2026-10-09 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 11 部 今後の考察真空の測度・基底状態変換・Kogut–Susskind · Kiichi, Shiori and Rin

時間を連続にする — Hamiltonian 格子と真空の測度

設定は第 10 部の命題 B と同じです。空間は有限の格子、一つの時刻の配位の空間は $Q$（$\mathbb R^n$、またはコンパクトで連結な Riemann 多様体）、運動項の計量は $M$、ハミルトニアンは $H=-\frac{\hbar^2}2\Delta_M+V$ で、仮定 (A1)（スペクトルは離散・基底状態 $\psi_0$ は重複せず滑らかで正・$\Delta=E_1-E_0\gt0$）を置きます。一つの時刻の真空の分布と、その上の Dirichlet 形・Poincaré 定数を

と置きます（$F$ は $Q$ の上の滑らかな関数で定数でないもの）。ゲージ理論では $F$ をゲージ不変な関数に限り、$\Delta$ はゲージ不変な部分空間の隙間です。

初 証明。写像 $U:F\mapsto F\psi_0$ は $L^2(\nu)$ から $L^2(d\mathrm{vol})$ への等長写像で、定数 1 を $\psi_0$ に移します。したがって $\langle F\rangle_\nu=0\iff F\psi_0\perp\psi_0$、そのとき $\|F\psi_0\|^2=\operatorname{Var}_\nu(F)$ です。滑らかな $F$ について、基底状態変換の恒等式（10-01 の (18)）

が成り立ちます。$H-E_0$ は $\psi_0$ の直交補の上で $\Delta$ 以上なので（min-max）、$\langle F\rangle_\nu=0$ の滑らかな $F$ で

です。定数を足しても両辺は変わらないので、全ての滑らかな $F$ で (4) が成り立ちます。等号は $F=\psi_1/\psi_0$（(A1) から滑らかで、$F\psi_0=\psi_1$、(3) の左辺は $\Delta\|\psi_1\|^2$）で取られます。$Q=\mathbb R^n$ では、$\psi_1/\psi_0$ の Dirichlet 積分が有限であることを、準備中の論文の切り落としの補題（補題 3.3）で確かめます。∎

言い換えると、真空の分布の上の Langevin 力学の生成作用素は、基底状態変換で $-(2/\hbar^2)\,\psi_0^{-1}(H-E_0)\,\psi_0$ にユニタリ同値です。この型の言い換えはよく知られています（確率量子化や超対称量子力学の言い換え）。命題 V はその隙間の部分を、この本の (1) の約束で書いたものです。

較正（一つの調和振動子）。$Q=\mathbb R$・$M=1$・$V=\tfrac12\omega^2x^2$・$\hbar=1$ では、隙間は $\Delta=\omega$ なので、(2) から $C_P(\nu)=1/(2\omega)$ です。$\psi_0^2$ は分散 $1/(2\omega)$ の正規分布で、一次元の正規分布の Poincaré 定数が分散に等しいこと（一次の関数で等号）と一致します。10-01 の表 3 の (α) の行（自由場で $1/(2m)$）はこの値です 初。

例 1（二つのサイトで手で確かめる）。10-01 の例 6 の二つのサイトの格子（$\hbar=M=1$・$V=\tfrac12x^{\sf T}Kx$、基準振動 $u=(x_1+x_2)/\sqrt2$ の角振動数 $m_0$、$v=(x_1-x_2)/\sqrt2$ の角振動数 $\sqrt{m_0^2+2}$）では、$\nu$ は $u$ の分散 $1/(2m_0)$・$v$ の分散 $1/(2\sqrt{m_0^2+2})$ の独立な正規分布です。Poincaré 定数は二つの分散の大きい方 $1/(2m_0)$ で、(2) は $\Delta=m_0$ を与え、10-01 の例 6 の隙間と一致します 初。$m_0=\tfrac12$ なら $C_P(\nu)=1$、経路の測度の $C_P=\xi^2=4$ で、$4=4\,C_P(\nu)^2$ です（次の節の (5)）。

