2026-10-09 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 11 部 今後の考察片側の橋・窓の局所の H・比の形と閾 · Kiichi, Shiori and Rin

片側の橋はどの H を要るか

第 10 部の 10-01 §06 で、時間を連続に取った格子の経路の測度について、片側の橋 $C_P\ge\kappa\hbar^2/\Delta^2$（命題 B）を示しました。試験関数は、一つの時刻の配位の関数 $F=\psi_1/\psi_0$ を時間で積分した $f_T=\int_0^TF(q(\tau))\,d\tau$ の一本です。この一本と H↑ の $C_P\le C\xi_{\rm RG}^2$ を並べると、格子の物理単位の隙間の下界 $m_{\rm phys}^2\ge\kappa/C$ が出ます（10-01 の (19)）。この章の問いは、そのとき H↑ のどの部分が使われているか、です。

答えは三段に分かれます。

第一段。「一つの時刻の関数を時間の重みで均したもの」の族 $\mathcal F_1$ の上では、$\operatorname{Var}/\mathcal E$ の上限が正準の目盛りでちょうど $\xi^2=\hbar^2/\Delta^2$ です 初。したがって H↑ をこの族に制限した文は「格子の物理単位の隙間が $C^{-1/2}$ 以上」と同じです。H↑ のうち隙間を越える中身は、この族の外——巻き数や位相電荷のような、時刻に局所でない関数——にしかありません（10-01 の命題 C、11-01 の型）。橋は H↑ の時刻に局所な部分しか使いません。

第二段。時間の窓を長さ $c\ell$ に限った局所の H↑（$\ell$ は隙間とは別に外から与える物差しで、四次元では記帳の長さ $\xi_{\rm RG}$）からも、有限の空間体積の隙間の下界 $m_{\rm phys}\ge\sqrt{1/c^2+\kappa/K}-1/c$ が出ます 初。$c\to\infty$ で第 10 部の $\sqrt{\kappa/K}$ に戻ります。

第三段。空間も局所にして無限体積へ進むと、「箱の中の局所の Poincaré 定数が $K(c)\ell^2$ 以下」という形の文は空虚になります。四次元の質量の無い自由場も、ある $K(c)$ でこの文を満たすからです 初。そこで、同じ箱・同じ目盛りの無質量の自由場の値（参照）との比 $K_{\rm rel}$ で述べます。仮定 $\text{(Loc-}\Delta_c)'$ の上で、比が閾 $K_*=\kappa/(\lambda_W\Gamma)$ より小さければ隙間の下界が出ます 初（仮定の上の代数）。閾は参照の取り方で変わり、スカラーで $0.342\kappa$、ゲージ商（一色の線形化）で $0.502\kappa$、$SU(2)$ の色の一重項（主項・二次のカオス）で約 $0.62\kappa$（試験の値なので使える閾の下の値）です 読。質量のある自由場で調べると、橋が質量を見るのは箱の一辺が相関長の約 4.2 倍（スカラー）〜5.2 倍（ゲージ商）以上のときです 読。比が閾と 1 の間の帯 $[K_*,1)$ にある場について、この橋は何も言いません。

最後に 0+1 次元の注を置きます。二重井戸では、最も短い窓（一つの時刻）でも比はちょうど $\omega_b/m$ で、1 になりません 初。「短い距離では比が 1 に近い」は比の形から出る事実ではなく、四次元では漸近自由に依る仮定です 仮。

比喩で言えば、橋は「時計の針が一回りする時間」だけを見ていて、「針が何周したかを数える歯車」の遅さは見ていません。H↑ はその歯車も含めた全体の文で、橋に要るのは針の部分だけです。

設定は 10-01 §06 の命題 B と同じです。空間は有限の格子、一つの時刻の配位の空間 $Q$、ハミルトニアン $H=-\frac{\hbar^2}2\Delta_M+V$、仮定 (A1)（離散スペクトル・基底状態 $\psi_0\gt0$ が重複せず滑らか・$\Delta=E_1-E_0\gt0$）、(A2)（$T=\infty$ の定常な経路の測度）、(A3)（Langevin の計量の比較、$\kappa=1/\lambda_G$）。$m=\Delta/\hbar$、$\xi=1/m$、$A=(H-E_0)/\hbar$ です。

