2026-10-09 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 11 部 今後の考察保存が壊れる長さ・座標・二次元の試験台 · Kiichi, Shiori and Rin

物差しと座標を選び直す — 保存が壊れる長さ

仮定 H は冪の文 $\lim\ln C_P/\ln\xi=2$（10-01 の (13)）で、緩和の時間 $C_P$ を一つの長さ $\xi$ の二乗と比べます。第 10 部はこの $\xi$ を相関長 $1/m_{\rm lat}$ とし、その代わりに記帳の長さ $\xi_{\rm RG}$ を使いました（10-01 §07）。ところが 11-01 の型では、遅さを決めるのは相関長ではなく「大域の量 $Q$ を壊す出来事の尺度」でした。そこで、比べる相手の候補を三つに分けておきます。

(a) 静的な相関長 $\xi$。平衡の測度だけで決まる、二点の相関が減る長さです。四次元では $\xi=1/m_{\rm lat}$。二次元の $U(1)$ の帯では、帯の一行が軸ゲージで一次元の回転子の鎖になり、Wilson ループが面積で減る長さ（弦張力の逆数）

がこれに当たります（$I_\nu$ は変形 Bessel 関数。式は標準の計算で、この本では原典を確かめていません 仮）。

(b) 保存が壊れる長さ $\ell_*$。部分領域 $R$ の中の大域の量（電荷） $Q_R$ は、二つの道で変わります。境界を通って流れ出る輸送の道（時間は $R^2$ の程度）と、領域の中で保存が破れる道（転位・巻き付き）です。二つが釣り合う長さが $\ell_*$ です。11-01 の (7) の交差の長さ $R_*$ は、その静的な版でした。測度だけの量で書く候補の定義は

です 見。11-01 の (7) の見積もり $\operatorname{Var}/\mathcal E\approx\chi_tR^2/(hR^2+d\lambda_W)$ を入れると $S=\chi_t/h$ で、半分に届くのは $hR^2=d\lambda_W$ のとき、すなわち $\ell_*=R_*$ です 仮（(7) の見積もりの上）。保存が破れない（$h=0$）なら $S=\infty$ で $\ell_*=\infty$ となり、後の §02 の Gauss 近似の層の流束（保存がちょうど成り立つ）と合います。正確には、比を $R^2$ と比べる「$\operatorname{Var}/\mathcal E\le KR^2$ となる $R$ の上限」という形の定義は、(7) の見積もりでは比を $R^2$ で割った量が $R$ について減るので、条件を満たす $R$ の集合は上に開いた半直線か空になり、上限は無限か定まらず、長さを決めません。(2) は飽和の値の半分で切ることでこれを避けています。

(c) 大域の量が一つ動く時間 $\tau_{\rm glob}$。長さではなく時間です。周期の箱の位相電荷 $Q$ の積分自己相関時間 $\tau_{\rm int}(Q)$ がその代表で、可逆な力学なら $\tau_{\rm int}(Q)\le C_P$（11-01 の (1)）です。

三つは同じ模型の中で別の値を取りえます。0+1 次元の二重井戸では、遅い量（キンクの数）と相関長が同じキンクから生まれ、三つは対数の差しか持ちません（11-01 表 3）。§03 の二次元の帯では、(a) は $\beta$ について一次、(b)(c) は指数で伸び、三つが離れていきます。H がどの物差しの文かは、模型を決めても自動では決まりません。

この節が言えている範囲：(2) は定義の候補で、四次元の $\ell_*$ の値はこの本にありません。(1) の $\xi_{XY}$ は帯の静的な長さとして使うだけで、四次元の相関長の代わりにはなりません。

Poincaré 定数 $C_P=\sup\operatorname{Var}(f)/\mathcal E(f)$ の分母は Dirichlet 形式で、どの変数の勾配で測るかを決めないと定まりません。変数を定数倍に付け替えると $C_P$ が定数倍変わることは第 2 部で見ました（2-10 の「定数のほかの違い」：リンクの角で測るか場で測るかで $\beta$ 倍）。この節では、座標の選び方で $C_P$ の伸び方の型が変わる例を置きます。

