単位の質量です。命題 B とこの節の例の $\Delta=E_1-E_0$ は、空間を有限の格子にしたハミルトニアンの隙間で、$\xi=\hbar/\Delta$ により格子単位の相関長に結ばれます（$\hbar=1$ で $m_{\rm lat}$ にあたり、(1) の $\Delta(\beta)$ はそれを格子間隔 $a$ で割ったもの）。第 11 部では $\Delta$ を命題 B の意味 $E_1-E_0$ に限り、物理単位の質量は $m_{\rm phys}$ と書きます（11-A1 §02）。

例 6（二つのサイトの格子で、橋を手で確かめる）。例 2 と同じ二つのサイトを空間の格子にし、時間を連続に取ります（$\hbar=1$・$M=G=1$・$V=\tfrac12x^{\sf T}Kx$、$K$ は例 2 の Hesse 行列）。基準振動は $u=(x_1+x_2)/\sqrt2$（角振動数 $m_0$）と $v=(x_1-x_2)/\sqrt2$（角振動数 $\sqrt{m_0^2+2}$）で、最初の励起は $u$ の振動を一つ上げた状態なので $\Delta=m_0$、$\xi=1/m_0$、$F=\psi_1/\psi_0\propto u$ です。経路の上で $u(\tau)$ は定常なガウス過程で、$\mathbb E[u(s)u(t)]=e^{-m_0|s-t|}/(2m_0)$。$f_T=\int_0^Tu\,d\tau$ について $\operatorname{Var}(f_T)=\frac1{2m_0}\bigl(\frac{2T}{m_0}-\frac{2(1-e^{-m_0T})}{m_0^2}\bigr)$、$|\nabla u|^2=\tfrac12+\tfrac12=1$ なので $\mathcal E(f_T)=T$、比は $1/m_0^2-(1-e^{-m_0T})/(Tm_0^3)$ で、(17) の右辺そのものです。数で、$m_0=\tfrac12$（$\xi=2$）・$T=20$ なら比は $4-0.99995/2.5\approx3.600$、$T=200$ なら $4-1/25=3.96$ で、$\xi^2=4$ に下から近づきます。(18) も確かめられます：左辺は $\Delta\,\mathbb E[u^2]=m_0\cdot\frac1{2m_0}=\tfrac12$、右辺は $\tfrac12\,\mathbb E|\nabla u|^2=\tfrac12$ 初。この例では経路の測度がガウスで、共分散 $(-\partial_\tau^2+K)^{-1}$ の最大固有値が $1/m_0^2$ なので $C_P=\xi^2$、橋は等号で成り立っています。

H↑ と橋を合わせる。H↑ の $C_P\le C\xi_{\rm RG}^2$ と命題 B の $C_P\ge\kappa/m_{\rm lat}^2$ を並べると

です 初。例えば $\kappa=1$・$C=4$ なら、物理単位の隙間はどの $\beta\ge\beta_0$ でも $\tfrac12$ 以上に留まります。(16) の等号の仮定を片側に弱めた形で、Lean では

theorem hup_is_gap_positivity_of_lower {CP xi mlat K κ : ℝ}
    (hmlat : 0 < mlat) (hCP : κ / mlat ^ 2 ≤ CP) (h : CP ≤ K * xi ^ 2) :
    κ ≤ K * (mlat * xi) ^ 2

LeanLatticeGauge.HupBridge.hup_is_gap_positivity_of_lower（仮定：$0\lt m_{\rm lat}$・$\kappa/m_{\rm lat}^2\le C_P$・$C_P\le K\xi^2$。結論：$\kappa\le K(m_{\rm lat}\xi)^2$）。$\kappa=1$ と置くと (16) の左の定理が戻ります（hup_is_gap_positivity_recovered）。H↓ の側の (16) の右は $C_P\le1/m_{\rm lat}^2$（難しい側）を使うので、片側の橋では弱められません。

(19) が質量ギャップの側の文になるための条件を並べます。第一に、$\kappa$ が $\beta$ に一様であること。場で測る目盛り $\mathcal E_A$ では $\kappa$ は結合に依らない数で（値は群の計量の正規化の約束に依る）、条件は満たされます。リンクの角度で測る $\mathcal E_\vartheta$ では $\kappa\propto g^2\to0$ で、(19) は $m_{\rm phys}^2\gtrsim g^2/C$、つまり対数の分だけ損をします（表 3 の (γ)）。第二に、時間の扱いです。命題 B は時間を連続に取った格子（空間だけを格子にした Hamiltonian の格子）の文で、時間も刻む Wilson 測度では、基底状態変換の恒等式 (18) にあたるものがありません。刻み 1 の時間の格子では、転送作用素 $\hat T$（最大固有値で割ったもの）の二番目の固有値を $q=e^{-\Delta}$ として、隣の時刻の増分と勾配を比べる仮定