時刻に局所な族を次のように置きます。

命題 B の $f_T$ は $h=\mathbf 1_{[0,T]}$、$G_1=\psi_1/\psi_0$ の場合です。

初 証明。$\varphi=(G_1-\langle G_1\rangle)\psi_0$ の $A$ のスペクトル測度を $\nu_\varphi$ とすると、$\nu_\varphi$ は $[m,\infty)$ に載ります。相関の式と Plancherel の定理から

です（右は恒等式 (18) から）。$a\ge m$ で $2a/(a^2+k^2)\le2a/m^2$、等号は $k=0$ だけなので、比は $\xi^2$ より小さい。上限が $\xi^2$ であることは命題 B の $f_T$ で $T\to\infty$ とすれば分かります。∎ 一般の計量では、(A3) と逆向きの比較 $G\ge\lambda'_GM^{-1}$ から上限は $\kappa\xi^2$ と $\xi^2/\lambda'_G$ の間に挟まれます。LeanEuclideanPath.GapBridge.local_rayleigh_le（仮定：$0\lt m$・各 $k$ で $m\le a_k$・$0\le c_k$。結論：$m^2\sum_kc_k/a_k\le\sum_kc_ka_k$）と fourier_weight_le（仮定：$0\lt m\le a$。結論：$2a/(a^2+k^2)\le2a/m^2$）は、この証明の有限和と各点の不等式だけを検査したものです。

帰結。H↑ を $\mathcal F_1$ に制限した文「すべての $f\in\mathcal F_1$ で $\operatorname{Var}(f)\le C\xi_{\rm RG}^2\,\mathcal E(f)$」は、(2) によって $\xi^2\le C\xi_{\rm RG}^2$、すなわち

$\mathcal F_1$ の上の H↑ $\iff$ $m_{\rm phys}=m\,\xi_{\rm RG}\ge C^{-1/2}$（正準・各 $\beta$）

と同じです 初。右から左も (2) から出ます。H↑ が格子の物理単位の隙間より強い分（10-01 §06 の結論）は、すべて $\mathcal F_1$ の外にあります。円の上の自由な粒子（命題 C）では、巻き数の汎関数 $\int w\,d\tilde x$ が $\mathcal F_1$ の外にあって $C_P=\infty$ を作り、$\mathcal F_1$ の上の上限は $\xi^2$ のままです。

論文との対応。命題 B・(2)・命題 C は、論文（論文の一覧・PDF）“The inverse squared spectral gap bounds the Langevin Poincaré constant of Euclidean path measures from below”（Kiichi, Shiori and Rin）にまとめてあります。要旨の一文は「有限次元の配位の空間の上の、時間の全体で定常な Euclid の経路の測度について、時間で均した滑らかな汎関数の上の確率量子化（Langevin）の Dirichlet 形の Poincaré 定数は $C_P\ge\kappa(\hbar/\Delta)^2$ を満たす」です。命題 B は論文の定理 3.1、(2) は命題 4.1、命題 C は命題 5.1（時間で均した滑らかな汎関数の族 $\mathcal D_0$ の上でも $C_P=\infty$）に当たります。この本では式番号を引くだけにし、証明は 10-01 §06 と論文に任せます。論文は外部の数学者の検査を経ていません。

局所の H の定義は 11-03 §02 の (1)〜(3) にあります。ここで使う形だけを写します。物差し $\ell\gt0$ は隙間とは別に外から与える長さ（四次元では記帳の長さ $\xi_{\rm RG}$）です。隙間で決めた $\xi$ を物差しにすると、隙間の下界を導くときに循環します。$c\gt0$ に対し、時間で均した汎関数のうち重みの台が長さ $c\ell$ の窓に入るものの族を $\mathcal D_c$ と書き、

と置きます。$C_P^{\rm loc}(c)$ は窓の上の経路の周辺の法則だけで決まり、$c$ について単調に増え、$c\to\infty$ で全体の $C_P$ に戻ります（11-03）。

窓の因子と、その単調性

命題 B の (17) の右辺の括弧を $\varphi(x)$ と書きます（引数の無い $\varphi$ は §02 のベクトルで、別の量です。記号は 11-A1 に従います）。

窓 $T$ の比は $\kappa\xi^2\varphi(T/\xi)=\kappa T^2g(mT)$ です。$\varphi(x)=x/2+O(x^2)$、$\varphi(x)\to1$（$x\to\infty$）で、値は $\varphi(1)=0.368$・$\varphi(4)=0.755$・$\varphi(10)=0.900$ です 初（閉じた式の値）。