舞台。階層格子は、格子を入れ子の箱に置き換えて繰り込みの一段が書き下せるようにした格子です。ゲージ場では Ito（1984）が、Migdal–Kadanoff の近似の再帰がちょうど成り立つ三次元の格子を作り、高い次元への延長は読者に委ねると書いています 典。この本は二倍ずつ粗くする四次元の版を自分で定め（各層が一辺 $L=2^N$ の二次元の周期の格子で、水準 $r$ のボンドは $4^r$ 枚の層で同一視される）、その上の Gauss 近似（$U(1)$、または $SU(2)$ の Lie 環の一成分への線形化）だけを扱います 仮（四次元の構成はこの本の延長）。

木の座標。プラケットの値（節点のホロノミー）を変数に取ると、Gauss 近似では配位の空間は線形部分空間 $S$ で、平衡の測度は $S$ の上の密度 $e^{-\beta|x|^2/2}$、Langevin のポテンシャルの Hesse 行列は $S$ の上で $\beta I$ です。

初 証明。単位の計量の Ornstein–Uhlenbeck 過程で、ドリフトの行列が $\beta I$ なので、生成作用素の隙間は $\beta$ です。∎ Lean HierLink.tree_no_decay（束 LatticeGaugeHierarchicalLink。仮定：$0\lt\beta$。比が 1 であることの算術だけ）。段数を増やしても、つまり格子をどれだけ大きくしても、この座標では緩和は遅くなりません。非可換の流れで相関長が伸びても粗い水準は Haar に近く $C_P=O(1)$ のまま、と見込まれ 見、木の座標では H は偽か空虚です。

リンクの座標。第 10 部の H が名指すのはリンク変数の Langevin です（10-01 §04）。Gauss 近似のリンクの生成作用素は $\beta\,D\Pi D^*$（$D$ はリンクからプラケットへの外微分、$\Pi$ は同一視の射影）で、その最小の正の固有値は

です 初（紙：層の関数を階層の射影で区画に割ると、区画 $k$ のブロックの作用素は一辺 $2^{k+1}$ の二次元の双対格子の Neumann Laplacian になり、最小は区画 $k=N-1$ の一辺 $2^N$ の値）読（$N\le2$ で直接の全スペクトル、$N=3,4$ で区画の別の実装と一致）。生成作用素の隙間は $\beta\lambda_{\min}$ で、一辺の二乗に反比例して小さくなります。Lean HierLink.lam_le（仮定なし：$4\sin^2(\pi/2^{N+1})\le\pi^2/4^N$。遅さの向きの上界で、$\lambda_{\min}$ がこの式に等しいことは Lean の外）・HierLink.measured_scaled（測った $\lambda_{\min}(4)$ の区間を仮定に $4^4\lambda_{\min}\in(9.83,9.84)$）。

表 1 の札：木の座標の列は (3) で 初。リンクの座標（原格子の計量）は (4) の閉じた式と計算の一致 初読。類ごとの計量（同一視したボンドを一つの変数として動かす）は計算だけ 読 で、原格子の計量の 1.0〜1.74 倍です。四次元の原格子のゲージ商は $N\le2$ で原格子の計量と $10^{-9}$ まで一致 読。最小の固有ベクトルは、全ての $N$ で同じ区画（層の四つの最上位の組の対比）に載っています 読。

遅さの出所は流束の保存。リンクを動かすと、プラケットの値（流束）は隣どうしで受け渡されるだけです。

流束のむらは拡散でしか均されず、一辺の二乗の時間がかかります（第 2 部の保存する力学＝model B の型、2-10 の寄り道）。決め手は表 1 の最後の列です。層を切り離して全てのボンドを層ごとの独立な変数にすると、静的にはプラケットはほぼ独立（総和の拘束だけ）で相関の長さは 0 なのに、最小の固有値は $4\sin^2(\pi/L)$ で同じ $L^{-2}$ の型が残ります 初。したがってこの遅さは相関長から来ていません。Gauss 近似のプラケットの静的な相関は $-\beta^{-1}R^{-4}$ の程度の質量の無い減り方で、$\beta$ は流れず（四次元で結合が無次元であることの Gauss 近似での姿、11-07）、相関長は体積で切られるだけです 初。

帰結。仮定 H は測度だけの文ではなく、（測度・Dirichlet 形式）の組の文です 見。木の座標とリンクの座標は同じ平衡の測度を持つのに、前者では $C_P$ が段数に依らず、後者では一辺の二乗で伸びます。第 2 部の「座標で $C_P$ が定数倍変わる」は伸び方の冪を変えませんでしたが、ここでは冪そのもの（$N^0$ と $4^N$）が変わります。第 10 部の H はリンク変数の Langevin を名指しているので、この点は既に満たしています。熱浴や過緩和の数値をリンクの Langevin の $C_P$ に読み替えるのは仮定です（2-10 §「熱浴と Langevin を同一視しない」）。そしてリンクの座標でも、Gauss 近似では保存がちょうど成り立つので (2) の $\ell_*$ は無限で、「$C_P\propto L^2$」と相関長を比べることには意味がありません。比べるのは、群がコンパクトであることや非可換であることが流束の保存をどの長さで壊すか、という Gauss 近似の外の量です。次の節はその最初の測りです。

