2026-10-09 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 10 部 質量ギャップの証明へ向けて — 階段の一段目を組む迂回策 R1〜R24・殺した一行・壊れ方の型 · Kiichi, Shiori and Rin

迂回策の一覧 — 壊れ方の型

道筋 5 の残る一命題は、サイトの窓の対数 Sobolev 定数 $A_W$ が要る値 $A_{\max}$ の内にあることでした（10-09 §03）。迂回策は、この不等式の両辺のどちらか、または不等式の形そのものを動かす案です。

• 二十四本の結果。最初に並べた二十二本は、死 13・保留 2・条件つき 3・生 4 に分かれました。生の 4 本のうち 2 本（R1・R2）は以後の全ての形に部品として入り、残りの 2 本（R8・R13）と途中で生まれた R24 が、10-09 の三本の筋になりました。
• 道具の側と構造の側。要る値を大きく動かしたのは、道具の選び方を直した案（R1・R2：$10^{-3}$ で $0.20\to90.3$、約 460 倍）で、構造から来る因子（欠陥の深さ $b$・欠陥の集合の稀さ $\ell$）を動かした案は、どれも 1.15 倍の天井の下で止まりました。
• 七つの壊れ方の型。源は一つ（頂上の一サイトの曲率）・比で入る構造の因子の天井・同じ場所を二度払う・通貨の取り違え・$1/\hbar$ の住所・揺れの向きと柔らかい向きのずれ・移しかえ。死んだ 13 本のうち 12 本は、このどれかに当たります。

10-09 の写し。芯 $Q_k$ の隙間 $\lambda$ を芯の長さ $k$ に一様に押さえる区画の枠組みは、Barta・成分ごとの局所化・Bochner の三つの不等式を組んで、次の条件の下で閉じます（10-09 (7)）。

六つの定数のうち、$\kappa=3/1000$・$b=493/1000$・$\ell_{\min}$ は模型と欠陥の集合の定め方が決める構造の量で、$c_H=\tfrac14$（負の曲率を芯の全体で一様に払った値）と $\ln2$（Gibbs の傾きを $t=\ell$ に固定した値）は道具の選び方の量です（10-09 表 1）。元の形で要る値は 負／$0.20$／$7.13$、一方 $A_W$ の上界は $1857／2794／9106$ 読（見積もりを含む）、下界は $1.71／1.74／2.59$ 読（試験関数の族の値）でした。

迂回策とは。(1) を閉じるには、要る値を上げるか、上界を下げるか、条件の形を替えるかです。この章では案をその向きで三つの側に分けます。

もう一つの軸が、動かした因子の性格です。構造の因子は模型が決める量で、動かすには欠陥の集合や重みの定義を替える必要があります。道具の因子は証明の段の選び方で、同じ集合のまま替えられます。表 1 の「構造／道具」の列はこの軸で、「道具 → 構造の床」は道具を替えたが構造の床に当たって止まった案です。

表 1 の判定の語は次の意味です。生＝その形で要る値の内に入った（それでも (1) の証明ではなく、残る仮定がある）。条件つき＝残る仮定を名指しできる。保留＝紙で決まらない。死＝殺す検査で要る値の外に出たか、形が出なかった。殺した一行は、その案を止めた事実を一行に縮めたもので、数は全て浮動小数の格子か転送行列の読みです 読（下界は試験関数の族の中の値）。

数え。R1〜R22 は、生 4（R1・R2 は部品として吸収、R8・R13 の Poincaré の形は条件つき）・条件つき 3（R3・R12・R21）・保留 2（R11 は R8 に吸収・R20）・死 13 です。死んだ 13 本の側は、床の側 8（R7・R14〜R19・R22）・要る側 4（R4・R5・R6・R9）・形 1（R10）です。途中で生まれた二本は、R23 が単独では R3 に支配され、R24 は条件つきで筋 1 に入り、R23 と合わせた形が筋 3 になりました。

道具の側と構造の側の対比。表 1 の「構造／道具」の列を結果の列と並べると、要る値を大きく動かした行は全て「道具」です。R1・R2 は同じ欠陥の集合のまま、負の曲率の払い方と Gibbs の傾きの選び方を直しただけで、要る値を 負／$0.20$／$7.13$ から $25.1／90.3／312.3$ へ動かしました（$10^{-3}$ で約 460 倍、$3\cdot10^{-4}$ で約 44 倍、$3\cdot10^{-3}$ では負から正へ）読。一方「構造」の行（R4・R5・R6・R7）と構造の床に当たった行（R9・R10）は、倍率が 1.15 を越えないか、形が出ませんでした。要る側の損の大半は、模型の構造ではなく道具の選び方にあった、ということです。逆に、道具を直し尽くした後に残る差（R3 の形で 5〜13 倍）は、§04 の型 1 の構造の床に帰ります。

