computo ergo sum

2026-10-09 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 11 部 今後の考察 — 仮定 H の先と、別の見方記号・定義の場所・単位 · Kiichi, Shiori and Rin

この本の全体　目次と読む順
  1. 第 0 部 入口 — この本の読み方
  2. 0-01 この本の読み方
  3. 0-02 一枚の絵
  4. 0-03 問題文を一語ずつ読む
  5. 0-04 数学の四次元と物理の四次元
  6. 第 1 部 数学の準備
  7. 1-01 ベクトル空間と線形写像
  8. 1-02 群とは何か
  9. 1-03 リー群とリー環
  10. 1-04 SU(2) と SU(3)
  11. 1-05 多様体と接空間
  12. 1-06 微分形式と外微分
  13. 1-07 ベクトル束と接続
  14. 1-08 確率と測度
  15. 1-09 無限次元の確率
  16. 1-10 ヒルベルト空間と自己共役作用素
  17. 1-11 フーリエ解析と分布
  18. 1-12 寄り道：四次元でだけ起きること
  19. 第 2 部 物理の準備
  20. 2-01 ラグランジアンと作用
  21. 2-02 場という考え
  22. 2-03 電磁気学はゲージ理論である
  23. 2-04 特殊相対論と時空
  24. 2-05 量子力学の骨
  25. 2-06 調和振動子と生成消滅
  26. 2-07 経路積分の考え方
  27. 2-08 統計力学と相転移
  28. 2-09 寄り道：イジング模型で見るギャップと相関長
  29. 2-10 緩和の時間と動的指数 z
  30. 第 3 部 ヤン–ミルズ理論（古典）
  31. 3-01 ゲージ原理
  32. 3-02 非可換ゲージ場
  33. 3-03 作用と方程式
  34. 3-04 幾何としてのゲージ理論
  35. 3-05 インスタントンと位相
  36. 3-06 寄り道：Donaldson とエキゾチック R⁴
  37. 3-07 標準模型の中のヤン–ミルズ
  38. 第 4 部 量子化
  39. 4-01 正準量子化とハミルトニアン
  40. 4-02 経路積分とユークリッド化
  41. 4-03 摂動論と Feynman ダイアグラム
  42. 4-04 発散と繰り込み
  43. 4-05 発散の代数
  44. 4-06 漸近自由
  45. 4-07 次元転移と Λ
  46. 4-08 ゲージ固定と Faddeev–Popov
  47. 4-09 場の量子論の公理
  48. 4-10 Osterwalder–Schrader の公理と再構成
  49. 4-11 質量ギャップの定義
  50. 4-12 寄り道：摂動級数は発散する
  51. 第 5 部 格子ゲージ理論
  52. 5-01 Wilson の格子
  53. 5-02 強結合展開
  54. 5-03 反射正値性と転送行列
  55. 5-04 無限体積極限とクラスター展開
  56. 5-05 弱結合と連続極限
  57. 5-06 U(1) と非可換の違い
  58. 5-07 モンテカルロ法
  59. 5-08 グルーボールと弦張力の測定
  60. 5-09 何を固定して極限を取るか
  61. 5-10 有限群の格子ゲージ理論
  62. 5-11 寄り道：Bakry–Émery と一リンク積分
  63. 第 6 部 構成的場の理論
  64. 6-01 構成的場の理論とは
  65. 6-02 二次元の可解性とヤン–ミルズ測度
  66. 6-03 スカラー場の構成
  67. 6-04 クラスター展開
  68. 6-05 繰り込み群の段の列
  69. 6-06 三次元ヤン–ミルズの紫外安定性
  70. 6-07 四次元
  71. 6-08 四次元の φ⁴ の自明性
  72. 6-09 確率量子化と正則性構造
  73. 6-10 四次元で止まる場所
  74. 6-11 発散以外の障害
  75. 6-12 寄り道：「1/0 に記号を与えれば」
  76. 第 7 部 物理の側から
  77. 7-01 物理はどう見ているか
  78. 7-02 閉じ込めの機構
  79. 7-03 弦の絵
  80. 7-04 大 N
  81. 7-05 ひも理論と余剰次元
  82. 7-06 余剰次元が見えなくなる仕組み
  83. 7-07 ゲージ場はどこから来るか
  84. 7-08 ホログラフィー
  85. 7-09 質量ギャップが幾何になる
  86. 7-10 四次元に戻す
  87. 7-11 超対称と Seiberg–Witten
  88. 7-12 等価原理に当たる一文
  89. 7-13 物理の掘り方が数学と離れる場所
  90. 第 8 部 二つの言葉の辞書 — 物理の視点と数学の視点
  91. 8-01 辞書の読み方
  92. 8-02 辞書 A
  93. 8-03 辞書 B
  94. 8-04 辞書 C
  95. 8-05 私たちの仮定の物理側の対応
  96. 第 9 部 現在地と課題
  97. 9-01 世界はどこまで来ているか
  98. 9-02 二つの掘り方の切れ目
  99. 9-03 新しい概念の候補
  100. 9-04 課題の一覧
  101. 9-05 よくある誤解
  102. 第 10 部 質量ギャップの証明へ向けて — 階段の一段目を組む
  103. 10-00 入口 — 階段と、酔歩・物差し・時計
  104. 10-01 構成の筋と仮定 H
  105. 10-02 四次元格子で試した道と壁
  106. 10-03 階段の四段 — なぜ 0+1 次元から始めるか
  107. 10-04 二重井戸の経路の測度とキンク
  108. 10-05 一段目の言明 — 四条件と命題 4.5
  109. 10-06 (H1) 相の中の局所 Poincaré
  110. 10-07 (H2) の地図 — 七つの道筋と環の継ぎ目
  111. 10-08 計算機援用とは何か — 窓の中の鎖の条件
  112. 10-09 区画の枠組みと道筋 5 の三本の筋
  113. 10-10 迂回策の一覧 — 壊れ方の型
  114. 10-11 (H3)(H4) と芯の定数
  115. 10-12 統合表と依存グラフ
  116. 10-13 Lean の言明と機械検査の限界
  117. 10-14 突き合わせ — 記録の数と既知の数
  118. 10-15 残件と費用 — 定理までの距離
  119. 10-16 主張しないこと
  120. 10-17 ひらめきと小さな問い
  121. 第 11 部 今後の考察 — 仮定 H の先と、別の見方
  122. 11-00 今後の考察 — 入口
  123. 11-01 H を妨げる一つの形 — ほぼ保存される大域の量
  124. 11-02 物差しと座標を選び直す — 保存が壊れる長さ
  125. 11-03 区画の H と局所の H
  126. 11-04 片側の橋はどの H を要るか
  127. 11-05 時間を連続にする — Hamiltonian 格子と真空の測度
  128. 11-06 凸性の代わりに稀さで払う — 群の上の繰り込みと対数 Sobolev
  129. 11-07 四次元だからこそ — 無次元の結合と位相
  130. 11-08 問いと、主張しないこと
  131. 11-A1 第 11 部の記号の対応表
  132. 付録
  133. A-01 記号表
  134. A-02 用語集
  135. A-03 文献案内
  136. A-04 Lean と機械検査
  137. A-05 この本の作り方
  138. A-06 仮定の索引