この節が言えている範囲：階層模型は平行移動と回転の不変性を欠き、四次元のヤン–ミルズに何も含意しません。四次元の構成は原典の三次元の構成のこの本の延長です。数は Gauss 近似の数で、$N\le4$ です。

模型。前節の層の一枚を細い帯に切り出します。プラケット $(x,y)$、$x=0,\dots,M-1$、$y=0,1$（幅 $W=2$）、外周のリンクは全て角 0 に止め、内部のリンクを作用 $S=-\beta\sum_p\cos\varphi_p$ の Langevin $d\theta_\ell=-\partial_\ell S\,dt+\sqrt2\,dB_\ell$ で動かします（単位の計量）。内部の頂点のゲージ変換はプラケットの角 $\varphi_p$ を変えないので、ゲージ不変な関数の上ではリンクの生成作用素は $\varphi$ の上の拡散に落ち、その計量はプラケットの双対グラフの Neumann Laplacian です 初。平衡の測度はプラケットごとに独立な $e^{\beta\cos\varphi}$ を $\sum_p\varphi_p\equiv0\ (\mathrm{mod}\ 2\pi)$ で条件づけたもので、プラケットどうしの静的な相関はほぼありません。

Gauss 近似では保存がちょうど成り立つ。$\sin\varphi\to\varphi$ とすると、最小の隙間は $\beta\cdot4\sin^2(\pi/2M)\approx\beta\pi^2/M^2$ で、帯の長さの二乗に反比例します 初（Lean ConsLen.neumann_gap_lower・ConsLen.neumann_gap_upper、束 LatticeGaugeConservationLength。仮定：$1\le M$。$4/M^2\le4\sin^2(\pi/2M)\le\pi^2/M^2$。隙間がこの式に等しいことは Lean の外）。

群がコンパクトだと保存が破れる。一枚のプラケットの角が $\pm\pi$ を越える出来事（巻き付き）で、角を $(-\pi,\pi]$ に縮めた和

（帯の位相電荷、外周が止まっているので整数）が一つ変わります。巻き付きは高さ $2\beta$ の障壁を越える稀な出来事です。測るのは二つの量です。流束の双極子 $X=\sum_pw_p[\varphi_p]$（$w_p=\cos(\pi(x+\tfrac12)/M)$、Gauss 近似の最も遅いモード）の $\lambda_X:=1/\tau_{\rm int}(X)$ と、位相電荷の $\lambda_Q:=1/\tau_{\rm int}(Q)$ です。可逆な力学では $\tau_{\rm int}\le C_P$（11-01 の (1)）なので、どちらも隙間の上界として読みます。保存が壊れる長さは、$\lambda_X=A/M^2+B$ を当てはめて $\ell_c:=\sqrt{A/B}$（拡散の速さ $A/M^2$ が飽和の値 $B$ に等しくなる長さ）と定めます。

表 2 の札は全て 読 です。「紙の見積もり」は試験関数の容量の見積もり（巻き付きの戻りを容量で最適化した試験関数を入れた上界の、二項が等しくなる長さ。$\beta$ が大きいとき $e^\beta\sqrt{\pi/(6\beta)}$）の数値積分の値で 仮（独立近似の上の見積もり）、測った $\ell_c$ と同じ桁です。

傾き。$\beta=2,\dots,6$ の重みつき直線で

• $\ln\ell_c$ の傾き $a=0.916(21)$。区間で割ると $\beta=2$〜$4$ で $0.988(34)$、$4$〜$6$ で $0.834(46)$。
• $-\ln\lambda_Q$ の傾き $b=1.355(18)$。区間で割ると $1.286(28)$ と $1.520(57)$（差は $3.7\sigma$）。
• 合成 $\pi/\sqrt{E\lambda_Q}$ の $\ln$ の傾きは $0.884(9)$ で、どの区間でも $0.879$〜$0.884$。