初 証明。$x-1+e^{-x}=\int_0^x\!\int_0^ue^{-v}\,dv\,du=x^2\int_0^1(1-t)e^{-xt}\,dt$ なので、$g(x)=\frac1x\int_0^1(1-t)e^{-xt}\,dt$ です。正の狭義減少関数 $1/x$ と、正の狭義減少関数 $\int_0^1(1-t)e^{-xt}dt$ の積なので狭義に減ります。∎ LeanLatticeGauge.LocalH.wr_strictAntiOn（仮定なし。結論：$g$ は $(0,\infty)$ で狭義減少。Lean では微分の符号 $g'(x)=h(x)/x^4$、$h(x)=3-2x-(3+x)e^{-x}\lt0$ の経路で閉じている）。

命題 G の使い道は二つあります。一つ目に、重みを窓の指示関数 $\mathbf 1_{[0,T]}$ に固定し、一時刻の関数だけを動かした族では、上限が最低の励起 $a=m$ でちょうど取られ、$T^2g(mT)=\xi^2\varphi(T/\xi)$ に等しくなります 初（スペクトル測度の重みつき平均の比は、成分ごとの比の最大を越えない。最大が $a=m$ で取られることが $g$ の単調性そのもの）。二つ目に、窓を限った H↑ $\kappa T^2g(c\,m_{\rm phys})\le K\ell^2$（$T=c\ell$）を一つの数の不等式にできます。$g$ は $(0,\infty)$ から $(0,\infty)$ への連続な狭義減少の全単射なので、

です。$e^{-x}\ge1-x+x^2/2-x^3/6$（$x\ge0$）から $g(x)\ge1/(2x)-1/6$ が出て、陽な形

が得られます 初。LeanLatticeGauge.LocalH.gap_lower_of_window（仮定：$0\lt\kappa,c,K,\ell,m$・$\kappa(c\ell)^2g(c\ell m)\le C_P$・$C_P\le K\ell^2$。結論：$3\kappa c/(6K+\kappa c^2)\le m\ell$）。(7) は $c\,m_{\rm phys}\lesssim1$ で鋭く、$c\,m_{\rm phys}\gtrsim3$ では右辺の近似が弱くなるので、大きい $c$ には次の形を使います。

窓の中の重みも動かす — 命題 W

初 証明〔研〕。$\varphi$ を $A$ の固有成分 $\varphi_k$（固有値 $a_k$）に分けると、$\operatorname{Var}=\sum_k\|\varphi_k\|^2\langle h,e^{-a_k|s-t|}h\rangle$、$\mathcal E=2\|h\|^2\sum_ka_k\|\varphi_k\|^2$（恒等式 (18)）です。重みつき平均の比は成分ごとの比の最大を越えないので、$\operatorname{Var}/\mathcal E\le\max_k\langle h,K_{a_k}h\rangle/\|h\|^2$、ここで $K_a$ は核 $e^{-a|s-t|}/(2a)$ を $[0,T]$ に制限した積分作用素で、実数直線の上の $(a^2-\partial^2)^{-1}$ の圧縮です。$a\mapsto(a^2-\partial^2)^{-1}$ は作用素として減少するので、最大は $a=m$ です。$K_m$ の最大の固有値は、固有関数が $u''=-\omega^2u$ と境界条件 $u'(0)=m\,u(0)$・$u'(T)=-m\,u(T)$ を満たすことから、対称な第一の解 $u=\cos(\omega(t-T/2))$ の $\omega\tan(\omega T/2)=m$ で決まり、値は $1/(m^2+\omega^2)$ です。等号は $G_1=\psi_1/\psi_0$・$h=\cos(\omega_0(t-T/2))$ で取られます。∎

根 $\omega_0$ は $\tan z\ge z$ から $\omega_0^2\le2m/T$ を満たし、また $\omega_0\lt\pi/T$ なので

です 初。指示関数の重みの値 $T^2g(mT)$ は $\Psi_T(m)$ より真に小さく（$\cos$ は定数でない）、$T\to0$ では両方とも $\approx T/(2m)$、$T\to\infty$ では $\Psi_T=1/m^2-O(T^{-2})$、$T^2g=1/m^2-O(T^{-1})$ です。