表 1 と表 1′ の殺した一行を並べると、同じ理由が形を変えて繰り返し現れます。それを七つの型にまとめます。各型に、当たった案、なぜその型で壊れるかの一段落、自分の案を当てて確かめるための問いを置きます。型は互いに排他ではなく、一つの案が二つの型に当たることもあります。

型 1　源は一つ — 頂上の一サイトの曲率

当たった案：R6・R9・R10、表 1′ の一様な道と区画に分けない Lyapunov の判定。

芯の作用の Hessian の一つの行は、頂上で対角 $4-\tfrac14=\tfrac{15}{4}$ が隣との結合の和 $4$ に $\tfrac14$ 届きません（10-09 (11)）。この不足は、Barta の重みの行・鎖の縮みの判定・Lyapunov 関数の判定のどれにも、頂上の面 $x\equiv0$（全てのサイトが頂上）で同じ値として現れます。例えば一サイトの重み $\psi_j=\phi(z_j)$ の Barta の行は $F(z,n)=w(z)+(\text{重みの対数微分})\times(\text{漂流})$ の形で、頂上 $z=0$ と隣 $n=0$ では漂流 $\varepsilon V'(0)+8(0-0)$ が $0$ なので、重みをどう選んでも 初

です（行の形は 10-09 の Barta の行と同じ仮定の行の上の一行の計算）Leanfloor_top（仮定：重みの値 $\ne0$）。R10 の Agmon の型は、曲率が正の余白を持つ所で利得を得る道具で、欠陥の集合はちょうど曲率が負の場所なので、そこでの利得の係数は $\le0$ です Leanagmon_no_gain_on_negative_curvature（仮定：曲率 $w\le0$・$\lambda\ge0$ ほか。Agmon の評価の枠組みは本に置かない）。R6 では、欠陥を長い塊で定めると、長さ 2 以上の短い塊の行が負になり、同じ不足が短い塊の側に出ました。

当てる問い：その案は、頂上の面 $x\equiv0$ の上で何を払っていますか。そこで払う量が $\hbar$ に依らない定数なら、$\tfrac14$ の不足がそのまま残ります。この不足を払えるのは、頂上の台地の稀さ（エントロピー）だけで、その払い方に $\hbar$ が入ります。

型 2　比で入る構造の因子には天井がある

当たった案：R4・R5・R23、R3 の天井。

閾を上げて局所化の残りを $\delta\ge0$、残りの係数を $\gamma$、Gibbs の傾きを $t$、$L(t)=\ln(1+e^{t-\ell})$ とした閉じる条件は $b(A\delta+D_W+L(t))\lt\kappa(t-A\gamma)$ です（R1〜R3 の形）。

天井の補題。$0\lt\kappa\lt b$、$\delta,D_W\ge0$ なら、この条件を満たす $A\ge0$ は $A\gamma\lt\ell$ を満たす。

初 証明。左辺は $bL(t)\gt0$ 以上なので $t-A\gamma\gt0$ です。$b\gt\kappa$ から $b(t-A\gamma)\gt\kappa(t-A\gamma)\gt bL(t)\ge b(t-\ell)$（$\ln(1+e^x)\ge x$）。$b$ で割ると $A\gamma\lt\ell$。∎ Leanceiling_same_set（仮定：$0\lt\kappa\lt b$・$t-A\gamma\gt0$・$t-\ell\le L$・閉じる条件）

欠陥の集合（したがって $\ell$）を変えずに $b$・$\kappa$ だけを動かす案は、要る値を $\ell/\gamma$（R3 の形で $4\ell$）より上に出せません。R3 の形の要る値はすでに天井の $1/1.15／1/1.04／1/1.01$ の所にあり 読、R4 の $1.05／1.01／1.004$ 倍はその内です。集合を変える R5 では、Barta の側の稀さ（行が $\kappa$ を下回る集合の $\ell_B$）は $\kappa/(\beta_0-\kappa)\approx1/47$ を掛けてしか条件に入らず 仮（紙は本に置かない）Leanceiling_split、集合を 1.40 倍稀にしても倍率は 1.11 止まりでした。R23 は Gibbs の段の道具を替えましたが、$A$ が同じ形で入るので天井は同じです。

当てる問い：その案は欠陥の集合を変えますか。変えないなら、要る値は $\ell/\gamma$ を越えません。変えるなら、新しい集合の稀さが条件のどの係数と掛かって入るかを先に書いてください。