読 Lean ConsExp.lc_slope_2_6（束 LatticeGaugeConservationExponent。仮定：$\ell_c(2)\in[3.09,3.49]$・$\ell_c(6)\in[125,153]$、測った $1\sigma$ の区間。結論：$a\in[3/4,1]$）・ConsExp.lamQ_slope_2_6（$\lambda_Q(2)$・$\lambda_Q(6)$ の $1\sigma$ の区間を仮定に $b\in[5/4,3/2]$）。束が保証するのは区間の算術だけです。

静的な長さと比例しない。静的な長さ $\xi_{XY}\approx2\beta$ は $\beta$ について一次で、五点で約 4 倍にしかなりません。保存が壊れる長さ $\ell_c\propto e^{0.92\beta}$ は 42 倍になり、比 $\ell_c/\xi_{XY}$ は $1.2$ から $12.8$ に開きます 読。§01 の三つの物差しのうち (a) と (b) が、同じ模型の中で指数で離れていく例です。帯が $\ell_c$ より長いと、緩和は帯の長さに依らなくなり、$Q$ が一つ動く時間で決まります。

条件：二次元 $U(1)$・幅 2・外周凍結・単位の計量のリンクの Langevin のゲージ商・$\beta=2,\dots,6$・帯の長さ $M\le256$・$\tau_{\rm int}$ は隙間の上界としての読み・当てはめの形 $A/M^2+B$（$\beta=2$ は $\chi^2/\text{自由度}=3.3$ で形が合っていない）。$\beta\to\infty$ の指数については何も言いません。

表 2 の $\rho$ の列は、二つの量が一つの過程であることを示します。流束の双極子 $X$ の緩和は、Gauss 近似の剛性を $1/E$ に替えた速さ $\mu_1(M)/E$（$\mu_1\approx\pi^2/M^2$）で $M^{-2}$ に下がり、位相電荷 $Q$ の緩和の率 $\lambda_Q$ は帯の長さに依りません。拡散が長さ $\ell$ を渡る時間が、$Q$ が一つ動く時間に等しくなる長さは

で 初（代数）Lean ConsExp.lc_eq_iff（仮定：$0\lt E$・$0\lt\lambda$・$0\lt\ell$）、測った $\ell_c$ との比 $\rho$ は五点で $0.80$〜$1.03$ です 読。保存が壊れる長さは、位相電荷が一つ動く間に流束が拡散で渡る距離と読めます。流束の双極子が $M^{-2}$ から外れることと、位相電荷が緩和することは、同じ巻き付きの二つの顔です。

$\beta=8$ の一点がこの読みを補います。帯の長さ 64 まで $X$ は $M^{-2}$ を保ちます（Gauss の剛性との比 $0.86$〜$1.03$）が、帯の長さ 32 で $\tau_{\rm int}(Q)=5.3(1.7)\times10^3$（走りの長さ $10^6$・$\operatorname{Var}Q=0.145$）と、$X$ の値の約 $1/380$ の遅いモードが現れます 読。$\operatorname{Var}Q$ が小さい（$Q\ne0$ が稀な区画）ので、この点は傾きに入れていません。

この節が言えている範囲：$\ell_c$ は $X$ の緩和の折れの長さで、隙間そのものの折れの長さではありません（$Q$ を含めると $\beta=4$ の隙間の上界は $M\approx8$〜$16$ で既に飽和します）。帯の位相電荷が四次元の位相電荷と同じものだとは主張しません。

測る前の紙の予想は「$\lambda_Q\propto\beta e^{-2\beta}$」（障壁 $2\beta$ の Kramers の率）で、傾き $b$ は 2 の近くのはずでした。測った $b=1.355(18)$ はそれより緩く、しかも $\beta$ の前後で割れました（表 2 の下）。割れの出所を探すために、緩和の率を二つの因子に分けます。$Q$ は $\pm1$ の跳びの酔歩に復元力が掛かった鎖と見なせるので、跳びの総率 $WM\nu$（$\nu$ は一枚のプラケットあたりの巻き付きの率）と分散 $\operatorname{Var}Q\approx WM\,E/(4\pi^2)$ から

の形が出ます 仮（鎖の見立て。$\kappa$ は生の数え方の補正。命題 B の比べの定数 $\kappa$（11-A1）とは別の量）。分子の $\nu$ は生の率（力学の量）、分母の $E$ は静的な揺らぎ（測度の量）です。対数を取ると