有限の空間体積の下界

局所の H↑ (4) と命題 W を合わせます。$\kappa\Psi_{c\ell}(m)\le C_P^{\rm loc}(c)\le K\ell^2$ と (9) の $\Psi_{c\ell}(m)\ge1/(m^2+2m/(c\ell))$ から、$\mu=m\ell=m_{\rm phys}$ は $\mu^2+2\mu/c\ge\kappa/K$ を満たし、

です 初（命題 B の仮定の上）。LeanLatticeGauge.LocalH.gap_lower_of_local_window（仮定：$0\lt\kappa,c,K,\ell,m$・$\kappa/(m^2+w^2)\le C_P$・$w^2\le2m/(c\ell)$・$C_P\le K\ell^2$。結論：(10)）、local_bound_tendsto（仮定なし。結論：(10) の右辺は $c\to\infty$ で $\sqrt{\kappa/K}$ に近づく）。$c\to\infty$ で 10-01 の (19) に戻り、$c\to0$ では $\approx c\kappa/(2K)$ です。(10) は (7) より全ての $c$ で強い形です。

自由場では両向き。ガウスの経路の測度では、Poincaré 定数は共分散作用素のノルムに等しく 典（Hairer–Stuart–Voss–Wiberg 2005, Lemma 2.2）、窓の族 $\mathcal D_c$ 全体の上でも $C_P^{\rm loc}(c)=\Psi_{c\ell}(m)$ がちょうど成り立ちます 初（共分散を窓に圧縮した作用素の最大固有値が命題 W の値）。したがって自由場では「$\mathrm H{\uparrow}^{\rm loc}_c(K)$ ⇒ (10)」に加えて「$m_{\rm phys}\ge K^{-1/2}$ ⇒ 全ての $c$ で $\mathrm H{\uparrow}^{\rm loc}_c(K)$」も成り立ちます（$\Psi\lt1/m^2$）。局所化が自明でないことも見えます。$C_P^{\rm loc}(c)\lt C_P$ が全ての有限の $c$ で真に成り立ち、$c\to0$ では $\approx c\ell/(2m)\to0$ です。

この節の条件。(4)〜(10) は時間を連続に取った格子・有限の空間格子・$T=\infty$・(A1)〜(A3) の上の文です。時間も刻む Wilson の格子では仮定 (D)（10-01 の (20)）が残り、窓の版はその上でまだ書いていません。

空間も局所にします。無限の空間格子で、一辺 $R=c\ell$ の時空の箱 $B_R$ に台を持つ汎関数だけを動かした局所の Poincaré 定数を $C_P^{\rm loc}(B_R)$ と書きます（11-03 §03 の空間も局所にした版。下の (11) は 11-03 の (4) と同じ不等式）。素直な局所の H↑ は「$C_P^{\rm loc}(B_{c\ell})\le K(c)\,\ell^2$」です。ところがこの形は、四次元では隙間について何も言いません。

初 証明。ガウスの Poincaré 定数は共分散を箱に圧縮した作用素のノルムです 典（前節）。共分散 $(-\Delta)^{-1}$ は四次元で過渡的なので有限で、連続の核は $1/(4\pi^2|z|^2)$ です。上は Schur の評価で、ノルムは $\sup_x\sum_{y\in B_R}G(x-y)\le\int_{|z|\lt2R}\frac{d^4z}{4\pi^2|z|^2}=R^2$ 以下です（格子の核の漸近は連続の核で置き換えた。この段は 仮）。下は、箱の Dirichlet の基底状態 $w$ を試験の向きに取り、$\langle w,Gw\rangle\langle w,-\Delta w\rangle\ge\|w\|^4$（Cauchy–Schwarz）から $C_P^{\rm loc}\ge1/\lambda_D(B_R)\approx R^2/(4\pi^2)$ です（時空の箱の四つの向きに $\pi^2/R^2$ ずつ）。∎

数で見ると、比 $\Gamma(R):=C_P^{\rm loc,0}(B_R)/R^2$ は $R=4,6,8,10,12,16$ で $0.0802,\ 0.0768,\ 0.0756,\ 0.0750,\ 0.0747,\ 0.0744$ と減り、補正は $1/R^2$ で対数の補正は無く、外挿で $\Gamma_\infty=0.0740$ です 読（浮動小数・格子の熱核の数値積分と、独立な周期格子の経路の一致が相対 $2\times10^{-3}$ 以内・外挿は $R\le16$・一成分）。これは紙の挟み $[1/(4\pi^2),\,0.1125]$ の中で、Dirichlet の値 $1/(4\pi^2)=0.0253$ の 2.92 倍です。連続の核が次数 $-2$ の斉次なので、圧縮が $R^2$ にちょうど比例するのは期待どおりです。