第 11 部の記号の対応表

この頁で分かること — 第 11 部で使う記号の一覧。各記号の意味・定義の場所・単位と、第 10 部の同じ字の記号と同じ量か別の量か。

前提となる章 — なし。第 10 部の記号は 10-01 §01 と A-01 記号表。

先に言うこと — 量は格子単位（格子間隔が 1）で数えます。Langevin の時間は長さの二乗の次元を持ち（拡散）、CPC_P を物理の単位で測った値は a2CPa^2C_P です。数は定義の章の条件の上の値で、札はその章にあります。

01

記号の一覧

表 1　第 11 部の記号（「同じ」は第 10 部の同じ字と同じ量、「新」は第 11 部で足した記号）
記号意味定義の場所単位（格子）／物理での読み第 10 部との対応
ℓ\ell外から与える長さの物差し（隙間と独立）。四次元では ξRG\xi_{\rm RG}、0+1 の二重井戸では 1/ωb=11/\omega_b=111-03 §02長さ／aℓa\ell新（四次元では 10-01 §07 の ξRG\xi_{\rm RG} と同じ量）
ξ\xi相関長 1/mlat1/m_{\rm lat}。0+1 では ℏ/Δ\hbar/\Delta10-01 の (1)・(17)長さ／aξa\xi同じ
ξRG\xi_{\rm RG}記帳の長さ（格子を粗くする段を数えて決めた長さ）=1/a=1/a10-01 §07長さ／1同じ
ξXY\xi_{XY}二次元 U(1)U(1) の帯の静的な長さ −1/ln⁡(I1(β)/I0(β))-1/\ln(I_1(\beta)/I_0(\beta))（弦張力の逆数）11-01 §02・11-02長さ新
R=cℓR=c\ell局所の窓・箱の一辺11-03 §03長さ新
cc窓の長さと物差しの比11-03 の (2)無次元新
D\mathcal D時間で均した汎関数の代数（重みの台が有界）11-03 の (1)—新（10-01 の (7) の上限を取る集まりを定めたもの）
Dc\mathcal D_c重みの台が窓 [0,cℓ][0,c\ell] に入る D\mathcal D の部分族11-03 の (2)—新
F1\mathcal F_1時刻で積分した一時刻の関数の族11-04—10-01 の命題 B の試験関数の族に名を付けたもの
CPC_PPoincaré 定数 sup⁡Var⁡/E\sup\operatorname{Var}/\mathcal E（経路の測度）10-01 の (7)。第 11 部では上限を D\mathcal D の上で取る長さの二乗（Langevin の時間）／a2CPa^2C_P同じ（10-01 表 3 の (β)）
CPloc(c)C_P^{\rm loc}(c)局所の Poincaré 定数（Dc\mathcal D_c の上の上限）11-03 の (2)長さの二乗新
CPloc,0(R)C_P^{\rm loc,0}(R)同じ箱・同じ目盛りの無質量の参照の値 =Γ(R)R2=\Gamma(R)R^211-03 の (4)(5)長さの二乗新
K(c)K(c)絶対の形の局所の H↑ の定数 CPloc(c)≤K(c)ℓ2C_P^{\rm loc}(c)\le K(c)\ell^211-03 の (3)無次元10-01 の (14) の CC（Lean の KK）の局所版
KrelK_{\rm rel}比 CPloc/CPloc,0C_P^{\rm loc}/C_P^{\rm loc,0}11-03 の (5)無次元新
Γ\Gamma参照の箱の値の係数 CPloc,0(R)/R2C_P^{\rm loc,0}(R)/R^2。スカラーで Γ∞=0.0740\Gamma_\infty=0.0740、ゲージ商で ΓQ=0.0277\Gamma_Q=0.027711-03 §03・表 1無次元新