です 初（代数）Lean ConsExp.lamQ_log_split（仮定：$0\lt\kappa$・各量が正）。

巻き付きの生の数 $\nu_{\rm raw}$（$\pm\pi$ を越えた回数）を数えると、次のことが分かりました 読。

• $\kappa=\lambda_QE/(2\pi^2\nu_{\rm raw})$ は $\beta=3,4,5,6$ で $0.167,\ 0.165,\ 0.158,\ 0.167$ と一定です（生の数は $\pi$ の近くの往復も数えるので、実効の越えはその約 $1/6$）。
• 生の率の傾き $-d\ln\nu_{\rm raw}/d\beta$ は区間 $3\to4,\ 4\to5,\ 5\to6$ で $1.73,\ 1.75,\ 1.79$ で、Kramers の率 $\beta e^{-2\beta}$ の傾き $2-1/\beta$（区間の中点で $1.71,\ 1.78,\ 1.82$）と 1〜3% で合います。
• 静的な因子 $\ln(1/E)$ の傾きは $0.38,\ 0.27,\ 0.21$ で、$\beta$ とともに減ります（Gauss の値 $1/E\approx\beta$ に近づく）。

(9) から $b=(\text{生の率の傾き})-(\ln(1/E)\ \text{の傾き})$ で、後者が $\beta$ とともに減るので $b$ は $\beta$ とともに増えます。これが割れの正体です。紙の予想は静的な因子 $1/E$ を落としていました。直した形は $\lambda_Q\propto\beta e^{-2\beta}/E$（$\beta$ が大きいとき $\propto\beta^2e^{-2\beta}$、$b\to2-2/\beta$）で、測った $b$ と同じ向きです 見。合成 $\pi/\sqrt{E\lambda_Q}$ では $E$ が打ち消し合って $\nu^{-1/2}$ だけが残るので、傾きは生の率の傾きの半分（約 $0.88$）で全区間一定になります。表 2 の下の三つ目の傾きがこれです。

正確には、この分け方は割れを見た後に足した検査で、事前に登録した予測の中にはありませんでした。また、$\beta\to\infty$ の指数（$b\to2$ かどうか）は、この五点からは何も言えません。

見方として残すもの 見：大域の量の緩和の率は、「出来事の率」（力学・障壁）と「その出来事一回で大域の量がどれだけ動くかを測る静的な揺らぎ」（測度）の積に割れます。四次元の位相電荷について原典が書く一ループの勘定（11-07 §02）も、出来事の密度の指数だけを数えています。静的な因子が指数の読みを動かすかは、四次元では確かめていません。

帯の中で、静的な長さ $\xi_{XY}$ を物差しに $\tau(Q)$ を測ると、$\tau(Q)/\xi_{XY}^2$ は $\beta=4$ で約 $0.4$、$\beta=8$（帯の長さ 32）で約 $24$ です 読。$C_P\ge\tau_{\rm int}(Q)$ なので、$C_P/\xi_{XY}^2$ も $\beta$ とともに伸びます。静的な相関長だけを物差しにした「$C_P\lesssim\xi^2$」は、この玩具の中で $\beta$ とともに破れる向きです（11-01 の型の (c) の行）。そこで、比べる相手に大域の量の時間を加える形を候補として置きます。

見。これが H を直す向きの一つです。もう一つの向きは、試験関数の側を時刻と空間に局所な族に限ることで（11-03 §02）、そこでは箱が $\ell_*$ より小さい限り大域の量の時間は入らない見込みです（§07）。

(10) には三つの弱点があります。(i) $\tau_{\rm glob}$ を同じ力学の $\tau_{\rm int}(Q)$ で定めると、(10) は $\tau_{\rm int}(Q)\le C_P$ の言い直しに近く、中身を持ちません。中身を持たせるには、$\tau_{\rm glob}$ を力学と独立に決める必要があります。候補は §05 の分け方（障壁の率と静的な揺らぎ、$\tau_{\rm glob}\approx E/(2\pi^2\kappa\nu)$）か、(2) の静的な $\ell_*$ から拡散の時間 $\ell_*^2/D$ を作ることです 見。(ii) 帯の数が見ているのは (10) の下の側 $C_P\ge\tau_{\rm glob}$ だけで、$C_P$ を上から押さえる数は一つもありません。$\beta=4$ では $\tau(Q)\approx17$ に対し $\xi_{XY}^2\approx46$ で、$C_P$ が $\xi_{XY}^2$ の側にあるかは測っていません。(iii) 四次元では $\tau_{\rm glob}$ の候補は周期の箱の位相電荷で、その測りは原典の熱浴・HMC の数で、Langevin への読み替えは仮定です（11-01 §06）。