低い次元との対照も一行置きます。時空二次元の無質量の場では赤外が発散して $C_P^{\rm loc}=\infty$、時間の窓だけを局所にした有限の空間体積でも一定のモードが $\approx T/(2m)$ で伸びます。質量の無い場が有限の局所の定数を持つのは、時空三次元以上で空間も局所にした場合だけで、第 11 部の四次元の設定はちょうどそこに当たります 初。

比の形

そこで、局所の H を同じ格子・同じ箱・同じ目盛りの無質量の自由場（参照）との比で述べます。

（$\beta\ge\beta_0$ に一様、$\ell=\xi_{\rm RG}(\beta)$）。定数 $K$ は絶対の数になります。一つの $c$ での文として置き、$c$ に一様には要求しません。質量 $m$ の自由場の比 $r(mR)$ は $mR\to0$ で 1 に近づくので、短い距離まで一様に $K\lt1$ を求める文は自由場に近い理論では偽になるからです 見。$c$ に一様な $K$ を求めると、$c\to\infty$ で全体の H↑ に戻ります（11-03）。

凸な相互作用を足した場（作用 $\frac12\langle\Phi,-\Delta\Phi\rangle+\sum_xU(\Phi_x)$、$U$ は凸）では、Hesse 行列が $-\Delta$ 以上なので Brascamp–Lieb の不等式から $K_{\rm rel}\le1$ です 仮（不等式の書誌は確かめていない）。凸な場は帯 $[0,1]$ の中にいます。橋に要るのは、次の節で見るとおり、その中の閾より下の部分です。

無限体積では、一つの時刻の関数 $F=\psi_1/\psi_0$ は局所でも陽でもありません。代わりに、箱の中の局所の観測量が低いエネルギーの励起を作る、という仮定を置きます。

仮 どの相互作用のある模型でも示していません。仮定 (13) は結論の量 $m_\infty$ を含みますが、上からの比較にだけ現れ、$m_\infty\gt0$ を含意しません。$m_\infty=0$ でも意味を持つ文で（局所の観測量で低いエネルギーの励起に近づける、という近似の性質）、質量の無い自由場は $\gamma=d\pi^2$ で満たします。

初 自由場での成立。一粒子の状態で $\nu_\varphi=\sum_p|\hat w_p|^2/(2\omega_p)\,\delta_{\omega_p}$、$M_3/M_1=m_0^2+\langle w,-\Delta w\rangle/\|w\|^2\le m_0^2+d\pi^2/(c\ell)^2$（$w$ は空間の箱の Dirichlet の基底状態、$d$ は空間の次元）。

窓 $T$ の比は Jensen の不等式で $\ge\kappa/(M_3/M_1+\pi^2/T^2)$ と押さえられます。時空の箱を等方に扱い $\lambda_W:=\gamma+\pi^2$ と置くと

で、これと局所の H↑ $C_P^{\rm loc}\le K\ell^2$ から $m_{\rm phys}^2\ge\kappa/K-\lambda_W/c^2$ です 初（(13) と無限体積の基底状態変換の恒等式の上）。LeanLatticeGauge.LocalH.gap_lower_dirichlet（仮定：$0\lt\kappa,c,K,\ell$・$0\lt m^2+\lambda$・$\kappa/(m^2+\lambda)\le C_P$・$\lambda\le\gamma/(c\ell)^2$・$C_P\le K\ell^2$。結論：$\kappa/K-\gamma/c^2\le(m\ell)^2$）。

比の形 (12) に移すと、$C_P^{\rm loc}\le K_{\rm rel}\Gamma R^2$ と (14) から

です 初（(13) と無限体積の恒等式の上の代数）。LeanLatticeGauge.LocalHReference.ratio_bridge（仮定：$0\lt\lambda_W,\Gamma,R,K_{\rm rel}$・$\kappa/(m^2+\lambda_W/R^2)\le C$・$C\le K_{\rm rel}\Gamma R^2$。結論：(15)）、kstar_correspondence（仮定：$0\lt\lambda_W,\Gamma,c$。結論：$K(c)=K_{\rm rel}\Gamma c^2$ のとき $K(c)\lt\kappa c^2/\lambda_W\iff K_{\rm rel}\lt K_*$）、ratio_bridge_vacuous_of_ge（仮定：$K_*\le K_{\rm rel}$。結論：(15) の右辺 $\le0$）。