λW\lambda_W試験の空間の中の箱の Dirichlet の値に R2R^2 を掛けたもの（スカラーで 4π24\pi^2、ゲージ商で 72.072.0）。窓の関数 WW では ∥∇W∥2/∥W∥2\|\nabla W\|^2/\|W\|^211-01 の (7)・11-03 表 1無次元新
κ\kappaLangevin の計量と運動項の計量の比べの定数（(A3)）。11-02 §05 の帯の生の率の補正 κ（κ_BE でも、この κ でもない）とは別の量10-01 の命題 B無次元同じ
κBE\kappa_{\rm BE}Bakry–Émery の曲率の下限。命題 B の比べの定数 κ とは別の量11-06 §01長さの逆二乗新
ss稀さの率（欠陥の重みが e^(−s/ħ) で落ちる指数）。第 10 部の ℓ と同じ量11-06 §03無次元（作用の単位）10-09 の稀さの指数 ℓ
K∗K_*橋の閾 κ/(λWΓ)\kappa/(\lambda_W\Gamma)11-04無次元新
ℓc\ell_c二次元 U(1)U(1) の帯で保存が壊れる長さ（流束の双極子の緩和の折れ）11-01 §02・11-02長さ新
ℓ∗\ell_*保存が壊れる長さ（一般の名。候補の定義は 11-02 の (2)：比が飽和の値の半分に届く最小の R）11-02長さ新
R∗R_*交差の長さ dλW/h\sqrt{d\lambda_W/h}（輸送と障壁の領分の境）11-01 の (7)長さ新
λQ\lambda_Q帯の位相電荷の緩和の率 1/τint(Q)1/\tau_{\rm int}(Q)11-02Langevin の時間の逆数新
τint\tau_{\rm int}積分自己相関時間11-01 の (1)・10-02 §05Langevin の時間（原典では掃き数・分子動力学の時間）同じ
mm隙間を時間の逆数で m=Δ/ℏm=\Delta/\hbar。四次元では mlatm_{\rm lat}10-01 の (1)・(17)長さの逆数同じ（mlatm_{\rm lat}）
mphysm_{\rm phys}物理単位の質量 mℓm\ell（四次元で mlatξRGm_{\rm lat}\xi_{\rm RG}）10-01 の (12)(16)無次元（物理の単位）同じ
Δ\Deltaハミルトニアンの隙間 E1−E0E_1-E_010-01 の命題 Bエネルギー意味を一つに限る（下の §02）
ωb\omega_b二重井戸の底の角振動数 V′′(±1)=1\sqrt{V''(\pm1)}=111-03 の (7)・11-04時間の逆数新（10-04 の模型の量）
S0S_0キンクの作用 2/32/310-04 §03作用同じ
φ(x)\varphi(x)窓の因子 1−(1−e−x)/x1-(1-e^{-x})/x10-01 の (17) の括弧・11-04無次元同じ（プラケットの角 φp\varphi_p とは別）
φp\varphi_p二次元の帯のプラケットの角11-01 §02・11-02角新
Q, QsQ,\ Q_s位相電荷・滑らかにした位相電荷。二次元の帯では Q=∑p[φp]/2πQ=\sum_p[\varphi_p]/2\pi11-01 §02・11-03 §04整数（QsQ_s は実数）10-01 §05 の注の QQ と同じ
χt, h, d, g\chi_t,\ h,\ d,\ g位相感受率・保存の破れの密度・輸送の係数・境界の層の係数11-01 の (4)(5)格子単位（h,d,gh,d,g は E\mathcal E の目盛りに依る）新
CPsec(n), CtransC_P^{\rm sec}(n),\ C_{\rm trans}区画の Poincaré 定数・区画の間の量11-03 の (8)(10)長さの二乗新
02