型 3　同じ場所を二度払っていた

当たった案（直した側）：R1・R2、表 1′ の窓の組み立て。

元の組み立ての Bochner の段は、負の曲率 $-\tfrac14$ を芯の全体 $X$ で払っていました。ところが負の曲率は $z\gt-1/\sqrt3$ にしか無く、そこは Gibbs の段が既に $Y$ として払っている欠陥の集合の中です。同じ場所を $X$ の側でもう一度払ったために、$b/\kappa\approx164$ の増幅を通って $A_W$ の係数が $bc_H=0.123$ になっていました。局所化（R1）で係数は $0.0038$ に下がります（10-09 (9)）。Gibbs の傾き $t=\ell$ の固定（R2）と、伝播の段の組み立ての $(1+\sqrt{C_w})^2$（同じ量を二度数える）も同じ型です。この型は、直すと大きく効く型です。

当てる問い：その段で払っている量は、前の段がすでに払った集合の上にありませんか。二つの段の払う場所を同じ図に描くと見えます。

型 4　通貨の取り違え — 出口の速さと稀さ

当たった案：R14、表 1′ の帯を稀さで払う形と二重閾値、10-11 §04 の素朴な分散の分解。

Poincaré 不等式が測るのは出口の速さ（分散を Dirichlet 形で割った比）で、稀さ $\mu(B)\le e^{-\ell}$ を払えるのはエントロピーの通貨です（10-09 (3)：$\ell\int_Bg^2\le\mathrm{Ent}+\ln2\int g^2$）。分散と Dirichlet 形の比は関数の定数倍で変わらないので、稀な集合に台を持つ関数を入れると、稀さは分子と分母で打ち消します。「帯に張り付いているから揺らぎは小さい」は分散についての直観で、稀さを払う段に要るのはエントロピーの評価です。R14 はもっと直接で、欠陥の集合が条件づけの $\sigma$-代数で決まるなら、条件つきの測度ではその集合の測度は $0$ か $1$ で 初（条件つき確率の定義）、払う稀さ $\ell$ がもう残っていません。

当てる問い：稀さ $\mu(B)$ を払っている段は、エントロピー（またはそれと同じ型の不等式）を通っていますか。分散と Dirichlet 形だけなら、稀さは効きません。条件づけの後に稀さが残っているかも確かめてください。

型 5　$1/\hbar$ の住所

当たった案：R7・R15、表 1′ の線形の集団座標・区画した鎖・壁で切る多段・壁の印の鎖・平均の高さを足す鎖。

筋 3 で要るのは芯の対数 Sobolev 定数の $1/\hbar$ の係数でした。その $1/\hbar$ がどの量に住むかを見誤ると、案は $1/\hbar$ を別の場所へ移すだけになります。三つの事実が繰り返し出ました。

• $1/\hbar$ は $\sum z$ でなく半径に住む。頂上の台地での作用は、線形の集団座標 $\sum_jz_j/\sqrt k$ の向きではなく、頂上の角からの半径（$\sum_jz_j^2$ の向き）に沿って変わり、その長さは交差の長さ $\ell_\times\approx0.34/\hbar$ です 読。集団座標と横方向に分ける二尺度は、頂上の面で集団座標に直交する向きの最小の曲率 $4-4\cos(2\pi/(k+1))-\tfrac14$ が $k=17$ で負になり 初（三重対角の固有値の閉じた式）Leantransverse_fails_k17（仮定なし）、$k\le16$ でしか凸性を持ちません。
• 区画で切っても $1/\hbar$ は割り振られるだけ。エントロピーの鎖則 $\mathrm{Ent}=\mathrm{Ent}(\text{印の周辺})+\mathbb E\,\mathrm{Ent}(\text{区画の中})$ は恒等式で 初 Leanchain_rule_cells（仮定：鎖則・二つの項の上界）、台地を壁の位置で切ると $\approx0.8/\hbar$ が印の側と区画の側に割り振られます 読。和は減りません。
• 印は面をまたぐ一歩しか表さない。壁の印の鎖では鎖そのものの定数は小さくなりますが、印は台地の上の位置を見分けず面をまたぐ一歩だけを表すので、$1/\hbar$ は印の鎖と元の測度を比べる定数 $\ge13／26／66$ に移りました 読。鎖に足す変数の良し悪しは、その変数の率関数が極値で平らかどうかで決まり（平らなら足す費用が $O(1)$）LeanS_ext_O1_iff（代数）、平均の高さは平らでなく $\propto1/\hbar$ を払い、半径は通りました。

R7（帯の稀さと帯を通る尾が両方 $\propto1/\hbar$ で打ち消す）と R15（Holley–Stroock の摂動の費用 $e^{\mathrm{osc}/\hbar}$）も、$1/\hbar$ を払う場所を移しただけの例です。