読み方。$K_{\rm rel}\lt K_*$ なら右辺は正で、質量の下界

が出ます。$K_{\rm rel}\ge K_*$ なら (15) は空です。参照は自分の Dirichlet の下界を満たす（$\Gamma\ge1/\lambda_W$、(11) の左と同じ Cauchy–Schwarz）ので、どの参照でも $K_*\le\kappa$ です 初。LeanLatticeGauge.LocalHReference.kstar_le_kappa（仮定：$0\le\kappa$・$0\lt\lambda_W,\Gamma$・$1\le\lambda_W\Gamma$。結論：$K_*\le\kappa$）。比が 1 の場（$K_{\rm rel}=1$）では橋は架かりません（rel_one_no_bridge、陰性対照）。

(15) の $\lambda_W$ には注意が要ります。$\lambda_W$ は「許される局所の観測量の族の中で達せる $M_3/M_1$ の値」で、試験の観測量の族を選ぶと決まる数です。分母の参照 $\Gamma$ と分子の下界の $\lambda_W$ は、同じ族で取らなければなりません。次の節で、この点が閾を動かします。

表 2 に、参照の取り方ごとの値を並べます。どの行も自由場の参照の数で、対象の Wilson 測度の比 $K_{\rm rel}$ は一つも測っていません。

LeanLatticeGauge.LocalHReference.kstar_measured（仮定：測った $\Gamma\in[0.0739,0.0741]$。結論：$0.34\lt K_*\lt0.344$）、LatticeGauge.GaugeReference.kstar_gauge_measured（仮定：測った $\Gamma_Q\in[0.02762,0.02772]$・$\lambda_W^Q\in[71.8,72.1]$。結論：$0.5\lt K_*^Q\lt0.505$）、LatticeGauge.WilsonLoopReference.kstar2_measured（仮定：測った $\lambda^{(2)}\in[115,118]$・$\Gamma_Q\in[0.02762,0.02772]$。結論：$0.61\lt K_*^{(2)}\lt0.63$）。三つとも測った数を仮定に置いた算術で、数そのものは Lean の外です。

なぜ参照で閾が変わるか

ゲージ固定の値は参照にならない。ゲージを固定した自由なゲージ場（Feynman ゲージ）の値はスカラーと同じ $\Gamma=0.0740$ ですが、ゲージ固定の母数 $\alpha$ を変えると値が変わり、固定を外す（$\alpha\to\infty$）と箱の中のゲージ変換の向きで無限大になります 初（ゲージの像の向きの試験関数で $\Gamma_a(\alpha)\ge\alpha/(\lambda_D^{\rm int}R^2)$）。対象の Wilson 測度はゲージを固定しないので、比の分子が有限なのはゲージ不変な関数の上だけです。分母も同じ空間で測ります。LeanLatticeGauge.GaugeReference.gauge_param_unbounded（仮定：$0\lt\lambda_D,R$・$\alpha/(\lambda_DR^2)\le\Gamma_a(\alpha)$。結論：$\Gamma_a$ は $\alpha$ について有界でない）。

ゲージ不変な観測量は高い運動量しか持てない。ゲージ商の試験の空間は、箱のグラフの上で発散が 0 の場（横波）です。箱が可縮なら、これは箱のプラケットの角の関数の空間とちょうど一致します 初（立方体の複体の一次のホモロジーが 0 なので、閉じた道はプラケットの和の境界）。発散 0 の制約のもとでは、箱の全体で同じ向きを向く正の場（スカラーの最適な試験の向き）が作れません。最適な向きは運動量の大きい横波になり、$\lambda_W^Q=72.0$ はスカラーの $4\pi^2$ の 1.82 倍、$\Gamma_Q$ はスカラーの 0.374 倍です 読。比の閾は $0.342\to0.502$ と緩みますが、これは $\Gamma$ が縮む割合が $\lambda_W$ の伸びより大きいからで（$0.502/0.342=1/(0.374\times1.82)$）、局所の Poincaré 定数そのものに直した条件 $C_P^{\rm loc}\lt\kappa R^2/\lambda_W$ は $0.0253\kappa R^2$ から $0.0139\kappa R^2$ へ厳しくなります 読。