この節が言えている範囲：(10) は候補の言い直しで、どの模型でも示していません。第 10 部の H を (10) で置き換えることも提案していません。H を鋭く立てたからこそ、比べる相手が一つでは足りない場所が名指せた、という順の記述です。

なぜこの模型か。二次元の $CP^{N-1}$ 模型は、四次元のヤン–ミルズと同じ二点——結合が無次元であることと、尺度を持たないインスタントン——を持ち（11-07）、群の大きさの役をする $N$ を動かせます。周期の箱で位相のモードの自己相関が $\xi=2$〜$6$ で $\exp(1.72\,\xi)$ の型に伸び（$N=21$、Hasenbusch 2017）、$N$ とともに悪くなる（Del Debbio–Manca–Vicari 2004・Berni–Bonanno–D'Elia 2019）という一次資料があります 典。開いた境界では伸びが $z\approx1$ に戻るとも報告されています 典。

設定。作用は Hasenbusch の形 $S=-\beta N\sum_{x,\mu}(\bar z_{x+\mu}z_x\lambda_{x,\mu}+{\rm c.c.}-2)$（$z_x\in\mathbb C^N$・$|z_x|=1$、$\lambda\in U(1)$）、位相電荷はプラケットの角の和 $Q=\frac1{2\pi}\sum\theta_{\rm plaq}$ です。力学は熱浴（サイトとリンク）に過緩和を $n_{\rm ov}$ 回混ぜたもので、Langevin ではありません。ここで測る自己相関は熱浴の掃きの単位で、Langevin の $C_P$ への読み替えは仮定です（2-10）。局所の量は一辺 $R$ の箱の三つ：エネルギー $E_B$、箱の位相電荷 $q_B$、箱の「磁化」$m_B$ です。

二次元の参照は四次元と性格が違う。11-03 の比の形 $K_{\rm rel}$ の参照（無質量の自由場の箱の値）は、二次元では箱の大きさ $R$ に加えて格子の一辺 $L$ の対数で発散します（連続の核 $-\tfrac1{2\pi}\ln|z|$ の定数の部分が箱の平均に載る）初。箱の平均を除けば有限で、$1/R^2$ の外挿で約 $0.0548$ です 読。さらに、平均 0 の量でも自由場の Langevin の自己相関は $\ln L$ で伸びます 読（$R=16$ の箱で、格子の一辺 64 から 1024 で 36 から 119）。そこでこの試験台の比は、格子の一辺 $L=64$ を固定した自己相関の比 $K_{\rm rel}(c;\text{量}):=\tau(\text{量}_B(c\xi))/\tau^{\rm free}(D_B(c\xi))$（$D_B$ は自由場の箱の Neumann の最初のモード、同じ算法・同じ $L$）と $K_{\rm glob}:=\tau(Q^2)/\tau^{\rm free}(D_B(4\xi))$ で、11-03 の静的な比とは別の量です。

陽性対照。$N=21$・$\beta=0.70$・$L=44$・$n_{\rm ov}=6$ の二本（走りの長さ 70000 掃き）で、$\tau_{\rm int}(Q^2)=160(26)$（Hasenbusch の表 II の $199(18)$ の 0.80 倍、事前に決めた帯 $[139,259]$ の中）、エネルギーの差 $-9\times10^{-6}$、$\xi$ の差 $-0.1\%$ で通過しました 読。

表 3 の札は全て 読 です。$N=21$・$n_{\rm ov}=0$ の $\tau(Q^2)$ は走りの長さが約 $11\tau$ しかなく、下界の扱いです。

読めること。

1. 位相電荷の凍結は $N$ で割れる。$\xi\approx4$ で、$\tau(Q^2)$ は $N=21$ 対 $N=2$ で、過緩和ありで $154$ 対 $0.50$（約 300 倍）、純粋な熱浴で $3874$ 対 $0.73$（約 5000 倍、前者は下界の扱い）です 読。
2. 局所の量の比は $N$ に依らず小さい。純粋な熱浴の対で、エネルギーと磁化の $K_{\rm rel}$ は $N=2,10,21$ でほぼ同じ（$E_B$ で 0.03〜0.35、$m_B$ で 0.25〜0.83）、一歩の Rayleigh 商の比（$1/(1-\rho(1))$ の自由場の値との比）も全て 1.1 以下です 読。凍る点での判定は「位相の凍結は箱 $4\xi$ までの局所の比を壊さない」の側でした。条件：$L=64$・$\xi\approx4$ の一点・一本ずつ・事後の枡（下）。凍る点は $(N=21,\ \xi\approx4)$ の一点だけで、$K_{\rm glob}=55$ は一本の誤差で $1\sigma$ の幅が 15〜95 あり、判定の閾 30 を越えるかはその誤差の中です。一点の、弱い読みです。
3. $\ell_*$ は $N$ とともに伸びる。箱の位相電荷の自己相関が大域の値に追いつく長さを表 4 に並べます。