当てる問い：その案で $1/\hbar$ はどの量に掛かっていますか。区画・印・比較の定数・摂動の費用のどれかに移っただけなら、消えていません。足す変数の率関数を、極値の近くで描いてみてください。

型 6　揺れの向きと柔らかい向きのずれ

当たった案：表 1′ の半径と球面の角・三段・分散版の二尺度・内部の半径、筋 3 の紙の上界。

二尺度の合成で、ファイバーの外の勾配を $\sup$ で取り（揺れの向き）、それをファイバーの最も柔らかい向きの定数で払う（$\kappa\times A_{\rm fib}$ の型）と、二つの向きが揃っていない所で上界が桁で過大になります。分散に替えた版でも、損の下界 $0.66〜1.8$ が要る $0.18〜0.50$ の外でした 読。払うべき量は、ファイバーの上の Poisson 方程式の解の勾配（Helffer–Sjöstrand の表示の $|M^{-1}\nabla_\perp G|$）で、向きを保ったまま評価する必要があります。筋 3 で Monte Carlo の読みが閾の 0.54 倍、紙の上界が閾の $10^3$ 倍と開いたのも、スカラーの Grönwall が勾配の向きを捨て、全ての向きを最も柔らかい率で減らす段から来ました（10-09 筋 3）。

当てる問い：上界のどこかで、ベクトルの量をスカラーに潰していませんか。潰した段があれば、そこで最も柔らかい向きの率で払っています。揺れが大きい向きと柔らかい向きを同じ図に描いてください。

型 7　移しかえ — 重さは別の列へ移るだけ

当たった案：R13 の修正 LSI・R16・R17・R19・R21・R22、表 1′ の代理の系列。

既知の一様性の定理（R16・R17）は、定数を作るのではなく、問題を相関の長さを覆う箱（長さ $\gtrsim230〜810$）の有限体積の定数へ移します。窓は有限なので存在は元から自明で、効かない理由は大きさです。窓の取り方を替える案（R21・R22）は、窓の損を減らしても伝播の段の床が残りました。塊展開（R19）では最大の道のピンが頂上に残り、修正 LSI（R13）では $\ln(1/\pi_*)$ がエネルギーの側へ移りました。命題 P5 の代理の系列では、代理や向きを替えて仮定の列が軽くなったとき、計算する列が同じだけ重くなっていました（二つの列の和が向きに依らない恒等式）仮（定義は本に置かない）Leanthreshold_gap_invariant（仮定：二つの和の恒等式）。

当てる問い：その案で軽くなった列の分だけ、別の列（箱の大きさ・伝播の段・計算する量）が重くなっていませんか。和が不変量なら、余裕は動いていません。

死んだ案と保留の案のうち、表 1 で型の列が「—」なのは、律速でない段を直した R18 と、保留の R20 です（生と条件つきの案の列は行き先の章）。死んだ案ごとに殺した一行を残しておくこの表の型は、他の問題で迂回策を洗い出した後の後始末にも、そのまま使えます。

生と条件つきの案は、要る値の表と三本の筋にまとまりました。三本の筋の到達点と残る一歩は 10-09 表 4 にあり、ここでは案からの対応だけを並べます。

三本の筋がどれも止まった場所は型 1 の源で、10-09 §06 の共通の壁と同じものです。芯の定数を区画の枠組みでなく箱の側から押さえる別の組み立ては、10-11 で扱います。

この章は一覧の章なので、行は型を支える補題と、表 1 の値に限ります。どの行も道筋 5 の結論の前提ではなく、結論への依存は 10-09 §08 のグラフにあります。そのためこの章には依存グラフを置きません。

「初」の行は、型を言い当てる一般の事実で、どの迂回策の成功も意味しません。表 4 のどの行も、閉じる条件 (1) を示していません。

芯の定数を、区画の枠組みでなく箱への帰着 (H3) と箱の中の隙間 (H4) の側から三段で押さえる組み立てと、端の集合の線引きは 10-11 です。この部は仮定 H を検討の軸に置いていて、この章はその一段目の (H2) の芯の行に向けた案の後始末でした。頂上の負の曲率を凸性に頼らずに扱う別の視点は第 11 部（11-06）で扱います。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 迂回策・殺した一行・要る側・形・足りない側（床）・構造と道具の選び方・天井・壊れ方の型・二度払い・通貨（出口の速さとエントロピー）・$1/\hbar$ の住所・交差の長さ・揺れの向きと柔らかい向き・移しかえ。意味は A-02 用語集 にあります。

次に読む章：10-11 (H3)(H4) と芯の定数 — 箱への帰着と箱の中の隙間を命題にし、芯の定数を三段で押さえる。

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