箱の境のゲージ変換も割る。箱の内部のサイトのゲージ変換だけで割り、境のサイトのゲージを凍らせると、箱を一様に貫く流束が試験の空間に入り、値はほぼゲージ固定の値に戻って $\Gamma_Q$ の 2.2〜2.5 倍になります 読。箱のゲージ不変な観測量（Wilson ループ）は全てのサイトの変換で不変なので、「全てのサイトのゲージ変換で割る」ことが参照の定義の一部です（11-01 の「箱を貫く流束」の行）。

一色の近似が暗に仮定していたこと。一つの色の成分に線形化すると、箱の中のプラケットの角の線形結合だけで横波の試験の空間全体を張り、大きいループも箱の外に掛かるプラケットも要りません 初（長方形のループの角は内側のプラケットの角の和）。ところが $SU(2)$ のゲージ不変量（色の一重項）には、単位元のまわりの展開で一次の項がありません 初。一次の項 $\sum c_\ell^aA_\ell^a$ は定数のゲージ変換（大域の色の回転 $SO(3)$）でも不変でなければならず、$SO(3)$ は $\mathbb R^3$ に固定されたベクトルを持たないので $c=0$ です。ループの trace $\tfrac12\operatorname{tr}U_C=\cos(|\theta_C|/2)=1-|\theta_C|^2/8+\cdots$ は角の二次から始まります。LeanLatticeGauge.WilsonLoopReference.no_linear_singlet（仮定：二つの回転 $\mathrm{diag}(-1,-1,1)$・$\mathrm{diag}(1,-1,-1)$ で不変な一次形式。結論：係数は 0）。

参照はちょうど半分。主項（$\beta\to\infty$、三色の独立なガウス）では、色の一重項の関数は二次以上のカオスです。ガウス測度の Ornstein–Uhlenbeck の生成作用素の固有値は、共分散の固有座標の一粒子の固有値の和なので、二次のカオスの上の最小は一粒子の最小の二倍で、Poincaré 定数は $\Gamma_Q/2$ です 初（等号は $f_w=\sum_a(\langle w,A^a\rangle^2-\mathbb E)$、$w$ は横波の最適な向き）。一階の試験の値は $\lambda_W(f_w)=\lambda(w)+1/C(w)$ で、Cauchy–Schwarz から $\lambda(w)\lt\lambda_W(f_w)\le2\lambda(w)$ です 初。四次元の箱で $\lambda^{(2)}R^2\to115$〜$117$（$\lambda_W^Q$ の約 1.6 倍）、閾は $K_*^{(2)}=2/(\lambda^{(2)}\Gamma_Q)\approx0.62\kappa$ です 読。$\lambda^{(2)}$ は試験の値（上からの値）なので、出る閾は使える閾の下の値です。Leanchaos2_gamma・chaos2_lambda（仮定：$0\lt n,g$ と Wick の積率を式として。結論：比の代数）、chaos2_bracket（仮定：$0\lt C$・$1\le\lambda C$。結論：$\lambda\lt\lambda+1/C\le2\lambda$）。

大きいループが要る。この値を出すには、箱の差し渡しの大きさのループが要ります。プラケットだけの族 $\{\operatorname{tr}U_p\}$ の主項では参照が $1/R^2$ で消え（二次元で $\Gamma_Q/2$ の 0.29 倍から 0.035 倍、$R=4\to12$）、$2\times2$ までのループを足しても 0.12 倍（$R=12$）で、橋は格子の尺度のことしか言いません 読。箱の差し渡しの長方形を全て入れると、二次元で $\Gamma_Q/2$ に全ての桁で一致し、三次元の平らな長方形だけでは 0.73 倍です 読。四次元の大きいループ（平らでないもの・投げ縄の積を含む）の値はありません。

橋が質量を見る箱

質量 $m$ の自由場の比 $r(mR)=C_P^{\rm loc}(R;m)/C_P^{\rm loc}(R;0)$ は、$R=4$〜$12$ で 0.3% 以内に $mR$ だけの関数に揃います 読。スカラーでは $r=0.932,\ 0.825,\ 0.623,\ 0.359,\ 0.0772$（$mR=0.5,1,2,4,12$）、ゲージ商の横波（Proca）では $r_Q=0.950,\ 0.842,\ 0.721,\ 0.610,\ 0.514,\ 0.434$（$mR=1,\dots,6$）です。比が閾に落ちる所は、スカラーで $mR\approx4.2$、横波で $mR\approx5.2$ です（どちらも線形補間）読。橋が質量を見るのは、箱の一辺が相関長の 4〜5 倍以上のときだけです。横波は運動量が大きいので、質量に気づくのが遅れます。