同じ $C_P$ の記号で三つの量が呼ばれます。命題 V で、三つの関係が一つの表に並びます。

二行目の等式

は、10-01 §04 の「自由場では $C_P^{(\beta)}=4(C_P^{(\alpha)})^2$」を、相互作用のある場合に時刻に局所な族の上で正確にしたものです 初。10-01 ではこの読み替えを自由場の形からの類推として書きました。命題 B の仮定の上では、時刻に局所な族に限れば類推でなく等式です。仮定 H が述べる経路の $C_P$ が $(2C_P(\nu)/\hbar)^2$ を越える分は、時刻に局所でない関数（巻き数や位相電荷）から来ます。

物理の単位で言い直す。格子単位で $\hbar=1$ とし、記帳の長さ $\xi_{\rm RG}$ で物理の単位に直すと、(2) は

です 初。質量ギャップ（格子の物理単位の隙間が正に残ること）は、「真空の測度の Poincaré 定数が記帳の長さの一乗で押さえられる」という Poincaré の文と同じです。仮定 H を経由しない Poincaré の文で、伸び方は二乗でなく一乗（動的指数で言えば $z=1$ の型）です。ただしこれは言い換えで、どちらの側にも新しい情報はありません。$C_P(\nu)$ の上界には全ての $F$ が要り、難しさは隙間の下界とちょうど同じです。

真空の測度では位相の問題が起きない。$\nu$ の上で動かすのは一つの時刻の一価の関数だけです。円の上の自由な粒子でいえば、$\nu$ は円の上の一様分布で $C_P(\nu)=1$（周の長さ $2\pi$ の円の Wirtinger の不等式）と有限で、(2) は 10-01 の命題 C の $\Delta=\hbar^2/2$ を与えます。そして経路の測度で $C_P=\infty$ を作った巻き数の汎関数（時間について積分した持ち上げの角）は $\nu$ の関数ではありません 初。四次元の位相電荷も時間の積分で定まる量なので、一つの時刻の真空の分布の関数には入りません 見。境目は 11-04 の $\mathcal F_1$ の内と外と同じです。

11-04 §07 の 0+1 次元の二重井戸で、時間を幅 $\varepsilon$ で刻んだ鎖の一つの時刻の窓の局所の Poincaré 定数は、$\psi_0$ が Schrödinger の基底状態なら $C_P^{\rm loc}(1)=\varepsilon/(2m)$ ちょうどでした（11-04 の (17)）。窓の Dirichlet 形 $(\hbar/\varepsilon)\int\psi_0^2|F'|^2$ は (1) の $\mathcal E_\nu$ の $\hbar/\varepsilon$ 倍なので、これは命題 V の $C_P(\nu)=\hbar^2/(2\Delta)$ を $\varepsilon/\hbar$ 倍した値そのものです 初。最も短い窓の比 $\omega_b/m$ は、この恒等式を参照（調和振動子）と対象（二重井戸）で割ったものです。

時間を刻むと、鎖の一つの時刻の分布は転送の核（Trotter の対称積）の最大固有ベクトルの二乗で、Schrödinger の $\psi_0^2$ とはわずかにずれます。$V=(x^2-1)^2/8$・$\varepsilon=\tfrac12$・$\hbar=0.3,\ 0.15,\ 0.08$ の格子で、一つの時刻の窓の直接の値を $\varepsilon/(2m_{\rm tr})$（$m_{\rm tr}$ は転送の第二固有値から）で割った比は $1.006,\ 1.013,\ 1.019$、参照も刻んだ比 $K_{\rm rel}(1)\cdot m_{\rm tr}$ は $1.037,\ 1.044,\ 1.050$ です 読。恒等式は連続の時間の文で、時間を刻んだ格子では近似です。この差が、第 10 部の仮定 (D)（10-01 の (20)）が残る理由の、最も小さな形です。

時間を連続に取り、空間だけを格子にしたゲージ理論のハミルトニアンが Kogut–Susskind の格子です。配位の空間は空間のリンクごとの群の積 $Q=G^{\{\text{空間のリンク}\}}$（コンパクトで連結な多様体）で、命題 B の形に合わせて運動項の計量を $M=g^{-2}\cdot$（両側不変な計量）と置くと