読 $N=2$ では箱の電荷の自己相関が $R\approx8$〜$16$ で大域の値に飽和し、$N=10$ は $R=32$ で曲がり始め、$N=21$ は $R=32$ でも $R^2$ で伸びています。箱の電荷は境界を通る輸送（§01 の (b) の道）で $R^2$ の時間をかけ、大域の値に追いつく長さが $\ell_*$ の読みです。この模型のこの範囲では、凍結は $\ell_*$ より小さな箱の比を壊さず、$\ell_*$ を越える尺度の量にだけ乗る、という形です 見。表 3 で $N$ とともに割れるのが箱の電荷の $K_{\rm rel}(q_B)$ だけ（$c=4$ で $0.022\to0.83\to2.27$）なのは、この追いつく長さの違いの反映と読みます。11-03 の言葉では、局所の H は輸送の係数 $d$ を、全体の H は保存の破れの係数 $h$ を問うので（11-03 §05）、局所の比が凍結の影響を受けないという見込みの、二次元での一つの姿です。片側の橋が要るのは局所の側だという 11-04 の結論（11-04）とも向きが合いますが、ここの比は自己相関の比で、橋の閾の比（静的な比）ではありません。

開示しておくこと。

• 登録の判定は定義できなかった。事前に登録した判定は過緩和を混ぜた力学（$n_{\rm ov}\gt0$）の比でしたが、過緩和は自由場の参照の自己相関を振動させ、$\tau^{\rm free}(D_B)$ が $0.33$〜$0.54$ と 1 を下回りました。分母が 2 未満の比は定義しないという規則（本番の前に足した）により、登録の比は全て「定義できない」でした。上の読み 2・3 は、登録を固めた後に別の枡として足した純粋な熱浴の対の数です。
• 動的指数 $z_Q(N)$ は読めない。各 $N$ で $\xi$ が一点しかありません。判定の台本は $N=21$ に負の指数を印字しましたが、二点目は位相電荷が一度も変わらなかった（丸め誤差だけの）列に台本が小さな自己相関を返した作り物で、捨てました。
• $N=2$ の位相電荷には紫外の札が付く。$N=2$ では位相感受率の二つの定義（プラケットの角の和と Berg–Lüscher の三角形の定義）が 13〜14% 違い、$N=10,21$ では 0.1〜3% でした 読。$N=2$（$O(3)$ と同じ模型）の格子の位相感受率には紫外の問題があることが知られていると理解しています 仮（記憶・原典は取っていない）。$N=2$ が凍らないのは、格子の尺度（紫外）が $Q$ を決めている側だからかもしれません 見。だとすると $N=2$ の速さは「凍結が弱い」ことではなく「$Q$ が連続の意味の位相電荷になっていない」ことの影で、$SU(2)$ との類比（11-07）はこの留保つきです。
• 走りの長さを登録より縮めた本があり（一本の時間の上限のため）、統計は粗いです。開いた境界の陰性対照は走らせていません。

この節が言えている範囲：二次元の $CP^{N-1}$・この作用とこの算法（熱浴と過緩和）・$L=64$・$\xi\approx4$ の一点の数で、四次元・$SU(N)$・仮定 H・質量ギャップについては何も言いません。

(a) 二次元と四次元。§03〜§07 の数は二次元の $U(1)$ の帯と二次元の $CP^{N-1}$ の数です。二次元 $U(1)$ は連続極限で自明な理論で、どちらの数も四次元・非可換・$\beta\to\infty$ の指数について何も含意しません。

(b) 上界の読み。$\lambda_X$・$\lambda_Q$ は隙間の上界（$C_P$ の下界）としての読みで、隙間そのものではありません。$\ell_c$ は流束の双極子の緩和の折れの長さで、当てはめの形 $A/M^2+B$ に依ります。