裏から言えば、比が帯 $[K_*,1)$ にある場について、この橋は何も言いません。質量 $mR\lt4.2$ の自由場（スカラーの参照）もこの帯に入るので、橋は質量を持つ場も取りこぼします。帯の中の場で質量を見る別の議論（Jensen の不等式と Dirichlet の試験関数の外）があるかは決まっていません。

0+1 次元の二重井戸 $V(x)=(x^2-1)^2/8$（$V''(\pm1)=1=\omega_b^2$、$S_0=2/3$）で、比の形を試します。0+1 次元には有限の無質量の参照がありません（自由な粒子は定常な測度を持たず $C_P^{\rm loc}=\infty$）。参照は底の曲率の調和振動子 $\omega_b$ を取るほかなく、比の文は「$K_{\rm rel}(T)\lt\kappa$ なら $m\gt\omega_b$」になります 初（命題 W の下界と $\Psi_T$ の $m$ についての減少から。閾は $\kappa$ で、四次元の $0.342\kappa$ との差は空間の箱の Dirichlet の損そのもの）。LeanLatticeGauge.LocalHReference.gap_gt_ref_of_ratio（仮定：$\Psi$ は単調非増加・$0\lt\kappa$・$0\lt\Psi(\omega_b)$・$\kappa\Psi(m)\le C\le K\Psi(\omega_b)$・$K\lt\kappa$。結論：$\omega_b\lt m$）。

一つの時刻だけの窓は閉じた形で計算できます。時間の刻み $\varepsilon$ の格子で、一つの時刻の周辺 $\psi_0^2$ と $\mathcal E_1(f)=(\hbar/\varepsilon)\int\psi_0^2|f'|^2$ の Langevin の生成作用素は、基底状態変換で

です 初（$\psi_0$ が Schrödinger の基底状態のとき。参照は $\varepsilon/(2\omega_b)$）。これは 11-05 の恒等式そのものです。LeanLatticeGauge.LocalHDoubleWell.one_slice_ratio（仮定：$0\lt\varepsilon,m,\omega$。結論：$(\varepsilon/(2m))/(\varepsilon/(2\omega))=\omega/m$）。

窓を長くしたときの振る舞いは、命題 W の上で三つの領分に分かれます 初。

移り目は $\Psi_T(m)$ が $1/m^2$ の半分になる窓で、$\omega_0=m$ すなわち $\tan(mT/2)=1$、$T_\times=\pi/(2m)$ です 初。LeanLatticeGauge.LocalHDoubleWell.crossover_root・crossover_half（仮定：$0\lt m$。結論：$T=\pi/(2m)$ で $m\tan(mT/2)=m$、値が半分。根の一意性は Lean の外）。

格子の値（時間の刻み $\varepsilon=\tfrac12$・転送の核は Trotter の対称積・$\hbar=0.3,\ 0.15,\ 0.08$）は、一つの時刻の窓で $K_{\rm rel}(1)=4.61,\ 21.6,\ 638$、$K_{\rm rel}(1)\cdot m=1.04,\ 1.04,\ 1.05$ です 読（(17) からのずれは時間を刻んだ転送の $\psi_0$ と参照の離散化から）。移り目は格子で $k_\times m\varepsilon=1.571$〜$1.574$（$\pi/2=1.5708$）読。窓の中の汎関数を一点の関数の和から多点の関数に広げると比はさらに上がり、二つの時刻の窓の直接の値は $\mathcal F_1$ の値の 1.02・1.09・1.34 倍、八つの時刻の窓で三点の積までの族の下界は 1.07・1.27・2.12 倍以上です 読（下界・$\hbar$ が小さいほど族を広げるたびに上がり、飽和していない）。

比の文「$K_{\rm rel}\lt\kappa$ なら $m\gt\omega_b$」は、隙間がトンネルで小さい二重井戸では正しく破れます（全ての窓で $K_{\rm rel}\ge4.6\gt\kappa=1$）。0+1 は四次元の比の類比ではなく、比の形が非凸性に正しく反応することの陰性の対照です。