です。$E_\ell^2$ はリンク $\ell$ の群の上の Laplace–Beltrami 作用素の符号を変えたもの（電場の二乗）、$U_p$ はプラケットの周りの積で、第二項は磁場の項です。係数の約束は文献で異なり、ここでは命題 B の形に合わせました。物理の状態はゲージ不変な関数（Gauss の法則）で、$H_{\rm KS}$ はゲージ変換と交換するので $\psi_0$ は自動的にゲージ不変です。問題文の量はこの格子では $H_{\rm KS}$ のゲージ不変な部分空間の隙間そのもので、命題 V から一つの時刻の真空の分布 $\nu=\psi_0^2\cdot$Haar の Poincaré 定数で書けます。

この格子で隙間を直接扱う道は、11-00 の材料の表の「他の道の表」の行の一つです。到達点と止まった場所を表 2 にまとめます。

初 証明。$h_p$ は $L^2(Q,\text{Haar})$ の上の掛け算の作用素で、掛ける関数 $2-\operatorname{tr}U_p$ は $Q$ の上の定数でない実解析的な関数です。$(h_p-c_p)\psi=0$ なら $\psi$ の台は等位集合 $\{2-\operatorname{tr}U_p=c_pg^2\}$ に入りますが、定数でない実解析的な関数の等位集合は Haar 測度で 0 なので $\psi=0$ です。∎ 電場の項と磁場の項が交換しないことも同じく初等的です（$E_\ell^2$ は微分の作用素で、$\operatorname{tr}U_p$ を掛けることと交換しない）。区画ごとに電場と磁場の項をまとめた分け方でも frustration-free にならないかは、交換しないことからの見込みで、示していません 見。また、局所の Hilbert 空間 $L^2(SU(2))$ が無限次元であることと定理の設定との照合もしていません。

真空の測度の側の道具。命題 V で隙間を $C_P(\nu)$ に移しても、使える道具は増えません。理由を三つ並べます。

• $\nu$ は陽に書けません。$-2\ln\psi_0$ が $\nu$ の「作用」で、局所でもありません。凸性で Poincaré 定数を押さえる Bakry–Émery の型の判定には $\operatorname{Hess}(-\ln\psi_0)$ の下界が要ります。凸なポテンシャルの基底状態が対数凹になるという Brascamp–Lieb の型の結果は記憶で、書誌を確かめていません 仮。しかも (7) の磁場の項はコンパクトな群の上の定数でない滑らかな関数なので、最大点で Hesse 行列が 0 以下になり、一様に凸にはなれません 初。群の Ricci 曲率の分を足した判定が $g\to0$ で一様に効くかは、11-06 の凸性の天井の補題と同じ型の障害に当たる見込みです 見。
• 局所から大域へ、という Glauber 力学の型の議論（局所の箱の Poincaré 定数と強い空間の混合から体積に一様な隙間へ、Martinelli の講義の型）を $\nu$ で立てるには、$\nu$ の境界の値に対する空間の混合が要ります。$\nu$ が陽でない分、Wilson 測度より難しい見込みです 見（その型の定理の言明は記憶で、原典で確かめていない 仮）。
• 時間の格子間隔を先に 0 にする（Hamiltonian 極限）のは、Wilson の等方な格子とは別の極限の順序です。どちらの順でも同じ連続極限に行くことは仮定です 仮（10-02 の背景）。

11-04 §06 で、四次元の時空の箱の参照について「$SU(2)$ の色の一重項には一次の項が無く、参照はちょうど半分になる」ことを見ました。同じことを、一つの時刻の真空の分布の側で述べます。