(c) 候補。(2) の $\ell_*$ と (10) の比べる相手は候補で、どの模型でも示していません。帯の数が見ているのは (10) の下の側だけです。

(d) 階層格子。結果は Gauss 近似の数で、四次元の構成は原典の三次元の構成のこの本の延長です。階層模型は平行移動と回転の不変性を欠き、四次元のヤン–ミルズに含意しません。

(e) 試験台の条件。$CP^{N-1}$ の比は熱浴の力学の自己相関の比で、$L=64$ を固定した条件つきの量、11-03 の静的な比とは別の量です。各 $N$ で $\xi$ は一点、凍る点は一つ、局所の比の判定は登録の後に足した枡の上の一点の弱い読みで、登録の判定は定義できませんでした。$z_Q(N)$ は読めていません。

(f) 後付け。§05 の生の率と静的な揺らぎの分け方は、割れを見た後に足した検査です。

(g) $SU(2)$ との類比。$N$ で凍結が割れることを、$SU(2)$ の境目の読みの二次元の類比として使うのは見立てで、$N=2$ には紫外の札が付きます（11-07）。

機械検査の欄が保証するのは算術と代数と区間の比較だけです。固有値が閉じた式に等しいこと・$\tau_{\rm int}\le C_P$ のスペクトル表示・当てはめ・Monte Carlo は Lean の外にあります（10-13）。

依存グラフ（前提の番号は結論の番号より小さい）：

[01] 仮 GA     Gauss 近似・階層格子の四次元の延長               N ≤ 4
[02] 初 TREE   木の座標で λ₁ = β ⟸ [01]                        Lean tree_no_decay
[03] 初 LINK   リンクの座標の λ_min(N) ⟸ [01]                   Lean lam_le（上界）
[04] 読 CHK    N ≤ 4 の照合 ⟸ [03]                             Lean measured_scaled
[05] 初 FLUX   層を切り離しても L⁻² ⟸ [01]
[06] 見 PAIR   H は（測度・形式）の組の文 ⟸ [02][03][05]
[07] 初 NG     帯の Gauss の隙間                                Lean neumann_gap_lower/upper
[08] 初 TI     τ_int ≤ C_P（11-01 の (1)）                      Lean tau_int_le_CP
[09] 読 BAND   帯の五点 ℓ_c・λ_Q・a・b ⟸ [07][08]               Lean lc_slope_2_6・lamQ_slope_2_6
[10] 初 LC     (7) の代数                                       Lean lc_eq_iff
[11] 読 RHO    ρ = 0.80〜1.03 ⟸ [09][10]
[12] 初 SPL    (9) の分解                                       Lean lamQ_log_split
[13] 読 KR     生の率と κ（後付け） ⟸ [09]
[14] 見 EF     紙の予想は 1/E を落としていた ⟸ [12][13]
[15] 読 TQ     τ(Q)/ξ_XY² が 0.4 → 24 ⟸ [08][09]
[16] 見 MAX    比べる相手 max(ξ², τ_glob) ⟸ [06][11][15]
[17] 読 PC     CP^{N−1} の陽性対照
[18] 読 SPLIT  τ(Q²) が N で割れる ⟸ [17]
[19] 読 LOC    局所の比は N に依らず小さい ⟸ [17]              事後の枡・一点
[20] 読 QB     追いつく長さが N で伸びる ⟸ [17]
[21] 見 UV     N = 2 は紫外が Q を決めている側か ⟸ [18]
[22] 見 ELL    凍結は ℓ_* を越える量にだけ乗る ⟸ [19][20]

確かめ方は、全ての「⟸」の右の番号が左の番号より小さいことを目で見ることです。円はありません。この章の結論の節点 [06][16][22] はどれも「見」で、四次元の節点も、質量ギャップの節点もありません。二次元の読み [09]〜[22] は四次元の行のどれの前提にも入りません。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 三つの物差し・保存が壊れる長さ $\ell_*$（$\ell_c$）・Dirichlet 形式（座標）・木の座標とリンクの座標・流束の保存・巻き付き・帯の位相電荷・流束の双極子・生の率と静的な揺らぎ・大域の量が一つ動く時間・二次元の試験台。意味は A-02 用語集 と 11-A1 にあります。

次に読む章：11-03 区画の H と局所の H — 型を避けて H を述べ直す二つの形。四次元に固有のこと（なぜ二つの長さが割れるのか）は 11-07 で扱います。

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