字が同じで意味を分けるもの

Δ\Delta。第 10 部の 10-01 では、(1) の Δ(β)=mlat/a\Delta(\beta)=m_{\rm lat}/a（物理単位の質量）と、命題 B の Δ=E1−E0\Delta=E_1-E_0（ハミルトニアンの隙間）の二つの意味で Δ\Delta を使いました。第 11 部では Δ\Delta を命題 B の意味 E1−E0E_1-E_0 に限り、物理単位の質量は mphysm_{\rm phys} と書きます。

KK。10-01 の (14) は H↑ の定数を CC と書き、Lean の定理は同じ定数を KK と書きます。第 11 部の K(c)K(c) はその局所版、KrelK_{\rm rel} は比の形の定数で、K∗K_* は橋の閾です。三つは別の量です。

φ\varphi。窓の因子 φ(x)\varphi(x) は引数つきで、二次元の帯のプラケットの角は添字つきの φp\varphi_p です。

QQ。四次元の位相電荷と二次元の帯の位相電荷は同じ字で書きます。どちらも「隙間に映らない大域の整数」で、11-01 の型の QQ の例です。二次元の数が四次元に何かを含意するわけではありません。

λ\lambda の付く記号。λ1\lambda_1（Langevin の隙間 =1/CP=1/C_P、10-01）・λW\lambda_W（箱の Dirichlet の値）・λQ\lambda_Q（帯の位相電荷の緩和の率）は、別の量です。

← 11-08 問いと、主張しないこと目次11-00 今後の考察 — 入口 →

改訂 2026-10-09：初版。
2026-10-09：表 1 に ℓ_* の候補の定義の場所、κ の二つの意味、κ_BE、稀さの率 s を足した。