主項（$g\to0$、三つの色の成分が独立なガウス）では、真空の分布 $\nu$ は空間のリンクの横波の場の上のガウス測度で、自由なハミルトニアンの一粒子の角振動数を $\omega_k$ とすると、(1) の Dirichlet 形の Langevin の生成作用素は命題 V の基底状態変換で $-2(H-E_0)$ にユニタリ同値です（$\hbar=1$）。$H-E_0$ の固有値は一粒子の角振動数の和 $\sum_kn_k\omega_k$（$n_k$ は粒子の数）で、固有空間は Wiener のカオスに当たります（$n=\sum n_k$ が $n$ 次のカオス）。有限の空間格子で最小の角振動数を $\omega_{\min}\gt0$ とします（周期の箱の一定のモードのように $\omega=0$ になるモードは別に扱う）。

ゲージ不変な関数は、定数のゲージ変換（大域の色の回転 $SO(3)$）で不変でなければなりません。一次のカオスの関数 $\sum c_k^aA_k^a$ は色の添字 $a$ についてのベクトルで、$SO(3)$ は $\mathbb R^3$ に固定されたベクトルを持たないので、不変なものは 0 だけです 初。したがってゲージ不変な関数の最低の試験の空間は二次のカオス（二粒子）で、その上の最小の固有値は $2\omega_{\min}$、等号は二つの粒子を同じ最低のモード $w$ に置いて色で縮めた $F_w=\sum_a(\langle w,A^a\rangle^2-\mathbb E)$ で取られます 初。命題 V で読み替えると

です 初（主項・三色の独立なガウス・$\omega_{\min}\gt0$ の有限の空間格子の上）。ゲージ不変な最低の励起は二粒子の閾にあり、Poincaré 定数は一粒子の定数の半分です。11-04 の時空の箱の参照 $\Gamma_Q/2$ は、同じ仕組みを時空の箱の局所の Poincaré 定数で見たものです。LeanLatticeGauge.WilsonLoopReference.no_linear_singlet（仮定：二つの回転で不変な一次形式。結論：係数は 0）・chaos2_gamma（仮定：$0\lt n,g$ と Wick の積率を式として。結論：比が半分になる代数）。

物理では「最も軽いグルーボールは二つのグルーオンの束縛状態」と語られます。(8) はその主項の局所の Poincaré 版にあたる、という読みができます 見。ただし、物理の機構は証明にならず（11-07 の物理の機構の表）、(8) は主項の形の文です。無限体積では $\omega_{\min}\to0$ なので、(8) の右辺も 0 に行きます。質量ギャップは主項には現れず、主項で決まるのは「ゲージ不変な試験の空間は二粒子から始まる」という形だけです。$g$ が有限の $SU(2)$ で (8) がどう変わるかは、何も計算していません。

命題 V から、真空の分布の Poincaré 定数を測ることは隙間を測ることと同じです。測る道を、第 10 部の一段目の機械がどこまで使えるかで並べます。

• 0+1 次元。一段目の機械（転送の核の格子の固有値問題と、重みつきの格子 Laplacian の一般化固有値）は、一つの時刻の窓の局所の Poincaré 定数を直接計算し、$\varepsilon/(2m_{\rm tr})$ と 1.006〜1.019 倍の範囲で一致しました（§03）読。0+1 では機械がそのまま $C_P(\nu)$ を測ります。
• 標本。$\nu$ は陽でないので、標本が要ります。時間の格子間隔を小さくした異方的な Wilson 格子の、一つの時刻の切り口の周辺分布は、Hamiltonian 極限で $\nu$ に近づく見込みです 見。時間の刻みが有限なら、その切り口は転送の核の $\psi_0^2$ で、§03 のずれ（0+1 の $\varepsilon=\tfrac12$ で 1〜2%）が入ります。
• 試験の関数。ゲージ不変な関数に限るので、Wilson ループの多項式から取ります。11-04 §06 のとおり、箱の差し渡しの大きさのループが要ります。
• 目盛り。(1) の $\mathcal E_\nu$ は運動項の計量 $M^{-1}=g^2\cdot$（両側不変な計量）で測ります。Langevin の目盛りをこれと揃えないと、(2) の係数が $\kappa$ 倍ずれます。
• 向き。標本の上の Rayleigh 商は $C_P(\nu)$ の下界、すなわち隙間の上界を与えるだけです（試験関数を一つ置けば出る側）。隙間の下界には全ての $F$ が要り、第 10 部の H↑ と H↓ の非対称（10-01 の (15)）がそのまま現れます。測る道は、隙間の易しい側を測る道です。

この章は計算を置いていません。小さな周期の格子の Kogut–Susskind の隙間を、電場の表現を切って区間で押さえる計算は、有限の箱の数に留まり、体積に一様な隙間への橋にはなりません 見。

• 命題 V は恒等式で、問題を易しくしたとは主張しません。$C_P(\nu)$ を $\beta$（あるいは $g$）に一様に押さえる道具はありません。
• 局所から大域への隙間の定理は、Kogut–Susskind の格子の電場と磁場への分け方には当たりません（命題 F）。区画にまとめた分け方で当たらないことは見込みで、示していません。
• 強結合の摂動の結果を Kogut–Susskind の格子に当てはめる照合はしていません。弱結合の側の結果は、探した範囲で見当たりません。
• Hamiltonian 極限を先に取る順序が Wilson の格子と同じ連続極限を与えることは仮定です。
• (8) は主項（三色の独立なガウス）の文で、$g$ が有限の値はありません。グルーボールとの対応は見立てです。
• この章は質量ギャップを示しません。仮定 H についても何も示しません。

機械検査の欄は代数だけです。恒等式 (3)・命題 V・命題 F・(8) の測度の段は Lean の外にあります（10-13）。

依存グラフ（前提の番号は結論の番号より小さい）：

[01] 仮 (A1)        離散スペクトル・ψ₀ > 0・Δ > 0               有限の空間格子
[02] 初 恒等式      基底状態変換（10-01 の (18)）
[03] 初 命題 V      Δ = ħ²/(2 C_P(ν)) ⟸ [01][02]
[04] 初 三つの定数  sup over F₁ = (2C_P(ν)/ħ)² ⟸ [03]（＋10-01 の命題 B・11-04 の (2)）
[05] 初 物理の単位  m_phys ≥ c ⟺ C_P(ν) ≤ ξ_RG/(2c) ⟸ [03]
[06] 初 0+1 の窓    一つの時刻の窓は命題 V の ε/ħ 倍 ⟸ [03]     Lean one_slice_ratio
[07] 読 格子のずれ  1.006〜1.019（時間を刻んだ転送の ψ₀）
[08] 初 命題 F      電場と磁場への分け方は frustration-free でない
[09] 典 局所→大域   frustration-free を仮定した隙間の定理
[10] 典 摂動        相対有界な量子の摂動で隙間（要旨）
[11] 仮 対数凹      凸なポテンシャルの基底状態（記憶）
[12] 仮 混合        局所の箱と空間の混合から一様な隙間（記憶）
[13] 仮 極限の順序  Hamiltonian 極限と Wilson の格子
[14] 初 一次なし    色の一重項に一次の項が無い                   Lean no_linear_singlet
[15] 初 二粒子      (8) ⟸ [03][14]（主項）                      Lean chaos2_gamma
[16] 見 当たらない  局所→大域は KS に当たらない ⟸ [08][09]
[17] 見 強結合      摂動の型に乗る ⟸ [10]
[18] 見 グルーボール (8) の読み ⟸ [15]
[19] 見 道具なし    C_P(ν) を一様に押さえる道具は無い ⟸ [11][12][13][16]

円の検査は全ての「⟸」の右の番号が左の番号より小さいことを見るだけです。この章の結論は [03]〜[06] と [15] の恒等式と主項の文で、質量ギャップの節点はありません。仮定の行 [01][11][12][13] はどれも隙間の下界を含みません。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 真空の測度 $\nu$・基底状態変換・命題 V・三つの Poincaré 定数・Hamiltonian 格子（Kogut–Susskind）・frustration-free・局所から大域への隙間の定理・色の一重項と二次のカオス・Hamiltonian 極限。意味は A-02 用語集 と 11-A1 にあります。

次に読む章：11-06 凸性の代わりに稀さで払う — 群の上では凸性が足りないことを、稀さで払う道具の話として。

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